2.1.1椭圆及其标准方程(第2课时)教案
《椭圆及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2课时)
PF1 PF2 16(2 3),
S
F1PF2
1 2
PF1
PF2 sin30 8 4
3.
巩固练习
例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分
别为(-4,0)､(4,0).
|PA|,由于圆P与圆C相内切, ∴|PC|=r-|PA|, 即|PA|+|PC|=r=6. 因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,∴b2=5.
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 x2 y2 1. 59
巩固练习
例3.如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM，BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求 点M的轨迹方程.
y M
直译法
A
O
B
x
巩固练习
练习：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1
4 上任一点, 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程第二课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
定义
图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
中职数学拓展模块2.1.1椭圆的标准方程教案教学设计人教版
☆补充设计☆教 师行为学生行为设计意图*揭示课题2．1 椭圆． *创设情境 兴趣导入我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次方程0Ax By C ++=为直线的方程，二元二次方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->为圆的方程．下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线． 了解 观看 课件 思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知先来做一个实验：准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离．（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．从实验中可以看到，笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点1F 和2F 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）． 我们将平面内与两个定点12F F 、的距离之和为常数（大于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．思考引导学生发现解决问题方法设M (x ，y )是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c （c ＞0），椭圆上的点与两个定点12F F 、的距离之和为2a （a ＞0），则12F F ，的坐标分别为（－c ，0），（c ，0），由条件122MF MF a +=，得2222()()2x c y x c y a +++-+=，移项得2222()2()x c y a x c y ++=--+，两边平方得2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=--++-+， 整理得 222()a cx a x c y -=-+， 两边平方后，整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 由椭圆的定义得2a ＞2c ＞0，即a ＞c ＞0，所以220a c ->，设222(0)a c b b -=>，则222222b x a y a b +=，【小提示】设222a c b -=，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义． 等式两边同时除以22a b ，得222210x y a b a b += (＞＞) （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222a c b -=．如图2－3所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为理解记忆图2－2222210y x a b a b += (＞＞) （2.2）图2－3方程（2.2）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．字母a 、b的意义同上，并且222a c b -=． 【想一想】已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？ *巩固知识 典型例题例1 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．解 由于2c =8，2a =10，即c =4，a =5，所以2229b a c =-=，由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为2222153x y+=，即 221259x y +=．【想一想】将例1中的条件“椭圆的焦点在x 轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？例2 求下列椭圆的焦点和焦距．（1）22154x y +=； （2）22216x y +=．分析 解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上．方法是观察标准方程中含x 项与含y 项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且观察 思考 主动 求解注意观察学生是否理解知识点。
苏教版高中数学选修2-1《椭圆的标准方程》教案2
椭圆的标准方程学习目标：1、通过本节的学习了解椭圆的定义、几何图形和标准方程，了解椭圆的实际背景和它在解决实际问题中的作用.2、理解椭圆标准方程中参数a 、b 、c 之间的关系，灵活地运用定义去思考问题并切实地解决问题.学习重点：椭圆的定义和标准方程学习难点：椭圆标准方程的推导一、新课引入：椭圆的定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
思考：如何把数学语言转化为代数式或者方程呢？方法：坐标化原则：简洁对称步骤：建系、取点；列式(几何、代数)；代换；化简；证明(可省)要求条理清晰） 分析：从定义（几何性质）入手突出：1、如何建系：（让学生从美的原则出发感受轴对称、中心对称的完美性，处理问题时要保持完美性协调，忌破坏。
）以焦点F 1,F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的中垂线为y 轴，则F 1(-c,0),F 2(c,0) 设椭圆上一点P(x,y)。
2、如何求椭圆的标准方程：（暂且不提标准二字，纯粹从求方程开始）1）明确几何关系：|PF 1|+|PF 2|=2a22a =分析方程的结构及所显示的几何意义（揭示出|F 1F 2|>2a 原因），强调为什么要化简——美化，让学生感受化简的必要性。
3）化简关系：(让学生讨论如何化简，突出化简的目的—去根号)常规方法：平方法2222222)()(44)(y c x y c x a a y c x +-++--=++2a cx -=22222222-()a c x a y a a c +=-（）222221x y a a c+=- 注：在化简的过程中，时时注意拓展学生思维，帮助学生学会科学地思考。
化简可以从其它两个方面思考：一、分子有理化（有理化的意识）；二、等差中项（数学式子的结构意识）注：①若2a=2c 时，化简所得方程与其图形的对比 ②平方法后得：c a x a -=能说明什么？ )()(222x c a a c y c x -=+- →a c x ca y c x =-+-222)( 4）标准方程（分析为什么标准化，它的必要性）结合椭圆的图形分析b 的引入的科学性二、例题分析学习椭圆要分两步走，第一，用方程表示椭圆；第二，通过方程探究椭圆的性质，其中，在各种条件下求出椭圆的方程是学好椭圆的必由之路. 例1 判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦距与焦点坐标． （1）22110064x y +=； （2）221925x y +=； （3）224520x y +=． 解：（1）因为10064>，所以焦点在x 轴上；又因为2221006436c a b =-=-=，故焦距212c =，从而焦点坐标为(6,0)-、(6,0)．（2）因为925<，所以焦点在y 轴上；又因为22225916c a b =-=-=，故焦距)0(12222>>=+b a by a x28c =，从而焦点坐标为(0,4)-、(0,4)．（3）方程可化为22154x y +=，因为54>，所以焦点在x 轴上；又因为222c a b =-=5-4=1，所以焦距2c=1，从而焦点坐标为（1,0）、（-1，0）．注意：第（3）题和前两题的区别，分母上的数是和通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时会求焦点坐标、焦距等基本量（在求解之前要将方程先化成标准式），学习时采用在教师引导下学生自主完成的方法．例2：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程． 解：以两焦点1F 、2F 所在直线为x 轴，线段1F 2F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系x O y ，则这个椭圆的标准方程可设为()222210x y a b a b += >>． 根据题意知23a =，2 2.4c =，即1.5a =， 1.2c =，故222221.51.20.81b ac =-=-=，因此，这个椭圆的标准方程为2212.250.81x y +=． 说明：进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即“定型”和“定量”，培养学生运用知识解决问题的能力.三、巩固练习1. 求下列椭圆的焦点坐标：（1）22194x y +=； （2）22167112x y +=．2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，a =c =（2）焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(；（3）焦距为6，1a b -=；（4）经过两点35(,)22A -，B . 四、本节小结：理解椭圆的标准方程的求法。
椭圆及其标准方程第二课时(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册
3.1.2 椭圆及其标准方程第2课时教学设计（一）教学内容椭圆及其标准方程(二）教学目标1.通过知识的教学，使学生能熟练掌握椭圆的标准方程，焦点、焦距等概念以及a、b、c之间的关系，发展解析几何中代数运算素养.2.通过求点的轨迹方程,能使学生体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步体会坐标法和数形结合的思想.（三）教学重点及难点重点：求椭圆的标准方程.难点：轨迹方程的求法.（四）教学过程设计（主体内容）用问题分解教学目标1.课题导入问题1：上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的？追问1：椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？参数a、b、c的关系是怎样的？追问2：现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？师生活动：学生作答，老师适时补充，教师板书,明确求椭圆的标准方程不需要用坐标法，可用待定系数法确定a,b即可.设计意图：目的是使学生熟悉椭圆的定义及标准方程以及a，b，c各量的关系，熟悉焦距.为下一步求椭圆的标准方程做好铺垫.2.例题教学例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，-10)，P到与它较近的一个焦点的距离为2.(3)椭圆经过点（1，32)，（2)师生活动：通过学生交流探索，让学生学会分析与解决问题，学会转化问题和应用方程组思想,体会椭圆标准方程的常规方法待定系数法，便于掌握本节的重点.设计意图：巩固椭圆及其标准方程.问题2：动点的轨迹和轨迹方程有何区别？例2 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。
当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.师生活动：(1)轨迹是指图形，轨迹方程是指方程.明确求轨迹方程即是求轨迹上任意的点M的坐标(x，y)所满足的条件，因此必须先搞清楚点M所满足的条件.（2）掌握求一类轨迹问题的基本思路与方法，即通过建立点M与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解. (3)明确椭圆与圆的联系，椭圆可看作是把圆“压扁”或“拉长”后，圆心一分为二所成的曲线.设计意图：提高思维的探究性与挑战性，理解椭圆与圆的关系.例3 如图4，设点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是4 -9，求点M 的轨迹方程.师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；(2)教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价；（4）此题反过来，就是椭圆的一条性质.课堂练习：教科书第109页练习第3，4题.设计意图：深化学生对求曲线的方程的方法、椭圆的几何特征的认识.师生活动：学生运用椭圆的概念与椭圆的标准方程解决第3题，运用求曲线的方程的方法解决第4题，教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程.问题3：什么是椭圆的焦点三角形？焦点三角形又蕴含哪些知识呢？定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆的焦点三角形.例4 椭圆22143x y+=，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．师生活动：教师在黑板上画出示意图，引导学生可联想解三角形的知识，由学生说出解决方案.（时间允许的话）从此题可推出一般结论：（1）.（2）当P 点在椭圆与y 轴的交点时，焦点三角形面积最大为bc.设计意图：例题的难度不大，由学生自主思考分析并通过运算解决，培养独立思考独立分析解决问题的能力，通过练习，提醒学生在解决问题时，要根据题目的条件，灵活选用相关知识进行求解.3.课堂小结：问题4：回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论作个梳理吗？师生活动：先由学生对椭圆的标准方程和轨迹方程求法作梳理，教师进行补充.设计意图：及时梳理、提炼与升华所学知识.(五）目标检测设计1.课堂检测（1）.求符合下列条件的椭圆的标准方程：①经过点P(-，(1，；②a=2b0).设计意图：考查学生对椭圆的标准方程及a ，b ，c 之间的关系的理解与掌握水平，（2）.已知△ABC 的周长为6，顶点A ，B 的坐标分别为(0，1)，(0，-1)，则点C 的轨过方程为( ) (A)221x 2)43x y +=≠±（ (B)2212)34x y +=≠±（y (C)221x 0)43x y +=≠（ (D)2210)34x y +=≠（y设计意图：考查学生对椭圆及其标准方程的理解水平以及思维的严谨性.（3）.已知点A(-1.0)，B 是圆F ：229(1)x y +=-（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 师生活动：学生先独立完成，后相互交流，教师视学生错误情况进行点评、校正.教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程，考查学生求轨迹方程的掌握情况.2.课后作业教科书习题3.1第2，6，10题.（六）教学反思 点的纵坐标）是（P b S PF F 0021y .cy 2tan 2==∆θ。
椭圆及其标准方程-第二课时
0 0
点P 的坐标为(x ,0).
0
由PM = 2MP 得：(x - x , y - y ) = 2(x - x,-y) ，即
0 0 0
即
0 0
x - x = 2(x - x) , y - y = 2(-y) x = x, y = 3y.
F2 P
O
x
F1
练习.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a=
,b=1,焦点在x轴上；
x2 6
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5； 25 16 (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； x y 1
2 2
y2
x2
1
0 0 0 0 0 2 2
∵ P(x , y )在圆x + y = 9上, 代入得 x + 9y = 9，
2 2
x 即 + y =1,∴点M的轨迹是一个椭圆. 9
2 2
例3 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 4 ，求 9 点M的轨迹方程.
求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2| ＝2a，并结合余弦定理求解．
[精解详析]
由已知 a＝2，b＝ 3，
所以 c＝ a2－b2＝1，|F1F2|＝2c＝2， 在△ PF1F2 中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|· |F1F2|· cos 120° ， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|. 6 将②代入①解得|PF1|＝ ， 5 1 1 6 3 3 3 ∴S△PF1F2＝ |PF1|· |F1F2|· sin 120° ＝ ×× 2× ＝ . 2 2 5 2 5 3 因此所求△PF1F2 的面积是 3. 5 ② ①
人教版高中数学优质教案3：2.1.1椭圆及其标准方程 教学设计
2.1.1椭圆及其标准方程教学目标1.知识与技能(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；(2)理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．2．过程与方法(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神．(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．重点难点重点：椭圆定义和标准方程．难点：椭圆标准方程的推导过程．椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石，因此给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实验使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．一、椭圆的定义问题导思1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？[答案]圆．2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？[答案]椭圆．3．在问题2中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？[答案]笔尖到两定点F1、F2的距离和等于常数(绳长)．把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.二、椭圆的标准方程问题导思1．观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？[答案]以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．2．在椭圆的标准方程中，a2和b2能相等吗？你能否根据椭圆的标准方程判定椭圆的焦点位置？[答案]不能相等．否则就表示圆而不是椭圆了．可以根据x2与y2的分母的大小判定椭圆的焦点位置．若x2项的分母大，则焦点在x轴上；若y2项的分母较大，则焦点在y轴上．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2三、求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵2a＝5＋42＋5－42＝10，∴a＝5. 又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 32a 2＋－22b 2＝1－232a 2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2a2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－22a 2＋32b 2＝11a 2＋－232b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二 设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.规律方法1．利用待定系数法求椭圆的标准方程：(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．变式训练求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B (12，3)．解 (1)a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)设所求椭圆的标准方程为 Mx 2＋Ny 2＝1(M ＞0，N ＞0，M ≠N )． ∵椭圆经过A (0,2)和B (12，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ M ·0＋N ·4＝1M ·14＋N ·3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧M ＝1N ＝14.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 四、与椭圆有关的轨迹问题图2－2－1例2如图2－2－1所示，圆x 2＋y 2＝1上任意一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PP ′，P ′为垂足．M 为直线PP ′上一点，且|P ′M |＝λ|PP ′|(λ为大于零的常数)．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，∵PP ′⊥x 轴，且|P ′M |＝λ|PP ′|， ∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆；当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆． 规律方法1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法．2．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．代入法的主要步骤：①设所求轨迹上任意一点P (x ，y )，相对应的已知曲线上的点设为Q (x 1，y 1)；②建立关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝gx ，y ，y 1＝h x ，y(※)③将(※)代入已知曲线方程化简就得所求轨迹方程． 变式训练动点P 在y ＝2x 2＋1上移动，则P 点与Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是什么？ 解 设P (x 0，y 0)，PQ 的中点M (x ，y )则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1. ∵P (x 0，y 0)在y ＝2x 2＋1上， ∴ 2(2x )2＋1＝2y ＋1， ∴y ＝4x 2.即PQ 中点的轨迹方程为：y ＝4x 2.五、当堂训练1．到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．圆D ．以上都不对[解析] |MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4， ∴点M 的轨迹为线段F 1F 2. [答案] B2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．10B ．8C ．5D ．4[解析] 由标准方程得a 2＝25，∴2a ＝10，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. [答案] A3．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±56，0)D ．(±536，0)[解析] 椭圆化为标准形式为x 214＋y 219＝1，∴a 2＝14，b 2＝19，∴c 2＝a 2－b 2＝14－19＝536，且焦点在x 轴上，故为(±56，0)．[答案] C4．已知一椭圆的标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程． 解 ∵b ＝3，c ＝4，∴b 2＝9，a 2＝b 2＋c 2＝9＋16＝25. (1)当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为 x 225＋y 29＝1. (2)当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为 x 29＋y 225＝1. 六、课堂小结1．求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．2．求轨迹方程的常用方法： (1)直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x ，y )后，可根据几何条件转换成x ，y 间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．(3)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．。
第二课时：椭圆及其标准方程教学设计
2．1．1椭圆及其标准方程（选修1-1）教学目的：1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； 2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程教学重点：用待定系数法与定义法求曲线的方程教学难点：待定系数法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2. 椭圆标准方程： （1）12222=+by a x它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程其中22b c a +=（2）12222=+bx a y它所表示的椭圆的焦点在y 轴上，焦点是),0(),,0(21c F c F -,中心在坐标原点的椭圆方程其中22b c a +=所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b ya x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)二、讲解范例：例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查c b a ,,关系掌握情况. 解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x .(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14a 1101022222222b b a b a故所求椭圆的标准方程为1422=+y x（２）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a bx a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为a 与b 的值.(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近. 例3 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+ 则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n mnm ，解得 ,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为10622=+y x 例4 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件三、课堂练习：1．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是 （ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段 答案：D2.椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ）A.32B.16C.8D.4 答案：B3.设α∈(0,2π)，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈A.(0,4π] B.(4π,2π) C.(0,4π) D.［4π,2π) 答案：B4.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是______.分析：将方程整理，得12222=+ky x ，据题意⎪⎩⎪⎨⎧>>022k k ，解之得0＜k ＜1. 5.方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______. 分析：据题意⎪⎩⎪⎨⎧>--><-mm m m 2)1(0201，解之得0＜m ＜316.在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程. 分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |=32×39=26.根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为12516922=+y x (y ≠0) 四、小结 ：椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程的方法五、课后作业：平面内两个定点21,F F 之间的距离为2，一个动点M 到这两个定点的距离和为6.建立适当的坐标系，推导出点M 的轨迹方程.选题意图：本题考查椭圆标准方程的推导方法.解：建立直角坐标系xoy ,使x 轴经过点21,F F ，并且点O 与线段21F F 的中点重合.设),(y x M 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2ｃ(ｃ＝1)，M 与21,F F 的距离的和等于常数6，则21,F F 的坐标分别是(-1，0)，(1，0).∵222221)1(,)1(y x MF y x MF +-=++=∴6)1()1(2222=+-+++y x y x .将这个方程移项后，两边平方，得22222222)1(39,)1()1(1236)1(yx x y x y x y x +-=-+-++--=++两边再平方，得：222991891881y x x x x ++-=+- 整理得：729822=+y x两边除以72得：18922=+y x .说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.六、板书设计（略）七、课后反思。
椭圆及其标准方程第二课时
的坐标分别为(-5,0),(5,0)。 例3、如图，设点 ，B的坐标分别为 、如图，设点A， 的坐标分别为 。
4 直线AM，BM相交于点 ，且它们的斜率之积是 − ， 相交于点M， 直线 ， 相交于点 9 求点M的轨迹方程 的轨迹方程。 求点 的轨迹方程。 设点M的坐标为 因为点A的坐标是 的坐标为， 的坐标是， 解：设点 的坐标为，因为点 的坐标是，所以直线 AM的斜率 k = y ( x ≠ −5); 的斜率 AM x+5 y ( x ≠ 5); 同理，直线BM的斜率 k BM = 同理，直线 的斜率 x −5 y y 4 由已知有 × = − ( x ≠ ±5) x+5 x−5 9
2
起点M运动 运动。 起点 运动。 x=x0,y=y0/2. 因为点P (x0,y0)在圆 因为点 在圆
x0 + y 0
即
2
2
x +y
2
2
=Байду номын сангаас4 上，所以
=4
代入方程(1)， 把x0=x,y0=2y代入方程 ，得 代入方程
x + 4y
2
2
=4
x +y 4
2
2
=1
所以点M的轨迹是一个椭圆。 所以点 的轨迹是一个椭圆。 的轨迹是一个椭圆
1
满足以下条件的动点的轨迹叫做椭圆？ 满足以下条件的动点的轨迹叫做椭圆？ • [1]平面上 这是大前提 平面上----这是大前提 平面上 • [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之 动点 和是常数 2a • [3]常数 2a 要大于焦距 2c 常数
MF1 + MF2 = 2 a > 2 c
相 同 点 a b 点
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
人教版高中数学选修2-1第二章椭圆及其标准方程(二)(共19张PPT)教育课件
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什 么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，
则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
优秀教案9-椭圆及其标准方程(2)
2.1.1椭圆及其标准方程（2）教材分析本节内容是数学选修2-1 第二章圆锥曲线与方程的第二节，椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是在学习椭圆的定义及椭圆标准方程后的一节。
本节课的重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的应用，及用待定系数法和定义法求曲线轨迹方程.难点是求与椭圆有关的轨迹方程, 通过待定系数法和定义法的求导，通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识，在学习中进一步渗透数形结合等数学思想和方法.课时分配本节内容用2课时的时间完成，此教案为第2节主要讲解用待定系数法和定义法求曲线方程.教学目标重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程应用，用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：求与椭圆有关的轨迹方程．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：如何探寻椭圆定义及标准方程的证明思路，数形结合数学思想的运用.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何推导椭圆的标准方程.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其他圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、情景引入[教师] 提出问题，布置学生做练习.求适合下列条件的椭圆的标准方程.和(4,0),且椭圆经过点(5,0).（1）两个焦点坐标分别为(4,0)（2）焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).[学生] 完成练习.[教师] 纠正、总结.求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位置,确定出适合题意的椭圆标准方程形式,最后由条件确定出a和b.21(0,)2P -111(,)33P 【设计意图】通过练习,巩固待定系数法求椭圆方程的方法.二、探究新知例1 已知圆22:(3)100A x y ++=，圆A 内一定点(3,0)B ，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程师生活动x [教师] 根据两圆内切，你能得出圆心距的关系吗？ [学生] 学生思考，回答.[教师] 而PB 恰为小圆半径,从而可得出PA 与PB 有何关系[学生] 10PA PB +=(大圆半径).[教师]由此我们可以得出此轨迹为椭圆.此题是先根据几何知识寻找出满足椭圆定义的条件,然后根据椭圆的标准方程求出其轨迹方程,这种方法称为定义法求轨迹方程.[学生] 完成题目.[教师] 巡视,指导,纠正.[设计意图] 通过分布设问,引导学生体会解题思路的形成过程, 培养学生独立分析问题、解决问题的能力． 例2 求经过两点 ， 的椭圆的标准方程.[学生] 由于椭圆焦点位置不确定，可分焦点在x 轴、y 轴两种情况求解 [教师] 大家思考一下，还有别的方法吗？ [学生] 学生思考,回答.[教师] 可设椭圆方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠,利用条件求出,m n . 这种方法称为待定系数法求轨迹方程.[学生] 完成题目.[教师] 巡视,指导,纠正.[设计意图] 由于椭圆221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠包含焦点在x 轴()m n <或焦点在y 轴()m n >，两类情况,这种解法避免了分类讨论、达到了强化学生化简变形的能力三、理解新知确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定22,a b 的具体的值，常用待定系数法.用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下：（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是焦点在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；（2）设方程：①依据上述判断设方程)0(12222>>=+b a b y a x 或)0(12222>>=+b a bx a y ；②在不能确定焦点位置的情况下页可设为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.（3）找关系：依据已知条件，建立关于a b c 、、或m n 、的方程组；（4）得方程：解方程组，代人所设方程即为所求．[设计意图]总结归纳例2的过程,让学生明白此类问题解决的全过程, 为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例3 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段垂足， 当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 师生活动[教师] 点M 的变化受到哪些影响？如何寻求M 的轨迹？[学生] 思考，分组讨论，回答.点P 在圆224x y +=上运动，点P 的运动引起点M 运动.我们可以由M 为线段PD 的中点得到点M 与点P 并由点P 的坐标满足圆的方程得到点M 的坐标所满足的方程[教师] 评价、完善，请一名同学板演. [学生] 完成题目.解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则00,2y x x y ==因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以圆22004x y +=把00,2x x y y ==代入上式方程，得2244x y +=，即2214x y += 所以点M 的轨迹是一个椭圆.寻求点M 的坐标的坐标,x y 与中间变量00,x y 之间的关系，然后消去00,x y ，得到M 的轨迹方程，这是解析几何中求点的轨迹方程常用的一种方法——相关点法.[设计意图] 巩固利用相关点法求轨迹方程的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力. 例4 如图，设点,A B 的坐标分别为(5,0),(5,0)-.直线,AM BM 且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程. 师生活动[教师] 如果我们设点M (),x y ，那么直线,AM BM [学生] (5),(5).55AM BM y y k x k x x x =≠-=≠+- [教师] 根据条件，进一步完成题目.[学生] 完成题目.解：设点M 的坐标为(),x y ，因为点A 的坐标为()5,0-，所以直线AM 的斜率(5)5AM yk x x =≠-+； 同理，直线BM 的斜率(5).5BM yk x x =≠-由已知有4(5)559y y x x x ⨯=-≠±+-，化简，得点M 的轨迹方程为221(5)100259x y x +=≠± [设计意图] 巩固直接法求轨迹方程.五、课堂小结1．知识：椭圆的标准方程的求法．2．思想：曲线与方程的轨迹思想，数形结合的思想、待定系数法，相关的法． [设计意图] 通过椭圆轨迹方程的求法，加强对数学知识与思想的认识及对学生方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业必做题：P42 练习4. 《自主学习丛书》P39 A 组12. B 组4,6.选做题：1. (2012年江西理13)椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12F F ,．若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的ca为_______． 2．(2012年全国新课标理4)设12F F ,是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则椭圆的ca为______． 3．(2012年四川理15)椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________.4．已知椭圆中心在原点，两焦点12F F ,在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．答案：1．5 2． 343． 3 4．椭圆的标准方程为2214015x y += 七、教后反思本教案的亮点是在求椭圆轨迹方程的方法集锦让学生掌握各种方法、说明思路的由来过程，一题多解开阔思路．既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．建议学生在基本方法与思路探寻上下足功夫.八、板书设计。
人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第2课时)》教学设计
2.2.1 椭圆及其标准方程（第二课时）一、教学目标 （一）学习目标1.掌握椭圆的定义与标准方程；2.会求椭圆的标准方程. （二）学习重点用待定系数法与定义法求椭圆方程 （三）学习难点掌握求椭圆方程的基本方法. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第38页至第40页. （2）想一想：如何求椭圆的标准方程？（3）写一写：椭圆的一般方程： . 2.预习自测（1）已知6,1a c ==，则椭圆的标准方程为（ ）A.2213635x y +=B.2213635y x +=C.221365x y += D.以上都不对 【解题过程】由于条件中只给出,a c 的值，椭圆的焦点位置不确定，有两种可能性，故答案为D.【思路点拨】求椭圆方程时，要先定型后定量. 【答案】D（2）已知椭圆的方程为222116x y m +=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）A.44m -≤≤B.44m -<<C.4m >或4m <-D.04m << 【解题过程】由条件可知：216m <可得：44m -<<. 【思路点拨】把握椭圆方程的结构特征解题. 【答案】B（3）若ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.221259x y +=B.221(0)259y x y +=≠C.221(0)169x y y +=≠D.221(0)259x y y +=≠ 【解题过程】由条件可知：||||10||CA CB AB +=>，故点C 的轨迹是以,A B 为焦点，210a =的椭圆.考虑到,,A B C 三点构成三角形，故0y ≠. 【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D（4）已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12,F F ，且12||8F F =，弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（ ）A.10B.20C.D. 【解题过程】2251641a =+=.由椭圆的定义得：2ABF ∆的周长为：221212||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==. 【思路点拨】利用椭圆定义求解即可. 【答案】D （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）椭圆的定义； （2）椭圆的标准方程. 2.新知讲解探究 如何求椭圆标准方程 ●活动① 双基口答练习①方程194522=+y x 表示到焦点1F （-6,0） 和2F __（6,0）_的距离和为常数____的椭圆；②求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）125,(3,0),(3,0)a F F =-,22+12516x y = （2）5,3a c ==2222+1+125161625x y x y ==，③如果方程2214x y m +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是(0,4). ●活动② 归纳提炼方法例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是12(2,0),(2,0)F F -，并且经过点53(,)22P -，求它的标准方程. 【知识点】椭圆的定义和标准方程. 【解题过程】 法一：定义法：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x由椭圆的定义知，,102232252322522222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a所以10=a .又因为2c =，所以.6410222=-=-=c a b因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x 法二：待定系数法：由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x 由已知，2c =，所以.422=-b a ①又由已知，得123252222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ②联立①②解方程组，得6,1022==b a .因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x【思路点拨】先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解. 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；（3）用椭圆的定义或待定系数法确定a 、b 的值，写出椭圆的标准方程.【答案】.161022=+y x同类训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦距为8，经过点(0,P ；（2）与椭圆22194x y +=有相同焦点，且过点(3,2)M -.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】（1）∵焦距是8，即28,4c c =∴=①若焦点在x轴上，则b =，222241640,a b c ∴=+=+=∴椭圆方程为2214024x y +=； ②若焦点在y轴上，则a =，22224168,b a c ∴=-=-=∴椭圆方程为221248y x +=.（2）由题意设所求方程为222215x y a a +=-，∵过点(3,2)M -∴229415a a +=-，解得215a =或23a =（舍） ∴椭圆方程为2211510x y +=.【思路点拨】牢记椭圆的标准方程【答案】（1）2214024x y +=；（2）2211510x y +=.例2.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ，求线段'PP 的中点M 的轨迹. 【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)2(22=+y x .即2214x y +=. 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x【思路点拨】这种利用未知点表示一个或几个与之相关的已知点，从而求解未知点轨迹方程的方法，即为相关点法，是解析几何中常用的求轨迹的方法.【答案】1422=+y x ●活动③ 强化提升 灵活应用例3. 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点,A B ，求该椭圆方程.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】由题意知24=BC ，设椭圆的另一个焦点为D . 以直线DC 为x 轴，线段DC 的中点为原点建立直角坐标系。
与椭圆相关的高中数学知识点梳理——椭圆及其标准方程教案二
与椭圆相关的高中数学知识点梳理——椭圆及其标准方程教案二。
一、椭圆的定义椭圆是指一个平面内到两个定点（称为焦点）距离之和等于定值（称为主轴长度）的所有点的集合。
更形式化的定义是：一个椭圆是由平面上所有满足下列条件的点P组成的集合，即点P到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这里的a是椭圆的半长轴长度。
另外，b是椭圆的半短轴长度。
二、椭圆的性质1.焦点、半长轴和半短轴对于一个椭圆，其两个焦点的距离为2c，而椭圆的半长轴长度为a，因此有a=c+e，其中e称为离心率，表示椭圆中心到焦点距离与半长轴长度的比值。
另外，半短轴长度b可以表示为b²=a²-c²。
2.对称性椭圆存在中心对称性。
也就是说，椭圆上第一象限内的任意一点关于椭圆的中心都有一对称点。
3.焦点的性质对于一个椭圆，其两个焦点都在椭圆的长轴上。
并且，每个点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即2a。
三、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x/a)²+(y/b)²=1。
其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。
这个方程的中心在原点。
如果椭圆的中心不在原点上，我们需要对标准方程进行平移，变为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
其中，(h,k)是椭圆的中心坐标。
四、解题实例现在，我们来看一个具体的实例，帮助同学们更好地理解椭圆的知识点。
假设有一个椭圆，其长轴长度为10，短轴长度为6。
求其标准方程和焦点坐标。
我们可以求出椭圆的中心坐标。
由于长轴长度为10，短轴长度为6，因此有a=5，b=3。
同时，根据椭圆的定义，中心点到两个焦点的距离之和等于2a，因此c²=a²-b²=16，c=4。
由于这个椭圆的中心点是原点，因此我们可以将标准方程表示为(x/5)²+(y/3)²=1，焦点在长轴上，即x=2和x=-2。
数学：2.1.1《椭圆及其标准方程》(二)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
x2 y2 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
课堂练习:
x2 y2 1.如图，F1，F2 分别为椭圆 2 2 1 a b 的左、 右焦点， P 在椭圆上， 点 △POF2 是面积为 3 的正三角形， 则 b 2 的值是____________.
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 + = 1，则这个椭圆的焦距为（ ） 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点，且 F1 F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3，则P到另一焦点的距离为（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
例 4:如图,设点 A、 的坐标分别为 ( 5, 0), (5, 0) , B 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 9 分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y 2 16 及点 A(1,0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 2 2 点 P 的轨迹方程. x y
2答案
例 1⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 4 y 2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
椭圆及其标准方程(第2课时)教案
2.1.1椭圆及其标准方程(2) 教案一、教学目标： 知识与技能：①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程;②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。
过程与方法：①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。
②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观：①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点与难点重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。
难点：掌握求椭圆方程的基本方法。
三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境：如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.（复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案）回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。
由椭圆的定义得：点Ｍ的轨迹是以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点，2a 为10的椭圆。
其标准方程是1162522=+x y 回顾旧知：1．椭圆的定义：我们把叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的,两个焦点之间的距离叫做椭圆的，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为。
2．椭圆的标准方程焦点在X 轴的椭圆的标准方程为:焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为:. 提问：方程有什么特点？ 学生回答，教师适当补充：（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义，a —椭圆上任意一点P 到F1、F2距离和的一半；c —半焦距.有关系式 222c b a += 成立。
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2.1.1椭圆及其标准方程(2) 教案
一、教学目标： 知识与技能：
①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程;
②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。
过程与方法：
①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。
②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观：
①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.
②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，
③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点与难点
重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。
难点：掌握求椭圆方程的基本方法。
三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境：
如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式:10)3()3(222
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=-++
++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.
（复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案）
回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。
由椭圆的定义得：点Ｍ的轨迹是以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点，2a 为10
的椭圆。
其标准方程是
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2=+x y 回顾旧知：
1．椭圆的定义：
我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、
F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0）
表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。
2．椭圆的标准方程
焦点在X 轴的椭圆的标准方程为:
焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为: . 提问：方程有什么特点？ 学生回答，教师适当补充：
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义，
a —椭圆上任意一点P 到F1、F2距离和的一半；c —半焦距.
有关系式 2
2
2
c b a += 成立。
（二）新知探究:
1.口答练习：（提问学生完成以下问题）
①方程
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2=+y x 表示到焦点F1 和F2 ________的距离和为常数_____的椭圆;
②求满足下列条件的椭圆的标准方程
③如果方程1m
y 4x 2
2=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ．
④ 已知∆ABC 中，B （-3，0），C （3，0），且AB ，BC ，AC 成等差数列。
（1）求证：点A 在一个椭圆上运动； （2）写出这个椭圆的焦点坐标。
证:(1)根据条件有AB+AC=2BC , 即AB+AC =12，
即动点A 到定点B,C 的距离之和为定值12， 且12>6＝BC ，
所以点A 在以B,C 为焦点的一个椭圆上运动.
（2）这个椭圆的焦点坐标分别为（-3,0）,（3,0） 2.探究1：
12(1)5,(3,0),(3,0)=-a F F (2)5,3
==a c
已知椭圆两个焦点的坐标分别是1F （-2，0），F 2（2，0），并且经过点P )2
3,25(-，求它的标准方程.
先让学生自己思考，然后引导学生得出：可类比圆的标准方程，先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解。
教师指出：注意椭圆有两种标准方程，要正确选择。
法1.定义法：
因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(122
22>>=+b a b
y a x
由椭圆的定义知，,102232252322522
222=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a
所以10=a .
又因为c=2，所以.64102
2
2
=-=-=c a b
因此，所求椭圆的标准方程为.16
102
2=+y x 法2.待定系数法：
由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(122
22>>=+b a b
y a x
由已知，c=2，所以.42
2
=-b a ①
又由已知，得
123252
2
22=⎪
⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ②
联立①②解方程组，得6,102
2
==b a .
因此，所求椭圆的标准方程为.16
102
2=+y x 本题小结：求椭圆标准方程的解题步骤是什么？
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；
（3）用椭圆的定义或待定系数法确定a 、b 的值，写出椭圆的标准方程.
注：椭圆定义的应用可使运算更简捷。
探究二：
等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为 ，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点A ，B 。
求：该椭圆方程。
（学生自己画图探究，教师适时引导建立合适的直角坐标系，认真分析等腰三角形特征，结合椭圆的定义及椭圆方程中的a,b,c 的关系最终确定椭圆的方程） 解：24=
BC .如图设椭圆的另一个焦点为以直线DC 为x 轴，线段DC 设椭圆方程为
)0(12
2>>=+b a b
y a x 则|AD| + |AC| = 2a ，|BD| + |BC| = 2a
所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a. 即 得 2242422
22
2=⇒⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫=⨯==++=AD AC a AC AD a
在∆ADC 中， ()
2416222
2
2
2
=+=+=AC AD DC
()
246222,62
2222=-+=-==∴c a b c
故所求椭圆方程为
12
42
4622=+
+y x
本题小结：这道题的收获是什么？
1.合理建立直角坐标系，待定系数法求解椭圆方程
2.重视椭圆定义的应用
3.等腰直角三角形的特殊性，勾股定理的应用
4.数形结合思想
（三）反思总结：
1.本节课你的收获有哪些？
2.本节课你的困惑有哪些？ （四）课后作业：
课本36页练习3； 42页习题2.1A 组第7题
24a
4248=+。