3.2.4二面角及其度量_李本习
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2 2 2 2
解得 cosx=
1 ，得 x=60° .因此所求的二面角的度数是 60° . 2
[归纳] 1.理解题意，几何问题向量化； 2.构造向量关系； 3.运算。
例 2． 已知： 二面角 α－l－β 的度数为 θ (0≤θ≤
)， 在 α 面内有△ABC， 2
A
它在 β 内的射影为△A’BC，它们的面积分别为 S，S’，求证：S’=Scosθ.
利用两个半平面内分别垂直于棱的向量的夹角：
[结论]：分别在二面角的两个半平面内沿两个半平面的方向作两个向量 n1 l , n2 l , 则可用 n1, n2 作为 二面角的大小。 问题 2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个 半平面的法向量有没有关系？
1 ( x, y, z ) ( , 0, 1) 0 ， 2
( x, y, z) (1,1, 1) 0 ，
1 xz 0 即 2 ，把 z 作为未知数， x y z 0
解得 x=2z，y=－z， 令 z=1，得 x=2，y=－1，得 n =(2，－1，1)，
在这两个图中，可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的关 系：
在这两个图中， 可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的 关系：
[结论]：两个半平面的法向量的夹角与该二面角大小相等或互补。 当法向量 ， 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小 ；
当法向量
，
同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小
构成
表示法
提出问题：如何度量二面角的大小？tml （二）二面角的平面角 在二面角 l 的棱上任取一点 O ，在两半平面内分别作射线 OA l , OB l , 则AOB 叫做二面角
识这种现象？
(2)翻开的书本（上图） ； (3)搜索：赤道面与人造卫星轨道平面； /i?ct=201326592&cl=2&lmp;pv=&word=%B3%E0%B 5%C0%20%C8%CB%D4%EC%CE%C0%D0%C7%20%C6%BD%C3%E6%CD%BC&istype=2&z=0&fm=rs10 教师提出问题由学生动脑，并回答观察到的问题 二、自主学习合作探究 （一）二面角的概念及记法 概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 记法：二面角 l 或A l B 画法：
l 的平面角。
提问：O 点既然是 l 上的任意点，由线线所成角定义及等角定理，OA,OB 是不是一定相交于 l 上一点？ [线线角定义] /view/5e83254669eae009581bec94.html l [等角定理] /view/754827.htm A [结论]：二面角的大小与点 O 在 l 上的位置无关。 O 请同学们看下图．如图 1：α ，β 是由 l 出发的两个半平面，O 是 l 上任意一点， B A' OC α ，且 OC⊥l；OD β ，且 OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景， O' B' 即∠COD 是二面角α -l-β 的平面角．从中我们可以得到下列特征： （1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的； （2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直； （3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影． （三）二面角的范围
S
6 2 ，tanθ= . 3 2
=
������������ ������������
;
H A D
B
C
4.通过二面角的图形特征或已知要求，确定二面角的大小为 ������或������ − ������。 解法二定义法求二面角的大小（右图） 让学生自己完成 四．课堂练习 教材练习 A，1，2，3，4 五．归纳小结 1.学会求作二面角的平面角； 2.利用投影面积公式 cos������
B D C A'
;
1 ，求平面 2
z S y B
n
C x
NhomakorabeaA
D
1 SD ( , 0, 1), SC (1,1, 1) ， 2
设平面 SCD 的法向量为 n ( x, y, z) ， 则 n SD 0, n SC 0 ，用坐标表示得
解：设 AC, BD =x，由已知 CA⊥AB，AB⊥BD 得 AC AB BD AB 0, CA, BD 180 x ， 因此 | CD | (CA AB BD) =
2 2
[00 ,1800 ]
可以用展开的书本演示 0 度，锐角，直角，钝角，180 度时 的二面角的图形。当二面角的平面角为 90 度时，称为直二面角 （四）二面角的求法 问题 1、二面角 的平面角 能否转化成向量的夹角？
[设计意图] 目的是引导学生从平面角出发，找到二面角的平面角与向 量的关系 ，得到用向量求二面角的第一种方法——
类比平面几何中角的定义：
对比平面角与二面角
角 A 边 图形 顶点 O 边 B A 二面角 面 面
棱 a
B
定义
从一条直线出发的两个 从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。 半平面所组成的图形叫 做二面角。 边 —点 —边 （顶点） ∠AOB 面 —直线—面 （棱） 二面角—l— 或二面角—AB—
证明：不妨假定△ABC 的边 BC 在 l 上， 作 BC 边的高 AD，AD 在 β 内的射影为 A’D， 根据正射影的性质，知 A’D=ADcosθ， S’=BC×A’D =BC×ADcosθ =Scosθ. [归纳] ������ 2.利用三垂线定理做二面角的平面角。 例 3．已知 ABCD 是直角梯形，∠DAB= ∠ABC=90° ，SA⊥平面 ABCD，SA=AB= BC=1，AD= SAB 与 SCD 的夹角的正切。 [教师互动] 在图示中，引导学生体会产生二面角的平面角的过程。 引导学生回答下列问题： （1） 平面 SAB 与平面 SCD 所成二面角的特点； （2） 图中 SA，AB，AD 两两垂直，且有已知的长度关系； （3） 若恰当建立空间坐标系，点的坐标能不能表示出来？ 解法一坐标法 解：令 BC i, AB j, AS k ，以 A 为坐标原点建立空间直角 坐标系[O： i, j, k ]， 则 i, j, k 为单位正交基底，于是可得 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) ， 1. S’=Scosθ cosθ= ������,
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2 | CA | | BD | cos(180 x) 代入已知线段的长度，
得 (2 17) 6 4 8 2 6 8 ( cos x) ，
第四届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 《二面角及其度量》教案设计
一、 教案背景 1．面向学生：高中 2.学科：数学 3.课时：1 4.学生课前准备： 一、复习回顾.（1）直线与直线所成的角；/view/a41194f80242a8956bece43b.html （2）直线与平面所成的角的定义。/view/052e4945b307e87101f69615.html 二、预习本节课内容，了解二面角的图形特点、二面角的平面角的定义 92&lm=-1&cl=2&fr=ala1&word=%B6%FE%C3%E6%BD%C7%CD%BC%D0%CE 二、 教学课题 知识与技能 理解二面角及其平面角的定义,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角, 会求简单二面角的大小。 过程与方法 在教学过程中主要体现的主要数学能力及数学思想方法有： 空间想象能力：认识空间平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体着手，从平面几何的角过渡到二 面角，逐步培养和发展学生的几何直观和空间想象能力； 转化的思想方法： 在三维与二维空间的转化以及面面角与线线角的转化过程中， 体现出转化的思想方法； 逻辑思维与运算能力：通过对二面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能 力及运算能力。 情感态度与价值观 1. 体验概念的形成过程，及概念的合理性培养创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣； 2.培养学生的观察、分析和动手的能力。 3.培养学生的空间想象能力。 4．使学生充分认识到计算机在现代社会中的重要作用，激发学生学习计算机的浓厚兴趣。 三、 教材分析 本节教材内容是在学生学习了用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角之后，又一个要学习的 空间角，而二面角的本质特征是从度量的角度，通过二面角的平面角揭示了平面与平面的位置关系（垂直关 系是其中的一种特殊关系） ；在本节课中，主要学习的是用空间向量来研究二面角，进一步体会空间向量在 立体几何中的应用；同时，通过本节课的学习，可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。 四、教学方法 数学是一门培养人思维，发展人思维的重要学科。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭 示获取知识和方法的思维过程。因此本节课采用自主学习、合作探究的教学方法，提出问题，让学生自己通 过互联网搜索合作探究，完成问题解答，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教 学手段上，则采用多媒体与模型相结合，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。 五、 教学过程 一、创设情境，引入新课 （1）修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认
in 因此 cos i, n | i || n|
=
(2, 1,1) (1, 0, 0) 2 (1) 1 1 0 0
2 2 2 2 2 2
6 ， 3
设平面 SAB 与 SCD 的夹角为 θ，由图形知，θ= i, n 为锐角，所以 cosθ= [归纳] 1.建立坐标系，表示点的坐标； 2.给定平面的法向量； 3.求出两法向量所成锐角，cos������
．
三．应用举例
例 1．如图，在一个二面角的棱上有两个点 A，B，线段 AC，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂 直于棱 AB，AB=4cm, AC=6cm，BD=8cm，CD= 2 17 cm，求这 个二面角的度数。
C
B A [师生互动] 引导学生回答下列问题： D （1） 二面角的大小与哪两个向量所成的角有关？ （2） 如何将几何信息向量化？ （3） 运算：������������ = ������������+������������ + ������������,点出，〈������������，������������〉,〈������������ , ������������〉,〈������������ ，������������〉，〈������������, ������������ 〉它们之间的相 互关系。 [设计意图]通过设问，使学生基本形成解决此类问题的思维程序，了解应注意的问题。
解得 cosx=
1 ，得 x=60° .因此所求的二面角的度数是 60° . 2
[归纳] 1.理解题意，几何问题向量化； 2.构造向量关系； 3.运算。
例 2． 已知： 二面角 α－l－β 的度数为 θ (0≤θ≤
)， 在 α 面内有△ABC， 2
A
它在 β 内的射影为△A’BC，它们的面积分别为 S，S’，求证：S’=Scosθ.
利用两个半平面内分别垂直于棱的向量的夹角：
[结论]：分别在二面角的两个半平面内沿两个半平面的方向作两个向量 n1 l , n2 l , 则可用 n1, n2 作为 二面角的大小。 问题 2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个 半平面的法向量有没有关系？
1 ( x, y, z ) ( , 0, 1) 0 ， 2
( x, y, z) (1,1, 1) 0 ，
1 xz 0 即 2 ，把 z 作为未知数， x y z 0
解得 x=2z，y=－z， 令 z=1，得 x=2，y=－1，得 n =(2，－1，1)，
在这两个图中，可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的关 系：
在这两个图中， 可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的 关系：
[结论]：两个半平面的法向量的夹角与该二面角大小相等或互补。 当法向量 ， 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小 ；
当法向量
，
同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小
构成
表示法
提出问题：如何度量二面角的大小？tml （二）二面角的平面角 在二面角 l 的棱上任取一点 O ，在两半平面内分别作射线 OA l , OB l , 则AOB 叫做二面角
识这种现象？
(2)翻开的书本（上图） ； (3)搜索：赤道面与人造卫星轨道平面； /i?ct=201326592&cl=2&lmp;pv=&word=%B3%E0%B 5%C0%20%C8%CB%D4%EC%CE%C0%D0%C7%20%C6%BD%C3%E6%CD%BC&istype=2&z=0&fm=rs10 教师提出问题由学生动脑，并回答观察到的问题 二、自主学习合作探究 （一）二面角的概念及记法 概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 记法：二面角 l 或A l B 画法：
l 的平面角。
提问：O 点既然是 l 上的任意点，由线线所成角定义及等角定理，OA,OB 是不是一定相交于 l 上一点？ [线线角定义] /view/5e83254669eae009581bec94.html l [等角定理] /view/754827.htm A [结论]：二面角的大小与点 O 在 l 上的位置无关。 O 请同学们看下图．如图 1：α ，β 是由 l 出发的两个半平面，O 是 l 上任意一点， B A' OC α ，且 OC⊥l；OD β ，且 OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景， O' B' 即∠COD 是二面角α -l-β 的平面角．从中我们可以得到下列特征： （1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的； （2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直； （3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影． （三）二面角的范围
S
6 2 ，tanθ= . 3 2
=
������������ ������������
;
H A D
B
C
4.通过二面角的图形特征或已知要求，确定二面角的大小为 ������或������ − ������。 解法二定义法求二面角的大小（右图） 让学生自己完成 四．课堂练习 教材练习 A，1，2，3，4 五．归纳小结 1.学会求作二面角的平面角； 2.利用投影面积公式 cos������
B D C A'
;
1 ，求平面 2
z S y B
n
C x
NhomakorabeaA
D
1 SD ( , 0, 1), SC (1,1, 1) ， 2
设平面 SCD 的法向量为 n ( x, y, z) ， 则 n SD 0, n SC 0 ，用坐标表示得
解：设 AC, BD =x，由已知 CA⊥AB，AB⊥BD 得 AC AB BD AB 0, CA, BD 180 x ， 因此 | CD | (CA AB BD) =
2 2
[00 ,1800 ]
可以用展开的书本演示 0 度，锐角，直角，钝角，180 度时 的二面角的图形。当二面角的平面角为 90 度时，称为直二面角 （四）二面角的求法 问题 1、二面角 的平面角 能否转化成向量的夹角？
[设计意图] 目的是引导学生从平面角出发，找到二面角的平面角与向 量的关系 ，得到用向量求二面角的第一种方法——
类比平面几何中角的定义：
对比平面角与二面角
角 A 边 图形 顶点 O 边 B A 二面角 面 面
棱 a
B
定义
从一条直线出发的两个 从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。 半平面所组成的图形叫 做二面角。 边 —点 —边 （顶点） ∠AOB 面 —直线—面 （棱） 二面角—l— 或二面角—AB—
证明：不妨假定△ABC 的边 BC 在 l 上， 作 BC 边的高 AD，AD 在 β 内的射影为 A’D， 根据正射影的性质，知 A’D=ADcosθ， S’=BC×A’D =BC×ADcosθ =Scosθ. [归纳] ������ 2.利用三垂线定理做二面角的平面角。 例 3．已知 ABCD 是直角梯形，∠DAB= ∠ABC=90° ，SA⊥平面 ABCD，SA=AB= BC=1，AD= SAB 与 SCD 的夹角的正切。 [教师互动] 在图示中，引导学生体会产生二面角的平面角的过程。 引导学生回答下列问题： （1） 平面 SAB 与平面 SCD 所成二面角的特点； （2） 图中 SA，AB，AD 两两垂直，且有已知的长度关系； （3） 若恰当建立空间坐标系，点的坐标能不能表示出来？ 解法一坐标法 解：令 BC i, AB j, AS k ，以 A 为坐标原点建立空间直角 坐标系[O： i, j, k ]， 则 i, j, k 为单位正交基底，于是可得 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) ， 1. S’=Scosθ cosθ= ������,
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2 | CA | | BD | cos(180 x) 代入已知线段的长度，
得 (2 17) 6 4 8 2 6 8 ( cos x) ，
第四届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 《二面角及其度量》教案设计
一、 教案背景 1．面向学生：高中 2.学科：数学 3.课时：1 4.学生课前准备： 一、复习回顾.（1）直线与直线所成的角；/view/a41194f80242a8956bece43b.html （2）直线与平面所成的角的定义。/view/052e4945b307e87101f69615.html 二、预习本节课内容，了解二面角的图形特点、二面角的平面角的定义 92&lm=-1&cl=2&fr=ala1&word=%B6%FE%C3%E6%BD%C7%CD%BC%D0%CE 二、 教学课题 知识与技能 理解二面角及其平面角的定义,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角, 会求简单二面角的大小。 过程与方法 在教学过程中主要体现的主要数学能力及数学思想方法有： 空间想象能力：认识空间平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体着手，从平面几何的角过渡到二 面角，逐步培养和发展学生的几何直观和空间想象能力； 转化的思想方法： 在三维与二维空间的转化以及面面角与线线角的转化过程中， 体现出转化的思想方法； 逻辑思维与运算能力：通过对二面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能 力及运算能力。 情感态度与价值观 1. 体验概念的形成过程，及概念的合理性培养创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣； 2.培养学生的观察、分析和动手的能力。 3.培养学生的空间想象能力。 4．使学生充分认识到计算机在现代社会中的重要作用，激发学生学习计算机的浓厚兴趣。 三、 教材分析 本节教材内容是在学生学习了用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角之后，又一个要学习的 空间角，而二面角的本质特征是从度量的角度，通过二面角的平面角揭示了平面与平面的位置关系（垂直关 系是其中的一种特殊关系） ；在本节课中，主要学习的是用空间向量来研究二面角，进一步体会空间向量在 立体几何中的应用；同时，通过本节课的学习，可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。 四、教学方法 数学是一门培养人思维，发展人思维的重要学科。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭 示获取知识和方法的思维过程。因此本节课采用自主学习、合作探究的教学方法，提出问题，让学生自己通 过互联网搜索合作探究，完成问题解答，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教 学手段上，则采用多媒体与模型相结合，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。 五、 教学过程 一、创设情境，引入新课 （1）修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认
in 因此 cos i, n | i || n|
=
(2, 1,1) (1, 0, 0) 2 (1) 1 1 0 0
2 2 2 2 2 2
6 ， 3
设平面 SAB 与 SCD 的夹角为 θ，由图形知，θ= i, n 为锐角，所以 cosθ= [归纳] 1.建立坐标系，表示点的坐标； 2.给定平面的法向量； 3.求出两法向量所成锐角，cos������
．
三．应用举例
例 1．如图，在一个二面角的棱上有两个点 A，B，线段 AC，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂 直于棱 AB，AB=4cm, AC=6cm，BD=8cm，CD= 2 17 cm，求这 个二面角的度数。
C
B A [师生互动] 引导学生回答下列问题： D （1） 二面角的大小与哪两个向量所成的角有关？ （2） 如何将几何信息向量化？ （3） 运算：������������ = ������������+������������ + ������������,点出，〈������������，������������〉,〈������������ , ������������〉,〈������������ ，������������〉，〈������������, ������������ 〉它们之间的相 互关系。 [设计意图]通过设问，使学生基本形成解决此类问题的思维程序，了解应注意的问题。