椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
高二数学椭圆双曲线专项练习含答案
高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：1、双曲线 x2－ay2＝ 1 的焦点坐标是（）A ．( 1 a , 0) , ( －1 a , 0)B． ( 1 a , 0), (－1 a , 0)C．（－a1a1D． (－a1,0),(a 1a, 0）,（a, 0）a, 0)a2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y 1）x ,则该双曲线的离心率为（2A ．5B ．5/2C．5D．5/43．椭圆x2y21的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为P，则| PF2|= 4（）A． 3 /2B．3C． 4了D． 7/24．过椭圆左焦点 F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B 两点，若FA 2 FB ，则椭圆的离心率等于（）A 2B2C1D2 3223 x2y2x 2y 25．已知椭圆3m25n2 和双曲线2m23n2＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A ． x＝±15 y B． y＝±15 x C． x＝± 3 y D． y＝± 3 x22446．设 F1和 F2为双曲线x2y2＝ 1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且知足∠F1PF2＝90°，则△ F1PF2的面积4是（） A．1 B ．5C． 2D．5 27．已知 F1、 F2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，而且PF1⊥PF2，e1和e 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（）2A ．e1e22B ．e12e224C．e1e2 2 2D．112 e12e228．已知方程x 2+y 2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）| m | 2 m1A ． m<2B ．1<m<2C． m< － 1 或 1<m<2 D ． m< － 1 或 1<m<32x 2y 2 x 2 y 29．已知双曲线 a 2－b 2=1和椭圆m 2 + b 2 =1( a>0,m> b>0) 的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形x 2 y 2 1 上有 n 个不一样的点 :P 1 2 n n1 的10．椭圆3 , P , , P , 椭圆的右焦点为 F. 数列｛ |P F|｝是公差大于1004等差数列 , 则 n 的最大值是（） A ． 198 B ．199C ． 200D ．201一、填空题：11．对于曲线 C ∶x 2 y 2 C 不行能表示椭圆；②4 k=1 ，给出下边四个命题：①由线k 1当 1＜k ＜ 4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则 k ＜ 1 或 k ＞ 4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜ k ＜5此中全部正确命题的序号为_______ ______212．设圆过双曲线x 2 y 2 =1 的一个极点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__916x 2 y 2 1 21 213．双曲线＝ 1 的两焦点为、，点 P 在双曲线上，若 PF ⊥ PF，则点 P 到 x 轴的距离 ____9 1614．若 A （ 1， 1），又 F 1 是 5x 2＋ 9y 2=45 椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则 |PA|＋|P F 1|的最小值 _______15、已知 B(-5 ， 0) ， C(5 ， 0) 是△ ABC 的两个极点，且 sinB-sinC= 3sinA, 则极点 A 的轨迹方程是5二、解答题：16、设椭圆方程为x 2 y 2 =1，求点 M （0，1）的直线l 交椭圆于点 A 、 B ， O 为坐标原点，点P 知足41 OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 .OP(OA217、已知 F1、 F2为双曲线x 2y21（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直a 2b2于 x 轴的直线交双曲线于点P，且∠ PF1F2＝ 30°．求双曲线的渐近线方程．图18、已知椭圆x2y21( a b 0) 的长、短轴端点分别为A、B，此后椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰巧a2b2经过椭圆的左焦点F1，向量 AB 与 OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q 是椭圆上随意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右极点为( 3,0)。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
又椭圆过点 ，则 ，（1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。
（Ⅱ）设 ，弦MN的中点A
由 得： ， 直线 与椭圆交于不同的两点， ，即 ………………（1）
由韦达定理得： ，则 ，
直线AG的斜率为： ，
由直线AG和直线MN垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得 ，即 ，则 。
由 消y整理，得
由直线和抛物线交于两点，得 即
由韦达定理，得： 。则线段AB的中点为 。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为 。
解得 满足 式此时 。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将k确定，进而求出 的坐标。
解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=
由|OM|=r，得 ，解得t=± ，∴所求圆的方程为(x+ )2+(y± )2= .
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。
椭圆与双曲线常见题型归纳
椭圆与双曲线常见题型归纳一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy 中，点P到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点。
（Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥，求k 的值。
例1. 解:（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足 22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 若OA OB ⊥，即12120x x y y +=． 而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以12k =±．例2．设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围 例2．解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<< 故由①、②得2k -<<2k <<例3． 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ． （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.例3．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ==，所以())12,F F ,设(),P x y ,则())2212,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值 1（Ⅱ）设C （0x 0，y），)1,0(-B ()10F由11CF BF λ=得λλλ1,)1(300-=-=y x ，又142020=+y x 所以有0762=++λλ解得 )01(7舍去>=-=λλ（Ⅲ）因为|P 1F |＋|PB|＝4－|PF 2|＋|PB|≤4＋|BF 2|∴1PBF ∆周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．例4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3( (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。
椭圆、双曲线(含答案)
2017-11-11【双曲线】1.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （ ）CA 、B 、C 、D 、【解析】双曲线的，，，所以右焦点为. 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.2.已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 (B ) （A（B（C ） 2 （D ） 33.若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于 。
【答案】1 【解析】由题意知，解得b=1。
【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。
4.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
答案：（，0）【提高】5.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠=，则（ ） (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠P =4【解析2】由焦点三角形面积公式得：46.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（C ）A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b =7.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ） （B ） （C ） （D ）解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主2221x y -=2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭)2211,2a b ==232c =2c =⎫⎪⎪⎝⎭222c a b =+21b =22b =22y b 2x 41x 2±122b =22221x y a b-=4±0y =1F 2F 221x y -=1F P 2F 06012||||PF PF =1F 2F 222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF = 1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆====12||||PF PF = 1F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=＞＞P 212PF FF =2F 1PF 340x y ±=350x y ±=430x y ±=540x y ±=要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 8.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）（A（B（C（D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，， ，解得. 9.设O 为坐标原点，,是双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠P =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（）（A ）（B y=0 （C ）=0 （D ±y=0解析：选D ，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 【椭圆】10.已知椭圆x y +=221169的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 9411．已知椭圆C 的方程x y +=22143，试确定m 的取值范围，使得对于直线yx m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称．分析：椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=又x x x +=122，y yy +=122，y y k x x -==--121214，代入得y x =3。
椭圆双曲线抛物线大题及答案
椭圆双曲线抛物线大题及答案近年来，越来越多的数学考试和竞赛中出现了椭圆、双曲线和抛物线的大题。
这些大题考查的是对于这些曲线的了解和掌握，以及运用其性质解决数学问题的能力。
下面，我们来一起探讨一下椭圆、双曲线和抛物线的大题及其答案。
一、椭圆的大题及答案椭圆的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。
1.已知椭圆的焦点为$(\pm c,0)$，准线为$x=\pm a$，则椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。
证明：由于椭圆的准线为$x=\pm a$，则$a$为椭圆的半长轴，$b=\sqrt{a^2-c^2}$为椭圆的半短轴。
又由于椭圆的焦点为$(\pmc,0)$，则$c=\sqrt{a^2-b^2}$为椭圆的焦距。
代入椭圆的一般方程，得到$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。
2.已知椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，其中一个焦点为$(4,0)$，则椭圆的方程为$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。
证明：由于椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，则椭圆的半长轴为$a=9$，焦距为$c=\frac{a}{3}=3$，半短轴为$b=\sqrt{a^2-c^2}=6$。
又由于一个焦点为$(4,0)$，则另一个焦点为$(-4,0)$。
代入椭圆的一般方程，得到$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。
二、双曲线的大题及答案双曲线的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>0$，$b>0$。
1.已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点为$(5,0)$，则双曲线的方程为$\frac{(x-5)^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1$。
双曲线、椭圆、圆专题训练与答案
圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 （A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 35108. 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（ ）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题9. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。
2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。
3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。
4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。
5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。
6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。
椭圆、双曲线测试含答案
椭圆、双曲线测试（含答案）一、单选题1．已知双曲线C 与椭圆E ：221925x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线 C 的标准方程为 A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案． 【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =， 则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=． 设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =， 则虚半轴长224223n -= ∴双曲线的方程是221412y x -=． 故选C ． 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题． 2．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（ ） A ．3B 10C 152D 51【答案】A 【解析】【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得. 【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-， 又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点）， 故选：A.3．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为曲线2211x y t t+=-为椭圆， 所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件. 故选：B4．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x ya b+=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据12PF F △的面积以及该三角形为直角三角形可得1218PF PF ⋅=，22212||||4PF PF c +=，然后结合12||||2PF PF a +=，简单计算即可.【详解】依题意有12||||2PF PF a +=，所以2121222|||||2||4|PF PF PF PF a +⋅+=又12PF PF ⊥，1212192PF F S PF PF =⋅=△，所以1218PF PF ⋅=， 又22212||||4PF PF c +=，可得224364c a +=，即229a c -=，则3b =， 故选：B.5．如图，椭圆的中心在坐标原点,O 顶点分别是1212,,,A A B B ，焦点分别为12,F F ，延长12B F 与22A B 交于Р点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意，12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，从而有22210B A F B ⋅<，结合222b a c =-即可求椭圆离心率的取值范围．【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，则22(,)B A a b =-，21(,)F B c b =--，因为12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角， 所以22210B A F B ⋅<，即20ac b -+<，又222b a c =-，所以220a ac c --<，两边同时除以2a ，得210e e --<，即210e e +->，解得e e >，又01e <<，1e <<，所以椭圆离心率的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭，故选：D ． 二、填空题6．与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为_________.【答案】22133y x -=【解析】 【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】依题意，设双曲线方程为：22(0)x y λλ-=≠，于是得22123λ=-=-，则有223x y -=-，所以双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：22133y x -=7．椭圆22110036x y +=上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则12F PF ∆的面积是________.【答案】【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出12cos F PF ∠，最后由面积公式计算可得； 【详解】解：由椭圆的定义得12||||220PF PF a +==，18PF =，∴212PF =，22222212121212||||812161cos 281242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⨯⨯⋅，∴21n si F PF ∠==1218122PF F S =⨯⨯=△.故答案为：8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF +=，结合基本不等式即可求得12MF MF ⋅的最大值. 【详解】 ∴M 在椭圆C 上 ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤，当且仅当123MF MF ==时取等号.故答案为：9.9．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB的中点，则直线l 的方程是__________. 【答案】220x y +-= 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--， 即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立． 故答案为：220x y +-=． 三、解答题10．已知定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过(1,2)Q 的直线1l ，2l 分别与点P 的轨迹相交于点M ，N （均异于点Q ），记直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，若120k k +=，求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1||1x =+，整理即可得轨迹方程.（2）根据题设令11(,)M x y 、22(,)N x y ，1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，联立抛物线方程求,M N 的坐标，再应用两点式求MN k 即可证结论. (1)||1x =+，则22(||)y x x =+，又0x ≥， ∴24y x =，故动点P 的轨迹方程为24y x =. (2)由题设，令1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，1l 联立抛物线，可得：22222(22)(2)0k x k k x k --++-=，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，∴212()k x k -=，则142y k =-，同理可得222()k x k +=，则242y k=--，∴2121818MNy yk k x x k--===--，为定值.11．已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F且离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=，1234x x ⋅=，∴||MN ==12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆.(1)求C 的轨迹方程；(2)动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程. 【答案】(1)22(4)16x y -+= (2)22464()39x y -+=【解析】 【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.（2）求解轨迹方程求谁设谁，设(,)M x y ，00)(P x y ，用点M 的坐标表示点P 的坐标，带入方程即可得到答案. (1)由已知得212a =，24b=，故4c =，所以1(4,0)F -､2(4,0)F ， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4， 所以C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=； (2)设动点(,)M x y ，00)(P x y ，， 则1(4,)F M x y =+，00(,)MP x x y y =--，由12F M MP =，得(4x +，0)2(y x x =-，0)y y -， 即0042()2()x x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得0034232x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在C 上，所以2200(4)16x y -+=， 代入得22343(4)()1622x y+-+=， 化简得22464()39x y -+=.13．已知双曲线2214x y -=，P 是双曲线上一点.(1)求证：点P 到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.(2)已知点(3,0)A ，求PA 的最小值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意求得11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =2d =得到22112154d d x y -⋅=，结合双曲线的定义，即可求解.（2）设P 的坐标为(,)x y ，求得2225124(3)()455PA x y x =-+=-+，结合2x ≥，即可求解. (1)证明：设11(,)P x y 是双曲线2214x y -=上的任意一点，则221144x y -=， 该双曲线的两条渐近线方程分别为20x y -=和20x y +=，点11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =和2d =则2211124554y x d d -⋅===， 所以点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)解：设P 的坐标为(,)x y ，则()()22222251243314455x PA x y x x ⎛⎫=-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭，因为2x ≥，所以当125x =时，2PA 的最小值为45，即PA。
椭圆与双曲线的小结(焦点问题)复习
a , 0
x轴， 实轴长2a y轴， 虚轴长2b
c , 0 ,
c a 2 b2
c , 0 ,
e 1
yb x a
c a 2 b2
离心率
渐近线方程
0 e 1
焦点位置
材料一： 找出下列椭圆或双曲线的焦点坐标.
x2 y2 分析：将原方程变为标 准方程 1 25 9 a 2 25 , b 2 9 , 即c 2 a 2 b2 16
为此椭圆或双曲线的焦 点三角形 .
设F1 , F2为 椭 圆 或 双 曲 线 的 两 焦 个点， P是 椭 圆 或
2 y 已 知F1，F2是 椭 圆x 1的 两 个 焦 点 ， P在 材料二： 49 24 椭圆上且满足 PF1 PF2 48， 则F1 PF2 ____ . 90 2 2 y 类比： 已 知F1，F2是 双 曲 线x 1的 两 个 焦 点 ， P在 9 16 双曲线上且满足 F1 PF2 60， 则 PF1 PF2 ____ 64 . 2
y
y
. F
1
0
. F
2
x
. F
1
o
. F
2
x
椭圆、双曲线的方程(各取一种情况）、性质的对比. 椭圆
几何条件 标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 与两个定点的距离的和 等于常数.
双曲线
与两个定点的距离的差 的绝对值等于常数.
a , 0 , 0 , b
x轴， 长轴长2a y轴， 短轴长2b
y
.
P
.
2
P
y
. F
1
0
. F
x
F1
.
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案.
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。
（ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。
（ ）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。
双曲线专题复习(附答案)
双曲线专题考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
2. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||题型2 求双曲线的标准方程3.已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.4.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 5.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x 6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．(方法2) ac aPF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ， 双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于35,421≤∴≥-+e a c a(方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF=，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53．8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）A ．215+B ．2C ．215+或2 D ．不存在[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题9.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.2[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==ab ac e ,所以5=e10.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x基础巩固训练1..已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F -、2(10,0)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -=[解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A2..已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）(A).),21(+∞+(B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c ca b ，选B3.曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A 综合提高训练4. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程[解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n-=，即x y 43±=，． （2）设渐近线x y 43±=与直线c x l =:交于A 、B ，则23||c AB =，=⋅=∆2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又43=a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为1319161922=-y x 5..已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为()3,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将2=+y kx 代入2213-=x y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得()22221306236(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则 22629,1313-+==--A B A Bx y x y k k ，由2∙>OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x2222296237(1)222131331-+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k 故的取值范围为33(1,),133⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭。
椭圆、双曲线解答题综合练习(含答案)
椭圆、双曲线解答题综合练习1.中心在坐标系原点O，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率e=√2的双曲线C过点P(4,−√10).（1）求C的方程；（2）若点M(3,m)在C上，求ΔMF1F2的面积.2.若椭圆C：x2a2+y2b2=1是以双曲线x23−y2=1的顶点为焦点，以其焦点为顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P是椭圆C上的一点，F1、F2是椭圆C的两焦点，且∠F1PF2＝90°，求△PF1F2的面积．3.分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)离心率为√74，且短轴长为6的椭圆C1；(2)过点(3,−√2)，且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线C2；4. 如图，点F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点．点A 是椭圆C 上一点，且满足AF 1⊥x 轴，∠AF 2F 1=30∘，直线AF 2与椭圆C 相交于另一点B ．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若ΔABF 1的周长为4√3，求椭圆C 的标准方程.5. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =√22，已知以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求直线l 的方程．6. 已知椭圆x2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且经过点M （2，1），直线y =12x -1与椭圆交于A ，B 两点．（1）求椭圆方程；（2）求线段AB 中点的横坐标．7. 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8离心率e =√32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 内一点M (2,1)引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2=1(a >b >0)上一点与两焦点构成的三角形的周长为4＋2√3,离心率为√32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为√7，求直线l 的方程.9. 若椭圆经过两点(−32,52)，(√3,√5)，求椭圆的标准方程．10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D 的渐近线方程为y =±√3x,且经过点(2,3),直线l:y =x −2交双曲线于A,B 两点，连结OA,OB ．（1）求双曲线方程； （2）求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.11.已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线C的标准方程．(1)渐近线方程为y=±53x，且过点(3，10)；(2)与双曲线x2−y2=1的离心率相同，与x25+y2=1共焦点．12.（1）求焦点在x轴，焦距为4，并且经过点(52,−32)的椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±12x，且与椭圆x210+y25=1有公共焦点，求此双曲线的方程．13.设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的长轴长为4√2，求△ABF1的面积．14.命题P：方程x2k−2+y2k−1=1表示双曲线，命题q：不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立．（1）求命题P中双曲线的焦点坐标；（2）若命题“p且q”为真命题，求实数k的取值范围．15. 已知椭圆C 的右焦点为F （1，0），且点P(1，32)在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知定点M （-4，0），直线y =kx +1与椭圆C 相交与A ，B 两点，若∠AMO =∠BMO （O 为坐标原点），求k 的值．16. 设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+yb22=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|（1）若|AB |=4,ΔABF 2的周长为16，求|AF 2|； （2）若cos∠AF 2B =35，求椭圆E 的离心率.17. 已知椭圆C 与双曲线y 24−x 23=1有共同的焦点，椭圆C 的离心率为√74，点P(2,−3)与椭圆C 上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)构成的三角形△PAB 的面积为10，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：直线AB 过椭圆的顶点.18. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点(−3,2√6)．(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线l:y =kx +2与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围．19.已知直线y=kx−1和双曲线C:x2−y2=1交于A,B两点.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若k=−√62,求ΔAOB的面积.20.已知直线l：y=kx+1与双曲线C：3x2-y2=1．（1）当k=√3时，直线l与双曲线C的一渐近线交于点P，求点P到另一渐近线的距离；（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|=4√3，求k的值．21.曲线C上的点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到直线x=12的距离的比是常数2.（Ⅰ）求曲线C的轨迹的方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A,B两点，且点P(1,3)为线段AB的中点，求直线l的方程.22.双曲线的方程是x24-y2=1．（1）直线l的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为83√11，求直线l的方程；（2）过点P（3，1）作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．答案和解析1.【答案】解：（1）由离心率e =ca =√2，解得a =b ，设方程为x 2-y 2=λ，又双曲线过点(4，−√10)， ∴16-10=λ， 解得λ=6， ∴双曲线方程为x 26−y 26=1，（2）由点（3，m ）在双曲线上，得96−m 26=1，解得m =±√3，又|F 1F 2|=2c =2√a 2+b 2=4√3，所以△MF 1F 2的面积为S =12×4√3×√3=6．【解析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用，难度适中.（1）由离心率e =ca =√2，解得a =b ，设双曲线方程为x 2-y 2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，（2）把点M （3，m ）代入双曲线，可解得m =±√3，即可得其面积．2.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，双曲线的方程为x 23−y 2=1，其顶点为（±√3，0），焦点为（±2，0）， 则椭圆Cx 2a 2+y 2b 2=1的焦点为（±√3，0），顶点为（±2，0）， 则a =2，c =√3，则b =√a 2−b 2=1， 故椭圆的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）根据题意，∠F 1PF 2=90°，即△F 1PF 2为直角三角形，则有{|PF 1|+|PF 2|=2a =4|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=12⇒|PF 1|⋅|PF 2|=2； 故△PF 1F 2的面积S =12|PF 1|⋅|PF 2|=1．【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆、双曲线的标准方程，属于中档题．（Ⅰ）根据题意，由双曲线的方程分析焦点、顶点坐标，即可得椭圆C 的焦点、顶点坐标，据此分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得{|PF 1|+|PF 2|=2a =4|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=12，变形可得|PF 1|•|PF 2|的值，由三角形面积公式计算可得答案．3.【答案】解：(1)∵短轴长为6，∴b=3，∵离心率为√74，∴ca =√74，又∵a2=b2+c2，∴a=4，∴椭圆C1的标准方程为x216+y29=1或y216+x29=1；(2)∵双曲线与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点，∴焦点坐标为（±2,0），又∵双曲线过点，∴2a=3√3−√3=2√3，即a=√3，∴b=1，∴双曲线C2的标准方程为x23−y2=1；【解析】本题考查圆锥曲线的标准方程，属于基础题.(1)由椭圆的性质得到b，由离心率得到a和c的关系，再由a2=b2+c2解得a，b，就求得椭圆方程；(2)求出椭圆的焦点得到c，再把点的坐标代入双曲线方程，结合a2+b2=c2，解得a和b，就求得双曲线方程;4.【答案】解：（1）设AF1=m，∵AF1⊥x轴，∠AF2F1=30°，∴AF2=2m，，由椭圆的定义及几何性质知2a=AF1+AF2=3m,2c=F1F2=√3m，e=2c2a =√3m3m=√33;（2）由△ABF1的周长为4√3得4a=4√3，∴a=√3，由（1）得c=1，b2=a2-c2=3-1=2，∴椭圆的标准方程为x23+y22=1.【解析】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的性质及三角形的周长，注意运用椭圆的定义，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．（1）由已知条件及2a=PF1+PF2，2c=F1F2，直接求解即可；（2）由椭圆的定义及性质知：ΔABF1的周长等于4a=4√3，算出a，再由（1）得到c、b，从而求出椭圆标准方程.5.【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=ca =√1−b2a2=√22，则a=√2b，由b=√12+12=√2，则a=2，∴椭圆的标准方程为：x24+y22=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：椭圆的焦点F1（-√2，0），F2（√2，0），当直线l 斜率不存在时，则x =-√2，则A （-√2，1），B （-√2，-1），则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2√2，-1）（-2√2，1）=7≠6，不符合题意，舍去，当直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为：y =k （x +√2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =k(x +√2)x 24+y 22=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2+4√2k 2x +4k 2-4=0， x 1+x 2=-4√2k22k 2+1，x 1x 2=4k 2−42k 2+1，y 1y 2=k 2（x 1+√2）（x 2+√2）=k 2（x 1x 2+√2（x 1+x 2）+2）=-2k 22k 2+1，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-√2，y 1）（x 2-√2，y 2）=x 1x 2-√2（x 1+x 2）+2+y 1y 2=4k2−4+8k 2−2k 22k 2+1+2=6，则k 2=4，解得：k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2（x +√2）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．6.【答案】解：（1）∵椭圆x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32， 且经过点M （2，1），∴{ a 2−b 2a 2=344a 2+1b 2=1，∴a 2=8，b 2=2， ∴椭圆方程方程为x 28+y 22=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标为（a ，b ），则x 12+4y 12=8，x 22+4y 22=8，两式相减得 (x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 结合直线y =12x -1可得{4×(−12)=ab b =a2−1∴a =1，即线段AB 中点的横坐标为1．【解析】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查点差法的运用，属于中档题． （1）由题意，椭圆经过点M （2，1），离心率为√32，建立方程组，求出a ，b ，由此可得椭圆的方程；（2）利用点差法，结合直线的斜率，即可求线段AB 中点的横坐标．7.【答案】解：（1）∵椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8，离心率e ＝√32， ∴{2a =8c a=√32，∴a =4,c =2√3,b =√16−12=2， ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1 ；（2）设所求直线方程为y -1=k （x -2），代入椭圆方程并整理得：（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x +4（2k -1）2-16=0， 又设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1，x 2是方程的两个根， ∴x 1+x 2=8(2k 2−k )4k 2+1，又M 为AB 的中点， ∴x 1+x 22=4(2k 2−k )4k 2+1=2，解得k =−12，故所求直线方程为x +2y -4=0.【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质. （1）由椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8，离心率e ＝√32，得出{2a =8ca=√32，由此能求出椭圆C 的标准方程；（2）设所求直线方程为y -1=k （x -2），代入椭圆方程并整理得：（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x +4（2k -1）2-16=0，设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=8(2k 2−k )4k 2+1，由M 为AB 的中点，知x 1+x 22=4(2k 2−k )4k 2+1=2，由此能求出直线方程.8.【答案】解：（1）由题设得2a +2c =4＋2√3，又e =√32=ca， 解得a =2,c =√3,∴b =1， 故椭圆ℎ(x)的方程为x 24+y 2=1.（2）设直线l 方程为：y =12x +m ， 代入椭圆C:x 24+y 2=1并整理得：x 2+2mx +2m 2−2=0，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−2mx 1x 2=2m 2−2.∵|PQ|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+14⋅√(x 2+x 1)2−4x 1x 2=√52⋅√8−4m 2，B 到直线PQ 的距离为d 1=√5，A 到直线PQ 的距离为d 2=√5，又因为P 在第一象限, 所以−1<m <1，所以d 1+d 2=√5√5=√5，所以S APBQ =12(d 1+d 2)⋅PQ =√8−4m 2=√7， 解得m =±12，所以直线方程为y =12x ±12．【解析】本题考查椭圆的标准方程，弦长问题，涉及离心率，点到直线的距离公式，属中档题（1）根据焦点三角形的周长，利用椭圆的定义得到a +c 的值，结合离心率，求出a ,c 的值，进而得b ; （2）设直线l 方程为：y =12x +m ，联立方程组消去y 并整理得：x 2+2mx +2m 2−2=0，借助于韦达定理，利用弦长公式得到|PQ |,利用点到直线的距离公式得到A ,B 到直线PQ 的距离，进一步根据P 在第一象限，得出m 的取值范围，从而得出四边形APBQ 面积关于m 的函数表达式，并根据已知面积求得m 的值，即得所求直线的方程,由于包含了弦长问题，对应方程的判别式自然大于0，可免除检验.9.【答案】解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m,n >0,m ≠n ），由{m(−32)2+n(52)2=13m +5n =1, 得m =16,n =110， 所以，椭圆的方程为y 210+x 26=1．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题.设椭圆的一般方程mx 2+ny 2=1（m,n >0,m ≠n ），把点代入解答即得.10.【答案】解： （1）设双曲线方程为mx 2−ny 2=1,由双曲线渐近线方程为y =±√3x,且经过点(2,3),可得{mn=34m −9n =1,解得m =1,n =13, 故双曲线方程为x 2−y 23=1（2）联立{y =x −2x 2−y 23=1得2x 2+4x −7=0 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2，x 1x 2=−72 y 1y 2=(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−72+4+4=92∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−72+92=1.【解析】本题考查了双曲线方程，直线与双曲线方程的位置关系.（1）设双曲线方程为mx 2−ny 2=1,由题意可得{mn =34m −9n =1，解得m ,n 即可得双曲线方程.(2)联立{y =x −2x 2−y 23=1得2x 2+4x −7=0,设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，结合韦达定理和数量积的运算可得答案.11.【答案】解：（1）设双曲线的方程为x 29−y 225=λ(λ≠0)，将点(3，10)代入可得99−10025=−3=λ，故双曲线的方程为x29−y225=−3，即双曲线C的标准方程为y275−x227=1．（2）由题意知双曲线C的离心率为√2，焦点坐标为(-2，0)，(2，0)，所以可设双曲线C的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则a2+b2=4，√a2+b2a=√2，解得a2=b2=2，所以双曲线C的标准方程为x22−y22=1．【解析】本题考查双曲线的标准方程.几何意义.12.【答案】解：（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，两焦点坐标分别为(2,0),(-2,0)，由椭圆定义知2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，得a=√10，又因为c=2，所以b2=a2−c2=10−4=6，故所求椭圆标准方程为x210+y26=1．（2）设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，因为椭圆的焦点为(√5,0),(−√5,0)，所以双曲线的半焦距c=√5，由题意知ba =12，所以a2=4b2，又c2=a2+b2，故5b2=5，所以b2=1,a2=4，所以双曲线的方程x24−y2=1．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、双曲线的性质及及几何意义的知识点，属于基础题.（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，两焦点坐标分别为(2,0),(-2,0)，由椭圆定义得到a的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，根据椭圆的焦点得到双曲线的半焦距，再根据已知条件得到答案.13.【答案】解：（1）∵椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b），|PF2|=|F1F2|，∴√(a−c)2+b2=2c，可得a2-2ac+c2+a2-c2=4c2，e=ca，∴2e2+e-1=0，又∵e∈(0，1)∴e=12．（2）∵2a=4√2∴a=2√2又∵e=12∴c=√2，∵b2=a2-c2=6∴椭圆的方程为x28+y26=1，∴AB方程为：y=√3x−√6设A（x1，y1），B（x2，y2），联立{y=√3x−√63x2+4y2=24得：5y2+2√6y+8=0，∴y1+y2=−2√65，y1y2=−185，∴S△ABF1=12F1F2⋅|y1−y2|=√2√(y1+y2)2−4y1y2=16√35．△ABF1的面积为：16√35．【解析】（1）利用已知条件，结合椭圆的性质，求解椭圆的离心率即可．（2）利用椭圆的长轴长求出a，得到c，然后求解b，求出椭圆方程，求出AB的方程，联立直线与椭圆的方程，通过韦达定理，转化求解三角形的面积．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.【答案】解：（1）因为k-1＞k-2，所以a2=k-1，b2=k-2…（2分）所以c2=1，且焦点在y轴上，…（4分）所以双曲线的焦点坐标为（0，±1）．…（6分）（2）命题p：（k-2）（k-1）＜0，1＜k＜2；…（8分）命题q：△=4-4（k2-1）＜0，k＜-√2或k＞√2．…（10分）因为命题“p且q”为真命题，所以{1＜k＜2k＜−√2或k＞√2即√2＜k＜2．…（14分）（注：若第（1）问分类讨论答案对也算对）【解析】（1）直接利用双曲线方程为x2k−2+y2k−1=1，可得a2=k-1，b2=k-2以及焦点在y轴上；再利用a，b，c之间的关系求出c即可求出结论．（2）命题p为真命题，得方程x2k−2+y2k−1=1表示双曲线，说明x2的分母与y2的分母的积为负数．联列不等式组，解之即得实数k的取值范围；再利用根的判别式找出命题q真时，实数k的取值范围，再由p∧q 为真命题，说明“p真q真”成立，可得实数k的取值范围．本题以命题真假的判断为载体，着重考查了双曲线的标准方程和一元二次不等式的解集等知识点，属于基础题．15.【答案】（1）由题意得椭圆两焦点分别为（-1，0），（1，0），又因为M(1，32)在椭圆上，所以2a=|MF1|+|MF2|=√(1+1)2+94+32=4，即a=2，又因为c=1，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程是x24+y23=1；（2）若∠AMO=∠BMO，则k MA+k MB=0．设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），∴kx1+1 x1+4+kx2+1x2+4=0即2kx1x2+（4k+1）（x1+x2）+8=0．联立{y=kx+1x24+y23=1，消去y得到（3+4k2）x2+8kx-8=0，∴x1+x2=−8k3+4k2，x1x2=−83+4k2，∴−16k 3+4k2+(4k+1)−8k3+4k2+8=0，即-16k-32k2-8k+24+32k2=0，∴k=1．【解析】（1）由题可知焦点坐标分别为（1，0），（-1，0），根据椭圆定义得MF1+MF2=2a，求出a，b；（2）∠AMO=∠BMO，得k MA+k MB=0．设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），则kx1+1x1+4+kx2+1x2+4=0，联立{y=kx+1x24+y23=1，消去y得到（3+4k2）x2+8kx-8=0，再利用韦达定理代入求出k即可．本题考查椭圆标准方程，涉及直线与椭圆的位置关系等知识点，属于中档题．16.【答案】解:(1)∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，∴|AF1|=3，|F1B|=1，∵△ABF2的周长为16，∴4a=16，∴|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=5；(2)设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k，∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a−3k）2+（2a−k）2−65（2a−3k）（2a−k），化简可得（a+k）（a−3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴e=ca =√22．【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、几何性质和余弦定理，考查计算能力，属中档题.(1)利用|AB|=4，△ABF 2的周长为16，|AF 1|=3|F 1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF 2|；(2)设|F 1B|=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB|=4k ，由cos∠AF 2B =35，利用余弦定理，可得a =3k ，从而△AF 1F 2是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率.17.【答案】解：（1）∵双曲线y 24−x23=1的焦点坐标为（0，±√7），∴c =√7， 设椭圆C 的方程为y 2a2+x 2b2=1，（a ＞b ＞0），由e =ca =√7a=√74，解得a =4，则b =3，∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 216=1．证明：（2）∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又k OP =-32，∴k AB =23， 设AB 的方程为y =23x +m ，由{y =23x +m x 29+y 216=1，得16x 2+9（23x +m ）2-144=0，即20x 2+12mx +9m 2-144=0， ∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−35m ，x 1x 2=9m 2−14420，|AB |=√(1+49)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√139×(925m 2−4×9m2−14420)=25√13(20−m 2)，点P 到AB 的距离d =√13=√13，∴△PAB 的面积S △PAB =12×√13×25√13(20−m 2)=10， ∴|13+3m |√20−m 2=50，解得m =4， ∴直线AB 的方程为y =23x +4， ∴直线AB 过椭圆的顶点（0，4）．【解析】（1）由椭圆C 与双曲线y 24−x 23=1有共同的焦点，椭圆C 的离心率为√74，列方程求出a =4，b =3，由此能求出椭圆C 的标准方程．（2）由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而k AB =23，设AB 的方程为y =23x +m ，由{y =23x +m x 29+y 216=1，得20x 2+12mx +9m 2-144=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式，推导出直线AB 的方程为y =23x +4，由此能证明直线AB 过椭圆的顶点（0，4）．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线过椭圆的顶点坐标的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：(1)由题意得{a 2+b 2=49a 2−24b 2=1 ,解得{a 2=1b 2=3， ∴双曲线方程为x 2−y 23=1，其渐近线方程为y =±√3x ；(2)由{y =kx +2x 2−y 23=1 ,得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0，由题意得{3−k 2≠0Δ=16k 2+28(3−k 2)=0， ∴k 2＝7，∴k ＝±√7 ，当3－k 2=0时，直线l 与双曲线C 的渐近线y =±√3x 平行， 即k =±√3时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点， 综上，k =±√7或k =±√3.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查计算能力．（1）由双曲线的焦距及双曲线一点，联立方程组，求出a 和b ，可得双曲线C 的方程与渐近线方程． （2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出k 的值即可． 19.【答案】解：（Ⅰ）因为双曲线C 与直线有两个不同的交点, 则方程组{x 2−y 2=1y =kx +1有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)x 2+2kx -2=0,∴ {1−k 2≠0Δ=4k 2+8(1−k 2)>0, 解得−√2<k <√2且k ≠±1，故双曲线C 与直线有两个不同的交点时, k 的取值范围是(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2)； （Ⅱ）当k =−√62,直线方程为y =−√62x −1，联立{x 2−y 2=1y =−√62x −1,消去y ，可得x²+2√6x +4=0，△>0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=−2√6,x 1x 2=4，所以|AB |=√1+k²×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√5,圆心O 到直线y =−√62x −1距离为d =√1+32=√25， 所以ΔAOB 的面积12×√25×2√5=√2.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查点到直线的距离，涉及弦长公式，属于中档题.（Ⅰ）直线方程和双曲线方程联立，消去y ，利用△>0求解即可；（Ⅱ）利用弦长公式求出|AB |,再利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，代入面积公式求解.20.【答案】（1）解：双曲线C ：3x 2-y 2=1渐近线方程为y =±√3x ．由{y =√3x +1y =−√3x得P （-√36，12）则P 到y =√3x 的距离为d =12−√3×(−√36)√1+3=12；（2）解：联立方程组{y =kx +13x 2−y 2=1，消去y 得（3-k 2）x 2-2kx -2=0， ∵直线与双曲线有两个交点，∴{3−k 2≠0△=4k 2+8(3−k 2)>0，解得k 2＜6且k 2≠3， ．x 1x 2=−23−k 2，x 1+x 2=2k3−k 2|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√−k 4+5k 2+6√(k 2−3)2=4√3 （k 2＜6且k 2≠3）．k 4-77k 2+102=0， 解得k 2=2，或k 2=5113，∴k =±√2，k =±√66313．【解析】（1）写出双曲线C ：3x 2-y 2=1渐近线方程，求得P （-√36，12），即可求P 到y =√3x 的距离．（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点A ，B 的横坐标的和与积，由弦长公式求得弦长；本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，√(x−2)2+(y−0)2|12−x|=2，将上式两边平方，并化简得，3x 2−y 2=3，即x 2−y 23=1，所以曲线C 的轨迹的方程为x 2−y 23=1;（Ⅱ）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 12−y 123=1, x 22−y 223=1，两式相减得x 12− x 22=y 12−y 223，即有(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 1−y 2)3,所以，k =y 1−y2x 1−x 2=3(x 1+x 2)y 1+y 2，又因为点P(1,3)为线段AB 的中点， 所以x 1+x 2=2,y 1+y 2=6故k =1，所以直线l 得方程为y −3=x −1，即x −y +2=0【解析】本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，正确求出双曲线的方程是关键,考查推理能力和计算能力，属于中档题.（Ⅰ）利用点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到直线x =12的距离的比是常数2，建立方程，化简可得结论； （Ⅱ）利用点差法即可求解.22.【答案】解 （1）设直线l 的方程为y =x +m ，代入双曲线方程，得3x 2+8mx +4（m 2+1）=0，△=（8m ）2-4×3×4（m 2+1）=16（m 2-3）＞0， ∴m 2＞3．设直线l 与双曲线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点， 则x 1+x 2=-83m ，x 1x 2=4(m 2+1)3．由弦长公式|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|，得√2⋅√(−83m)2−16(m2+1)3=83√11，∴4√2⋅√m2−33=83√11，即m =±5，满足m 2＞3，∴直线l 的方程为y =x ±5． （2）设直线l ′与双曲线交于A ′（x 3，y 3）、B ′（x 4，y 4）两点， 点P （3，1）为A ′B ′的中点，则x 3+x 4=6，y 3+y 4=2．由x 32−4y 32=4，x 42−4y 42=4， 两式相减得（x 3+x 4）（x 3-x 4）-4（y 3+y 4）（y 3-y 4）=0， ∴y 3−y 4x 3−x 4=34，∴l ′的方程为y -1=34（x -3），即3x -4y -5=0． 把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2-10y +114=0， 满足△＞0，即所求直线l ′的方程为3x -4y -5=0．【解析】（1）设直线l 的方程为y =x +m ，代入双曲线方程，得3x 2+8mx +4（m 2+1）=0，利用判别式的符号，设直线l 与双曲线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，利用韦达定理，弦长公式，转化求解即可． （2）设直线l ′与双曲线交于A ′（x 3，y 3）、B ′（x 4，y 4）两点，通过平方差法转化求解即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．。
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椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)椭圆与双曲线常见题型归纳题型一：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。
例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2yx=交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2yx=相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3倍。
运用弦长公式求弦长。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+>即2104k<<②由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122xk =-，则211(,0)22E k-ABE∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。
221212()()AB x x y y =-+-222141k k k -=+212k d k +=22223141122k k k k k-+∴+=解得3913k =±满足②式此时053x=。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的32倍，将k 确定，进而求出0x 的坐标。
例题2、已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦AB 的斜率，得到线段AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点G 的坐标。
解：(I) ∵a 2=2，b 2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O 、F,∴圆心M 在直线x=-上21 设M(-t ,21)，则圆半径：r =|(-21)-(-2)|=23由|OM|=r ，得23)21(22=+-t ，解得t=±2，∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=49. (II)由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不等于0,设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0)，代入22x +y 2=1，整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程一定有两个不等实根,设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB中点N(x 0，y 0)， 则x 1+x 1=-,12422+k k 2012212(),221k x x x k =+=-+002(1)21k y k x k =+=+∴AB 垂直平分线NG 的方程为)(100x x kyy --=-令y=0，得22002222121C k k x x ky k k =+=-+++2221121242k k k =-=-+++∵.021,0<<-∴≠cxk∴点G 横坐标的取值范围为（0,21-）。
技巧提示：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理，将弦的中点用k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。
再利用垂直关系将弦AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k 的函数）。
直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。
练习1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 过点)23,1(，且离心率21=e 。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,a b 的关系式，再根据“过点)23,1(”得到,a b 的第2个关系式，解方程组，就可以解出,a b 的值，确定椭圆方程。
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,k m 的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点)0,81(G ，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得,k m 的等式，用k 表示m 再代入不等式，就可以求出k 的取值范围。
解：（Ⅰ）离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243ba =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a=，23b=，椭圆方程为22143x y +=。
（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 0(,)x y 由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120kx mkx m +++-=，直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++，则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k Kmk mk k k +==-----+，由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234mk mk k =----，即2348k m k+=-，代入（1）式，可得22234()438k k k+<+，即2120k>，则551010k k ><-或。
老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：y kx m =+，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。
本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。
解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。
练习2、设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左右焦点．是否存在过点(5,0)A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得22F C F D =？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．分析：由22F C F D =得，点C 、D 关于过2F 的直线对称，由直线l 过的定点A(5,0)不在22154x y +=的内部，可以设直线l 的方程为：(5)y k x =-，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k 的取值范围，由韦达定理得弦CD 的中点M 的坐标，由点M 和点F 1的坐标，得斜率为1k -，解出k 值，看是否在判别式的取值范围内。
解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A 的直线的斜率存在，且不等于。
设直线l 的方程为：(5),(0)y k x k =-≠，C 11(,)x y 、D 22(,)x y ，CD 的中点M 0(,)x y 。
由22(5)4520y k x x y =-⎧⎨+=⎩得：2222(45)50125200kx k x k +-+-=，又直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，则2222=(50)4(45)(12520)0k k k ∆-+->，即2105k<<。
由韦达定理得：221212225012520,4545k k x x x x k k -+==++， 则2212000222252520,(5)(5)2454545x x k k kx y k x k k k k +-===-=-=+++，M(222545k k +，22045kk-+)。
又点2F (1,0)，则直线2MF 的斜率为22222205452515145MF kk k kk k k -+==--+，根据2CD MF ⊥得：21MF kk =-，即225115k k=--，此方程无解，即k 不存在，也就是不存在满足条件的直线。
老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。
需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。
题型二：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。
随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。
下面我们就通过几个考题领略一下其风采。
例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。