2020年福建宁德高三一模数学试卷(理科)

．
（2）
或
．
解析:
（ 1 ）方法一：
圆 的极坐标方程为
，
将
代入
得：
，
成立，
设点 ， ， 对应的极径分别为 ， ， ，
19
所以
，
所以
，
所以点 轨迹的极坐标方程为
．
方法二：
因为 为 中点，所以
于，
故 的轨迹是以 为直径的圆（在 的内部），
其所在圆方程为：
，
即
，
从而点 轨迹的极坐标方程为
（ 2 ）方法一：
，
即
．
故选 ．
10. A
解析:
圆
即
，圆心为
抛物线
的焦点
，
直线 过抛物线 的焦点 ，
故
，由
，得
，
设
，
，设直线 为
，
由
，得
，
，半径为 ，
，
，
故
，
故
，又
，
故
，
故选： ．
9
11. C
解析:
依题意，
，
，
，
，
∴
，
∴
，
又
，故
，
，
即
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
Biblioteka Baidu
又
，故
．
故选： ．
12. D
解析:
①令
，
．
时，
．
可得函数 在
上单调递增，
，求
的取值范围．
【答案】 1. B
解析: ，
选．
2. A 解析:
∴ 对于集合 是求 若 则有 即 ∴ ∴ 故选 ．
且
，解得：
，
的定义域，
有意义，
，
或
，
或
，
， ，
3. A 解析: 根据等比数列的性质， 由 又 故选 ．
， ， ．
4. B 解析:
6
，故
作出 ， 满足
对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由
2020年福建宁德高三一模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 若复数 A.
，其中 为虚数单位，则复数 的模为（ ）．
B.
C.
D.
2. 设集合 A. C.
，
，则
（ ）．
B. D.
3. 已知等比数列 满足
，
A.
B.
，则 （ ）．
C.
D.
4. 若 ， 满足
A. B. C. D.
（
）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 作直线
与椭圆 交于 ， 两点，
的周长为 ．
（ 1 ） 求椭圆 的标准方程．
（ 2 ） 问：
的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
21. 已知函数
．
（ 1 ） 若 ，曲线 在点 （ ） 处的切线与直线
平行，求 的值．
（ 2 ） 若 ，且函数 的值域为
6. D 解析: 第一轮：
第一轮：
，
．
．
，
．
．
当
时，又
，
即
，
解得：
．
则执行右图的程序，输出的
．
故答案选： ．
7. D
8. C
解析:
设
，
∴
，
设
，
，
，
作出 个函数的图象，如图所示：
8
由图可知：
．
故选 ．
9. B
解析:
设直线 为
，
点
到直线
的距离为
，
设 到直线 的距离为 ，
由
，故
，
所以
，
由
，
得
，
由
，
化简得
A. 或
B.
C.
D.
对称，斜率为 的直线 过点 交 于点 ，若
10. 已知斜率为 又直线 与圆 A. B. C. D.
的直线 过抛物线 交于 ， 两点．若
的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点， ，则 的值为（ ）．
11. 已知函数 图象与 轴相邻的两个交点，点 ，则 的值为（ ）． A.
的周期为 ，
，
得
平移直线
，
由图象可知当直线
此时 最大．
由
，解得
， 经过点 时，直线
，
代入目标函数 即目标函数 故选： ．
得
．
的最大值为 ．
5. C 解析: 如图，
的截距最大，
不妨设球的半径为 ，球心为 ，由几何关系可得：
，
解得
．
∴球的体积 球
，
7
挖去圆锥的底面半径为 ，高为 ，体积为 锥
，
则几何体的体积
球
锥
．
故选 ．
．
（ 1 ） 求数列 的通项公式．
（2）
4
设
，求数列 的前 项和 ．
18. 如图，矩形
平面
，
，
，且 ， 分别为 ， 的中点．
（ 1 ） 证明： （2） 若
平面
．
，求二面角
的大小．
19.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
（1） 求 ．
（2） 若
为锐角三角形， 为 中点，求 的取值范围．
，
．
20. 已知椭圆 ：
由 得，
所以
，
又
，所以
或
，
．
， ，
即
或
．
方法二：
由 得，
令 则 即 所以 所以
，因为
，所以
，解得
，又
或
，
，所以
，
，所以
（
舍去），
，
，
， ，
即
或
．
23.（ 1 ） ． （2）
解析: （ 1 ）构造
∵
．
， 在 上恒成立，
20
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴ 的最大值
．
（ 2 ）由（ ）得
，故
．
∵
，
，
∴
，
∴
或
，
故
．
当
所以
，即
，
所以
，
延长 到点 ，使得
，连结 ， ．
则四边形
为平行四边形，
所以
，
，
在
中，
，
17
即 所以
， ，
因为
，
所以 的取值范围为
．
20.（ 1 ）
．
（2）
的内切圆面积有最大值，最大值为 ．
解析:
（ 1 ）∵离心率为
，∴
，
∵
的周长为 ，∴
，得
，
∴
，
，
因此，椭圆 的标准方程为
．
（ 2 ）设
的内切圆半径为 ，∴
∴ ∵ ∴ 在以
， ． 为焦距的双曲线的右支上，且
，，
12
∴双曲线方程为
y
，作出图象如图，
x
O
∴
当
时，
∴ 的最小值为：
， ,
故答案为： .
17.（ 1 ） （2）
解析: （ 1 ）由
． ．
两式相减，得：
又∵
，∴
，
当
时，
且
，
故
，得
（
∴
，
∴数列 为等差数列，公差为 ，
所以
．
（ 2 ）由 及题意可得
， 舍去）， ，
时，
，
，
当且仅当
，
即
时取“ ”．
当
时，
，
，
当且仅当
，即
所以
的取值范围是
时取“ ”． ．
21
恰为切线，故舍去，
所以
．
（ 2 ）当 时，
，
设
，则
，
故函数 可化为
.
由
，可得，
的单调递减区间为 ，单调递增区间为
，
所以 的最小值为 （ ）
，
此时 ，函数的 的值域为
问题转化为当 时，
有解，
即
，得
．
设
则
，
故 的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
所以 的最小值为
，
故 的最小值为
．
22.（ 1 ）点 轨迹的极坐标方程为
又∵
，∴
，
要使
的内切圆面积最大，只需
的值最大．
设
，
，直线 ：
，
联立
消去 得：
，
易得 所以
，且
，
，
设
，则
，
设
（ ），
，所以
在
所以当 此时
，即 ，所以
时，
的最大值为 ，
的内切圆面积最大为 ．
21.（ 1 ）
.
（2）
解析:
（ 1 ）当 时，
，
上单调递增，
18
，
由 （）
，
得
，
即
，
解得
或
，
当
时， （ ）
，此时直线
13. 已知向量
，
，若
，则
．
14. 已知定义在 上的奇函数 满足 ．
，且
，则
15. 若
，则
．
16. 在棱长为 的正方体 的距离之差为 ．设
中，正方形
所在平面内的动点 到直线 ，
的中点为 ，则 的最小值为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 已知各项均为正数的数列 的首项
，前 项和为 ，且
所以
．
13
18.（ 1 ）证明见解析．
（2） ． 解析: （ 1 ）方法一：
取 中点 ，分别连接 ， ，
又 为 中点，
∴
，
，
∵矩形
中， 为 的中点，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
又∵
平面
，
平面
，
∴
平面
．
方法二：
取 中点 ，分别连接 ， ，
又矩形
中， 为 中点，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
又
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，又
，
所以
．
方法二：
16
因为
，
由余弦定理，得
整理得
，
所以
又
，所以
．
（ 2 ）方法一：
由（ ）知
，
根据题意
，解得
， ，
．
在
中，由正弦定理得
，
所以
因为
，所以
所以
，
因为 为 中点，所以
， ，
，
所以
，
．
因为
，
所以 的取值范围为
．
方法二：
由（ ）知
，又
，
故
，
因为
为锐角三角形，
分别是函数 的
在函数 的图象上，且满足
3
B. C. D.
12. 已知函数
，以下四个命题：
①当
时，函数 存在零点；
②当
时，函数 没有极值点；
③当
时，函数 在
上单调递增；
④当
时，
在
上恒成立．
其中的真命题为（ ）．
A. ②③
B. ①④
C. ①②
D. ③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
，则
的最大值为（ ）．
5. 一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）．
1
正视图
侧视图
俯视图 A. B. C. D.
6. 明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小 僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”右图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行右图的程序框 图，则输出的 （ ）．
上恒成立，④正确．
只有③④正确．
故选： ．
13.
解析:
∵向量
，
若
，
则
，解得：
∴
，
则
故答案为： ．
，
， ，
．
14.
解析:
由
，
11
，
，
则 为周期函数，
，
∴
，
∴
，
而 为 上的奇函数，则有
，
即：
，
∴
，
∴
．
15.
解析:
依题意，
，
∴
，
∴
，
当
时，
，显然不成立，
∴
，
，
．
综上所述，答案是： ．
16. 解析: 作
，交 于 ，连结 ，则 是 的中点，
，求 的最小值．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 在平面直角坐标系 中，圆
轴，直线 的极坐标方程为
（ 1 ） 求点 轨迹的极坐标方程．
（2） 若
，求 的值．
．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极 ，直线 交圆 于 ， 两点， 为 中点．
23. 已知
在 上恒成立．
5
（ 1 ） 求 的最大值 ． （ 2 ） 若 ， 均为正数，且
∴二面角
的大小为 ．
方法二：
15
过点 作
交 的延长线于 ，过 作
交 的延长线于 ，连接 ，
又∵平面
平面 ，矩形
平面
，
∴
平面
，
∴
，
又
，
∴
平面
，
∴
，
∴
即为二面角
的平面角，
∵
，
，
∴
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角
的大小为 ．
19.（ 1 ） ．
（2）
．
解析:
（ 1 ）方法一：
因为
，
由正弦定理，得
开始
否 是
输出 结束 A. B. C. D.
2
7. 若 ， 为空间两条不同的直线， ， 为空间两个不同的平面，则
A.
且
B.
且
C. 且
D. 且
的一个充分条件是（ ）．
8. 若实数 ， ， 满足 A. B. C. D.
，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
9. 已知点
和点 关于直线
的面积为 ，则 的值为（ ）．
在
上单调递减．
∴
，函数 取得极大值即最大值．
时，
， ,
当
时，
，
10
因此
，
因此函数 无零点．①不正确．
②
．
由①可得：
时，
不成立，
此时函数 无极值点．
时，
函数 的极大值
，
有解，
因此函数 有极值点．②不正确．
③当
时，函数
，
，与
在 上单调递增，
可得 在
上单调递增，③正确．
④
时，
在
上单调递增．
∴
.
∴当
时，
在
，
又
平面
，
平面
，
14
∴
平面
，
∵ 、 分别为 、 的中点，
∴
，
又
平面
，
平面
，
∴
平面
，
又∵
，
∴平面
平面
，
又
平面
，
∴
平面
．
（ 2 ）方法一：
∵矩形
平面 ，
矩形
平面
，
，
∴
平面
，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
∵ 轴 平面
，
∴
为平面
的一个法向量，
设
为平面
的法向量，
∵
，
，
∴
，得
，
故可取
，
则
，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，