微专题2 正余弦定理与解三角形
专题02 运用正余弦定理解决三角形问题(解析版)
专题02 运用正余弦定理解决三角形问题一、题型选讲题型一 正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。
例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．解析：（1）在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈，所以3sin 5A =．同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． （2）在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=．又3AD DB =，所以154BD AB ==． 在BCD △中，由余弦定理得，CD =AB D==例2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C →＝5013×10＝513. (2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513.因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD ) ＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.题型二 运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。
正弦定理、余弦定理及解三角形
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考点突破 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用
训练 4 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向 上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
∴sin B＝ 1－cos2B
＝2 3
2×79－13×4
9
2＝1027
2 .
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考点突破 考点一 利用正、余弦定理解三角形
规律方法
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要 考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则 考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到．
＝sin∠6(海AB里C)＝．ACsBinC120°＝2×623＝ 22. ∴∠ABC＝45°，易知 CB 方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝BDsinC∠D CBD＝10t·1s0in31t20°＝12， ∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝ 6(海里)，
则有 10t＝ 6，t＝106≈0.245 小时＝14.7 分钟．
故缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．
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考点突破 考点三 和三角形面积有关的问题
规律方法
解三角形应用题的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或 两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角 形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。
C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
微专题2 三角恒等变换与解三角形
微专题2 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心； 2.正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，注重基础知识、基本能力的考查.1.(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12＝( ) A.12B.33C.22D.32答案 D解析 因为cos 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.故选D.2.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( ) A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1 C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1 答案 C解析 由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β ＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0， 所以tan(α－β)＝－1，故选C.3.(2021·全国甲卷)在△ABC 中，已知B ＝120°，AC ＝19，AB ＝2，则BC ＝( ) A.1 B. 2 C. 5 D.3答案 D解析 法一 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC 2＋2BC －15＝0，解得BC ＝3或BC ＝－5(舍去). 故选D.法二 由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝5719，从而cos C ＝41919(C 是锐角)，所以sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin (B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×41919－12×5719＝35738. 又AC sin B ＝BC sin A ，所以BC ＝AC ·sin Asin B ＝3.故选D.4.(2021·浙江卷)在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝23， 则AC ＝________；cos ∠MAC ＝________. 答案 21323913解析 由B ＝60°，AB ＝2，AM ＝23，及余弦定理可得BM ＝4， 因为M 为BC 的中点，所以BC ＝8. 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2BC ·AB ·cos B ＝4＋64－2×8×2×12＝52， 所以AC ＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52＋12－162×213×23＝23913.5.(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A).(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.(1)解由A＝2B，A＋B＋C＝π，可得A＝2π－2C3.将A＝2B代入sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin B＝sin B sin(C－A).因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A).又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，与A＝2π－2C3联立，解得C＝5π8.(2)证明法一由sin C sin(A－B) ＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理可得，ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*).由余弦定理得，ac cos B＝a2＋c2－b22，ab cos C＝a2＋b2－c22，2bc cos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.热点一三角恒等变换1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)数值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化，实现角和函数名的统一.例1 (1)(2022·长沙长郡中学调研)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且12cos 2α＋7sin 2α－4＝0，若tan(α＋β)＝3，则tan β＝( ) A.－113或－7 B.－711或1 C.1D.－113(2)(2022·深圳质检)已知α，β∈(0，π)且tan α＝12，cos β＝－1010，则α＋β＝( ) A.π4 B.3π4 C.5π6 D.5π4 答案 (1)D (2)B解析 (1)由12cos 2α＋7sin 2α－4＝0，得4cos 2α＋7sin αcos α－2sin 2α＝0， ∴2tan 2α－7tan α－4＝0， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得tan α＝4. 又∵tan(α＋β)＝3， ∴tan β＝tan(α＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝3－41＋3×4＝－113，故选D.(2)因为α，β∈(0，π)且tan α＝12， cos β＝－1010，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π，sin β＝1－cos 2β＝31010，tan β＝sin βcos β＝－3，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，56π，因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋（－3）1－12×（－3）＝－1，所以α＋β＝3π4.故选B.易错提醒 (1)求三角函数值时，要注意根据角的范围判断三角函数值的符号来确定其值.(2)对于给值求角问题，要根据已知角求这个角的某个三角函数值，然后结合角的范围求出角的大小，求解时，要尽量缩小角的取值范围，避免产生增解. 训练1 (1)(2022·重庆诊断)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝( )A.4－3310 B.33－410C.43－310D.4＋3310(2)(2022·盐城二模)计算2cos 10°－sin 20°cos 20°所得的结果为( ) A.1 B. 2 C. 3D.2 答案 (1)D (2)C解析 (1)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin α＝45， 得cos α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝4＋3310.故选D.(2)原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.热点二 正弦定理和余弦定理1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .例2 (1)(2022·邢台联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b )·(sin A －sin B )＝c sin C ＋b (1＋cos A )·sin C ，则cos A ＝( ) A.－13 B.－23 C.13D.23(2)(2022·烟台模拟)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________. 答案 (1)A (2)27解析 (1)由题意及正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝c 2＋bc (1＋cos A )， 整理得a 2＝b 2＋c 2＋bc (1＋cos A )， 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以－2cos A ＝1＋cos A ， 解得cos A ＝－13.(2)设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 由sin B ＝2sin A 及正弦定理可得b ＝2a ， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ×2a ×32＝23，∴a ＝2，b ＝4，由余弦定理可得c 2＝4＋16－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28，∴c ＝27.规律方法 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.(2)涉及边a ，b ，c 的齐次等式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练2 (1)(2022·泰安三模)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( ) A.56B.76C.53D.73(2)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( ) A.19 B.13 C.12 D.23 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4， 所以AB ＝2，所以AB ＝BC ， 所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34， 则sin A ＝74，故tan A ＝73.故选D.(2)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9， 所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.热点三 正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：分析→列关系式→求解→检验2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝12ab sin C形式的面积公式.3.在△ABC中，有a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝a cos B＋b cos A，称为射影定理，在小题中使用可快速化简，大题解答时需有简单证明过程.Ｋ例3 (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473答案 B解析如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝100tan 15°.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，则BD＝A′B′＝C′B′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°， 所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100 ＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.例4 (2022·北京海淀区模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求A ；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第①组条件：a ＝19，c ＝5. 第②组条件：cos C ＝13，c ＝4 2. 第③组条件：AB 边上的高h ＝3，a ＝3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解 (1)因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理可得sin A sin B ＝3sin B cos A ， 又B ∈(0，π)，所以sin B ≠0， 则sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即19＝b 2＋25－5b ，解得b ＝2或3，不符合题意， 故不能选第①组条件.若选择第②组条件，因为C ∈(0，π)， cos C ＝13，所以sin C ＝223，由正弦定理a sin A ＝c sin C 可得a ＝c sin Asin C ＝42×32223＝33，则sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×13＋12×223＝22＋36，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B＝12×33×42×22＋36＝43＋3 2.若选择第③组条件，因为AB 边上的高h ＝3， 所以b sin π3＝3， 则b ＝332＝2， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得9＝4＋c 2－2c ，解得c ＝1＋6(舍负)，此时△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.规律方法 (1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S ＝12ab sin C bc sin A ＝12ac sin B )中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练3 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C )接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m 2的半球面(不含底面圆)，伞顶B 与返回舱底端C 的距离为半球半径的5倍，直线BC 与水平地面垂直于D ，D 和观测点A 在同一水平线上，在A 测得点B 的仰角∠DAB ＝30°，且sin ∠BAC ＝732247，则此时返回舱底端离地面的距离CD ＝______(π＝3.14，sin ∠ACB ＝93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案 20 m解析 设半球的半径为r m ， 则2πr 2＝1 200，∴r ≈14， ∴BC ＝5r ＝70 m.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，则AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC ＝70×93247×224773＝180(m)，∴BD ＝90 m ，则CD ＝BD －BC ＝20(m).(2)(2022·青岛调研)从①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (ⅰ)求B 的大小；(ⅱ)若b ＝2，S △ABC ＝32，求△ABC 的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 (ⅰ)若选①：因为2b sin A ＝a tan B ＝a sin B cos B ，所以2ab ＝abcos B ， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.若选②：因为a 2－b 2＝ac －c 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以2ac cos B ＝ac ， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 若选③：因为3sin B ＝cos B ＋1， 所以3sin B －cos B ＝1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3.(ⅱ)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以ac ＝2， 所以(a ＋c )2－3ac ＝4，所以(a ＋c )2＝10， 所以a ＋c ＝10，所以△ABC 的周长为2＋10.一、基本技能练1.(2022·河北省级联测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝135°，b ＝15，c ＝3，则a ＝( ) A.2 B. 6 C.3 D.2 6答案 B解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，即15＝a 2＋6a ＋3，解得a ＝6(舍负).故选B.2.(2022·山东新高考联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π12＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝( )A.－29B.29C.－79D.79 答案 D解析 设α＝θ－π12，则θ＝α＋π12，sin α＝13，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2α＝1－2sin 2α＝79. 故选D.3.(2022·贵阳质检)在△ABC 中，若3a sin B ＝c －b cos A ，则B ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 由3a sin B ＝c －b cos A 及正弦定理， 得3sin A sin B ＝sin C －sin B cos A ，又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 则3sin A sin B ＝sin A cos B ， ∵sin A ≠0，∴sin B cos B ＝tan B ＝33，又B ∈(0，π)，则B ＝π6.4.(2022·深圳六校联考)已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是( ) A.a ＝1，b ＝2，A ＝π4 B.a ＝2，b ＝1，A ＝π4 C.a ＝2，b ＝3，A ＝π6 D.a ＝4，b ＝3，A ＝2π3答案 C解析 对于A ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝1，b ＝2，A ＝π4， 得1sin π4＝2sin B ，sin B ＝2>1， 所以△ABC 无解.对于B ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝2，b ＝1，A ＝π4，得2sin π4＝1sin B ，sin B ＝24<1，又b <a ，所以B 唯一确定，△ABC 有一解.对于C ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝2，b ＝3，A ＝π6，得2sin π6＝3sin B ，sin B ＝34，又b >a ，B ∈(0，π)， 所以B 的值有2个，△ABC 有两解.对于D ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝4，b ＝3，A ＝23π，得4sin 23π＝3sin B ，sin B ＝338<1，又b <a ，所以B 唯一确定，△ABC 有一解. 5.(2022·辽宁百校联盟质检)如图，无人机在离地面高300 m 的M 处，观测到山顶A 处的俯角为15°，山脚C 处的俯角为60°，已知AB ＝BC ，则山的高度AB 为( )A.150 2 mB.200 mC.200 2 mD.300 m答案 B解析 在Rt △MNC 中，∠MCN ＝60°， MN ＝300 m ， 所以MC ＝MNsin 60°＝200 3 m. 在△ACM 中，由已知得∠MAC ＝15°＋45°＝60°，∠AMC ＝60°－15°＝45°， 由正弦定理得MC sin 60°＝AC sin 45°， 故AC ＝2003×2232＝200 2 m.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝AC sin 45° ＝2002×22＝200 m ， 所以山的高度AB ＝200 m.故选B.6.(2022·郑州二模)已知函数f (x )＝sin(πx ＋φ)在某个周期内的图象如图所示，A ，B 分别是f (x )图象的最高点与最低点，C 是f (x )的图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝( )A.12B.47C.255D.76565答案 B解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，设AB 与x 轴交于E ，由题意可得函数的周期为2，设C (a ，0)，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，－1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32，1，所以CD ＝32，AD ＝1，DE ＝12，tan ∠CAD ＝CD AD ＝32，tan ∠EAD ＝ED AD ＝12，所以tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠EAD )＝tan ∠CAD －tan ∠EAD 1＋tan ∠CAD ·tan ∠EAD ＝32－121＋32×12＝47.故选B.7.(2022·皖南八校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝________. 答案 －725解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－1 ＝－725.8.(2022·山东省实验中学二诊)已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，则cos(α－β)＝________. 答案 5972 解析由⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13得⎩⎪⎨⎪⎧cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14， ①sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19， ②①＋②得2－2cos(α－β)＝1336， 则cos(α－β)＝5972.9.(2022·济宁二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12，则cos 2α＝________.答案 45解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝12，∴tan α＝13，因此cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45. 10.(2022·长沙长郡中学质检)《易经》中记载着一种几何图形——八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积，如图，现测得正八边形的边长为8 m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m ，则每块八卦田的面积为________ m 2.答案 162＋16－π2解析 由题图可知，正八边形被分割成8个全等的等腰三角形，顶角为360°8＝45°， 设等腰三角形的腰长为a m ， 由正弦定理可得a sin 135°2＝8sin 45°，解得a ＝82sin 135°2，所以等腰三角形的面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫82sin 135°22sin 45°＝322·1－cos 135°2＝16(2＋1)(m 2)，则每块八卦田的面积为16(2＋1)－18×π×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋16－π2(m 2).11.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2). (1)求cos 2α＋sin 2α；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的值.解 (1)∵锐角α的终边上有一点P (1，2)， ∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×255×55＝45， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，∴cos 2α＋sin 2α＝－35＋45＝15.(2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∵sin(α－β)＝1010， ∴cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝31010， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.12.(2022·北京卷)在△ABC 中，sin 2C ＝3sin C . (1)求C ；(2)若b ＝6，且△ABC 的面积为63，求△ABC 的周长. 解 (1)因为sin 2C ＝3sin C ， 所以2sin C cos C ＝3sin C . 因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0， 所以cos C ＝32， 又C ∈(0，π)，故C ＝π6.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×a ×6×12＝63，所以a ＝4 3. 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝48＋36－72＝12，所以c ＝23， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝43＋6＋23＝6(3＋1). 二、创新拓展练13.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，则tan α＝________. 答案 34解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＋cos α＞0. 因为cos 2α＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝15(sin α＋cos α)，所以cos α－sin α＝15>0，可得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4. 所以sin αcos α＝1225，所以sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得tan α＝34或tan α＝43，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以tan α＝34. 14.(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________.答案 31010 45解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010，k ∈Z . 因为sin β＝3sin α－10＝－1010，所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.15.(2022·沈阳市郊联体一模)滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古.如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且AB ＝BC ＝75米，则滕王阁的高度OP ＝________米.答案 1515解析 设OP ＝3h ，由题意知∠P AO ＝30°，∠PBO ＝60°，∠PCO ＝45°，所以OA ＝PO tan 30°＝3h 33＝3h ，OB ＝PO tan 60°＝3h 3＝h ，OC ＝PO tan 45°＝3h . 在△OBC 中，由余弦定理OC 2＝OB 2＋BC 2－2OB ·BC ·cos ∠OBC ，得3h 2＝h 2＋752－2×75h cos ∠OBC ，①在△OAB 中，由余弦定理OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠OBA ，得9h 2＝h 2＋752－2×75h cos ∠OBA ，②因为cos ∠OBC ＋cos ∠OBA ＝0，所以①＋②，得12h 2＝2h 2＋2×752，解得h ＝155，所以OP ＝3h ＝1515(米).16.(2022·北京昌平区调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ，a ＝6.(1)若A ＝π6，求c 的值；(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.①3cos B ＝cos C ，②cos B ＝sin C ，③B ＝2C .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为b＝3c，a＝6，A＝π6，所以36＝3c2＋c2－23c2·32，解得c2＝36，所以c＝6.(2)若选条件①：3cos B＝cos C.b＝3c，由正弦定理可得sin B＝3sin C，又3cos B＝cos C，所以sin B cos B＝sin C cos C，所以sin 2B＝sin 2C，因为0<B＋C<π，0<2B＋2C<2π，所以2B＝2C或2B＋2C＝π，因为b＝3c，所以B>C，所以2B＝2C不成立，所以2B＋2C＝π，所以B＋C＝π2，所以A＝π2.则在Rt△ABC中，36＝3c2＋c2，解得c＝3，所以b＝33，所以S△ABC＝12bc＝93 2.若选条件②：cos B＝sin C.在△ABC中，因为b＝3c，由正弦定理可得sin B＝3sin C，又cos B ＝sin C ，所以sin B cos B ＝3sin C sin C ＝3， 所以tan B ＝3，因为0<B <π，所以B ＝π3，所以sin C ＝cos B ＝12，因为0<C <π，且b ＝3c ， 所以C ＝π6，所以A ＝π2.后同选择条件①.若选条件③：B ＝2C .在△ABC 中，因为b ＝3c ，由正弦定理得sin B ＝3sin C ， 因为B ＝2C ，所以sin B ＝2sin C cos C ，所以2sin C cos C ＝3sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝32，因为0<C <π，所以C ＝π6，所以B ＝2C ＝π3， 所以A ＝π2. 后同选择条件①.。
专题一、二：解三角形
专题一正余弦定理知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 外接圆的半径）常见的变形有：①::sin :sin :sin a b c A B C =；②sin sin a A b B =，sin sin a A c C =，sin sin b Bc C=；③sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++；④边化角公式：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；⑤角化边公式：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=；⑥sin sin sin sin sin sin A B a b A BA B a b A B A B a b A B <⇔<⇔<⎧⎪=⇔=⇔=⎨⎪>⇔>⇔>⎩；2.解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
利用正弦定理可以解两类三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
剖析：已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解。
已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解、或无解，一般常用的方法是利用大边对大角，小边对小角定理来验证。
3.在△ABC 中常见的公式：（如图）①111sin sin sin 222S ab C ac B bc A===②111222a b c S ah bh ch ===AcbaBCh aAcbaBC③4abcS R=（R 表示三角形外接圆的半径）④22sin sin sin S R A B C =⑤1()2S r a b c =++（r 表示三角形内切圆的半径）⑥海伦公式：S =，其中1()2p a b c =++.4.余弦定理定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2023届高考数学二轮复习微专题：正、余弦定理在解三角形中的应用 含答案解析
3 正、余弦定理在解三角形中的应用1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C＝________．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．5．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的平分线AD ＝3，则AC ＝________.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设向量m ＝(a ，c )，n ＝(cos C ，cos A )． (1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝45，求cos C 的值．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan (B －A)＝13.(1)求tan B 的值；答案及解析1．答案：75°.解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得sin B ＝b sin C c ＝22，结合b <c ，可得B ＝45°，则A＝180°－B －C ＝75°.2．答案：π3.解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，在△ABC 中，sin B ≠0，可得cos B ＝12，在△ABC 中，可得B ＝π3.3．答案：π4.解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，∵0＜C ＜π，∴C ＝π4.4．答案：8.解析：因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，所以bc ＝24，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝2，bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8.5．答案： 6.解析：如图所示，由正弦定理易得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin B ，故sin ∠ADB ＝22，即∠ADB ＝π4，在△ABC ，知∠B ＝120°，∠ADB ＝π4，即∠BAD ＝π12.由于AD 是∠BAC 的平分线，故∠BAC＝2∠BAD ＝π6.在△ABC 中，∠B ＝120°，∠BAC ＝30°，易得∠ACB ＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即AC sin60°＝2sin30°，所以AC ＝ 6.6．答案：9.解析：由题意得12ac sin120°＝12a sin60°＋12c sin60°，即ac ＝a ＋c ，得1a ＋1c ＝1，得4a＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4ac ＋5≥2c a ·4a c ＋5＝4＋5＝9，当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时，取等号．7．答案：(1)π6；(2)3－8215.解析：(1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C .由正弦定理，得sin A cos A ＝sin C cos C .化简得sin2A ＝sin2C .∵A ，C ∈(0，π)，∴2A ＝2C 或2A ＋2C ＝π，从而A ＝C (舍去)或A ＋C ＝π2，∴B ＝π2.在Rt △ABC 中，tan A ＝a c ＝33，A ＝π6.(2)∵m ·n ＝3b sin B ，∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ，从而sin(A ＋C )＝3sin 2B .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B .从而sin B ＝13.∵cos A ＝45＞0，A ∈(0，π)，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin A ＝35.∵sin A ＞sin B ，∴a ＞b ，从而A ＞B ，B 为锐角，cos B ＝223. ∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×223＋35×13＝3－8215.8．答案：(1)3；(2)78.解析：(1)在△ABC 中，由cos A ＝35，得A 为锐角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A＝sin A cos A ＝43，所以tan B ＝tan[(B －A )＋A ]＝tan （B －A ）＋tan A 1－tan （B －A ）·tan A＝13＋431－13×43＝3. (2)在三角形ABC 中，由tan B ＝3，所以sin B ＝31010，cos B ＝1010， 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝131050，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝13×31010131050＝15.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×15×13×45＝78.。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
正弦定理余弦定理解三角形技巧
正弦定理余弦定理解三角形技巧正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常用的两个重要定理。
它们通过三角形的边长和角度之间的关系，帮助我们求解未知的角度和边长。
下面将介绍正弦定理和余弦定理的定义、推导过程和应用技巧。
一、正弦定理的定义和推导：1.定义：对于任意三角形ABC，它的三边长度分别为a、b、c，而对应的角度分别为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC2.推导：设三角形ABC的高为h，其与底边a的夹角为α，边a与边c的夹角为β，则由三角形的定义可知：sinα = h/c, sinβ = h/a根据正弦定理，我们可以得到以下的关系：a/sinA = c/sinC，即a/sinA = c/sinαb/sinB = c/sinC, 即b/sinB = c/sinβ由此推导出正弦定理的表达式。
二、正弦定理的应用技巧：正弦定理可以用来求解三角形的未知边长和角度，常用的技巧有以下几种：1.已知两边和夹角，求第三边：根据正弦定理的表达式，我们可以将已知信息代入其中，解方程求得未知边长。
2.已知两边和一个对角的正弦值，求第三边：将已知信息代入正弦定理的表达式，解方程求得未知边长。
3.已知两角和一边，求第三边：将已知信息代入正弦定理的表达式，解方程求得未知边长。
4. 已知三边，求三角形内部的角度：根据正弦定理，我们可以得到以下关系：sinA = a/c，sinB = b/c，sinC = c/a。
通过反正弦函数，我们可以求得每个角度的值。
三、余弦定理的定义和推导：1.定义：对于任意三角形ABC，它的三边长度分别为a、b、c，而对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理的表达式为：a² = b² + c² - 2bc*cosAb² = a² + c² - 2ac*cosBc² = a² + b² - 2ab*cosC2.推导：设三角形ABC的高为h，其与底边a的夹角为α，边a与边c的夹角为β，则由三角形的定义可知：cosα = h/c, cosβ = h/a根据余弦定理，我们可以得到以下关系：a² = b² + c² - 2bc*cosA，即a² = b² + c² - 2bc*cosαb² = a² + c² - 2ac*cosB，即b² = a² + c² - 2ac*cosβ由此推导出余弦定理的表达式。
原创2：4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形
∴BC＝20 7，
由正弦定理得，sin∠ABACB＝sin∠BCBAC，
∴sin∠ACB＝BACBsin∠BAC＝
21 7.
由∠＝2
7
7 .
由 θ＝∠ACB＋30°，
得 cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos
30°－sin∠ACBsin
在△BCD 中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝
s3isnin607°5°＝
6＋ 2
2 .
在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝(
3)2＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×cos 75°
＝3＋2＋ 3－ 3＝5，
∴AB＝ 5(km)，∴A、B 之间的距离为 5 km.
3－1)(米)．
在 Rt△ABE 中，∠AEB＝30°，
∴AB＝BEtan 30°＝130(3－ 3)(米)．
故所求的塔高为130(3－ 3)米．
规律方法 2 1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的 概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹 角；
2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角 形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形．
图3－8－9
索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客
从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min
后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步
行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长
规律方法 3 测量角度问题的一般步骤 (1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并 在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形； (3)将解得的结果转化为实际问题的解．
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
知识回顾：
1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等 ， 即
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C
.
正弦定理适用的解三角形的问题：
(1)已知三角形的任意两角与一边 (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角
例1(1)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，
3 1 1 解：由正弦定理，有 ＝ ，即 sin B＝ 2π sin B 2 sin 3 π 又 C 为钝角，所以 B 必为锐角，所以 B＝ 6 π 所以 A＝ .故 a＝b＝1. 6
例3．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求
AC边上的中线长． 思考：用正弦还是余弦定理？
解：设 AC 的中点为 D，由余弦定理的推论得： AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2· AB· AC 2×9×8 3 在三角形 ABD 中，由余弦定理知： BD2＝AD2＋AB2－2· AD· ABcos A 2 ＝4 ＋9 －2×4×9× ＝49 3
方法感悟： 所给边不是已知角的对边 先求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边
6- 2 2
B
6- 2 2
a
A C
b=1
2．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 两倍这两边与它们的夹角的余弦的积，即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .(三边一角)
法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝ a2＋(3 3)2－ 2× 3 3a× cos 30° ， 即 a2－ 9a＋18＝0，∴a＝6 或 a＝3. 1 6× asin B 2 ＝ ＝1 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ b 3 a ∴ A＝ 90° ， C＝60° . 当 a＝ 3 时， A＝30° ，C＝120° .
正余弦定理与解三角形
正余弦定理与解三角形（一).三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． 1．角与角关系：A+B+C = π，由A ＝π－（B ＋C ）可得：1）sinA ＝sin （B ＋C ），cosA ＝－cos （B ＋C ）． 2）222C B A+-=π．有：2cos2sinC B A +=，2sin2cosC B A +=．2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b <c ，b －c < a ，c －a > b ．3．边与角关系： 1）正弦定理R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===变式有：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===； ③CB A c b a Cc Bb Aa sin sin sin sin sin sin ++++===；④C B A c b a sin :sin :sin ::=。
正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bccosC ，b 2 = a 2+c 2－2accosB ，a 2 = b 2+c 2－2bccosA ．常选用余弦定理鉴定三角形的形状.注：余弦定理是勾股定理的推广. 变式有：cosA=bcacb2222-+；cosB=cabac2222-+；cosC=abcba2222-+.余弦定理的应用：(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。
(见解三角形公式)判定定理(角边判别法): 1. 当a>bsinA 时①当b>a 且cosA>0(即A 为锐角)时,则有两解；②当b>a 且cosA<=0(即A 为直角或钝角)时,则有零解(即无解)； ③当b=a 且cosA>0(即A 为锐角)时,则有一解；④当b=a 且cosA<=0(即A 为直角或钝角)时,则有零解(即无解)； ⑤当b<a 时,则有一解2.当a=bsinA 时①当cosA>0(即A 为锐角)时,则有一解；②当cosA<=0(即A 为直角或钝角)时,则有零解(即无解)； 3.当a<bsinA 时,则有零解(即无解)；3）射影定理： a ＝b ·cosC ＋c ·cosB ，b ＝a ·cosC ＋c ·cosA ，c ＝a ·cosB ＋c ·cosA ． （二）面积公式（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sinsin 222S ab C bc A ca B ===. (3)O A B S ∆=（三）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a题型练习例1 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．解：A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226+A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226-变式训练1 (1)A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）A ．14B ．34C 4D 3解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.0020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A === D.012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解 （3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cos C 的值为（ ）A1665B5665C 1665或5665D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin A B C a b c A b S A B C++∠===++ 则= ．解：34c =，由余弦定理可求得a =（6）在A B C ∆中，451a ,b c ,tan A tan B tan A tan B )=+=+=-，求sin A .7（7）已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆ （8）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆ （9） C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆例2 在A B C ∆中，已知22a tan Bb tan A =，试判断A B C ∆的形状.答案：等腰三角形或直角三角形变式训练2 在A B C ∆中，若20sin A sin B cos C -=，则A B C ∆必定是（ D ）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 变式训练3 在A B C ∆中，若22a(b cos B c cos C )(b c )cos A -=-，试判断A B C ∆的形状。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单一.正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B si2.变形：1) a b c a b csin sin si nC sin sin si nC2）化边为角：a :b: c sin A: sin B :s in C -a si nA.b sin B a sin AJb sin Bc sin C c sin C '3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC4）化角为边：sin A a ;J sin B b ; si nA aJ7sin B b sin C c sin C c5）化角为边：sin A a sin B b si nC c2R‘2R'2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A;求出b与cc sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理旦泄求出c边c sin C4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U①a bsin A时，B无解；②a bsinA或a b时，B有一个解;③ bsin A a b 时，B 有两个解。
如：①已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a23,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
高中数学第二章解三角形习题课2正弦定理余弦定理的综合应用课件北师大版必修5
所以2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦定理得sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A.
即sin 2Asin Asin B=sin 2Bsin Asin B.
因为0<A<π,0<B<π,所以sin 2A=sin 2B,
∠C=120°,则AC=(
)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由余弦定理得13=9+AC2+3AC⇒AC=1.
故选A.
答案:A
做一做4 如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从A点出发沿正
北方向行进x m到达B处发现生命迹象,然后向右转105°,行进10 m
到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135°回到出发点,那么
【例2】 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
cos-2cos
2-
=
.
cos
sin
(1)求
的值;
sin
1
(2)若 cos B= ,b=2,求△ABC
4
已知
的面积.
sin
分析:(1)利用正弦定理及三角变换求出sin的值;
(2)利用余弦定理及面积公式求解.
探究一
探究二
1.仰角和俯角:
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水
平线下方的角叫俯角(如图(1)).
(1)
2.方向角:
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.
3.方位角:
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为
正余弦定理在解三角形中的应用知识点与题型归纳
正余弦定理在解三角形中的应用知识点与题型归纳一、知识点（一）. 正弦定理和余弦定理 1．公式在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R.a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ；b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC变形(1)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝2R. bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；abc b a C 2cos 222-+=.2.三角形常用面积公式:(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)； (2)A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===. 3.常用结论：(1)．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B; (2)．三角形中的射影定理在△ABC 中，B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=；B a A b c cos cos +=．(3)．内角和公式的变形①sin(A ＋B)＝sin C ；②cos(A ＋B)＝-cos C.(4)．角平分线定理：在△ABC 中，若AD 是角A 的平分线，如图，则AB AC ＝BDDC .（二）. 利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.在△ABC 中，已知,a b 和A 时，解的情况主要有以下几类：①若A 为锐角时：a bsin Aa bsin A()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角A b a sin = b a ≥ b a A b <<sin sin a b A <一解 一解 两解 无解 ② 若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角（三）. 三角形的形状的判定 1.判断三角形形状的(1). 若b a =或()()()0=---a c c b b a ,则△ABC 为等腰三角形; (2). 若222c b a =+,则△ABC 为以C 为直角的直角三角形； (3). 若222c b a <+,则△ABC 为以C 为钝角的钝角三角形； (4). 若()()022222=-+-c b aba ,则△ABC 为等腰三角形或直角三角形；(5). 若b a =且222c b a =+,则△ABC 为等腰直角三角形；(6). 若B A 2sin 2sin =,即B A =或π2=+B A ，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； (7). 用余弦定理判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）①.在ABC ∆中，222222090cos 02b c a A A b c a bc+-<<⇔=>⇔+>,则△ABC 为锐角三角形； ②.在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-=⇔==⇔+=，则△ABC 为直角三角形； ③.在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-<⇔=<⇔+<，则△ABC 为钝角三角形； 2.判断三角形形状的2种思路(1).化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2).化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用π=++C BA这个结论．（四）. 解三角形时的常用结论在ABC ∆中，0180A B C ++=，0902A B C++= （1）在ABC ∆中sin sin cos cos ;A B a b A B A B >⇔>⇔>⇔<（2）角的变换--互补关系：0sin(A+B)=sin(180)sinC C -=，0cos(A+B) cos (180)cosC C =-=-，0tan(A+B) tan(180)tan C C =-=-；（3）角的变换--互余关系：0sinsin (90)cos 222A B C C +=-=，0cos cos(90)sin 222A B C C+=-=， （4）B A B A 222sin 2sin =⇒=或π=+B A 22B A =⇒或2π=+B A .二、典型例题类型一：利用正、余弦定理解三角形【例1】.△ABC 中，,6c =A=45°，a=2，求b 和B ，C.【解答】：解法一 ：由正弦定理a c 2=sin C=sin A sin C sin 45sin C 2=︒得，所以若C=60°，则B=75°，a 2b sin B sin 751,sin A sin 45==︒=︒若C=120°，则B=15°，a 2b sin B sin15 1.sin A sin 45==︒=︒解法二：余弦定理2222a b c 2bccos A b 641,=+-=+-=，解得若222a c b b 1cos B==B=75C=602ac +-=︒︒，则，若222a c b b 1,cos B==B=15C=120.2ac 4+-=︒︒则， 解法三：正余弦定理2222a b c 2bccos A b 641=+-=+-=，解得若a b c b 1==sin B=C=sin A sin B sinC 42=，则由，得因为b>c>a ，所以B>C>A ，所以B=75°，C=60°；若a b c b 1==sin B=,sin C=,sin A sin B sinC 42=，则由，得 因为c>a>b ，所以C>A>B ，所以B=15°，C=120°.类型二：用正、余弦定理判断三角形的形状【例2】.已知△ABC 中cos cos a A b B =，试判断△ABC 的形状.【解答】：方法一：用余弦定理化角为边的关系由cos cos a A b B =得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅⇒22222222()()a b c a b a c b +-=+-，即22222()()0a b a b c -+-=，当220a b -=时，ABC ∆为等腰三角形；当2220a b c +-=即222a b c +=时，则ABC ∆为直角三角形； 综上：ABC ∆为等腰或直角三角形.方法二：用正弦定理化边为角的关系 由正弦定理得：R Bb A a 2sin sin ==,即A R a sin 2=，B R b sin 2= 因为cos cos a A b B =，所以2sin cos 2sin cos =R A A R B B ，即sin2sin2=A B , 因为()π,0,∈B A , 所以22=A B 或22+=A B π，即=A B 或2+=A B π故ABC ∆为等腰三角形或直角三角形. 【总结升华】（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断.（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角.（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可.一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理.（5）βαβα=⇒=sin sin 或βπα-=，不要丢解.在△ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-，试判断三角形的形状.【解答】：因为2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-,所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =， 由正弦定理得：22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =,因为ABC ∆中，sin 0A ≠, sin 0B ≠,所以sin cos sin cos A A B B ⋅=⋅,即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-,即：A B =或2π=+B A ， 所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.类型三：与三角形面积有关的问题【例3】.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解答】：(1)由已知条件可得tan A ＝－3，()π,0∈A ，所以32π=A ， 在△ABC 中，由余弦定理得32cos 44282πc c -+=，即c 2＋2c －24＝0， 解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得2π=∠CAD ，所以6π=∠-∠=∠CAD BAC BAD ，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为1216sin21=⋅⋅⋅AD AC AD AB π， 又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝ 3. 【总结升华】(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．(2021·新高考2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+． （1）若2sin 3sin C A =，求△ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解析】：（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯=△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，因为Z a ∈，故2a =.类型四：利用正、余弦定理求边角的范围问题【例4】.锐角 △ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边.(1)若()()(),a c a c b b c +-=-求A 的大小 (2)⎪⎭⎫⎝⎛++=62sin sin 22πB B y 取最大值时，求B 的大小. 【解答】：（1）因为()()(),a c a c b b c +-=-，所以222.b c a bc +-=，故由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，因为A 是锐角三角形的内角，所以20π<<A ,所以3π=A .（2）22sin sin(2)6y B B π=++=1cos2sin 2coscos2sin66B B B ππ-++11cos221sin(2)26B B B π=-=+-,当且仅当3B π=时取等号,所以3π=A .【总结升华】对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题. 【变式】已知在锐角ABC ∆中,,,a b c 为角A ,B ,C 所对的边,()22cos 2cos 2Bb c A a a -=- (1)求角A 的值; (2)若a =则求b c +的取值范围.【解答】：（1）在锐角ABC ∆中，根据()21cos 2cos 2cos 2,22B B b c A a a a a +-=-=-⋅ 利用正弦定理可得()sin 2sin cos sin (cos )BC A A B -=- ，即sin cos cos sin 2sin cos B A B A C A += ，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos ,C C A = 所以21cos =A ,所以3π=A ,若a = 则由正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A===，所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=+B B C B c b 32sin sin 2sin sin 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=6sin 32cos 3sin 3πB B B .由于022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩⇒26ππ<<B ⇒3263πππ<+<B , 所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,236sin πB ,所以(]32,3∈+c b .【例5】.在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边，53cos =B ,7=a ，且21-=⋅→→BC AB ,求角C 的大小.【解答】：因为21-=⋅→→BC AB ，所以21=⋅→→BC BA , 所以21cos cos ==⋅=⋅→→→→B ac B BC BA BC BA .又53cos =B ，所以54sin =B ，35=ac . 又7=a ，所以5=c ，所以325357257cos 222222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b ,所以24=b . 由正弦定理B bC c sin sin =,得.2254245sin sin =⨯==B b c C因为b c <，所以C 为锐角，所以45=C . 【总结升华】利用正、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时，注意数量积定义的应用，其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系，例如→AB 与→AC 的夹角等于内角A,但→AB 与→CA 的夹角等于内角A 的补角.在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,tan C = (1). 求cos C(2). 若5,2CB CA ⋅= 且9,a b +=求c【解答】：（1）因为tan C =sin cos CC=又因为22sin cos 1C C +=，解得1cos 8C =±.因为tan 0,C >所以C 是锐角，1cos 8C =（2）因为5,2CB CA ⋅=所以5cos 2ab C =,所以20ab =又因为9=+b a ，所以81222=++b ab a ，所以4122=+b a ， 所以36cos 2222=-+=C ab b a c ,所以6=c .【例6】.如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，点B 为半圆上任意一点， 以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大.【解答】：设∠AOB ＝α，在△ABO 中，由余弦定理),0(,cos 45cos 21221222πααα∈-=⋅⨯⨯-+=AB ，所以243sin 21AB OB OA S S S ABC AOB +⋅⋅⋅=+=∆∆α)cos 45(43sin 1221αα-+⨯⨯⨯=345cos 3sin +-=αα3453sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πα. 因为πα<<0，所以当23ππα=-，πα65=，即π65=∠AOB 时，四边形OACB 的面积最大. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，θ=∠BAD ，△BCD 是正三角形．(1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ角的值． 【解答】:(1)△ABD 的面积θθsin 21sin 11211=⨯⨯⨯=S ， 由于△BCD 是正三角形，则△BCD 的面积S 2＝34BD 2.在△ABD 中，由余弦定理可知θθcos 22cos 11211222-=⨯⨯⨯-+=BD ， 于是四边形ABCD 的面积()θθcos 2243sin 21-+=S ， 所以S ＝32＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πθ，πθ<<0.(2)由S ＝32＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πθ及πθ<<0，得3233ππθπ<-<-，当23ππθ=-，即65πθ=时，S 取得最大值1＋32. 类型八：与正、余弦定理有关的综合题【例8】.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设()C B A C B sin sin sin sin sin 22-=-.①求A ；②若2a ＋b ＝2c ，求sin C.【解答】：①由已知得C B A C B sin sin sin sin sin 222=-+，故由正弦定理得bc a c b =-+222.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为1800<<A ，所以A ＝60°.②由①知C B -=120，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C)＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sinC ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于1200<<C ，所以sin(C ＋60°)＝22，故 ()6060sin sin -+=C C ＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. （2017四川理）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【解答】:（I ）根据正弦定理，可设 sin ,sinB,c sinC a k B b k k ===,(K>0), 代入cos cos sin A B Ca b c+=中，变形可得)sin(sin cos cos sin sin sin B A B A B A B A +=+=.(*) 在ABC ∆中，由A B C π++= ,有sin()sin()sin A B C C π+=-= 所以sin()sin A B C +=.（II ）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-== 由（*）B A B A B A sin cos cos sin sin sin +=，所以443sin cos sin 555B B B =+ 故sin tan 4cos BB B==三、巩固练习1．（2017新课标Ⅲ文）在中，，BC 边上的高等于,则( )A.2. (2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C c B b A a sin 4sin sin =-， cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 3. 在ABC ∆中,60A =, 1b =，ABC S ∆=，则sin sin sin a b cA B C++++等于 ().3A.3B .3C .D 4. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，3π=C ，则△ABC 的面积是( )A.3B.239 C.233D.335．△ABC 中，三边a 、b 、c 与面积S 的关系式为)(41222c b a S -+=，则C=（ ）. A 、030 B 、045 C 、060 D 、090 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A.090B.0120C.0135D.01507.在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤,则A 的取值范围是（ ）.]6,0.(πA ),6.[ππB ]3,0.(πC ),3.[ππD8. (2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________．9. 已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，则实数x 的取值范围是_______. 10. 已知ABC ∆1，面积为1sin 6C ，且sin sin A B C +=，则角C=_______. 11 .ABC ∆中三边分别为a,b,c,若2,sin cos a b B B ==+=则角A=________． 12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝41a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA 的值为 ． ABC △π4B13BC sin A 31010531013.（2018四川高考文）已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，A tan 、B tan 是关于方程()R p p px x ∈=+-+0132x 2＋两个实根. (I). 求C 的大小(II). 若AB ＝1，AC ＝，求p 的值.14．（2017浙江理）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知b+c=2a cos B. （I ）证明：A=2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.15.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,3,a b == 7sin sin 23B A +=（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的面积.16.在如图所示的四边形ABCD 中，090,120,BAD BCD ∠=∠= 060,2,BAC AC ∠== 记BAC θ∠=（1）求用含θ 的代数式表示DC ； （2）求BCD ∆面积S 的最小值17. (2019·理1)ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．四、答案与解析361. 【解析】：设BC 边上的高线为AD ，则AD DC AD BC 2,3==，所以AD DC AD AC 522=+=,由正弦定理，知A BCB AC sin sin =，即A ADAD sin 3225=，解得10103sin =A ，故选D. 2.【解答】：因为C c B b A a sin 4sin sin =-，所以由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2. 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，所以b c ＝6.故选A. 3. 【解析】：因为60=A , b=1，3sin 21==∆A bc S ABC ，所以c=4 由余弦定理有13cos 2222=-+=A bc c b a ，所以13=a ,由正弦定理有3392sin 2==A a R ，且CcB b A a R sin sin sin 2===， 所以33922sin sin sin ==++++R C B A c b a .故选B.4.【解析】：由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，所以－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6． 所以S △ABC ＝233sin 21=C ab ．故选C ． 5.【解析】：因为S △ABC ＝()22241sin 21c b a C ab -+= ，所以2222sin ab C a b c =+-， 即C abc b a C cos 2sin 222=-+=，所以1tan =C ，故 45=C ,故选B. 6.【解析】：设中间角为θ，则,60,21852785cos 222 ==⨯⨯-+=θθ 12060180=-为所求.故选B. 7.【解析】：由已知得，bc c b a -+≤222，即212222≥-+bc a c b ，所以21cos ≥A ， 因为π<<A 0,所以30π≤<A .故选C.8.【解答】：因为a ＝2c ，b ＝6，3π=B ，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得()3cos2226222π⋅⋅⨯-+=c c c c ，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝12×43×23×3sin π＝6 3.或：a 2＝b 2＋c 2，所以2π=A ，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.9.【解析】：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+222222222233232x x x ，解得135<<x .10.【解析】：cb a C B A 2,sin 2sin sin =+∴=+因为12+=++c b a ，所以122+=+c c ，解得1=c ，所以2=+b a因为C C ab S sin 61sin 21==，所以31=ab ， 所以()21222cos 22222=--+=-+=ab c ab b a ab c b a C ，所以3π=C . 11.【解析】：由2cos sin =+B B 可得1)4sin(=+πB ,所以4π=B ，由正弦定理得：21sin =A .又因为a<b,所以B A <,所以6π=A . 12.【解析】：在△ABC 中，因为b －c ＝41a ①，2sinB ＝3sinC ，所以2b ＝3c ②， 所以由①②可得a ＝2c ，b ＝23c． 再由余弦定理可得4134492cos 222222-=⋅-+=-+=c c c c c bc a c b A ，13.【解析】：(I)因为方程()R p p px x ∈=+-+0132的判别式△＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥32， 由韦达定理，有tanA ＋tanB ＝－3p ，tanAtanB ＝1－p ，于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B)＝33tan tan 1tan tan -=-=-+ppB A B A ，所以tanC ＝－tan(A ＋B)＝3，所以C ＝60°.(II)由正弦定理，得sinB ＝22360sin 6sin == AB C AC .解得B ＝45°或B ＝135°(舍去), 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝3233133130tan 45tan 130tan 45tan +=-+=-+. 所以p ＝－31(t anA ＋tanB)＝－31(2＋3＋1)＝－1－3. 14.【解析】：（1）由正弦定理可得B A C B cos sin 2sin sin =+, 故B A B A B B A B B A sin cos cos sin sin )sin(sin cos sin 2++=++=, 所以)sin(sin B A B -=,又()π,0,∈B A ，故π<-<B A 0 ，所以()B A B --=π或B=A -B , 因此π=A （舍去） 或A=2B, 所以A=2B.（II ）由42a S =得4sin 212a C ab ==，故有B B B C B cos sin 2sin 21sin sin ==，因sin 0B ≠，得sinC cos =B ． 又()π,0,∈C B ，所以B C ±=2π．当2π=+C B 时，2π=A ； 当2π=-B C 时，4π=A ．综上，2π=A 或4π=A ．15.【解析】：（1）在ABC ∆中，由正弦定理，得BA sin 3sin 7= 即A B sin 3sin 7= 又因为32sin sin 7=+A B , 解得23sin =A ， 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3π=A .（2）在ABC ∆中，由余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=， 得cc 679212-+=，即022=+-c c ，解得c=1 或c=2，当c=1时，因为01472cos 222<-=-+=ac b c a B ,所以角B 为钝角，不符合题意，舍去；当c=2时，因为01472cos 222>=-+=ac b c a B ，且b>c,b>a, 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意. 所以ABC ∆的面积233232321sin 21=⨯⨯⨯==A bc S . 16.【解答】：（1）在ADC ∆中，000036090120150ADC θθ∠=---=-，由正弦定理可得sin sin DC AC DAC ADC =∠∠ ，即002sin 30sin(150)DC θ=- ， 于是：01.sin(150)DC θ=-（2）在ABC ∆中，由正弦定理得0,sin sin 60AC BCθ=即BC =由（1）知：01sin(150)DC θ=-所以 120sin 21⋅⋅=CD BC S =034sin sin(150)θθ-= 故075θ=，S取得最小值为6-.17.【详解】：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=所以2221cos 22b c a A bc +-∴==因为()0,A π∈ ，所以3A π∴=.（2）因为c b a 22=+sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=⇒3sin C C =因为22sin cos 1C C += ，所以(()223sin 31sin C C ∴=-，解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：因为c b a 22=+sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=，整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=.。
专题02 运用正余弦定理解决三角形问题(解析版)
专题02 运用正余弦定理解决三角形问题一,题型选讲题型一 正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题,在三角形中要恰当的选择正余弦定理,但是许多题目中往往给出多边形,因此,要咋爱多边形中恰当的选择三角形,就要根据题目所给的条件,标出边和角,合理的选择三角形,尽量选择边和角都比较多的条件的三角形,然后运用正余弦定理解决.例1,(2017徐州,连云港,宿迁三检)如图,在ABC △中,已知点D 在边AB 上,3AD DB =,4cos 5A =,5cos 13ACB ∠=,13BC =． (1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．解析：(1)在ABC △中,4cos 5A =,(0,π)A ∈, 所以2243sin 1cos 1()55A A =-=-=． 同理可得,12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠AB C D312451651351365=⨯-⨯=． (2)在ABC △中,由正弦定理得,1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=．又3AD DB =,所以154BD AB ==． 在BCD △中,由余弦定理得,CD ===例2,(2017年苏北四市模拟)如图,在四边形ABCD 中,已知AB ＝13,AC ＝10,AD ＝5,CD ＝65,AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B→||A C →cos ∠BAC ,所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C →＝5013×10＝513. (2) 在△ADC 中,AC ＝10,AD ＝5,CD ＝65.由余弦定理,得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.因为∠CAD ∈(0,π),所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. (3) 由(1)知,cos ∠BAC ＝513.因为∠BAC ∈(0,π),所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.题型二 运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题,在解三角形时要分析三角形中的边角关系,要合理的使用正,余弦定理,要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理,就要抓住这两个定理的使用条件. 例3,(2019年江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．(1)若a =3c ,b B =23,求c 的值； (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值． 【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程,解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值,然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.(1)因为23,3a cb B ===,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得23=,即213c =.所以c =(2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭题型三,运用正余弦定理研究三角形中有关的范围无论是在利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,还是利用三角恒等式消元的过程中都需要有较强的目标意识．本题通过不同角度的消元将问题转化为利用基本不等式求最值的问题进行解决．由目标式的结构则容易联想利用斜三角形中的恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 将问题作进一步处理 例4,(2019无锡期末)在锐角三角形 ABC 中,已知2sin 2A ＋ sin 2B ＝ 2sin 2C,则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________． 【答案】132解法1：因为 2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C,所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2由余弦定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A又因为sin B ＝sin ＝sin (A ＋C)＝sin A cos C ＋cos A sin C 所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝c os C 4＋sin C 4tan C可得tan C ＝3tan A,代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A3tan 2A －1 所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A因为A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以tan A>0,所以3tan A 4＋1312tan A ≥23tan A 4×1312tan A ＝132当且仅当3tan A 4＝1312tan A ,即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132. 解法2：过点B 作BD⊥AC 于D,设AD ＝x,DC ＝y,BD ＝h,则tan A ＝h x ,tan C ＝h y.同解法1可得tan C ＝3tan A,tan B ＝4tan A 3tan 2A －1 则h y ＝3h x 即x ＝3y,tanB ＝4h x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫h x 2－1＝4hx3h 2－x 2 所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝x h ＋3h 2－x 24hx ＋y h ＝3y h ＋3h 2－9y 212hy ＋y h ＝13y 4h ＋h 4y ≥132当且仅当13y 4h ＝h4y 即y ＝13y 时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132.题型四,正余弦定理与向量的结合三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行,垂直,夹角,数量积等知识都可以与三角函数进行交汇．不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,都会出现交汇问题中的难点,对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求例5,(2019无锡期末)在 △ABC 中,设 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知向量 m ＝ (a ,sin C －sin B ),n ＝(b ＋c ,sin A ＋sin B ),且m ∥n .(1)求角 C 的大小；(2)若 c ＝ 3, 求 △ABC 的周长的取值范围．(1)由m ∥n 及m ＝(a ,sin A － sin B ),n ＝(b ＋c ,sin A ＋sin B ) 得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0,(2分)由正弦定理,得：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R －b2R ＝0,所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0,得c 2＝a 2＋b 2＋ab , 由余弦定理,得c 2＝a 2＋b 2－2ab co C ,所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ,所以ab ＝－2ab cos C ,(5分)因为ab >0,所以cos C ＝－12,又因为C ∈(0,π),所以C ＝2π3.(7分)(2)在△ABC 中,由余弦定理,得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝9,即(a ＋b )2－ab ＝9.(9分)所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,所以3（a ＋b ）24≤9,即(a ＋b )2≤12,所以a ＋b ≤23,(12分)又因为a ＋b >c ,所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3,即周长l 满足6<l ≤3＋23, 所以△ABC 周长的取值范围是(6,3＋23]．(14分) 二,达标训练1,(2019苏州三市,苏北四市二调)在△ABC 中,已知C ＝120°,sin B ＝2sin A,且△ABC 的面积为23,则AB 的长为________． 【答案】 27【解析】设角A,B,C 的对边分别为a,b,c.因为sin B ＝2 sin A,由正弦定理得b ＝2a,因为△ABC 的面积为23,所以S ＝12ab sin 120°＝32a 2＝23,解得a ＝2,所以b ＝4,则AB ＝c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－2×2×4cos 120°＝27.2,(2019南京学情调研)已知△ABC 的面积为315,且AC －AB ＝2,cos A ＝－14,则BC 的长为________．【答案】 8【解析】在△ABC 中,cos A ＝－14,所以sin A ＝1－cos 2A ＝154,由S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc×154＝315得bc ＝24,由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c)2＋2bc －2bc cos A ＝22＋48＋12＝64,即a ＝8. 3,(2017南京,盐城一模) 在△ABC 中,已知AB ＝3,C ＝π3,则CA →·CB →的最大值为________．【答案】32【解析】因为AB ＝3,C ＝π3,设角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,所以由余弦定理得3＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ,当且仅当a ＝b ＝3时等号成立,又CA →·CB →＝ab cos C ＝12ab ,所以当a ＝b ＝3时,(CA →·CB →)max ＝32.4,(2016盐城三模) 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若△ABC 为锐角三角形,且满足b 2－a 2＝ac ,则1tan A －1tan B的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫1，233【解析】思路分析 思路一,根据题意可知,本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入,又因已知锐角和边的关系,而所求为正切值,故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二,本题所求为正切值,故可以构造直角三角形,用边的关系处理．解法1 原式可化为1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin A sin A sin B ＝sin (B －A )sin A sin B.由b 2－a 2＝ac 得,b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ,即a ＝c －2a cos B ,也就是sin A ＝sin C －2sin A cos B ,即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A ),由于△ABC 为锐角三角形,所以有A ＝B －A ,即B ＝2A ,故1tan A －1tan B ＝1sin B ,在锐角三角形ABC 中易知,π3<B <π2,32<sin B <1,故1tan A －1tan B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.解法2 根据题意,作CD ⊥AB ,垂足为点D ,画出示意图．因为b 2－a 2＝AD 2－BD 2＝(AD ＋BD )(AD －BD )＝c (AD －BD )＝ac ,所以AD －BD ＝a ,而AD ＋BD ＝c ,所以BD ＝c －a2,则c >a ,即ca>1,在锐角三角形ABC 中有b 2＋a 2>c 2,则a 2＋a 2＋ac >c 2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a－2<0,解得－1<c a <2,因此,1<c a <2.而1tan A －1tan B ＝AD －BD CD＝a a 2－⎝⎛⎭⎪⎫c －a 22＝11－14⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.5,(2016徐州,连云港,宿迁三检)如图,在梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ,AD ＝1,BD ＝210,∠CAD ＝π4,tan∠ADC＝－2.(1) 求CD 的长； (2) 求△BCD 的面积．解析： (1)因为tan∠ADC ＝－2,且∠ADC ∈(0,π),所以sin∠ADC ＝255,cos∠ADC ＝－55.所以sin∠ACD ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－∠ADC －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫∠ADC ＋π4＝sin∠ADC ·cos π4＋cos∠ADC ·sin π4＝1010,(6分) 在△ADC 中,由正弦定理得CD ＝AD ·sin∠DACsin∠ACD＝ 5(2) 因为AD ∥BC, 所以cos∠BCD ＝－cos∠ADC ＝55,sin∠BCD ＝sin∠ADC ＝255在△BDC 中,由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD ,得BC 2－2BC －35＝0,解得BC ＝7, (12分)所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×7×5×255＝7.6,(2019镇江期末)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B.(1) 求cos B 的值；(2)若|CA →－CB →|＝2,△ABC 的面积为22,求边b.规范解答 (1) 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C,C cos B ＋b cos C ＝3a cos B,得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B,(3分)则有3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A.(5分) 又A∈(0,π),则sin A>0,(6分) 则cos B ＝13.(7分)(2) 因为B∈(0,π),则sin B>0,sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.(9分) 因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝2,(10分)所以S ＝12ac sin B ＝12a×2×223＝22,得a ＝3.(12分)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13＝9,则b ＝3.(14分)7,(2018常州期末)已知△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角A,B,C 的对边,且3b sin C ＝c cos B ＋c.(1) 求角B 的大小； (2) 若b 2＝ac,求1tan A ＋1tan C的值． 规范解答 (1) 由已知及正弦定理得3sin B sin C ＝cos B sin C ＋sin C.在△ABC 中,sin C>0,所以3sin B－cos B ＝1,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12.又B∈(0,π),故－π6<B －π6<5π6,所以B －π6＝π6,所以B ＝π3.(6分)(2) 因为b 2＝ac,由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C, 故1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin （π－B ）sin A sin C ＝sin Bsin A sin C , 所以1tan A ＋1tan C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.(14分) 8,(2016扬州期末)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω>0)的周期为π.(1) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,求函数f (x )的值域；(2) 已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f(A2)＝3,且a ＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．规范解答 (1) f (x )＝32(1＋cos2ωx )＋12sin2ωx ＝sin2ωx ＋π3＋32.(2分) 因为f (x )的周期为π,且ω>0,所以2π2ω＝π,解得ω＝1.所以f (x )＝sin2x ＋π3＋32.(4分)又0≤x ≤π2,得π3≤2x ＋π3≤43π,－32≤sin2x ＋π3≤1,0≤sin2x ＋π3＋32≤32＋1,即函数y ＝f (x )在x ∈0,π2上的值域为0,32＋1.(7分)(2) 因为f A 2＝3,所以sin A ＋π3＝32.由A ∈(0,π),知π3<A ＋π3<43π,解得A ＋π3＝23π,所以A ＝π3.(9分)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,即16＝b 2＋c 2－bc . 所以16＝(b ＋c )2－3bc ,因为b ＋c ＝5,所以bc ＝3.(12分) 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝334.(14分)。
正弦定理余弦定理解三角形技巧
正弦定理余弦定理解三角形技巧以正弦定理和余弦定理为基础的三角形解题技巧在解决三角形相关问题时，正弦定理和余弦定理是非常有用的工具。
它们可以帮助我们计算三角形的各个角度和边长，从而解决一系列问题，比如求解未知边长、未知角度、判断三角形类型等。
下面我将介绍一些使用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的技巧。
一、正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的正弦值之间的关系。
具体表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，A、B、C分别代表三角形的三个角度。
通过正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两个角和一个边的长度，求解其他未知边和角。
2. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。
3. 已知一个边和两个角的大小，求解其他未知边和角。
以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用正弦定理求解其他未知边和角。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：5/sinA = 7/sinB = c/sin30通过计算可得sinA ≈ 0.866，sinB ≈ 0.5。
将这些结果代入等式中，可以求解出c ≈ 8.66，A ≈ 60度，B ≈ 30度。
二、余弦定理余弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的余弦值之间的关系。
具体表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，C代表三角形的一个角的大小。
通过余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三个边的长度，求解三个角的大小。
2. 已知两个边和对应的夹角，求解第三边的长度。
3. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。
以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用余弦定理求解其他未知边和角。
高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
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微专题2正余弦定理与解三角形
一、单项选择题
1. 在△ABC中，已知(b＋c)sin C＝a sin A－b sin B，则角A的大小为()
A. π
6 B.
π
3
C. 2π
3 D.
5π
6
2. 在△ABC中，若AB＝3, BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为()
A. 3
2 B.
32
2
C. 33
2 D.
3 3
3. 《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．如图所示是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为8m，代表阴阳太极图的圆的半径为2m，则每块八卦田的面积约为()
(第3题)
A. 32m2
B. 37m2
C. 42m2
D. 84m2
4. 在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，3AB＝2BC, AC＝13，BD⊥AB, CD＝3，则四边形ABCD的面积为()
A. 3＋1
B. 23＋2
C. 73
2 D. 7 3
二、多项选择题
5. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的有()
A. b＝7, c＝3, C＝30°
B. b＝5, c＝4, B＝45°
C. a ＝6, b ＝33， B ＝60°
D. a ＝20, b ＝30, A ＝30°
6. 如图，在△ABC 中，3(a cos C ＋c cos A )＝2b sin B ，且∠CAB ＝π3.若D 是△
ABC 外一点，DC ＝1, DA ＝3，下列说法中正确的有( )
(第6题)
A. ∠B ＝π3
B. ∠BCA ＝π3
C. 四边形ABCD 面积的最大值为532＋3
D. 四边形ABCD 的面积无最大值
三、 填空题
7. 在△ABC 中，c ＝2, C ＝π3， sin B ＝2sin A ，则△ABC 的面积为________．
8. 在△ABC 中，a ＝2， b ＝2, sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
9. 在△ABC 中，a ＝4, a sin B ＝3b cos A ，若S △ABC ＝43，则b 2＋c 2＝________.
10. 在△ABC 中，2B ＝A ＋C ，下列说法中正确的有________．(填序号) ① B ＝π3；
② 若b 2＝ac ，则△ABC 为等边三角形；
③ 若a ＝2c ，则△ABC 为锐角三角形；
④ 若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB
→，则3A ＝C ； ⑤ 若tan A ＋tan C ＋3>0，则△ABC 为钝角三角形．
四、 解答题
11. 在△ABC 中，b ＝6, cos B ＝427.
(1) 若A ＝30°，求△ABC 的面积；
(2) 若点M 在线段BC 上，连接AM ，若CM ＝4, AM ＝27，求c 的值．
12. 在△ABC中，cos2B－cos2C－sin2A＝－sin A sin B.
(1) 求角C的大小；
(2) 若c＝7，________(从下列问题中任选一个作答)．
①△ABC的面积为63，求△ABC的周长；
②△ABC的周长为21，求△ABC的面积．
13. 给出下列条件：①a2＋c2＝b2－23
3ac, ②1＋cos2A＝2sin
2
A
2，③a
＝3，④b＝2.已知△ABC同时满足上述四个条件中的三个．
(1) 满足△ABC有解的序号组合有哪些？
(2) 在(1)的组合中任选一组，求△ABC的面积．。