第三讲 面板数据变系数模型2

0.36 0.719 -.0308242 .0446818
_c ons
25.00319 6.239317
4.01 0.000
12.77435 37.23202
面板数据计量分析 白仲林
2 面板数据随机系数模型
自 Swamy（1970、1973 和 1978 等）应用面板数据的随机系数模型研究美国各州汽油需 求函数等问题以来，面板数据的随机系数模型得到了一些应用。然而，由于该类模型的参数 估计计算比较复杂，制约了它的广泛应用，经验研究主要集中于随机效应模型的使用。但是 这并不意味着随机系数模型不重要，实际上，在研究经济增长收敛理论（Durlauf，2001） 等许多经济问题时，建立面板数据随机系数模型是解决问题的合理方法（Canova，1999）。 本节主要介绍两种面板数据随机系数模型，一种是 Swamy 随机系数模型，另一种是 Hsiao 随机系数模型。
sureg (I1 = F1 C1) (I2 = F2 C2[, noconstant]) (I3 = F3 C3) (I4 = F4 C4) (I5 = F5 C5)[ , isure]
. sureg (I1 = F1 C1) (I2 = F2 C2) (I3 = F3 C3) (I4 = F4 C4) (I5 = F5 C5)
Σ
+ σi2
X
' i
X
i
−1
⎤ ⎥⎦
−1
.
于是，在模型（5.3）的协方差矩阵 Ω 已知的情况下， β 的 GLS 估计
( ) ∑ ∑ ∑ βˆ =
X ' Ω−1 X
−1
X ' Ω Y −1
=
⎛ ⎜⎝
N i =1
X ω X ' −1 ii i
⎞−1 ⎟⎠
N i =1
X ω Y ' −1 ii i
来自百度文库
=
N Wi βˆ i
+ uimt 的情形。
SUR 模型的检验
Breusch 和 Pagan（1980）基于 Lagrange 乘数（Lagrange multiplier）方法提出了检验零
假设
H0： Ω 是对角矩阵
的 LM 统计量。
不含截距选
SUR 模型的 Stata 估计
以 Grunfeld(1958)数据的前 5 家公司数据为例。 Stata 命令：
⎢ ⎣
X
M
⎥ ⎦
⎢ ⎣
X
m N
⎥ ⎦
，
⎜ ⎝
xm 1iT
则模型（4.1）写成矩阵形式
xm 2i1
xm 2i2
" "
xm Ki1
xm Ki 2
⎞ ⎟ ⎟
# % #⎟
xm 2iT
"
xm KiT
⎟ ⎠
y = Xβ + ε
ε~（0，Ω）
（4.3）
( ) ( ) 其中， β' = β 1'
"
β M ' ， β m = β1m
其中，β 是常数均值向量 β =(β1
β2
"
βK
)' ，ξ it
是均值为零、具有固定协方差矩阵的随机
向量ξ =(ξ
it
1it
ξ 2it
"
ξ Kit
)'
，则称满足（6.16）式的模型是面板数据随机系数模型。
5.1 Swamy 随机系数模型
如果随机系数模型（5.2）中 K 个解释变量的系数向量 β i 是均值 β 和协方差矩阵 Σ 的
的 GLS 估计量才是最佳线性无偏估计(BLUE)。 由计算分块矩阵逆的引理1容易证明，
( ) ( ) 1引理：对于矩阵 A、B 和 D， A + BDB' −1 = A−1 − A−1B B' A−1B + D−1 −1 B' A−1 .
面板数据计量分析 白仲林
( ) X
' i
ωi−1
X
i
=
⎡ ⎢⎣
46.73 0.0000
I4
20
2 12.34291 0.9122
210.78 0.0000
I5
20
2 8.391486 0.6778
39.19 0.0000
迭代估计法选项
Coef. Std. Err.
z
P>| z|
[95% Conf. Interval]
I1
F1
.1288887 .0212979
6.05 0.000
ε m = ( IN ⊗ιT )ξ m + um
E
⎛ ⎜ ⎝
ξ u
m m
⎞ ⎟ ⎠
(ξ
l
'
ul
')
=
⎛ ⎜
σ
2 ξ ,ml
I
N
⎝
⎞
σ I 2 u,ml NT
⎟ ⎠
，
m，l = 1, 2, …, M
ξ ~（0，∑ ξ ⊗ IN）
u ~（0，∑u ⊗ INT），
( ) ( ) 其中，∑ ξ =
σ2 ξ ,ml
面板数据计量分析 白仲林
第三讲 面板数据变系数回归模型
1 确定性变系数模型——SUR 模型
单因素面板数据 SUR 模型 前面所讨论的面板数据模型属于面板数据单方程模型，常常也需要建立多方程的面板数
据模型。这里只讨论一种最简单的情形，即假设在 M 个方程中，每个单方程模型的解释变 量各不相同。对于更一般的情况，请参考 Baltagi(2008，P121-141).
随机向量，并且， β 和 Σ 分别是不随时间变化的向量和矩阵，则面板数据随机系数模型可
写为矩阵形式
Y = Xβ + Xξ + U
（5.3）
⎡ Y1 ⎤
其中，Y
=
⎢ ⎢
Y2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
⎡ X1 ⎤
，
X
=
⎢ ⎢ ⎢
X2 #
⎥ ⎥ ⎥
⎡ x1i1
，
Xi
=
⎢⎢x1i ⎢#
2
x2i1 " xKi1 ⎤
x2i2
.0059292 .2278877
C2
.4503213 .1218427
3.70 0.000
.211514 .6891286
_c ons
47.17259 114.8141
0.41 0.681
-177.859 272.2041
I3
F3
.0352793 .0127776
2.76 0.006
.0102357 .0603228
i =1
（5.5）
∑ ( ) ( ) ( ) 其中，Wi
=
⎧ ⎨ ⎩
N j =1
⎡ ⎣
Σ
+σ 2 j
X
' j
X
j
−1
⎤ −1 ⎦
⎫−1 ⎬ ⎭
⎡ ⎣
Σ
+σ 2 i
X
' i
X
i
⎤ −1 −1 ⎦
，
βˆ i
=
X
' i
X
i
−1
X
Y'
ii
是第
i
个个体模型系数向量 βi 的 OLS 估计。
由（5.5）式可见，模型（5.3）的 GLS 估计 βˆ 是 βi 的 OLS 估计 βˆ i 的矩阵加权平均。并 且， βˆ 的协方差矩阵
(占总资产)比率是影响工业电力需求的重要因素。但是，考虑到宏观或产业政策的相互影响， 使得这三个模型的误差项具有相关性，因此需要将它们联立估计。
这时，面板数据模型应该设定为
K
∑ y
m it
=
β
m k
x
m kit
+
εm it
i = 1,2," , N ； t = 1,2," ,T
k =1
m = 1，2，…, M
"
xKi2
⎥ ⎥
# " #⎥
⎡X1
⎢ ， X =⎢⎢
X2 %
⎤ ⎥ ⎥， ⎥
⎢⎥ ⎣YN ⎦ NT×1
⎢⎥ ⎣ X N ⎦ NT×K
⎢ ⎣x1iT
x2iT
"
⎥ x ⎦ KiT T×K
⎢ ⎣
⎥ XN⎦
⎡ ξ1 ⎤
⎡ξ1i ⎤
⎡ u1 ⎤
ξ
=
⎢ ⎢
ξ
2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
， ξi
=
⎢⎢ξ2i ⎢#
⎥ ⎥ ⎥
Seemingly unrelated regression
Eq uat ion
Obs Parms
RMSE "R-sq"
chi 2
P
I1
20
2 85.19983 0.9203
261.12 0.0000
I2
20
2 90.75319 0.4487
20.06 0.0000
I3
20
2 26.13536 0.6954
⎢⎢
'
⎤ ⎥⎦
=
E
⎢ ⎢
⎢ ⎢
X1ξ1 + u1 X2ξ2 + u2
#
⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢
X1ξ1 + u1 X2ξ2 + u2
#
⎤' ⎤ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥
⎢ ⎢⎣
⎢ ⎣
X
N
ξ
N
+
uN
⎥ ⎦
⎢ ⎣
X
N
ξ
N
+
uN
⎥ ⎦
⎥ ⎥⎦
⎡ω1
⎤
⎢ =⎢
⎢
ω2 %
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
ωN
⎥ ⎦
是块对角阵，对角线上第 i 个块矩阵
（5.4）
ωi = E ⎡⎣(Xiξi + ui )(Xiξi + ui )' ⎤⎦ = E ⎡⎣(Xiξi )(Xiξi )' + uiui' ⎤⎦ ，
ωi
=
X
i
ΣX
' i
+
σ
2 i
IT
i = 1,2,3," , N .
5.2 Swamy 随机系数模型的估计
由于模型（5.3）的合并随机项 Xξ +U 存在异方差和序列相关性，所以，模型（5.3）
，U
=
⎢ ⎢
u2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
.
⎢⎥ ⎣ξN ⎦
⎢⎣ξKi
⎥ ⎦
⎢ ⎣
uN
⎥ ⎦
面板数据计量分析 白仲林
1970 年，Swamy 在下面的假设下，解决了模型（5.3）的参数估计问题，故称模型（5.3） 为 Swamy 随机系数模型。
假设 1：面板数据的个体数 N 和时期数 T 大于解释变量个数 K； 假设 2：解释变量不是随机的；
.3141704 .0260555 12.06 0.000
.2631025 .3652383
_c ons
.6961959 11.57599
0.06 0.952 -21.99233 23.38473
I5
F5
.1444101 .0501274
2.88 0.004
.0461623
.242658
C5
.0069288 .0192621
( ) 即，
βi
=
β
+ξ i
， E (ξi )
=
0；E
ξi
ξ
' j
⎧Σ
=
⎨ ⎩
0
(i (i
= ≠
j) j)
；
假设 5：对任意的 i 和 j，误差向量 ui 与系数向量 β j 独立。 于是，模型（5.3）的合并随机项 Xξ +U 的协方差矩阵
( )( ) Ω
=
E
⎡ ⎢⎣
Xξ +U
Xξ +U
⎡⎡
（4.1）
其中，
ε
m it
=
ξim
+
uimt
，即单因素误差的联立模型。
( ) ( ) 设 ξ m = ξ1m
"
ξ
m N
' ， um =
u1m1
"
u1mT
u2m1 " u2mT
" uNm1 " uNmT ' ，且
( ) ( ) ξ ' = ξ1' " ξ M ' ， u' = u1' " uM ' ，于是，
假设面板数据模型
K
∑ yit = βkit xkit + uit i = 1,2," , N ； t = 1,2," ,T k =1
（5.1）
的系数向量 β 的均值向量为 β 、协方差矩阵为 Σ ，且随机向量
β = β +ξ
it
it
( i = 1,2," , N ， t = 1,2," ,T )
（5.2）
和∑u=
σ2 u,ml
是 M×M 矩阵。
所以，M 个方程的误差向量 ε 的方差协方差矩阵是
Ω= E(εε′)= ∑ξ ⊗ ( IN ⊗ JT)+ ∑u ⊗ ( IN ⊗ IT)
（4.2）
( ) 其中，JT 是元素为 1 的 T×T 矩阵， ε ' = ε 1' " ε M ' 是 1×MNT 的误差列向量。
C3
.1370399 .0224845
6.09 0.000
.0929712 .1811087
_cons -21.03639 26.55502 -0.79 0.428 -73.08328 31.01049
I4
F4
.0682848 .0170288
4.01 0.000
.0349089 .1016607
C4
"
β
m K
' ，m = 1, 2, …, M
显然，模型（4.3）是标准的线性 SUR 模型（Zellner，1962）。从而，可以基于 SUR
模型的两种估计方法（FGLS 估计量和迭代估计法 ITERZEF）估计模型（4.1）。
类似地，也可以讨论双因素误差的模型（4.1），即，
ε
m it
= ξim
+ λtm
假设 3：对每个个体 i，误差向量 Ui 是均值为零、具有协方差矩阵为 σi2 IT 的独立同分布
( ) 随机向量，即， E (ui ) = 0 ， E
ui u'j
=
⎧σ ⎨
2 i
IT
⎩0
(i = j) (i ≠ j) .
假设 4：模型（5.3）的系数向量 βi 是均值 β 和协方差矩阵 Σ 的独立同分布随机向量，
面板数据计量分析 白仲林
( ) ( ) 类似地，设 y' = y1' " yM ' ， ym = y1m1 " y1mT " yNm1 " yMmT '
⎡ X1
⎢ X =⎢
⎢
X2 %
⎤
⎡
Xm 1
⎤
⎥ ⎥，
其中， X m
=
⎢ ⎢
Xm 2
⎥ ⎥
⎥
⎢⎥
Xm i
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
xm 1i1
xm 1i 2 #
.0871455 .1706319
C1
.3758285 .0327336 11.48 0.000
.3116718 .4399852
_cons -194.2639 88.39845 -2.20 0.028 -367.5217 -21.00617
I2
F2
.1169084 .0566231
2.06 0.039
例如，在研究一个国家的居民家庭、商业和工业电力需求时，需要建立三个模型（它们
的个体分别是家庭、商场和工业企业），每个模型除不可观测的宏观（时间效应）/部门（个 体效应）因素外，影响个体电力需求的可观测因素也因个体而异。人均可支配收入是影响居
民电力需求的重要因素；单位资产的营业面积是影响商业电力需求的重要因素；而固定资产