《现代控制理论基础》第八章(5)
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现代控制理论
定理3.4 对于n阶连续时间线性定常系统 x=Ax+Bu y=Cx+Du
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
第八章 现代控制理论基础
8 1 3 = 3 − 2 − 6 s +1 s + 2 s + 4 8 1 3 Y ( s ) = ( 3 − 2 − 6 )U ( s ) s +1 s + 2 s + 4
设
1 X1 ( s ) = U( s ) s +1 1 X2( s ) = U( s ) s+2 1 X3( s ) = U( s ) s+4
2
状态与状态变量 状态： 状态：时间域中运动信息的集合 状态变量：描述系统时域行为的独立、 状态变量：描述系统时域行为的独立、数目最少的变量 N阶微分方程、状态变量数N、独立储能元件的个数 阶微分方程、状态变量数 、 阶微分方程 状态变量选取不是唯一的、不一定是可测的量 状态变量选取不是唯一的、 状态向量
x1 3 1 8 y= − − x2 2 6 3 x3
20
MATLAB根轨迹、 MATLAB根轨迹、频域特性分析 根轨迹
主要内容 根轨迹 Bode图 Bode图 Nyquist图 Nyquist图
21
根轨迹
num D( S ) = 1 + K =0 den
14
2. 实现： 给定一个系统的传递函数，求系统的状态方程 实现： 给定一个系统的传递函数， 可实现的条件：传递函数为真有理函数（ 可实现的条件：传递函数为真有理函数（n≥m) 传递函数的实现不是唯一的。 传递函数的实现不是唯一的。 例：
Y( s ) S 2 + 8 S + 15 G( s ) = = 3 U ( s ) S + 7 S 2 + 14 S + 8
…
得
v + 7 v + 14 v + 8v = u
《现代控制理论基础》PPT课件
1875 年 ， 英 国 的 劳 斯 （ E.J.Routh,1831-1907 ） ， 1995年，德国的赫尔维茨（A.Hurwitz，1859-1919）,先 后分别提出根据代数方程系数判别系统稳定性的一般准 则。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
现代控制理论基础知识资料
最优估计理论的内容
参数估计法；（最小方差、最小二乘法） 状态估计法（卡尔曼滤波）
§ 1.3 现代控制理论与经典控制理论的差异
庞特里亚金 L.S.Pontryagin
4. 罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens） 和麦克法仑（G.J.MacFarlane）研究了用于计算机辅助设计的 现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变 量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关 系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。
赫尔维茨（Hurwitz）
3.由于两次世界大战中军事 工业需要控制系统具有准确 跟踪与补偿能力，1932年奈 奎斯特（H.Nyquist）提出 了复数域内研究系统的频率 响应法，为具有高质量动态 品质和静态准确度的军用控 制系统提供了急需的分析工 具。
奈奎斯特
4.1948年伊文思（W.R.Ewans）提出了用图解方式研 究系统的根轨迹法。
1.五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态空间法； 在1957年提出了基于动态规划的最优控制理论。
2.1959年匈牙利数学家卡尔曼（Kalman） 和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年 在控制系统的研究中成功地应用了状态 空间法，并提出了可控性和可观测性的 新概念。
卡尔曼
3. 1961年庞特里亚金（俄国人）提出 了极小（大）值原理。
现代控制理论基础
Modern Control Theory
绪论
§ 1.1 现代控制理论的产生与发展 § 1.2 现代控制理论的内容 § 1.3 现代控制理论与经典控制理论的差异 § 1.4 现代控制理论的应用
§ 1.1 现代控制理论的产生与发展
同学们，我们都知道：控制理论作为一门科 学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方 方面面。
《现代控制理论基础》梁慧冰 孙炳达 绪论修改
（4）现代控制理论的优点（相对于经典控制）： ） 相对于经典控制）：
既适合线性定常系统， 既适合线性定常系统，也适合非线性及系统 既适合SISO系统，也适合MIMO(多输入多输 既适合SISO系统，也适合MIMO(多输入多输 SISO系统 MIMO( 出)系统 既适合确定性的系统，也适合随机系统 既适合确定性的系统， 考虑了初始条件， 考虑了初始条件，系统状态可以由初始条件 和输入来刻划 分析综合方法， 分析综合方法，可实现最优控制
1932年奈ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ斯特（H.Nyquist）提出了频域内研究 奈奎斯特（ 奈奎斯特 ） 系统的频率响应法 频率响应法，为具有高质量的动态品质和静态 频率响应法 准确度的军用控制系统提供了所需的分析工具。 1948年伊文斯（W.R.Ewans）提出了复数域内研 伊文斯（ 伊文斯 ） 究系统的根轨迹法 根轨迹法。 根轨迹法 建立在奈奎斯特的频率响应法和伊文斯的根轨迹 法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论（或自 经典（ 经典 古典）控制理论（ 动控制理论）。 动控制理论）。
（3）现代控制理论的产生和发展 ）
在二十世纪五十年代末开始， 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速 发展，推动了核能技术、空间技术的发展， 发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出 现了对多输入多输出系统、非线性系统和时变系统 现了对多输入多输出系统、 的分析与设计问题的解决需求。 的分析与设计问题的解决需求。 越来越复杂的系统，经典控制理论已不能胜任， 越来越复杂的系统，经典控制理论已不能胜任， 年代末60年代初出现了现代控制理论 于50年代末 年代初出现了现代控制理论，是建立 年代末 年代初出现了现代控制理论， 在古典控制理论基础上的新一代的控制理论。 在古典控制理论基础上的新一代的控制理论。
现代控制理论Modern Control Theory
c(t)
s(s 1)(4s 1)
试分析系统的稳定性
解 非线性环节为库仑摩擦加黏性摩擦
查表得描述函数 N ( A) K 4M
Chapter 8 Analysis and design of nonlinear system
非线性系统的分析与设计
2
The Principle of Automatic Control 2008
第八章、非线性控制系统分析
8.1 非线性控制系统概述 8.2 相平面法 8.3 描述函数法 8.4 改善非线性系统性能的措施及非线性特
8.1 非线性控制系统概述
8.1.3 非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理— 线性系统理论原则上不能运用
• 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，初条件有关，平衡点可能不惟一
• 自振运动
— 非线性系统特有的运动形式
没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具 有固定振幅和频率的稳定周期运动,简称自振
性的利用（稳定性判别）
3
The Principle of Automatic Control 2008
8.1 非线性控制系统概述
8.1.1 非线性现象的普遍性
非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述
E.g. 欧姆定律U=IR
4
The Principle of Automatic Control 2008
j
G( j)
1 N ( A)
1 N ( A)
0
当гG曲线包围
1 N ( A)
,系统不稳定
当гG曲线不包围 N (1A),系统稳定
25
The Principle of Automatic Control 2008
现代控制理论课件教材
2. 1895年劳斯（Routh）与赫
尔维茨（Hurwitz）把马克 斯韦尔的思想扩展到高阶微 分方程描述的更复杂的系 统中,各自提出了两个著名
的稳定性判据—劳斯判据
和赫尔维茨判据。基本上 满足了二十世纪初期控制 赫尔维茨（Hurwitz）
工程师的需要。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
水 运 仪 象 台
2. 公元1086－1089年 （北宋哲宗元祐初年）， 我国发明的水运仪象台， 就是一种闭环自动调节系 统。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
二 起步阶段
随着科学技术与工业生 产的发展，到十八世纪， 自动控制技术逐渐应用到 现代工业中。其中最卓越 的代表是瓦特（J.Watt） 发明的蒸汽机离心调速器， 加速了第一次工业革命的 步伐。
•成绩:
• 期终考试: 70% • 作业: 15% • 出席: 15%
同济大学汽车学院 2013
同济大学 汽车学院
College of Automotive, Tongji University
课程内容：
• 绪论 • 控制系统的状态空间描述 • 线性控制系统的运动分析 • 线性控制系统的能控性和能观性 • 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 • 状态反馈和状态观测器 • 最优控制
3.由于第二次世界大战需要 控制系统具有准确跟踪与补 偿能力，1932年奈奎斯特 （H.Nyquist）提出了频域 内研究系统的频率响应法， 为具有高质量的动态品质和 静态 准确度的军用控制系 统提供了所需的分析工具。
奈奎斯特
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
4.1948年伊万斯（W.R.Ewans）提出了复数域内 研究系统的根轨迹法。 建立在奈奎斯特的频率响应法和伊万斯的根轨 迹法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论 （或自动控制理论）。
《现代控制理论基础》第八章(3)
15
计算行列式得： Qo = 0， 事实上 rankQo = 2 < 3 det 该系统不完全能观。
16
2 [Jordan标准型判据 标准型判据] 标准型判据 1） 若系统（2）为对角标准型，其矩阵 A 的特征 值 λ1 , λ2 ,L , λn 两两互异，
λ1 0 L 0 0 λ O M 2 x = x & M O O 0 0 L 0 λn y = Cx
满足条件：
AII = A
T I
BII = C
T I
CII = B
T I
则称系统 ∑ 1 与系统 ∑ 2 是互为对偶的系统。
23
注意
∑
∑
1
2
r 输入 m 输出 n 阶系统 m 输入 r 输出 n 阶系统
BI
∑ u I
1
+
∫
AI
xI
CI
yI
∑ u II
2
C
T I
+
∫
AIT
xII
BIT
yII
对偶系统结构原理图
答：能控
1 0 u 1 0 u 2 0 2
答：能控
11
& x1 λ1 1 0 x1 1 7 u （3） x2 = 0 λ1 0 x2 + 0 0 1 & u x3 0 0 λ3 x3 −3 2 2 &
答：不完全能观
22
8.3.3
能控性与能观性的关系 ——对偶原理 对偶原理
一. 对偶系统的概念
& xI = AI xI + BI uI & xII = AII xII + BII uII 若系统 ∑ 1 ： 与系统 ∑ 2 ： yI = C I x I yII = CII xII
计算行列式得： Qo = 0， 事实上 rankQo = 2 < 3 det 该系统不完全能观。
16
2 [Jordan标准型判据 标准型判据] 标准型判据 1） 若系统（2）为对角标准型，其矩阵 A 的特征 值 λ1 , λ2 ,L , λn 两两互异，
λ1 0 L 0 0 λ O M 2 x = x & M O O 0 0 L 0 λn y = Cx
满足条件：
AII = A
T I
BII = C
T I
CII = B
T I
则称系统 ∑ 1 与系统 ∑ 2 是互为对偶的系统。
23
注意
∑
∑
1
2
r 输入 m 输出 n 阶系统 m 输入 r 输出 n 阶系统
BI
∑ u I
1
+
∫
AI
xI
CI
yI
∑ u II
2
C
T I
+
∫
AIT
xII
BIT
yII
对偶系统结构原理图
答：能控
1 0 u 1 0 u 2 0 2
答：能控
11
& x1 λ1 1 0 x1 1 7 u （3） x2 = 0 λ1 0 x2 + 0 0 1 & u x3 0 0 λ3 x3 −3 2 2 &
答：不完全能观
22
8.3.3
能控性与能观性的关系 ——对偶原理 对偶原理
一. 对偶系统的概念
& xI = AI xI + BI uI & xII = AII xII + BII uII 若系统 ∑ 1 ： 与系统 ∑ 2 ： yI = C I x I yII = CII xII
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
《现代控制理论基础》第八章(5)
19
二. 寻求最小实现的步骤 [定理] 传递函数矩阵 W ( s ) 的一个实现
⎧ x = Ax + Bu ∑ : ⎨ y = Cx ⎩
为最小实现的充分必要条件是：
∑ ( A, B, C ) 既能控又能观。
证明从略。
20
[求解最小实现的步骤] 1） 对给定的传递函数矩阵W ( s ) ，先初步选出一种实 现 ∑ ( A, B, C ) ，通常最方便的是选取能控规范型 实现或能观规范型实现。 2） 对上一步初选的实现 ∑ ( A, B, C ) ，找出其完全能控 且完全能观部分 ( A1 , B1 , C1 ) ，则这个能控能观部 分就是W ( s )的一个最小实现。
C r = [ β0
其中
β1
βn−1 ]
or
Ir
r × r 阶零矩阵 r × r 阶单位矩阵
分母多项式的次数
r
输入向量的维数
n
7
注： （1） 这个实现的维数为 nr 维； （2） 当
m = r = 1 时，上述形式简化为单输入单输出 n 维
系统的情形。
8
二. 能观规范型实现
⎡0m ⎢I ⎢ m Ao = ⎢0m ⎢ ⎢ ⎢0m ⎣
的最小实现。 [解]
1 ⎤ s +1 ⎥ ⎥ s +1 ⎥ s + 2⎥ ⎦
将 W ( s ) 化成严格的真有理分式，然后写出相
应的能控规范型（或能观规范型）。本题的能控规范型 已在例17中求得，即为：
27
1 0 0 0⎤ ⎡0 0 ⎢0 0 0 1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 1 0⎥ A=⎢ ⎥ 0 0 0 1⎥ ⎢0 0 ⎢ −6 0 −11 0 −6 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −6 0 −11 0 −6 ⎥ ⎣ ⎦
现代控制理论课件
图中，I为(n n )单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。
9
❖ 讨论： 1、状态变量的独立性。
2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、 动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是 唯一的，与状态变量的选取方法无关。
3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任 何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 例1－1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入
y2
up
yq
被控过程
5
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法： 输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。
种完整的描述。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一
6
1.2 状态空间描述常用的基本概念
1) 输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；
3) 状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。 4) 状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的
推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态 轨线或状态轨迹。
5) 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称
b2
p
bnp
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
cq1 cq2
cqn
d11 d12 L
D
d21
d22
L
d2
p
M
dqp
现代控制理论
b1 ab0 b2 1 ab1 1 a 2b0 2 2! 1 1 3 b ab a b0 3 2 3 3! bk 1 abk 1 1 a k b0 k k!
The value of b0 is determined by substituting t=0 into Equation (2.2), or
1
L1[(s a)1 ] eat
仿此有
I A A2 ( sI A) 2 3 s s s 1 L1[( sI A)1 ] I At A2t 2 e At 2!
1
现代控制理论基础
6
2.1
SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION
1 22 1 k k e 1 at a t a t 2! k 0 k! at
标量指数函数定义为
仿此，定义
1 22 1 k k e I At A t A t 2! k 0 k! At
称eAt为矩阵指数函数。所以
x(t ) e At x0
I At 1 22 1 A t A k t k e At 2! k!
In terms of the matrix exponential, the solution of Equation (2.4) can be written as
x(t ) e At x(0)
b1 2b2t 3b3t 2 kbk t k A(b0 b1t b2t 2 bk t k )
(2.6)
If the assumed solution is to be the true solution, Equation (2.6) must hold for all t. Thus, by equating the coefficients of like powers of t on both sides of Equation (2.6), we obtain
The value of b0 is determined by substituting t=0 into Equation (2.2), or
1
L1[(s a)1 ] eat
仿此有
I A A2 ( sI A) 2 3 s s s 1 L1[( sI A)1 ] I At A2t 2 e At 2!
1
现代控制理论基础
6
2.1
SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION
1 22 1 k k e 1 at a t a t 2! k 0 k! at
标量指数函数定义为
仿此，定义
1 22 1 k k e I At A t A t 2! k 0 k! At
称eAt为矩阵指数函数。所以
x(t ) e At x0
I At 1 22 1 A t A k t k e At 2! k!
In terms of the matrix exponential, the solution of Equation (2.4) can be written as
x(t ) e At x(0)
b1 2b2t 3b3t 2 kbk t k A(b0 b1t b2t 2 bk t k )
(2.6)
If the assumed solution is to be the true solution, Equation (2.6) must hold for all t. Thus, by equating the coefficients of like powers of t on both sides of Equation (2.6), we obtain
现代控制理论基础
现代控制理论基础I、描述部分更多免费资料，尽在第一章系统描述引言一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。
为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。
从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。
经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。
应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。
状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。
事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。
本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。
本章将首先给出状态空间方法的描述部分。
将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MATLAB进行各种模型之间的相互转换。
第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。
第三章将给出几种主要的设计方法。
本章节为控制系统状态空间分析的引言。
节介绍传递函数的状态空间表达式，并给出状态空间表达式的各种标准形。
节讨论用MATLAB进行系统模型的转换（如从传递函数变换为状态空间模型等）。
参考教材本讲义的主要参考教材[1][美]Katsuhiko Ogata着，卢伯英，于海勋等译，《现代控制工程》(第三版)，电子工业出版社，2000年。
[2]郑大钟编着，《线性系统理论》，清华大学出版社，1990年。
[3]常春馨主编，《现代控制理论基础》，机械工业出版社，1988年。
其他参考教材[4][日]绪方胜彦着，卢伯英等译，《现代控制工程》，科学出版社，1972年。
[5]王照林等编，《现代控制理论基础》，国防工业出版社，1981年。
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
现代控制理论基础课件共58页
4
二 控制理论的产生及其发展
5
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
2
个人基本情况(2)
1982.09-1986.06 河南大学数学系基础数学专业本科毕业
1986.06-2019.06 在河南大学从事科研和教学究工作
1993.09-2019.06 郑州大学基础数学专业硕士研究生毕业、获硕士学位
2019.09-2019.10 西北工业大学自动控制系博士研究生毕业 2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员 2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员 2019.12 获得副教授任职资格
2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员
2000.05-2019.04 清华大学《控制科学与工程》博士后流动站工作
2019.4 被聘任为教授 2019.05-2019.07 清华大学智能技术与系统国家重点实验做客座研究员 2019.02-2019.06 香港浸会大学计算机科学系高级访问教授
对于非线性系统，除了线性化及渐近展开等计算外， 主要采用相平面分析和谐波平衡法(即描述函数法)研究。
16
这一时期的主要代表人物除了奈奎斯特等人以外， 还有美国的伯德（H.W.Bode）和埃文斯（W.R.Evans）。
1945年，伯德出版了《网络分析和反馈放大器设计》 一书，提出了频率响应分析方法，即简便而实用的伯德 图法。
二 控制理论的产生及其发展
5
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
2
个人基本情况(2)
1982.09-1986.06 河南大学数学系基础数学专业本科毕业
1986.06-2019.06 在河南大学从事科研和教学究工作
1993.09-2019.06 郑州大学基础数学专业硕士研究生毕业、获硕士学位
2019.09-2019.10 西北工业大学自动控制系博士研究生毕业 2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员 2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员 2019.12 获得副教授任职资格
2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员
2000.05-2019.04 清华大学《控制科学与工程》博士后流动站工作
2019.4 被聘任为教授 2019.05-2019.07 清华大学智能技术与系统国家重点实验做客座研究员 2019.02-2019.06 香港浸会大学计算机科学系高级访问教授
对于非线性系统，除了线性化及渐近展开等计算外， 主要采用相平面分析和谐波平衡法(即描述函数法)研究。
16
这一时期的主要代表人物除了奈奎斯特等人以外， 还有美国的伯德（H.W.Bode）和埃文斯（W.R.Evans）。
1945年，伯德出版了《网络分析和反馈放大器设计》 一书，提出了频率响应分析方法，即简便而实用的伯德 图法。
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6 2 5 3 1 1 C 6 3 5 4 1 1
0 0 0 B 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1 0 D 1 1
28
判断该能控规范型实现的状态是否完全能观测：
2 5 3 1 1 6 6 3 5 4 1 1 C 6 6 5 9 1 3 Qo CA 6 6 5 8 1 2 2 CA 6 18 5 27 1 9 6 12 5 16 1 4
2
0m Ao I m 0m
0m 0m Im
0 I m 0 0 6 1 I m 1 0 11 2 I m 0 1 6
24
β0 3 1 Bo β1 1 1 β2 0 0
W (s) C sI A B D
1
1 1 s 1 s 3 1 0 1 1 1 1 s 2 s 1
11
将 C sI A B 写成按
1
s 降幂排列：
1 1 s 1 s3 1 1 s 2 s 1
（1 ）
βn1 , βn2 ,
s n1s
n n 1
, β1 , β0
m r 维矩阵
1s 0
特征多项式
5
W ( s)
当m r 递函数。
严格真有理分式矩阵
1时，它是一个单输入单输出系统的传
6
一. 能控规范型实现
0r Ac 0r 0 I r
2 2 s 5 s 6 s 3s 2 1 3 2 2 2 s 6s 11s 6 ( s 5s 6) ( s 4s 3) 1 1 2 5 3 6 2 1 3 s s 2 s 6s 11s 6 1 1 5 4 6 3
0 0 0 0 0 1
Cc 0
1
6 2 5 3 1 1 2 6 3 5 4 1 1
1 0 D 1 1
14
类似地，得能观规范型的各系数矩阵：
0m Ao I m 0m
0m 0m Im
x Ax Bu y Cx
使 x 的维数小于 x 的维数，则称式（2）的实现为最小 实现。 注： 最小实现与非最小实现的区别
非最小实现的状态向量中存在 着不能控或不能观的状态分量
18
传递函数（矩阵）只能反映系统中能控且能观 子系统的行为 把系统中不能控或不能观的状态分量消去，将 不会影响系统的传递函数（矩阵）
8.5 线性系统的实现
实现问题 如何根据一个传递函数（矩阵）写出状 态空间表达式的问题。
有理分式矩阵 G ( s) 必须满足物理可实现的条件：
（ 1） 传递函数矩阵 G ( s) 中的每一个元素 Gij ( s) 的分 子分母多项式的系数均为实常数。 （ 2） 传递函数矩阵 G ( s) 的每一个元素 Gij ( s) 必须是
系统的情形； （3 ） 多输入多输出系统的能观规范型并不是能控规范型 的转置，这一点和单输入单输出系统有所不同。
10
[例17]
试求
s 2 s 1 W (s) s s 1
1 s 3 s 1 s 2
的能控规范型和能观规范型。 [解] 首先将 W ( s) 化为严格的真有理分式。
30
变换阵 Ro 的构造方法：
R1 R 2 1 1 Ro Rn R n1 1 Rn
, R2 , 其中前 n1 行向量 R1
1 是能观性矩阵中的 n1 , Rn
1
1 , 个线性无关的行，另外的 (n n1 ) 行向量 Rn
rankQo 3 n 6
状态不完全能观。
所以该能控规范型不是最小实现，因此必须按照 能观性进行结构分解。
29
对系统
x Ax Bu y Cx
按照能观性进行结构分解需要引入如下线性变换：
x Ro x
变换后的系统变为
x Ax Bu y Cx
1 3 1 1 s 3 1 2 s 6s 11s 6
即
0 6
β0 3 1
1 11
2 6
β2 0 0
23
β1 1 1
由于W ( s) 是一个 1 2 的矩阵，故 输出向量的维数：m 1
输入向量的维数：r
先采用能观规范型实现：
12
因此
0 6, 1 11, 2 6
5 3 1 5 4 1 1 2 1 1
6 2 0 6 3
得能控规范型的各系数矩阵：
0r Ac 0 r 0 I r Ir 0r 1 I r
3
8.5.1 能控规范型实现与能观规范型实现
对于单输入单输出系统，一旦给出传递函数，就 能写出能控规范型和能观规范型实现。 推广
m r
维的传递函数矩阵 W ( s) 的实现问题。
将矩阵W ( s) 写成单输入单输出传递函数的形式：
4
n1s n1 βn2 s n2 β1s β0 W ( s) n n 1 s n1s 1s 0
2） 对上一步初选的实现 ( A, B, C )，找出其完全能控 且完全能观部分 ( A1 , B1 , C1 ) ，则这个能控能观部 分就是W ( s)的一个最小实现。
21
[例18]
求传递函数矩阵
1 W ( s) ( s 1)( s 2)
的最小实现。 [解]
1 ( s 2)( s 3)
, Rn
31
在确保 Ro 为非奇异的前提下，是完全任意选择的。 对本例而言，选取变换阵如下
1
6 2 5 3 1 1 6 3 5 4 1 1 6 6 5 9 1 3 1 Ro 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
β0 β 1 Bo βn 2 βn 1
Co 0m
其中
0m
Im
m
输出向量的维数
om
Im
m m 阶零矩阵 m m阶单位矩阵
9
注：
（1） 这个实现的维数为 nm维；
（2 ） 当
m r 1 时，上述形式简化为单输入单输出 n 维
19
二. 寻求最小实现的步骤
[定理] 传递函数矩阵 W ( s) 的一个实现
x Ax Bu : y Cx
为最小实现的充分必要条件是：
( A, B, C ) 既能控又能观
证明从略。
20
[求解最小实现的步骤]
1） 对给定的传递函数矩阵W ( s) ，先初步选出一种实 现 ( A, B, C ) ，通常最方便的是选取能控规范型 实现或能观规范型实现。
应的能控规范型（或能观规范型）。本题的能控规范型 已在例17中求得，即为：
27
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 A 0 0 0 1 0 0 6 0 11 0 6 0 0 6 0 11 0 6
25
rankQc 3 n
所以 ( Ao , Bo , Co ) 能控且能观，即为最小实现。
26
[例19]
求传递函数矩阵
s 2 s 1 W (s) s s 1
的最小实现。 [解]
1 s 1 s 1 s 2
将 W ( s) 化成严格的真有理分式，然后写出相
r
输入向量的维数
7
注：
（1） 这个实现的维数为 nr 维；
（2 ） 当
m r 1 时，上述形式简化为单输入单输出 n 维
系统的情形。
8
二. 能观规范型实现
0m I m Ao 0m 0m
0m Im 0m 0m Im
0 I m 1 I m n 1 I m
16
8.5.2 最小实现
一个可实现的传递函数矩阵拥有无穷多个状态空间 表达式与之对应。 从工程角度出发，寻求维数最小的实现具有重要的 现实意义。 一. 最小实现的定义 传递函数矩阵 W ( s) 的一个实现为
x Ax Bu y Cx
（2）
17
如果W ( s) 不存在其它实现
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0r 0 0 0 0 1 0 Ir 0 0 0 0 0 1 2 I r 6 0 11 0 6 0 0 6 0 11 0 6
13
0 0 0r 0 Bc 0r 0 Ir 1 0
s 的真有理分式函数。
1
真有理分式函数
分母多项式的次数。 严格真有理分式 分母多项式的次数。
分子多项式的次数不高于
Gij ( s) 分子多项式的次数小于
G ( s) 的所有元素均为严格真有理分式
实现具有形式 ( A, B, C )
2
G ( s) 中存在某元素，其分子分母多项式的次数相等
实现具有形式 ( A, B, C , D) 一般情况下，均研究严格真有理分式矩阵的实现 问题。
Co 0m 0m I m 0 0 1
检验所求的能观测实现 ( Ao , Bo , Co ) 是否能控。
Qc Bo
Ao Bo
A Bo
2 o
0 0 0 B 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1 0 D 1 1
28
判断该能控规范型实现的状态是否完全能观测：
2 5 3 1 1 6 6 3 5 4 1 1 C 6 6 5 9 1 3 Qo CA 6 6 5 8 1 2 2 CA 6 18 5 27 1 9 6 12 5 16 1 4
2
0m Ao I m 0m
0m 0m Im
0 I m 0 0 6 1 I m 1 0 11 2 I m 0 1 6
24
β0 3 1 Bo β1 1 1 β2 0 0
W (s) C sI A B D
1
1 1 s 1 s 3 1 0 1 1 1 1 s 2 s 1
11
将 C sI A B 写成按
1
s 降幂排列：
1 1 s 1 s3 1 1 s 2 s 1
（1 ）
βn1 , βn2 ,
s n1s
n n 1
, β1 , β0
m r 维矩阵
1s 0
特征多项式
5
W ( s)
当m r 递函数。
严格真有理分式矩阵
1时，它是一个单输入单输出系统的传
6
一. 能控规范型实现
0r Ac 0r 0 I r
2 2 s 5 s 6 s 3s 2 1 3 2 2 2 s 6s 11s 6 ( s 5s 6) ( s 4s 3) 1 1 2 5 3 6 2 1 3 s s 2 s 6s 11s 6 1 1 5 4 6 3
0 0 0 0 0 1
Cc 0
1
6 2 5 3 1 1 2 6 3 5 4 1 1
1 0 D 1 1
14
类似地，得能观规范型的各系数矩阵：
0m Ao I m 0m
0m 0m Im
x Ax Bu y Cx
使 x 的维数小于 x 的维数，则称式（2）的实现为最小 实现。 注： 最小实现与非最小实现的区别
非最小实现的状态向量中存在 着不能控或不能观的状态分量
18
传递函数（矩阵）只能反映系统中能控且能观 子系统的行为 把系统中不能控或不能观的状态分量消去，将 不会影响系统的传递函数（矩阵）
8.5 线性系统的实现
实现问题 如何根据一个传递函数（矩阵）写出状 态空间表达式的问题。
有理分式矩阵 G ( s) 必须满足物理可实现的条件：
（ 1） 传递函数矩阵 G ( s) 中的每一个元素 Gij ( s) 的分 子分母多项式的系数均为实常数。 （ 2） 传递函数矩阵 G ( s) 的每一个元素 Gij ( s) 必须是
系统的情形； （3 ） 多输入多输出系统的能观规范型并不是能控规范型 的转置，这一点和单输入单输出系统有所不同。
10
[例17]
试求
s 2 s 1 W (s) s s 1
1 s 3 s 1 s 2
的能控规范型和能观规范型。 [解] 首先将 W ( s) 化为严格的真有理分式。
30
变换阵 Ro 的构造方法：
R1 R 2 1 1 Ro Rn R n1 1 Rn
, R2 , 其中前 n1 行向量 R1
1 是能观性矩阵中的 n1 , Rn
1
1 , 个线性无关的行，另外的 (n n1 ) 行向量 Rn
rankQo 3 n 6
状态不完全能观。
所以该能控规范型不是最小实现，因此必须按照 能观性进行结构分解。
29
对系统
x Ax Bu y Cx
按照能观性进行结构分解需要引入如下线性变换：
x Ro x
变换后的系统变为
x Ax Bu y Cx
1 3 1 1 s 3 1 2 s 6s 11s 6
即
0 6
β0 3 1
1 11
2 6
β2 0 0
23
β1 1 1
由于W ( s) 是一个 1 2 的矩阵，故 输出向量的维数：m 1
输入向量的维数：r
先采用能观规范型实现：
12
因此
0 6, 1 11, 2 6
5 3 1 5 4 1 1 2 1 1
6 2 0 6 3
得能控规范型的各系数矩阵：
0r Ac 0 r 0 I r Ir 0r 1 I r
3
8.5.1 能控规范型实现与能观规范型实现
对于单输入单输出系统，一旦给出传递函数，就 能写出能控规范型和能观规范型实现。 推广
m r
维的传递函数矩阵 W ( s) 的实现问题。
将矩阵W ( s) 写成单输入单输出传递函数的形式：
4
n1s n1 βn2 s n2 β1s β0 W ( s) n n 1 s n1s 1s 0
2） 对上一步初选的实现 ( A, B, C )，找出其完全能控 且完全能观部分 ( A1 , B1 , C1 ) ，则这个能控能观部 分就是W ( s)的一个最小实现。
21
[例18]
求传递函数矩阵
1 W ( s) ( s 1)( s 2)
的最小实现。 [解]
1 ( s 2)( s 3)
, Rn
31
在确保 Ro 为非奇异的前提下，是完全任意选择的。 对本例而言，选取变换阵如下
1
6 2 5 3 1 1 6 3 5 4 1 1 6 6 5 9 1 3 1 Ro 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
β0 β 1 Bo βn 2 βn 1
Co 0m
其中
0m
Im
m
输出向量的维数
om
Im
m m 阶零矩阵 m m阶单位矩阵
9
注：
（1） 这个实现的维数为 nm维；
（2 ） 当
m r 1 时，上述形式简化为单输入单输出 n 维
19
二. 寻求最小实现的步骤
[定理] 传递函数矩阵 W ( s) 的一个实现
x Ax Bu : y Cx
为最小实现的充分必要条件是：
( A, B, C ) 既能控又能观
证明从略。
20
[求解最小实现的步骤]
1） 对给定的传递函数矩阵W ( s) ，先初步选出一种实 现 ( A, B, C ) ，通常最方便的是选取能控规范型 实现或能观规范型实现。
应的能控规范型（或能观规范型）。本题的能控规范型 已在例17中求得，即为：
27
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 A 0 0 0 1 0 0 6 0 11 0 6 0 0 6 0 11 0 6
25
rankQc 3 n
所以 ( Ao , Bo , Co ) 能控且能观，即为最小实现。
26
[例19]
求传递函数矩阵
s 2 s 1 W (s) s s 1
的最小实现。 [解]
1 s 1 s 1 s 2
将 W ( s) 化成严格的真有理分式，然后写出相
r
输入向量的维数
7
注：
（1） 这个实现的维数为 nr 维；
（2 ） 当
m r 1 时，上述形式简化为单输入单输出 n 维
系统的情形。
8
二. 能观规范型实现
0m I m Ao 0m 0m
0m Im 0m 0m Im
0 I m 1 I m n 1 I m
16
8.5.2 最小实现
一个可实现的传递函数矩阵拥有无穷多个状态空间 表达式与之对应。 从工程角度出发，寻求维数最小的实现具有重要的 现实意义。 一. 最小实现的定义 传递函数矩阵 W ( s) 的一个实现为
x Ax Bu y Cx
（2）
17
如果W ( s) 不存在其它实现
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0r 0 0 0 0 1 0 Ir 0 0 0 0 0 1 2 I r 6 0 11 0 6 0 0 6 0 11 0 6
13
0 0 0r 0 Bc 0r 0 Ir 1 0
s 的真有理分式函数。
1
真有理分式函数
分母多项式的次数。 严格真有理分式 分母多项式的次数。
分子多项式的次数不高于
Gij ( s) 分子多项式的次数小于
G ( s) 的所有元素均为严格真有理分式
实现具有形式 ( A, B, C )
2
G ( s) 中存在某元素，其分子分母多项式的次数相等
实现具有形式 ( A, B, C , D) 一般情况下，均研究严格真有理分式矩阵的实现 问题。
Co 0m 0m I m 0 0 1
检验所求的能观测实现 ( Ao , Bo , Co ) 是否能控。
Qc Bo
Ao Bo
A Bo
2 o