泊松过程

第二讲 泊松过程

1．随机过程和有限维分布族

现实世界中的随机过程例子：

液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数；

到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。

特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。

定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族

}),({T t t X ∈为随机过程。

注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →⨯Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相

应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。

例 随机游动(离散时间，离散状态)

质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。

如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01

n

n k

k S S X

==+

∑

习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑==

n

k k

n X

S 1

，其中k X 是时刻k 的移动方式。

习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2

,2()0,

21n k n k n k n n C q p n k i

P S k n k i +-+⎧+===⎨+=-⎩。

例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态)

在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程，

其指标集}{+

∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。

例 布朗运动（连续时间，连续状态）直线上质点的位移是连续的。在时刻t 的位置为t X 。

满足条件： 1）00X =；

2）独立增量过程：t s τ∀>>，t s X X -与s X X τ-独立; 3）2~(0,())t s X X N t s σ--

（密度函数：22

()2(x f x μσ--

）

如果1σ=，就称为标准布朗运动，记为t B 。

过程的数字特征：任意给定时刻，可计算

1) 均值函数)()(t EX t m =； 2) 方差函数)()(t DX t D =；

3) 协方差函数))]()())(()([(),(t m t X s m s X E t s C --=，T t s ∈,。

过程和分布：知道各个时刻随机变量的分布，不能确定整个过程：即不能确定涉及所有时刻

状态的事件的概率。

在多维随机变量时，即边际分布不能确定联合分布。对于随机过程，由于所涉及的随机变量是无限的，所以问题更复杂。

当然可以把联合分布从有限个随机变量推广到无限来考虑，但在不太强的限制条件下，

定理（Kolmogorov 定理）随机过程由其有限维联合分布族确定。

定义（有限维联合分布族）称},,{),,(11,,11n t t n t t x X x X P x x F n n ≤≤= 为有限维联合分布族，其中，n ，n t t << 1，n x x ,,1 是任意的。 定理 有限维分布族满足下列性质，

（1）对称性 有限维分布与时间排列方式无关；

（2）相容性 对n m >，=),,(1,,1n t t x x F n ),,,,,(1,,,1∞∞ n t t t x x F m n 。

因此，以后在确定了有限维联合分布族后，就认为确定了该过程。

2．随机过程的分类

根据过程的概率特性，可以把过程分成不同的类型。 (1) 独立过程

任意给定时刻n t t t <<< 21，)(,),(1n t X t X 都是独立的，即

)()(),,(11,,11n t t n t t x F x F x x F n n =

这类过程比较简单，不同时刻的随机变量之间没有任何联系，状态概率分布能确定联合分布。 (2) 平稳过程和宽平稳过程

随机过程}),({T t t X ∈称为是平稳过程，如果对任意的n t t t <<< 21，0>t ，

),,(1n t t X X 与),,(1t t t t n X X ++ 具有相同的联合分布。

如果m t EX =)(，)(),cov(s R X X s t t =+，那么，称其为宽平稳过程。 (3) 独立增量过程和独立平稳增量过程

随机过程}),({T t t X ∈称为是独立增量过程，如果对任意的n t t t t <<<<≤ 2100，

1010,,,---n n t t t t t X X X X X 相互独立；

如果h t h t h t h t n n X X X X ++++---101,, 的分布与h 无关，就称该随机过程是平稳增量过程。

其它一些重要的过程，如更新过程，马氏过程等，以后再详细讨论。

3 泊松过程

例 考虑某电话交换台在],0[t 内到达的呼叫数，记为)(t N ，这个过程可近似认为具有如下

性质：

(1) )(t N 取非负整数值，且0)0(=N ； (2) }0),({≥t t N 是平稳独立增量过程；

(3) )()1)()((t o t t N t t N P ∆∆λ∆+==-+，)()2)()((t o t N t t N P ∆∆=≥-+，0>λ。

定义 称具有上述性质的随机过程}0),({≥t t N 为时齐泊松过程。

泊松过程记录了在某个时段内发生的总数，是一个计数过程。

泊松过程等价描述

1）由事件发生的时间间隔过程}1,{≥n X n 描述；

2）由事件发生时刻过程}1,{≥n S n 所确定，即n S 是第n 次事件发生的时刻。 两者之间的关系：1--=n n n S S X 。

1）由)(t N 可确定}{n S ：00=S ，})(,:inf{1n t N t S t S n n =>=-，1≥n 2）由}{n S 也可确定)(t N ：}:sup{)(t S n t N n ≤= 有如下事件的等价关系： 1） })({}{n t N t S n ≥=≤；

2） }{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++。 当然对n S 和n X 必须附加条件，相应的计数过程才是泊松过程。

泊松过程中一些相应随机变量的分布

定理 t

k e k t k t N P λλ-==!

)())((。 证 记))(()(n t N P t p n ==，那么由条件(1)~(3)，

)0)()(()0)(()0)((=-+===+t N t t N P t N P t t N P ∆∆，

或)()1)(()()()(0000t o t t p t p t p t t p ∆∆λ∆∆+-==+。由此，

)()(00t p t p dt

d

λ-=，故