九年级数学上册244弧长和扇形面积件新版新人教版
新人教版初三上册数学24.4弧长和扇形面积练习题
一、选择题〔每题4分，共32分．以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．〕1．以下事件是必然事件的是〔〕．A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B．掷一枚硬币，正面朝上C．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D．打开电视，正在播放动画片2．抛物线可以由抛物线平移而得到，以下平移正确的选项是〔〕．A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为〔〕．A．B． C． D．4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为〔1，0〕和〔-4，0〕，则两圆的位置关系是〔〕．A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为〔〕．A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙ 与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是〔〕．A． B． C． D．7．抛物线与相交，有一个交点在x轴上，则k的值为〔〕．A．0 B． 2 C．−1 D．8．如图，在直角梯形中，∥ ，，，AD＝2cm，动点P、Q同时从点出发，点沿BA、AD、DC运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点到达点时，点正好到达点．设P点运动的时间为，的面积为．以下图中能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是〔〕．A． B． C．D．二．填空题〔每题4分，此题共16分〕9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm．10．函数的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是_______________．12．已知二次函数满足：〔1〕；〔2〕；〔3〕图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①② ③④⑤三．解答题〔每题5分，此题共30分〕13．计算： 14．用配方法解方程：15．已知，当m为何值时，是二次函数？16．如图，在半径为6 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离 OC为3 cm．试求：〔1〕弦AB的长；〔2〕AB⌒ 的长．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点位于x轴下方，它到x轴的距离为4，下表是x 与y的对应值表：x 0 2y 0 −3 −4 −3 0〔1〕求出二次函数的解析式；〔2〕将表中的空白处填写完整；〔3〕在右边的坐标系中画出y=ax2+bx+c的图象；〔4〕根据图象答复：当x为何值时，函数y=ax2+bx+c的值大于0．_______________________18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．〔1〕求证：BC是⊙O切线；〔2〕假设BD=5，DC=3，求AC的长．四．应用题〔19题6分，20题5分，21题4分〕19．桐桐和大诚玩纸牌游戏．以下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的3张牌中也抽出一张．桐桐说：假设抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．〔1〕请用列表〔或树状图〕表示出两人抽牌可能出现的所有结果；〔2〕假设按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；假设售价减少1元，平均每天就可多售出2件；假设想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？假设想获利最大，应降价多少？21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O的位置．〔保留作图痕迹，不写作法〕五．解答题〔此题5分〕22．已知如图，正方形AEDG的两个顶点A、D都在⊙O 上，AB为⊙O直径，射线线ED与⊙O 的另一个交点为 C，试判断线段AC与线段BC的关系．六．综合运用〔23、25题7分，24题8分〕23．已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2−bx+kc〔c≠0〕的图象与x轴一个交点的横坐标为1．〔1〕假设方程①的根为正整数，求整数k的值；〔2〕求代数式的值；〔3〕求证：关于x的一元二次方程ax2−bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．初三期中考试参考答案及评分标准一、选择题：〔此题共32分，每题4分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C B B A D B B二、填空题：〔此题共16分，每题4分〕9． 10．−4， 5 11． 12．①②③⑤〔少选1个扣1分，多项选择或选错均不得分〕三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕13．计算：解：原式= …………．．4分〔化简运算对一个数给1分〕= ……………………5分14．用配方法解方程：解：………．．1分………．．3分∴……．．5分15．已知，当m为何值时，是二次函数？解：依题设，假设原函数为二次函数，则有 (2)解得m=3 ………．．．5分16．如图，在半径为6 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离 OC为3 cm．试求：〔1〕弦AB的长；〔2〕AB⌒ 的长．解：依题设有OC⊥AB于C，又∵AB为⊙O的弦∴ AC=BC= AB……… 2分连结OA 则又∵OA=6，OC=3∴ AC=∴ AB=………3分〔2〕由〔1〕知，在Rt△ACO中，OA=6，OC=3∴ ∠OAC=30° ∴ ∠AOC=60°∴ ∠AOB=120°………4分∴AB⌒ = = ………．．5 分17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点位于x轴下方，它到x轴的距离为4，下表是x 与y的对应值表：x -1 0 1 2 3y 0 -3 -4 -3 0〔1〕求出二次函数的解析式；解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为〔1，4〕……1分∴ 二次函数解析式可变形为又由图象过〔0，-3〕，有-3=a-4，解得a=1∴ 二次函数解析式为．．．．．2分〔2〕将表中的空白处填写完整；．．．．．3分〔3〕在右边的坐标系中画出y=ax2+bx+c的图象；………4分〔4〕根据图象答复：当x为何值时，函数y=ax2+bx+c的值大于0．x<−1或x>3．．．．．5分18．如图，在△ABC中，∠C=90°， AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．〔1〕求证： BC是⊙O切线；〔2〕假设BD=5， DC=3，求AC的长．解：〔1〕证明：如图1，连接OD．∵ OA=OD， AD平分∠BAC，∴ ∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD．………………1分∴ ∠ODA=∠CAD．∴ OD//AC．…………………………………2分∴ ．︒∠ODB=∠C=90∴ BC是⊙O的切线．……………………………3分图1 〔2〕解法一：如图2，过D作DE⊥AB于E．．︒∴ ∠AED=∠C=90又∵ AD=AD，∠EAD=∠CAD，∴ △AED≌△ACD．∴ AE=AC， DE=DC=3．，由勾股定理，得图2︒在Rt△BED中，∠BED =90 BE= ．………………………………………………………4分设AC=x〔x>0〕，则AE=x．， BC=BD+DC=8，︒在Rt△ABC中，∠C=90 AB=x+4，由勾股定理，得x2 +82= 〔x+4〕 2．解得x=6．即 AC=6． (5)分解法二：如图3，延长AC到E，使得AE=AB．∵ AD=AD，∠EAD =∠BAD，∴ △AED≌△ABD．∴ ED=BD=5．，由勾股定理，得︒在Rt△DCE中，∠DCE=90CE= ．………… ……………4分图3， BC=BD+DC=8，由勾股定理，得︒在Rt△ABC中，∠ACB=90AC2 +BC2= AB 2．即 AC2 +82=〔AC+4〕 2．解得 AC=6．…………………………………………………………5分19．解：〔1〕树状图为：共有12种可能结果． 3分〔2〕游戏公平． 4分∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：〔6，10〕，〔6，12〕，〔10，6〕，〔10，12〕，〔12，6〕，〔12，10〕．∴ 桐桐获胜的概率P= = ．5分大诚获胜的概率也为．6分∴ 游戏公平．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；假设售价减少1元，平均每天就可多售出2件．假设想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？假设想获利最大，应降价多少？解：设假设想盈利1200元，每件器材应降价x元，则有 (2)可解得，答：假设想盈利1200元，每件器材降价10元或20元均可 (3)设降价x元时，盈利为y元，则 0<X解析式可变形为且 0<15<40由此可知，当降价15元时，最大获利为1250元． (5)分．21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O的位置．〔保留作图痕迹，不写作法〕任作2弦给1分，两条中垂线各1分，标出并写出点O即为所求给1分五．解答题〔此题5分〕22．已知如图，正方形AEDG的两个顶点A、D都在⊙O 上，AB为⊙O直径，射线线ED与⊙O的另一个交点为 C，试判断线段AC与线段BC的关系．解：线段AC与线段BC垂直且相等………1分证明：连结AD ………2分∵ 四边形AEDG为正方形∴ ∠ADE=45°∵ 四边形ABCD内接⊙O∴∠B+∠ADC=180°……．．．3分又∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE=45°又∵AB为⊙O直径∴ ∠ACB=90°，即AC⊥BC……4分∴ ∠BAC=45°∴ AC=BC……．．5分23．解：〔1〕解：由 kx=x+2，得〔k-1〕 x=2．依题意 k-1≠0．∴．……………………………………1分∵ 方程的根为正整数，k为整数，∴ k-1=1或k-1=2．∴ k1= 2，k2=3．…………………………………………………2分〔2〕解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点〔1，0〕，∴ 0 =a-b+kc， kc = b-a ．∴ = …3分〔3〕证明：方程②的判别式为Δ=〔-b〕2-4ac= b2-4ac．由a≠0，c≠0，得ac≠0．证法一：〔 i 〕假设ac<0，则-4ac>0．故Δ=b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分〔 ii 〕假设ac>0，由〔2〕知a-b+kc =0，故 b=a+kc．Δ=b2-4ac= 〔a+kc〕2-4ac=a2+2kac+〔kc〕2-4ac = a2-2kac+〔kc〕2+4kac-4ac =〔a-kc〕2+4ac〔k-1〕． (5)分∵ 方程kx=x+2的根为正实数，∴ 方程〔k-1〕 x=2的根为正实数．由 x>0， 2>0，得k-1>0．…………………………………6分∴ 4ac〔k-1〕>0．∵ 0， 〔a-kc〕2∴Δ=〔a-kc〕2+4ac〔k-1〕>0．此时方程②有两个不相等的实数根． (7)分证法二：〔 i 〕假设ac<0，则-4ac>0．故Δ=b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分〔 ii 〕假设ac>0，∵ 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点，0．≥∴ Δ1=〔-b〕2-4akc =b2-4akc〔b2-4ac〕-〔 b2-4akc〕=4ac〔k-1〕．由证法一知 k-1>0，∴ b2-4ac> 0．≥b2-4akc∴ Δ= b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根． (7)分综上，方程②有两个不相等的实数根．证法三：由已知，，∴可以证明和不能同时为0〔否则〕，而，因此．。
人教版九年级数学上册第二十四章24.4弧长和扇形面积24.4.1弧长和扇形面积备课资料教案新版
第二十四章弧长和扇形面积知识点1：弧长公式, n°的圆心角所对的弧长l=.半径为R的圆中重点提示: (1)关于弧长公式重点是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即,亦即;(2)弧长公式所波及的三个量 : 弧长、圆心角的度数、弧所在圆的半径 , 知道其中的任何两个量就能够求出第三个量 .知识点 2：扇形面积公式扇形的定义 : 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.扇形面积公式: 半径为R, 圆心角为n°的扇形面积S 扇形=( 若已知或已求出了扇形对应的弧长l,则扇形面积公式也能够写成S 扇形 = lR).重点提示 : (1)关于扇形面积公式重点是要理解1°的扇形面积是圆面积的, 即;(2)扇形面积公式所波及的三个量 : 扇形面积、扇形半径、圆心角的度数 , 知道其中的任何两个量就能够求出第三个量 ;(3)关于扇形面积公式 S扇形 = lR, 可依照题目条件灵便选择使用 , 它与三角形面积公式S= ah 有点近似, 用类比的方法记忆会更好;(4) 注意扇形面积的两个公式之间的联系:S 扇形 == ·· R= lR,不论利用哪个公式计算扇形面积,R 都必定已知 .知识点 3：弓形的认识弦和弦所对的弧所围成的图形叫做弓形 , 利用扇形面积和三角形面积可求出弓形的面积 . 弓形有以下三种情况 :(1) 当弓形的弧小于半圆时, 弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差, 即 S 弓形 =S 扇形 -S △OAB;(2)当弓形的弧大于半圆时, 弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和, 即 S 弓形=S 扇形 +S△OAB;(3)当弓形的弧是半圆时, 弓形的面积是圆面积的一半, 即 S 弓形 =也就是说 : 要计算弓形的面积, 第一要察看它的弧属于半圆、劣弧仍是优弧S 圆 ., 只有对它分析正确才能保证计算结果的正确阴影部分经常是基本图形的组合问题的重点.., 解题时要认真分析图形, 找出组合方式, 这是解决这类考点1：弧长公式的运用【例1】挂钟分针的长为250px, 经过45 分钟 , 它的针尖转过的弧长是().A.cmB. 15π cmC.cmD. 75π cm答案:B.点拨 : 此题已知弧所在圆的半径为250px, 又知分针45 分钟转过270° , 所以针尖转过的弧长是l==15π(cm).考点 2：圆中图形面积的计算【例 2】如图 , 圆心角都是90°的扇形 OAB与扇形 OCD叠放在一同 , 连结 AC、BD.(1)求证 :AC=BD;(2)若图中阴影部分的面积是π cm2,OA=50px, 求 OC的长 .解 : (1) 因为∠ AOB=∠ COD=90°, 所以∠ AOC+∠ AOD=∠ BOD+∠AOD所以∠ AOC=∠ BOD.又因为 AO=BO,CO=DO,所以△ AOC≌△ BOD,所以 AC=BD.(2) 依照题意得S 阴影=-=,即π =.解得 OC=1(cm).点拨 : 由△ AOC ≌△ BOD可知图中阴影部分面积是扇环形面积, 即π =,解得 OC=1.考点 3：弧长公式和扇形面积在本质生活中的应用【例 3】在物理课上李娜同学用一个滑轮起重装置以以下图: 滑轮的半径是250px,当她将一重物向上提升375px 时, 滑轮的半径 OA绕轴心 O按逆时针方向旋转的角度是( 假定绳子与滑轮之间没有滑动, π取 3.14, 结果精准到1° ).答案 : 86°.点拨 : 在绳子与滑轮之间没有滑动前提的下轮子是带动着绳子在转动, 当轮子的点A 转到点A1地址时 , 绳子上的某一点也就从点A被带到点A1, 绳子被带动上升375px,也就是长度为375px, 所以此题所察看的数学知识可以等价“圆中的计算问题”: 已知,如图☉O的半径为250px,长为375px.求∠ A1OA的度数. 设OA绕圆心O按逆时针方向旋转n° ,则15=, 解得n≈ 86.。
人教版九年级数学上册课件：24.4 弧长和扇形面积(共15张PPT)
蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想 圆锥的侧面积和全面积的计算．
形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半
用毛毡搭建 的面积为_________.
的距离为______.
20
个底面积为
12
m2，高为
3.2
，外围高
的距离为______.
圆1 扇锥1形的.A8母O线Bm的有半多径少的为条1，蒙2它cm们,古都相等包吗？，至少需要多少平方米的毛毡（π取
P
l
r O
A
1．导入新知
圆锥的母线有多少条，它们都相等吗？ 圆锥在展开的过程中，有没有相等关系的量？
P
l
r O
A
1．导入新知
根据下列条件求值（其中 r、h、a 分别是圆锥的底 2．如何计算圆锥的侧面积？
你能利用手中的工具制作一个圆锥形的纸帽吗？ 形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半
面半径、高线、母线长） ． ∠AOB=120°,求AB的长和扇形
的面积为_________. 142，结果取整数）？
ha
1．圆锥的侧面展开图是什么图形？
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是（ ） 的面积为_________.
r
2．解决问题 2．通过本节课的学习，学会观察、归纳的学习方法，
培养空间想象能力．
圆锥的母线有多少条，它们都相等吗？
学习重点：
2小红准备自己动手用纸板制作圆锥
（1）a = 2，r = 1，则 h = _______； 142，结果取整数）？
径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他
（2）a = 10，h = 8，则 r = _______． 径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他
24.4 弧长和扇形面积 (第2课时)九年级上册数学人教版
圆锥的侧面积计算公式的推导
1
（l为弧长，R
lR 为扇形的半径）
∵ S侧
2
又∵
1
S侧 2r l.
2
∴
l
侧
展开图
l
o
r
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
圆锥的全面积计算公式
面
素养考点 1
圆锥有关概念的计算
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为
20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
2
2
是 15πcm ，全面积是 24πcm ．
能力提升题
如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求
圆锥全面积.
解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC=8cm.
∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2),
S底=πr2=π×4×4=16π(cm2),
∴=360°×
l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB=AC= 10
∴S扇形=
①
②
B
O
2.
90 10 2
360
人教版九年级数学上册课件：24.4.1弧长和扇形面积
创设情境
制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”(虚线的长度)，再下料，
试计算图所示管道的展直长度L(单位：
mm，精确到1mm)
学习目标
了解扇形的概念，理解 n•°的圆心角所对的弧 长和扇形面积的计算公 式,并应用这些公式解 决相关问题。
自学提纲1
自学教材P120----P121，思考下列内容：
（2）与半径的长短有关
2. 扇形面积公式与弧长公式的区别：
l弧＝
n 360
C圆
S扇形＝
n 360
S圆
教学反思
任何新知识获得，都是要经过“实践——认 识——再实践——再认识”的过程，这个过程，本 身蕴含着一个再创造的过程。从教学这个意义上来 讲，就强调了以学生为中心，引导学生自主学习。 同时，培养学生的合作能力。可是上完这节课，我 感触颇深，有欣慰的，也有遗憾的。欣慰的是自己 对“先学后教”的课堂模式有了进一步的认识；遗 憾的是这堂课存在不少问题。在此我对自己发现的 问题进行反思。首先揭示目标时三言两语，没能使 学生产生深刻的印象。其次，对学生实际情况的把 握不到位，自认为出现了以下两个问题：一是推导
0
0.6
D
A
0.3 C
120 0.62 1 AB OD
360 2
B 0.12 1 0.6
2
3 0.3
0.22
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截 面上有水部分的面积。
弓形的面积 = S扇+ S△
A
D EB 0
扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
S扇形，则
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
人教版九年级上册教材数学 弧长和扇形面积 课件演示
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. （重点）
导入新课
图片欣赏
导入新课 人教版九年级上册教材数学 弧长和扇形面积 课件演示
情境引入 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙 分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不 在同一处？
5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管
道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面
上有水部分的面积.
解：S弓 形 = S 扇 形 S △ OAB
240 0.62 1 0.3 0.6 3 A
360
2
0.24 0.09 3
0.91cm 2 .
D
E
B
O
C
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方向旋转的度数为n°. n R 15.7, 解得 ·
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二 与扇形面积相关的计算
概念学习
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围
成的图形叫作扇形.
O.
AD
B
C (3)
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
人教版九年级上册教材数学 弧长和扇形面积 课件演示
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有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB • O D
初中数学人教九年级上册(2023年新编)第二十四章 圆弧长和扇形面积(教案)
弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积教学目标：1、能推导弧长和扇形面积的计算公式。
.2通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.3、知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相应的计算。
教学重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.教学难点：熟练地运用弧长和扇形面积公式进行计算。
一、情境导入问题1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.如图，根据图中的数据你能计算弧AB的长吗？求出弯道的展直长度.这就是我们今天要学习的内容弧长和扇形的面积——板书课题.二、进入新课1.探索弧长公式思考 1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180；2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45；∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180；由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.小练习：①课本P111例1②课本p113练习第一题2.扇形面积计算公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.3、例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为，其中水面高，求截面上有水部分的面积（精确到）.解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交AB于点C.∵OC=，DC=，∴OD=OC-DC=在Rt△OAD中，OA=，OD=，由勾股定理可知：Rt△OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.∴有水部分的面积为：S=S扇形OAB -S△OAB=π-12××≈(m2).三、运用新知，深化理解完成教材第113页练习2个小题.【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.四、师生互动，课堂小结通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.五、布置作业1.默写弧长公式和面积公式2、课本P115 6、7、8题。
九年级数学上册(人教版 课件)24.4 弧长和扇形面积 第1
6．(4分)(2016·新疆)一个扇形的圆心角是120°，面积为3π cm2，
那么这个扇形的半径是( ) B A．1 cm B．3 cm C．6 cm D．9 cm 7．(4分)(2016·邵阳)如图，在3×3的方格中(共有9个小格)，每 个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B是格点，则扇形OAB 5π 的面积大小是________．(结果保留π) 4
第二十四章 圆
24．4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和形面积
1．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C＝ n πR 2πR ，所以n°的圆心角所对的弧长为l＝________. ________ 180 2．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是
πR2 ，所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝ 圆的面积S＝________ nπ R2 ________. 1 360 lR ，其中l为扇形的弧长，R为半 3．用弧长表示扇形面积为________ 2 径．
1 ∴∠DOB＝∠ODC＝30°， ∴S 阴影＝S△CDO＋S 扇形 OBD－S 扇形 OCE＝ × 2 30π ×22 90π ×12 3 π 1× 3＋ 360 － 360 ＝ 2 ＋12
8．(4分)如图，小正方形构成的网格中，半径为1的⊙ π O在格点上， 4 (结果保留π) 则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为________．
9．(8分)如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于点A，BC交
⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长；
(2)阴影部分的面积．
(1) 2
(2)1
二、填空题(每小题6分，共12分)
13．如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆 25 上的三等分点，则图中阴影部分的面积等于________ π ． 6
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圆的半径是_____6____
（5）在半径为6cm的圆中，60º圆心角所
对的弧长___2____.
人教版数学九年级（上册）24.4弧长 和扇形 面积-课 件_2
人教版数学九年级（上册）24.4弧长 和扇形 面积-课 件_2
小组PK
1.钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分 钟，分针针端转过的弧长是（）
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地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
2) 圆周角为360°，则1°的圆心角所 对的弧长为多少？
•
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
•
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。
人教版数学九年级（上册）24.4弧长 和扇形 面积-课 件_2
人教版数学九年级（上册）24.4弧长 和扇形 面积-课 件_2
课堂练习 1.如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm, 求扇形的半径.
新人教版九年级数学上册《24章 圆 24.4 弧长和扇形面积 实验与探究 设计跑道》公开课课件_27
A
B
O
A
B
O
S 扇形 形
nR 22
360
l nR
180
1
S 扇形
lR 2
（1）当已知弧长L和半径R， 求扇形面
积时，应选用
S扇形
1 2
LR
（2）当已知半径和圆心角的度数，求扇
形面积时，应选用
S 扇形
nR 2
360
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径
B●
B
B1
B1
B2
F'
BA
60°
1
BC
DE
B FB2
2
在一块空旷的草地上有一根柱 子，柱子上栓着一条长3m的绳 子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有 多大？ S圆=9πm2
（2）如果这只狗只能绕柱 子转过no 的角，那么它的最 大活动区域是一个什么图形 呢?
no
3m
如下图，由组成圆心角的___两__条__半__径___和圆
（5） 半 角n.°.所径.的对为.圆.的R.,心弧n角°长所的公对圆式的心是弧：长是l __l __3n6_n10__28_R_0R__n1_8R0_
试一试，看看谁最棒!
（6）半径为 4,90°圆心角所对的弧长是多少？
l 90 4 2
180
例题剖析：
例1:制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
是6cm，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面积。
（结果取整数）。
分析：有水部分的面积 = S扇- S△ 解：连接OA、OB，过点O作OC垂直AB，
垂足为D， 交 AB 于点C，则
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径定理，
AF=CF,∴△AOF≌△COF,∴∠COF=∠AOF=60°,
∴∵∴∠S阴△影AAOOC部C==分1122A面0C°×积,O=F∴=SS扇扇43形形,AAOOCC-=S△A13O26C00=
4.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E， 交⊙O于点D，OF⊥AC于点F． （1）请写出三条与BC有关的正确结论； （2）当∠D=30°，BC=1时根据垂径定理可以证明
△CBE≌△DBE，得出BC=BD，弧BC和弧BD相等， 所以△BCD是等腰、∠BCD=∠A；由直径所对的 圆周角等于90°，可以得出△ABC是直角三角形， 即BC⊥AC,进而得出OF∥BC；根据CE⊥BE,由勾 股定理可以得出BC 2=CE 2+BE 2；
有什么关系？ 3.1°的圆心角所对的弧长是多少？ 4.2°的圆心角所对的弧长又是多少呢？
5.你能算出 n°的圆心角所对的弧长是多少吗？ 6.已知一段弧所在圆的半径为R，圆心角度数 为 n的圆心角所对的弧 长为： l nR
A
扇形的周长由两部分组成：
两条半径和弧长.
OBC 牛牛文档分 享2.你能不能类比探究弧长公式的方法探究扇 形的面积公式？
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇
形面积为：不规则图形的面积？
2.如何用割补法求图中阴影（弓形）部分的面积？
3.图中阴影可以看出公式中的哪个量？ 要求三角形的面积，还需要求出哪个量？
5.由已知中半径和水30°，根据同弧所对圆周
角相等，所以∠A＝∠D，∴∠A＝30°.
因为AB是直径，所以∠ACB=90°∴AB=2BC=2，
在Rt△AFO中OF= 1 OA 1 ,根据勾股定理得出，
22
AF=
3 2
，AC=2AF=
3 ,∵CO=AO,OF=OF，根据垂
3.已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该 扇形的面积是 1.5π cm2,扇形的圆心角为 60°°.
解析：S扇形=
1 lR 2
=
1 3 2
=1.5πcm2，由弧长公
式可得扇形的圆心角为
n 180l 180 R 3
=60°．
故填1.5π，60°． 牛牛文档分 享和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
3.弧长和扇形面积的应用：
已知公式中的两个量，知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇
形的弧长是（ B ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：根据弧长公式，可得扇形的
B 的长， l 100 900 500 1570mm
180
因此所要求的展直长度 L=2×700+1由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的 弧围成的图形叫做扇形.
有水部分的面积 S=S扇形OAB-S△OAB
120 0.62 1 AB OD 0.12 1 0.6 3 0.3 0.22 m2
积公式：
l n R , S n R2 1 lR
180
360 2
2.扇形定义：由组成圆心角的两条半径
360
和弧长公式l nR，
180
你能用弧长公式表示扇形的面积吗？
扇形的面积公式：S=
nR 2
360
=
1 lR（其中
2
n为圆心角的度数，R为圆的半径，圆柱形排水管道的截 面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截 面上有水部分的面积（结果保留小数点道时，需要先按中心线计算“展 直长度”再下料，试计算下图中管道的展是由 和 组成， 要求展直长度L，需要知道这两部分的长，其 中 长度已知，要求另一部分长度（弧长）， 根据弧长公式需要知道 和 的值B，作弦AB的垂 直平分线，垂足为D，交弧AB于点C， 连接AC. ∵OC=0.6m，DC=0.3m， ∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3m，
∴OD=DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直
平分线.
∴AC=AO=OC.从而∠AOD=60°，∠AOB=9，弧长为8π，那么这
条弧所对的圆心角是为( B )
A．200° B．160° C．120° D．80°
解析：∵弧长的公式 l n R ，
180
∴弧长的公式 8 n 9 ， 180