九年级数学上册244弧长和扇形面积件新版新人教版
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有什么关系？ 3.1°的圆心角所对的弧长是多少？ 4.2°的圆心角所对的弧长又是多少呢？
5.你能算出 n°的圆心角所对的弧长是多少吗？ 6.已知一段弧所在圆的半径为R，圆心角度数 为 n°，如何计算这段弧的长度？
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在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧 长为： l nR
A
扇形的周长由两部分组成：
两条半径和弧长.
O
B
C
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2.你能不能类比探究弧长公式的方法探究扇 形的面积公式？
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇
形面积为：S= nR2
360
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3.比较扇形面积公式 S=
nR 2
．故选B
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2.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这
条弧所对的圆心角是为( B )
A．200° B．160° C．120° D．80°
解析：∵弧长的公式 l n R ，
180
∴弧长的公式 8 n 9 ， 180
解得，n=160，故选B．
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在田径四百米比赛中，每位运动员的 起跑位置为什么不同？每位运动员弯 道的展直长度相同吗？
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学习新知
弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分， 我们已经知道圆的周长公式，那么怎样求一 段弧的长度呢？
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思考并回答下列问题： 1.圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧？ 2.在圆中每一个1°的圆心角所对的弧长之间
180
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例1讲解： 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展 直长度”再下料，试计算下图中管道的展直 长度L(结果取整数)．
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管道有 部分组成，分别是由 和 组成， 要求展直长度L，需要知道这两部分的长，其 中 长度已知，要求另一部分长度（弧长）， 根据弧长公式需要知道 和 的值，题中 已知条件已经给出.
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解：由弧长公式，得 AB 的长， l 100 900 500 1570mm
180
因此所要求的展直长度 L=2×700+1570=2970（mm）．
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1.扇形定义： 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的 弧围成的图形叫做扇形.
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解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂 直平分线，垂足为D，交弧AB于点C， 连接AC. ∵OC=0.6m，DC=0.3m， ∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3m，
∴OD=DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直
平分线.
∴AC=AO=OC.从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
360
和弧长公式l nR，
180
你能用弧长公式表示扇形的面积吗？
扇形的面积公式：S=
nR 2
360
=
1 lR（其中
2
n为圆心角的度数，R为圆的半径， 为
扇形的弧长）.
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例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截 面上有水部分的面积（结果保留小数点 后两位）.
3.已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该 扇形的面积是 1.5π cm2,扇形的圆心角为 60°°.
解析：S扇形=
1 lR 2
=
1 3 2
=1.5πcm2，由弧长公
式可得扇形的圆心角为
n 180l 180 R 3
=60°．
故填1.5π，60°．
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有水部分的面积 S=S扇形OAB-S△OAB
120 0.62 1 AB OD 0.12 1 0.6 3 0.3 0.22 m2
360
2
2
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1.弧长和扇形面积公式：
l n R , S n R2 1 lR
180
360 2
2.扇形定义：由组成圆心角的两条半径
和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
3.弧长和扇形面积的应用：
已知公式中的两个量，可以求另外一
个量.
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检测反馈
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇
形的弧长是（ B ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：根据弧长公式，可得扇形的
1弧201长80 为6 4
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（2）连接CO，∠D＝30°，根据同弧所对圆周
角相等，所以∠A＝∠D，∴∠A＝30°.
因为AB是直径，所以∠ACB=90°∴AB=2BC=2，
在Rt△AFO中OF= 1 OA 1 ,根据勾股定理得出，
22
AF=
3 2
，AC=2AF=
3 ,∵CO=AO,OF=OF，根据垂
径定理，
AF=CF,∴△AOF≌△COF,∴∠COF=∠AOF=60°,
∴∵∴∠S阴△影AAOOC部C==分1122A面0C°×积,O=F∴=SS扇扇43形形,AAOOCC-=S△A13O26C00=
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引导分析： 1.如何求不规则图形的面积？
2.如何用割补法求图中阴影（弓形）部分的面积？
3.图中阴影可以看作哪两个规则图形的和或差？
4.要求扇形面积，还需要求出公式中的哪个量？ 要求三角形的面积，还需要求出哪个量？
5.由已知中半径和水面高，怎样求圆心角和弦长？
4.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E， 交⊙O于点D，OF⊥AC于点F． （1）请写出三条与BC有关的正确结论； （2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部 分的面积．
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解：（1）答案不唯一.根据垂径Байду номын сангаас理可以证明
△CBE≌△DBE，得出BC=BD，弧BC和弧BD相等， 所以△BCD是等腰、∠BCD=∠A；由直径所对的 圆周角等于90°，可以得出△ABC是直角三角形， 即BC⊥AC,进而得出OF∥BC；根据CE⊥BE,由勾 股定理可以得出BC 2=CE 2+BE 2；
5.你能算出 n°的圆心角所对的弧长是多少吗？ 6.已知一段弧所在圆的半径为R，圆心角度数 为 n°，如何计算这段弧的长度？
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在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧 长为： l nR
A
扇形的周长由两部分组成：
两条半径和弧长.
O
B
C
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2.你能不能类比探究弧长公式的方法探究扇 形的面积公式？
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇
形面积为：S= nR2
360
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3.比较扇形面积公式 S=
nR 2
．故选B
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2.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这
条弧所对的圆心角是为( B )
A．200° B．160° C．120° D．80°
解析：∵弧长的公式 l n R ，
180
∴弧长的公式 8 n 9 ， 180
解得，n=160，故选B．
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弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分， 我们已经知道圆的周长公式，那么怎样求一 段弧的长度呢？
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思考并回答下列问题： 1.圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧？ 2.在圆中每一个1°的圆心角所对的弧长之间
180
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例1讲解： 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展 直长度”再下料，试计算下图中管道的展直 长度L(结果取整数)．
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管道有 部分组成，分别是由 和 组成， 要求展直长度L，需要知道这两部分的长，其 中 长度已知，要求另一部分长度（弧长）， 根据弧长公式需要知道 和 的值，题中 已知条件已经给出.
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解：由弧长公式，得 AB 的长， l 100 900 500 1570mm
180
因此所要求的展直长度 L=2×700+1570=2970（mm）．
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1.扇形定义： 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的 弧围成的图形叫做扇形.
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解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂 直平分线，垂足为D，交弧AB于点C， 连接AC. ∵OC=0.6m，DC=0.3m， ∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3m，
∴OD=DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直
平分线.
∴AC=AO=OC.从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
360
和弧长公式l nR，
180
你能用弧长公式表示扇形的面积吗？
扇形的面积公式：S=
nR 2
360
=
1 lR（其中
2
n为圆心角的度数，R为圆的半径， 为
扇形的弧长）.
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例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截 面上有水部分的面积（结果保留小数点 后两位）.
3.已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该 扇形的面积是 1.5π cm2,扇形的圆心角为 60°°.
解析：S扇形=
1 lR 2
=
1 3 2
=1.5πcm2，由弧长公
式可得扇形的圆心角为
n 180l 180 R 3
=60°．
故填1.5π，60°．
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有水部分的面积 S=S扇形OAB-S△OAB
120 0.62 1 AB OD 0.12 1 0.6 3 0.3 0.22 m2
360
2
2
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1.弧长和扇形面积公式：
l n R , S n R2 1 lR
180
360 2
2.扇形定义：由组成圆心角的两条半径
和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
3.弧长和扇形面积的应用：
已知公式中的两个量，可以求另外一
个量.
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检测反馈
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇
形的弧长是（ B ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：根据弧长公式，可得扇形的
1弧201长80 为6 4
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（2）连接CO，∠D＝30°，根据同弧所对圆周
角相等，所以∠A＝∠D，∴∠A＝30°.
因为AB是直径，所以∠ACB=90°∴AB=2BC=2，
在Rt△AFO中OF= 1 OA 1 ,根据勾股定理得出，
22
AF=
3 2
，AC=2AF=
3 ,∵CO=AO,OF=OF，根据垂
径定理，
AF=CF,∴△AOF≌△COF,∴∠COF=∠AOF=60°,
∴∵∴∠S阴△影AAOOC部C==分1122A面0C°×积,O=F∴=SS扇扇43形形,AAOOCC-=S△A13O26C00=
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引导分析： 1.如何求不规则图形的面积？
2.如何用割补法求图中阴影（弓形）部分的面积？
3.图中阴影可以看作哪两个规则图形的和或差？
4.要求扇形面积，还需要求出公式中的哪个量？ 要求三角形的面积，还需要求出哪个量？
5.由已知中半径和水面高，怎样求圆心角和弦长？
4.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E， 交⊙O于点D，OF⊥AC于点F． （1）请写出三条与BC有关的正确结论； （2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部 分的面积．
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解：（1）答案不唯一.根据垂径Байду номын сангаас理可以证明
△CBE≌△DBE，得出BC=BD，弧BC和弧BD相等， 所以△BCD是等腰、∠BCD=∠A；由直径所对的 圆周角等于90°，可以得出△ABC是直角三角形， 即BC⊥AC,进而得出OF∥BC；根据CE⊥BE,由勾 股定理可以得出BC 2=CE 2+BE 2；