《将军饮马问题》教案 (2)

《将军饮马问题》教案

一、问题背景：

唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？

B·营地

A·山峰

河流

这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了

二、引用“饮马问题”：

将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：

如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

B·镇

A·镇

L

三、教学方法的探究：

当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。

设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：

甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。连接A′C与BC，探究：

B

A

L

C C′

A′

B′

（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。

（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。

（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。

这样设计探究活动，能充分体现轴对称性质，使复杂问题简单化，难点分解，由浅入深，通过实际生活中的镜面反射原理使得问题通俗化、趣味化，能调动学生学习的兴趣，易于学生掌握和理解。

四、妙用饮马问题：

利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题。饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问

题的数学模型，利用“饮马问题”的思想，结合初中的基本几何图形，及直角坐标系中的函数图象等，在近几年的中考中发挥着举足轻重的作用。

1、如图，在AB、AC上有两个定点E、F，要在BC上找一点D，使△DEF的周长最短？

A

E F

B C

2、如图，在OA上取一点E，OB上取一点F，使△PEF周长最短。

A

O ·P

B

3、如图，有A、B两个村庄，他们想在河流的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费时100元，A到河流的距离AD是1千米，B到河流的距离BE是3千米，DE长是3千米，请问：这个水泵站应建在哪里使得费用最少，为什么？

B

A

D E

4、在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为多少？

A D

P

B Q C

5、如图，一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2,0）、（0,4），（1）求该函数的解析式。（2）O为坐标原点，设OA、OB中点分别为C、D，P是OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时，点P的坐标。

6、已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB 中点，在AC山找一点M，使EM+MN的值最小，此时最小值为多少？

A D

·E

B ·N C

7、一牧人要从点A出发，到草地MN喂马，该牧人在傍晚回到营地B之前，先

带马道小河边PQ给马饮水，试问：牧人应走怎样的路线才能使整个路程最短？

M N

·A

·B Q

P