《将军饮马问题》教案 (2)

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最短路径问题（将军饮马为题）优秀教案

最短路径问题（将军饮马为题）优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题
教学设计
三、探究新知，教师主导
1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

将军
2、设想如果点A与点B在直线异侧，应该怎样找到点C的位置，由此及彼得出：利用轴对称可以先找到点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l相较于点C，点就是所求做的点。

5、巩固练习
四、合作探究、学生主体
1、“将军饮马问题（二）”：牧马人从A地出发，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。

学生通过小组合作，把实际问题转化成数学问题。

、小组合作，画出最短路径。

五、课堂小结
引导学生自己总结本课收获
六、作业
七、教学反思：
1.思得：信息技术的应用大大提高了学生学习数学的兴趣，其中最为明显的有两点，一是利用几何画板，让学生观察随着点C位置的变化，AC+BC的值随之变化，只有当点C在点A的对称点A’与点B 的连线与直线l的焦点时最小。

二是练习题的网上提交，既激发了孩子们练习的热情、时间观念，又节省了教师批阅时间。

2、思失：最短的证明不能单靠信息技术，还是应该逐步书写过程步骤，板书的尺规作图还是必须的。

人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案

5.结合实际情境，让学生体会数学与生活的密切联系，增强数学学习的兴趣和信心，培养正确的数学价值观。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。

将军饮马问题教学文案

将军饮马问题第一讲将军饮马问题学习要点与方法点拨一、主要内容（1）将军饮马问题的概念。

（2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。

（3）将军饮马问题与勾股定理。

二、本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。

课前预习轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。

模块精讲一、将军饮马问题的概念和基本思路起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边，让马去河里喝水。

那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程中，走过的路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。

这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。

A初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。

这个问题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN的不同侧呢？那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？例1，如图，一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后再回到S点。

该如何选择线路，使得经过的总路程最短？草地 O M 例1图例2图二、将军饮马与坐标系例2，已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。

①两段折线→作一次对称→转化折线三段折线→作两次对称→转化折线②连线段→最小值例3，已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此时对应的m的值。

运用平移的性质例4，已知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点C，是|AC-BC|最大，求出点C 的坐标和这个最大值。

《将军饮马问题》教学设计

《将军饮马问题》教学设计
将军饮马是中国古代一个著名的历史故事，它被广泛地用来教育学生珍惜大自然给予的一切。

在我国古代，将军何景谷因小剂量地投毒，使马被害而著称于世，其行为深受中国古代文人墨客尊重。

教学目标：
（1）让学生理解将军何景谷为了保护大自然而付出的代价以及他所做的贡献；
（2）让学生学会珍惜大自然的礼物，学会及时有效地保护大自然；
（3）让学生理解会在以节约资源、保护大自然的行为中获得价值。

教学内容：
第一步：
介绍《将军饮马》的历史背景，让学生了解将军何景谷的行为，以及他为保护大自然而付出的努力；
第二步：
引入现实，让学生学会珍惜大自然，及时有效地采取行动来保护大自然，保证其安全；
第三步：
针对学生学以致用，教育他们要在以节约资源、保护大自然的行为中得到价值，让学生明白“饮马”的道理。

教学过程：
（1）老师分享故事背景，学生讨论
（2）让学生自己尝试以《将军饮马》为案例，思考如何保护大自然及时有效地采取行动；
（3）利用视频影片，通过生动有趣的故事让学生对保护大自然有深刻的理解；
（4）结合实际，让学生结合自己的生活环境分解保护大自然该如何实施；
（5）强调一次“饮马”故事的道理，谈论节俭的重要性，利用真实的案例教育学生以及尊重大自然的重要性；
（6）发挥学生的创作能力，让学生利用自己学到的东西写一篇关于“将军饮马”的文章，以加深他们的理解。

教学结束：
老师总结本次教学的内容，督促学生将教训和理念融入到他们日常生活中，以保护大自然，节约资源，养成良好的习惯，使自己得到更多价值。

初中数学将军饮马教案

初中数学将军饮马教案一、教学目标：1. 知识与技能：让学生掌握将军饮马问题的解法，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过将军饮马问题的引入，让学生了解数学与实际生活的联系，学会运用数学知识解决实际问题。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

二、教学内容：1. 将军饮马问题的背景及意义。

2. 将军饮马问题的解法及步骤。

3. 将军饮马问题在实际生活中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：将军饮马问题的解法及步骤。

2. 教学难点：如何运用几何知识解决实际问题。

四、教学过程：1. 导入：讲解将军饮马问题的背景，让学生了解数学与实际生活的联系。

2. 新课讲解：讲解将军饮马问题的解法，引导学生掌握解题步骤。

3. 案例分析：分析实际生活中的将军饮马问题，让学生学会运用数学知识解决实际问题。

4. 课堂练习：布置将军饮马问题相关的练习题，巩固所学知识。

5. 总结与反思：让学生总结将军饮马问题的解法，反思自己在解决问题过程中的优点与不足。

五、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究将军饮马问题的解法。

2. 利用多媒体教学手段，展示将军饮马问题的实际应用场景，增强学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

4. 注重个体差异，针对不同学生的学习情况，给予适当的指导和帮助。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态。

2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检验学生对将军饮马问题解法的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生的学习反馈，了解学生在解决问题过程中的困惑和问题，为下一步教学提供参考。

七、教学资源：1. 多媒体课件：将军饮马问题的图片、视频等教学资源。

2. 练习题库：针对将军饮马问题设计的练习题。

3. 教学参考书：提供将军饮马问题相关的研究资料和教学方法。

八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解将军饮马问题的背景及意义。

将军饮马的教案

将军饮马的教案一、教学目标1.了解“将军饮马”问题的基本原理，掌握解决此类问题的方法。

2.通过实例分析，培养学生的数学思维能力和解题技巧。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学习数学的积极性。

二、教学内容1.引入“将军饮马”问题：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题。

2.讲解基本原理：介绍“将军饮马”问题的基本原理，即两点之间线段最短。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

三、教学步骤1.导入新课：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题，激发学生的学习兴趣。

2.讲解基本原理：详细讲解“将军饮马”问题的基本原理，让学生明确线段最短的性质。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

教师可以先演示一遍，然后让学生自己动手操作，加深理解。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

教师可以根据学生的实际情况进行个别辅导，确保每个学生都能掌握解题方法。

5.总结与回顾：对本节课的内容进行总结与回顾，让学生明确学习目标和学习内容。

6.布置作业：布置相关作业，让学生在课后继续巩固所学知识。

四、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的表现，评估他们对“将军饮马”问题的理解程度。

2.作业完成情况：检查学生的作业完成情况，评估他们对解题方法的掌握程度。

3.综合评价：根据学生的课堂表现和作业完成情况，综合评价他们的学习效果。

将军饮马的教案

将军饮马的教案教案题目：《将军饮马》的教案设计教学目标：1.了解古代将领的责任与刻苦训练；2.理解并鉴赏《将军饮马》这首古文诗的意境与形式；3.学会分析诗歌的结构与文本细节；4.能够朗读并背诵《将军饮马》；5.培养学生的审美意识和文学鉴赏能力。

教学重难点：1.分析《将军饮马》诗歌结构与意境；2.启发学生对于中国传统文化的理解与感悟；3.激发学生的文学鉴赏兴趣。

教学准备：1. 《将军饮马》原文；2.多媒体设备或黑板；3.学生绘制的诗画作品；4.课堂互动小游戏所需材料。

教学过程：Step 1:导入新课（5分钟）教师利用多媒体设备播放或黑板书写《将军饮马》的诗歌原文，激发学生的兴趣，并提问：“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦。

”你们对这句诗有什么理解？Step 2:学习诗歌分析（10分钟）教师引导学生分析《将军饮马》的诗歌结构与意境。

可以提醒学生注意以下几点：1.诗歌的内容和景象描写；2.诗句的构成和押韵方式；3.诗歌的整体感觉与意境表达。

Step 3:文匠互动小游戏（15分钟）教师设计一个互动小游戏，可以先将学生分成若干小组。

每个小组选择一位代表来参与游戏，教师将提前准备好的文匠道具从容器中抽出（比如：墨汁、毛笔、宣纸、烛台等），代表要用文匠创作诗词，并表演出来，全班其他同学来猜猜是哪首诗古文。

获胜小组可以得到奖励。

Step 4:课堂讨论（10分钟）教师组织学生展开讨论，分享他们对《将军饮马》的理解和感悟。

鼓励学生积极发言，提出自己的见解和问题。

Step 5:诗歌背诵与创作（20分钟）教师让学生开始背诵整首《将军饮马》。

并在学生背诵过程中，选出一些学生朗读背诵难度较大或有特色表演的部分，进行现场展示。

随后，教师布置作业，要求学生写一首类似题材的诗歌，并在下节课上背诵朗读。

Step 6:诗画展示（15分钟）教师邀请学生展示他们在课外自行绘制的与《将军饮马》相关的诗画作品。

学生展示的同时，教师可以点评和欣赏他们的作品。

初中数学将军饮马教案

初中数学将军饮马教案教学目标：1. 理解并掌握“将军饮马”问题的解题方法及其应用；2. 能够运用轴对称的性质解决实际问题；3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 将军饮马问题的背景及解题思路；2. 轴对称的性质及其在解决问题中的应用；3. 将军饮马问题的拓展与应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入问题：讲解唐朝诗人李颀的《古从军行》中的一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，提问学生是否知道这句诗中隐含着一个有趣的数学问题。

2. 学生思考并回答，教师总结：这个问题就是将军饮马问题。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解将军饮马问题的背景和解题思路，引导学生理解并掌握问题的解决方法。

2. 讲解轴对称的性质，引导学生了解轴对称在解决问题中的应用。

3. 通过例题讲解，让学生动手实践，巩固所学知识。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价，指出其中的错误和不足。

四、拓展与应用（10分钟）1. 讲解将军饮马问题的拓展，引导学生学会将问题进行拓展和应用。

2. 让学生举例说明轴对称在实际问题中的应用，分享自己的心得体会。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师总结本节课的主要内容和知识点。

2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。

教学评价：1. 课后作业的完成情况，检验学生对知识的掌握程度；2. 学生在课堂上的参与度和表现，评价学生的学习效果；3. 学生对拓展与应用部分的内容的理解和应用能力，评价学生的思维拓展能力。

教学反思：本节课通过讲解将军饮马问题，让学生了解了轴对称的性质及其在解决问题中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力。

同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学效果。

数学北师大版九年级下册将军饮马问题教学设计

中考最值专题复习《将军饮马问题》教学设计连州市北山中学欧金玲教学目标：1、理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上某一个点距离之和的点的位置的确定。

2、了解平面内“两线＋一点”和“两线＋两点”的最短距离问题的解题思路。

3、了解将军饮马问题的四个模型，能通过逻辑推理证明所求距离最短。

4、在探索最短路径的过程中，体会轴对称的图形变换作用，感悟转化思想.5、通过解决实际生活中的路径最短的问题，让学生感悟将“生活实际问题”转化为“数学模型问题”的转化思想。

教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解。

教学准备：多媒体课件。

教学过程一、复习旧知1.将军饮马问题的起源。

2.初中平面几何中与最值有关的公理和定理二、模型提炼(一)两定点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。

问将军怎样走路程最短？(二)两定点在一条直线同侧例2.如图：一位将军骑马从城堡A 到城堡B ，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？变式：已知：P 、Q 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，你能在BC 上确定一点R ，使△PQR 的周长最短吗？(三)一定点在两相交直线内部例3.如图：一位将军骑马从驻地A 出发，先牵马去草地OM 吃草，再牵马去河边ON 喝水，最后回到驻地A ，问：这位将军怎样走路程最短？变式1：已知P 是△ABC 的边BC 上的点，你能在AB 、AC 上分别确定一点Q 和R ，使△PQR 的周长最短吗？变式2：已知∠MON 中有一点A,求在OM 、ON 上分别找一个点B 、C,城堡A城堡B使得AB+BC最短。

( 四）两定点在两相交直线内部如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

数学人教版八年级上册将军饮马

《将军饮马问题》教学设计商丘市第六中学张宇平《将军饮马问题》教学设计教学内容：本节课主要以“轴对称知识”、“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”等为基础，来解决数学史上的一个经典问题——“将军饮马问题”，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，接着利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，然后再利用“三角形三边关系”对作图进行证明。

最后让学生对所学知识加以应用。

教学目标：1、能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题。

2、能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。

3、能通过逻辑推理证明所求距离最短。

4、体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。

教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题；在实际问题中运用最短路径模型灵活解决问题。

关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。

学情分析：从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费了大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言。

而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴。

所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的。

我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功。

教学策略：利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

《将军饮马问题》教案 (2)

《将军饮马问题》教案一、问题背景：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？B·营地A·山峰河流这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了二、引用“饮马问题”：将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B·镇A·镇L三、教学方法的探究：当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。

“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。

二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。

设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。

如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。

连接A′C与BC，探究：BALC C′A′B′（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。

（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。

（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。

数学人教版八年级上册微课教学设计——《最短路径——将军饮马问题》

微课《最短路径-将军饮马问题》教学设计博白县中学张玉玲一、学习目标：1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

二、重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题。

三、学前准备对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。

四、教学过程（一）课前导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本课将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。

（2）引出问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：将军从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 处．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？（3）证明过程如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 之和最小？问题3 你能用所学的知识证明AC +CB 之和最小吗？证明：如图，在直线上任取一点C ′，（与点C 不重合）连接A C ′, B ′C, B ′C ′。

由轴对称的性质知，BABA lCBAlCC CCBC =B ′C ，BC ′=B ′C ′ ∴ AC +BC = AC +B ′C = AB ′， AB ′＜AC ′+B ′C ′， ∴ AC +BC ＜AC ′+BC ′．即 AC +CB 之和最小。

（四）方法总结B¡¤lA¡¤B ′CC ′B¡¤lA¡¤B ′CB¡¤lA¡A ′C。

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计最短路径问题——将军饮马问题及延伸湖南省永州市双牌县茶林学校熊东旭最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标设置：1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。

此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。

”以及“垂线段最短”。

以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析:在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。

教具准备：直尺、ppt教学过程：将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。

二探究新知（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？（2）【展示】：让学生猜想，并画出图形。

将军饮马问题(讲)电子教案

将军饮马问题(讲)将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA3、已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

数学人教版八年级上册将军饮马问题教学设计

将军饮马问题常德市十三中李永祥一、教学内容初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。

二、教学目标解析[教学目标]能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.[目标解析]达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想.[教学重点]利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.三、学生学情诊断最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线l的异侧的两点，与l上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点为：[教学难点]如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.四、教学策略分析建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法：突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学课堂趣味性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激情.学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.五、教学基本流程探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考六、教学过程设计（一）探索新知1、建立模型问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在l的什么位置时，AC 与CB的和最小［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、解决问题问题3如图点A、B在直线的异侧，点C位直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？（2）如图，如何将点B“移”到l的另一侧B´处，且满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？学生在老师的启发引导下，完成作图.［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´C BC´.=B´C´∴AC+BC=AC+B´C=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时A B´＜AC´+C´B´∴AC+BC＜AC´+C´B当C´与C重合时AC+BC=AC´+C´B总之，AC+B C≤AC´+C´B即AC+BC最短［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C´的位置，可发现：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，AC+BC=AC´+C´B.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力.4、小结新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备.（二）运用新知如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b 某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望.（三）拓展新知已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR 的周长最短吗？师生活动：1、老师首先解释三角形周长最短的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使释三角形周长最短最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得.教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.（四）提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研究问题的过程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？3、在解决问题的过程运用了什么方法？4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.（五）课外思考［设计意图］通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计，由浅入深，环环相扣，不但培养了学生喜欢动脑，敢于提问，勇于探索的求学精神，同时培养学生的问题意识，通过最后这一问题的设计，让学有余力的学生解答，它不仅能巩固知识，形成技能，同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时，也是由课内向课外的一种延伸，预示着问题并没有终结，培养学生具有终身学习的意识与创新精神！。

将军饮马初中数学教案模板

教学年级：初中数学教学目标：1. 理解将军饮马问题的数学模型，掌握解决此类问题的方法。

2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 将军饮马问题的数学模型建立。

2. 解决将军饮马问题的方法。

教学难点：1. 将军饮马问题的空间想象。

2. 解决问题的逻辑推理过程。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 教学模型（如棋盘、线段等）。

3. 练习题。

教学过程：一、导入新课1. 通过展示古代将军饮马的情景，引发学生对问题的兴趣。

2. 提问：将军如何才能更快地饮马？二、新课讲解1. 引入将军饮马问题的数学模型，解释问题的背景和条件。

2. 讲解如何将实际问题转化为数学模型，包括坐标系的建立、距离的计算等。

3. 分析将军饮马问题的解决方法，如直线、折线、曲线等。

三、动手实践1. 学生分组，每组使用教学模型进行将军饮马的模拟实验。

2. 学生根据实验结果，分析不同饮马策略的优劣，总结规律。

3. 学生汇报实验结果，教师点评并总结。

四、课堂练习1. 教师给出几道将军饮马问题的变式，要求学生独立完成。

2. 学生在练习中巩固所学知识，教师巡视指导。

五、课堂小结1. 回顾将军饮马问题的数学模型和解决方法。

2. 总结学生在课堂上的表现，指出优点和不足。

六、布置作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 查阅相关资料，了解将军饮马问题的历史背景。

教学反思：本节课通过将军饮马问题的引入，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识。

在教学过程中，教师注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

在今后的教学中，应进一步关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，设计更具针对性的教学活动。

人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题——将军饮马》教学设计

13.4 课题学习最短路径问题第一课时一、内容和内容解析1.内容最短路径问题——将军饮马问题2.内容解析本节课主要以“轴对称知识”、“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”等为基础，来解决数学史上的一个经典问题——“将军饮马问题”，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，接着利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，然后再利用“三角形三边关系”对作图进行证明。

最后让学生对所学知识加以应用。

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。

二、目标和目标解析1.教学目标（1）能将实际问题中的“地点”、“一排商铺”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题；（3）能通过逻辑推理证明所求距离最短；（4）体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。

2.目标解析（1）将实际问题抽象成数学问题是学生的应具备的能力。

数学来源生活，服务生活。

（2）学生学会将用轴对称最短路径变为“两点之间线段最短”问题三、教学问题诊断分析学生在之前已经学习了“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”等知识，知道如何去找某点关于某条直线的对称点，为本节课的学习打下了基础。

但是如何将将军饮马问题中的同侧两点问题转化为异侧两点问题，最终用“两点之间线段最短”解决，这是学生不易理解的地方。

本节课教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题；在实际问题中运用最短路径模型灵活解决问题。

关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，利用轴对称转移线段，从而获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。

四、教学过程设计1.故事引入，引出课题问题1 同学们你们取过包裹快递吗？你们知道双十一吗？播放《直击双11物流现场》视频，激发学生学习兴趣。

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计

最短路径问题——将军饮马问题及延伸湖南省永州市双牌县茶林学校熊东旭最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

教学目标设置：1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。

”以及“垂线段最短”。

以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教具准备：直尺、ppt教学过程：环节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。

1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。

从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

浙教版八年级数学上册将军饮马求最值问题教案

《将军饮马问题》【教学目标】:1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题2.在解题过程中能总结解题方法，能进行一定的延伸3.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想。

【案例分析】:如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你认为走哪条路最近？你的理由是什么?实际应用：如图，A,B两城镇在燃气管道的异侧，在燃气管道的哪个位置建气站，可使向两城镇供气所用的输气管线最短？为什么呢？【问题】:如图，将军从A地岀发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地.将军到河边什么地方饮马，可使他所走的路线全程最短？一.将军饮马基础模型将A , B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线转化为数学问题当点C在直线的什么位置时，有AC+CB的和最小？【分析】:1.作点B关于直线的对称点B'，连接CB';2.AC+CB=AC+CB',如果AC+CB'的和最小，那么AC+CB的和就最小.3.最短路径为：A→C→B ，长度为AC+CB'=AB'【结论】:如图，在定直线上找一动点P,使点P到两定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小。

【牛刀小试】:1.如图，直线外不重合的两点A、B,在直线上求作一点C,使得AC+BC的长度最短，作法为:①作点B关于直线的对称点B'.②连接AB'与直线相交于点C,则点C为所求作的点. 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( ).A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间线段最短D.三角形一个外角大于与其不相邻的任意一个内角2.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（）.A.30°B. 45°C. 60°D. 无法确定3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC, AB 边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）.A.6B. 8C. 10D. 12二．将军饮马拓展延伸1.线段差最小和最大值：使|AP-BP|最小和最大的动点C位置2.周长最小值：使△APQ和四边形ABQP周长最小的动点P,Q位置3.一定两动：使AP+PQ最小的动点P,Q位置word版初中数学。

《将军饮马问题》教案 (2)

最短路径问题（将军饮马为题）优秀教案

人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案

将军饮马问题教学文案

《将军饮马问题》教学设计

初中数学 将军饮马 教案

将军饮马的教案

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数学北师大版九年级下册将军饮马问题教学设计

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数学人教版八年级上册微课教学设计——《最短路径——将军饮马问题》

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