高考数学(人教a版,理科)题库：数学归纳法(含答案)

第3讲数学归纳法一、选择题

1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋2

1－a

(a≠1，n∈N*)”时，在验

证n＝1成立时，左边应该是( )

A 1

B 1＋a

C 1＋a＋a2

D 1＋a＋a2＋a3

解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.

答案 C

2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立

解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．

答案 D

3．用数学归纳法证明1－1

2＋

1

3－

1

4＋…＋

1

2n－1

－

1

2n＝

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n，则

当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．

A.1

2k＋2B．－

1

2k＋2

C.1

2k＋1－

1

2k＋2

D.

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

解析∵当n＝k时，左侧＝1－1

2＋

1

3－

1

4＋…＋

1

2k－1

－

1

2k，当n＝k＋1时，

左侧＝1－1

2＋

1

3－

1

4＋…＋

1

2k－1

－

1

2k＋

1

2k＋1

－

1

2k＋2

.

答案 C

4．对于不等式n2＋n

(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k

1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋

1)＋1，

所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．

答案 D

5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )

A．6＋6·7k B．2＋7k－1

C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)

解析 (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．

(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，

那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.

这就是说，k＝n＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．

答案 D

6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()．

A．a＝1

2，b＝c＝

1

4B．a＝b＝c＝

1

4

C．a＝0，b＝c＝1

4D．不存在这样的a、b、c

解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即

⎩⎨⎧

1＝3(a －b )＋

c ，

1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，

1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，

整理得⎩⎨⎧

3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，

81a －27b ＋c ＝34，

解得a ＝12，b ＝c ＝1

4. 答案 A 二、填空题

7．用数学归纳法证明不等式

1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n

＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)

，故填

1

(2k ＋1)(2k ＋2)

.

答案 1

(2k ＋1)(2k ＋2)

8. 用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，

121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)

故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3)

＝

(k ＋1)(k ＋2)

2(2k ＋3)

即可.