新人教版九年级数学上圆的概念与垂径定理

圆的概念与垂径定理

知识点一、圆的定义

1、圆的第一定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作：⊙O，读作圆O．

2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是：圆，一中同长也．

3．圆的第二定义：

由圆的定义可知：

(1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

：一个是圆心，另一个是半径，其中，注意：由圆的概念可知：○1“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而

不是圆面。

○2确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。

例题1

○1经过P点的圆有无数个；

○2以P为圆心的圆有无数个；

○3半径为3cm且经过P点的圆有无数个；

○4以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

知识点二、圆的有关概念

1．弦：

连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．

2. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作»AC，

读作圆弧AC或弧AC．

3．圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

ABC叫做优弧）

4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示¼

小于半圆的弧叫做劣弧．（如图所示）»AC或»BC叫做劣弧．5．半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。

例题2：下列命题中，正确的个数是（）。

○1直径是圆中最长的弦；○2弧是半圆；○3过圆心的直线是直径；○4半圆不是弧。

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

例题3：下列几个命题中，正确的是（）

·

B C

D

O

M 第2题图

A ．两条弧的长度相等，那么他们是等弧 B. 等弧只有在同圆中存在 C. 度数相等的弧的长度相等 D. 等弧的长度相等

巩固练习．

如下图，(1)若点O 为⊙O 的圆心，则线段__________是圆O 的半径；线段________是圆O 的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．

(2)若∠A =40°，则∠ABO =______，∠C =______，∠ABC =______． 综合讲练．

讲练1：如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点． (1)求证：∠AOC =∠BOD ；

(2)试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

讲练2：如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．

知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理）

说明：①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身． ②圆有无数条对称轴．

2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ∵⊙O 中CD 是直径、AB 是弦，且CD ⊥AB 于M ，

∴AM ＝BM ，»»AC BC =，»»AD BD =． 你能试着证明吗？

说明：①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；

②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦

的距离等

问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，

即：（弦的一半）2＋（圆心到弦的距离）2＝（半径）2． 例1 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是 A ．MP 与RN 的大小关系不定 B.MP=RN C.MP ＜RN D.MP ＞RN

例2 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于D 点，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，求DC 的长 【课堂操练】

1．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小

为（ ） A 、25° B 、30° C 、40° D 、50°

2．如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦C D ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，求弦C D 的长（结果保留根号）.

3．如图，⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，

OM ：OC ＝3：5，求AB 的长

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论3：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

问：你能分别用符号语言描述吗？请试着表示！

概念理解：

1．下面四个命题中正确的一个是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（）．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心

C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧

跟踪练习：

1、．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．

1题图

2．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．

2题图

3．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．

3题图

4．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．

4题图

5．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．

5题图

6．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．

6题图

综合讲练：