第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
李田军材料力学课件 15 第九章 压杆稳定
解:1. 在推导临界力公式时需要注意,在符合 杆端约束条件的微弯状态下,支座处除轴向约 束力外还有无横向约束力和约束力偶矩. 在推导临界力公式时这是很重要的一步, 如果在这一步中发生错误,那么得到的结果 将必定是错误的. 2. 杆的任意x截面上的弯矩为
以两端铰支为例 在线弹性,小变形下,近似地, EIy′′ = M(x) = py 压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内, 压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内, 所以惯性I应为截面最小的惯性矩 所以惯性 应为截面最小的惯性矩Imin. 应为截面最小的惯性矩 P 2 2 引入记号: k = ,改写为 y′′ + k y = 0 EI 通解为: y = Asin kx + B cos kx
M(x) = Fcrw Fy (l x)
从而有挠曲线近似微分方程:
(b)
李田军材料力学课件
EIw′′ = [ Fcr w Fy (l x)]
16 第九章 压杆稳定
令 k2=Fcr /EI,将上式改写为 亦即
2
w′′ + k w =
2
2
Fy EI
(l x)
w′′ + k w = k
Fy Fcr
李田军材料力学课件 11 第九章 压杆稳定
Asin 0 + Bcos 0 = 0 边界条件: y(0)=0 , y(l)=0 (两端绞支), 即 Asin kl + Bcos kl = 0
齐次方程有非零解的条件
n2π 2EI 由此可得 P = l2
nπ = 0 sin kl = 0 k = sin kl cos kl l 0 1
为了保证压杆安全可靠的工作,必须使压杆处于直线 必须使压杆处于直线 平衡形式,因而压杆是以临界力作为其极限承载能力. 平衡形式 临界力的确定是非常重要的. 可见,临界力的确定 临界力的确定
《建筑力学》第九章 压杆稳定
可按式( 7)计算 计算。 钢为例，取其E GPa， MPa， 不同材料的 λ p 可按式(9-7)计算。以 Q 235 钢为例，取其E＝200 GPa， σ p ＝200 MPa， 代入式( 7)得 代入式(9-7)得
π 2E 200 × 103 λp = = 3.14 ≈ 100 200 σp
表示。 在临界力 表示。
作用下，压杆横截面上的平均压应力即为式( 作用下，压杆横截面上的平均压应力即为式(9-2)两端除以杆件的横截面面积A，即临界应 2)两端除以杆件的横截面面积A 两端除以杆件的横截面面积 力为： 力为：
σ
cr
Pc r π 2EI = = A (µ l)2 A
（ 9－ 3）
式中， 式中，令 i =
π 2 EI 3.142 × 210 ×109 × 64.4 ×104 ×10−12 Pcr = = = 148.2kN 2 2 (µl ) (1× 3.0)
3、压杆临界应力 压杆在临界力作用下横截面上的平均压应力即为临界应力， 压杆在临界力作用下横截面上的平均压应力即为临界应力， 通常用 σ
cr
Pc r
π 2EI 3 .1 4 2 × 2 0 0 × 1 0 9 × 7 .8 5 × 1 0 7 × 1 0 − 1 2 = = = 4300 kN ( µ l1 ) 2 (1 × 6 ) 2
杆2： l 2 = 4 m ， λ 2 = 式计算如下： 式计算如下：
µ l2
i
1× 4 × 103 属中长杆， = = 8 0 ， λ s ≺ λ 2 ≺ λ p ，属中长杆，用直线经验公 50
钢制成的压杆，只有当实际柔度λ 欧拉公式才适用。 即由 Q 235 钢制成的压杆，只有当实际柔度λ ≥100 时，欧拉公式才适用。 时的压杆称为细长杆或大柔度杆。 可见， 欧拉公式只能用来计算细长杆的临界力， 当 λ≥ λ p 时的压杆称为细长杆或大柔度杆。 可见， 欧拉公式只能用来计算细长杆的临界力， 的其它类型的压杆，欧拉公式是不适用的， 而对 λ < λ p 的其它类型的压杆，欧拉公式是不适用的，这时可用如下的直线经验公式确定 压杆的临界应力。 压杆的临界应力。
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
第9章 压杆稳定
第九章压杆稳定§9.1 压杆稳定的概念§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力§9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力§9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式§9.5 压杆的稳定校核§9.6 提高压杆稳定性的措施1. 引言强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力2．实例crcr①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。
②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。
③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。
④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。
⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。
3．稳定研究发展简史早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。
原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。
这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。
随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。
19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。
例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。
弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。
从此稳定问题才在工程中得到高度重视。
§9.1 压杆稳定的概念 1．工程实例（1当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。
（2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。
（3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。
（4）桁架结构的某些杆件。
（5）建筑物中的柱。
2．压杆分类⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫--.,,.3.2.1曲线平衡而发生失稳杆件会由直线平衡变成比例极限甚至低于或者强度极限当应力低于屈服极限稳定问题细长杆中长杆强度问题短杆b b s σσσ 3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。
建筑力学第9章压杆稳定
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
上一页
• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
第九章 压杆稳定
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
09 第9章 压杆稳定
An
4 稳定性校核步骤：
•计算柔度 •判断压杆类型并计算临界应力或临界压力 •稳定性校核
【例9.3】 千斤顶如图9.6所示，丝杠长度，螺纹内径，材料为
45钢，最大起重重量为F=80kN，规定的稳定安全因数[nst]=4，
试校核丝杠的稳定性。 解：(1) 计算柔度。
丝杠可以简化为下端固定，上端自由的压 杆，因此长度因数取μ=2。
稳定失效：压杆丧失稳定性而破坏，具有突发性
逐渐成为构件或结构安全工作的控制条件
称为临界压力
稳定 平衡
Pcr
不稳定 平衡
§9.2 细长压杆的临界载荷的计算及欧拉公式
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界载荷的计算
Pcr
y
Pcr
x
M (x) Pcr w M M (x) EIw''
EIw'' Pcr w 0
解： (1) 计算截面的极惯性矩
I min
0.05 0.033 12
m4
11.25 108 m 4
(2) 两端为铰支约束，则代入欧拉公式得
Pcr
2EI l2
2
9 109
11.25 108 1
N
10kN
所以，当杆的轴向压力达到10kN时， 此杆就会丧失稳定。
9.3 欧拉公式的适用范围·经验公式
记：2
a
s
b
a s
b
2 1 ——直线公式的适用范围
——这种压杆称为中柔度杆或中长杆
2 的压杆 ——小柔度杆或短粗杆
不存在失稳问题，应考虑强度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
第九章_压杆稳定
第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。
9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。
材料力学 第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
第九章 压杆稳定
N CB
A
C
设支座A、C之间距离为l：
l AB l cos l CB l sin , N AB
2 EI
2
l cos
2
N CB
2 EI
l 2 sin 2
当AB杆和CB杆的承受能力都同时达到临界值时F为 2 EI 最大： F cos
cr F st A n st
st — 稳定容许应力。
二、压杆的稳定计算 稳定校核； 截面设计； 求容许荷载。 1、安全因数法
F cr 利用 F , n st
F cr F F n st
st
cr
n st
st
2、折减因数法
st
干扰力
干扰力
稳定平衡
临界状态
失稳（屈曲）
§9-2、3
细长压杆的临界荷载
x Fcr Fcr
1. 两端铰支细长压杆的临界压力
弹性范围内： EIw M ( x) 得 E I w F c r w 令 得
M(x)
l Fcr
k 2 Fcr EI
2
w k w 0 w A sin kx B cos kx
各种各样的失稳现象
老Tacoma 海峡大桥 风洞 颤振 试验 照片
新Tacoma 海峡大桥
各种各样的失稳现象
常见的受压工程杆件
压杆
桁架中的压杆
问题：
临界压力Fcr －－ 压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力 是否无论受多大压力杆件都存在稳定性问题？ F F F< Fcr F= Fcr F >Fcr
压杆稳定
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
第九章压杆稳定
E1 E2
λ
1
2l1 d
λ
2
2
3l2 d
cr1
2 E1 12
2 E1 d 4l12
2
2 E2d212l Nhomakorabea2 2
cr 2
2 E2
2 2
2 E2d2
12l
2 2
Cr1
Fcr1 Fcr 2
A1 CR1 A2 CR2
A1 A2
d 2
4 d2
4
58
例题 ：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量
E 2.03105 MPa ,σ P 300MPa ，杆的直径d=100mm
sin
kx
2
x
F cr
l
l 2
y
A
δ
B
25
0
δ sin kl
sin
kl
2δ
cos
kl 2
2
要想压杆在微弯状态下 平衡只有
cos kl 0 2
kl n (n 1,3,5 )
22
x
F cr
l
l 2
y
A
δ
B
26
kl n (n 1,3,5 )
22
其最小解为 n = 1 的解
k
l
F cr k2 EI
6 12
z
24
6 y 22
42
解：
在 xy 平面内失稳时，z 为中性轴
I
z
1 12
12243
2( 1 2263 226152) 12
F cr1
2E Iz ( z l1)2
2E Iz
(1l1)2
6 12
z
《材料力学》第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
第9章压杆稳定
长度系数
=1 =2 =0.7 =0.5
两端固定
§9-4 欧拉公式的使用范围 经验公式
1、临界应力和柔度
1）临界应力： 压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
EI E Fcr cr l 2 2 ( l ) A ( ) A i
2
2
2）柔度：
l
i
柔度也称细长比与长度、截面性质、支撑条件有关
p 20010 100 6
2 9
20010
3)用柔度表示的临界压力
2 E A Fcr 2
3、中、小柔度杆的临界应力 1．s>cr>p时采用经验公式
直线经验公式： cr a b
对于Q235钢： s 1
cr s
a s s 2 b
x
F x
解：1)失稳形式判断： 若连杆在x—y平面内失稳，则连 F 杆两端可视为铰支：
z
580 700 580 l
z Lz
iz
z Lz
Iz / A
4
z F
1 700 6.5 10 / 720
73.7
y y
F
若连杆在x—z平面内失稳， 则连杆两端可视为固定端：
z
y
y Ly
工程实例
2、稳定平衡与不稳定平衡
稳定平衡是能够保持原有平衡状态的平衡。
3、压杆的失稳与原因
1）压杆的稳定性： 压杆维持其原有直线平衡状态的能力
2）压杆的失稳：压杆丧失其原有直线平衡状态，不能稳 定地工作。 3）压杆失稳的原因 1)杆轴线本身不直(有初曲率)； 2)加载偏心； 3)压杆的材质不均匀； 4)外界干扰力。
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9-4 图中所示为某型飞机起落架中承受轴向压缩的斜撑杆。
杆为空心圆管，外径D=54mm ，内径d=46mm,l =950mm 。
材料为30CrMnSiNi2A,1600MPa,1200MPa b P σσ==, 210GPa E =.试求斜撑杆的临界应压力F cr 和临界应力σcr 。
解：（1）计算柔度53.5799.35P lliμλμλ⋅⋅====>=(2)计算判别柔度P λ,确定计算临界力的公式.41.6P λ=== 显然压杆的柔度53.5741.6P λλ=>=，可采用欧拉公式计算临界力。
故：229222101053.57cr E ππσλ⨯⨯==Pa =722.23MPa 622()(0.0540.046)4cr cr F A πσ=⋅=⨯⨯-722.2310N =453.79kN9-5 三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa P σ=，240MPa s σ=。
两端铰支，长度分别为l 1、l 2和l 3，且123245m l l l ===。
试求各杆的临界压力F cr 。
解：（1）计算判别柔度P λ、s λ99.34P λ===，30424057.141.12s sa b σλ--=== （2）计算三个杆的柔度和临界压力： 各杆两端铰支1μ=，截面相同0.160.04m 44d i ===，杆长不同。
①杆：15m l =，111151250.1604499.34P l l diλμμλ⋅⋅⨯=====>，细长压杆采用欧拉公式计算临界力。
故：22921122200100.164125crcrE F A A πππσλ⨯⨯⨯=⋅=⋅=⨯N =2540.03kN②杆：2 2.5m l =2221 2.562.50.16044l l d iμμλ⋅⋅⨯====， 262.557.1499.34s P λλλ<=<==，中柔度杆采用经验公式计算临界力。
故：222620.16()[(304 1.1262.5)10]4cr crF A a b A πσλ⨯=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯N =4704.48kN③杆：3 1.25m l =3331 1.2531.250.16044l l d iμμλ⋅⋅⨯====，362.5457.1s λλ==<，粗短杆不涉及稳定问题，其临界应力就是屈服极限240MPa s σ=，故：23360.16240104cr crs F A A πσσ⨯=⋅==⨯⨯N =4825.5kN9-10铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。
若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。
试确定荷载P 为最大时的θ角。
（20πθ<<）F解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：设两杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力， B 结点受力如图所示。
列平衡方程0sin 0sin ()cos 0cos ()0x N BC N BC N BA N BA y F P F F P P F F P F θθθθ⎧=+==-⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎪⎩∑∑压杆压杆 （2）求两细长压杆的临界荷载 设AB 长度为l ，则BC 长为tan l β222,,2222,tan cr cr AB cr BC EIEIEIP P P l l l πππβ=→==（3）当两压杆的轴力同时到达各自临界力时，P 为最大值22,22222,222222=cos 11cos =cos tan sin =sin tan tan sin tan co t arctan(co t )cr AB NBA cr BC NBC EI EI F F F l l EI EI F F F l l ππθθθππβθθββθθβθβ⎧⎧==-=⎪⎪⎪⎪→→⎨⎨⎪⎪==-=⎪⎪⎩⎩→=→=F F9-15 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160MPa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。
其弹性模量210E G =Pa 。
若[] 1.5st n =,试对结构进行强度与稳定校核。
F N 图（kN ）M 图（kN m ）+2412-解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。
()0sin 45122033.941kN ANDCNDC m FF =→-+⨯=→==∑ F（2）内力分析：ABC 杆的AC 段发生拉弯组合变形，CB 段发生弯曲；CD 杆为轴向压缩杆件。
内力图如图所示。
（3）对压杆进行稳定性校核。
①求压杆的柔度127.39liμλ===②求压杆临界力对于Q 235钢材料为100P λ=，127.39>100P λλ==，采用欧拉公式计算压杆临界应力2292221010Pa 127.72MPa 127.39cr E ππσλ⨯⨯===③校核压杆的稳定性[][]666322127.7210127.7210 1.83 1.526/69.701033.9410/{0.036[1()]}436cr cr w w w w NDC n n n F A σσπσ⨯⨯=≥→===≥=⨯⨯⨯⨯- 故，压杆的稳定性足够。
（4）对梁ABC 进行强度计算梁的C 的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。
查表可知14号工字钢的2321.516cm ,102cm z A W ==。
则梁的最大拉应力为：33max max4624101210Pa 11.154117.647MPa 128.8MPa 21.5161010210N z F M A W σ--⨯⨯=+=+=+=⨯⨯ 故，ABC 梁的的强度足够。
补充1 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。
材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。
试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大？（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳？补充1图解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。
1 2.4138.560.060xy xy zli μλ⋅⨯=== ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。
0.5 2.4103.92xz xz yli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(,)138.56xz xy λλλ==④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ22101.8P P P E πσλλ=→===⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P crb222362(2101010)(0.0600.040)259.10138.56cr cr EP A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯⨯=⨯⨯=N kN(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，[][]259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =≥→≤==kN （3）求稳定性最佳的b/h当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。
故1 2.41 2.40.5 2.40.50.5 2.4xy xyzxz xz y l i b h l i μλμλ⋅⎧⨯==⎪⎪⨯⨯⎪→=→=⎨⋅⨯⎪==⎪⎪⎩补充2 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。
试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？F BCF N N BCN CD解：（1）各杆的临界力222..222cr BD cr EIEIPP a a ππ===外（2）求各杆的轴力与P 的关系。
由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，NAB NBC NCD NDA F F F F ===。
研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。
第一种情况： C:)02450x NCBNCB F P F cos F =→--=→=∑压杆 B:()02450YNBD NBC NBD NBC FF F cos F P =→--=→==∑ 拉杆 令2,.2=NCBcr CB cr EI F P P P a π===↔外第二种情况：)NCBF=拉杆()-NBD NBCF P==压杆22.22-==22NBD NBC cr BDEI EIF P P Pa aππ===↔补充3 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。
试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz内失稳，y为中性轴。
0.57101.04xzxzyliμλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy内失稳，z为中性轴。
27242.49xyxyzliμλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(.)242.49xz xyλλλ==（2）松木75242.49Pλ=<，故采用欧拉公式计算P cr222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr crEP A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN补充4 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm⨯，试计算其临界力.解：（1）矩形：①计算柔度：23632 3.210103.2100.04b b --=⨯⨯=⨯→=0.530.53129.9xz xz yli μλ⋅⨯⨯==== 129.9>123=xz P λλ=矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力22113222103,210N 374.34kN 129.9cr E P A ππλ-⨯⨯=⋅=⨯⨯= （2）正方形截面：①计算柔度：23633.210103.2100.057a a --=⨯⨯=⨯→=0.530.5391.86xz xz yli μλ⋅⨯⨯==== 06091.86<123=xz P λλλ=<=正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1291.86)10 3.210N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆形截面： ①计算柔度：23633.21010 3.2100.0644d d π--=⨯⨯=⨯→=0.530.5394.000.06444xz xz yld i μλ⋅⨯⨯==== 0=6094<123xz P λλλ<==圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1294)10 3.210N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆环形截面： ①计算柔度：2222363(1)(10.7) 3.21010 3.2100.0894m 44D D D ππα---=-=⨯⨯=⨯→=0.530.5354.99xz xz yli μλ⋅⨯⨯====054.99<60=xz λλ=圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力()()6323510 3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=⋅=⋅=⨯⨯⨯=。