三角形五心及其性质延伸

三角形五心及其性质延伸
1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。

角平分线性质:到角两边距离相等. 内心性质：到三角形三边距离相等。

延伸：①内角平分线定理
如图，AD 为△ABC 中BAC ∠的平分线，则有
(=)AB BD AC DC =上左下左
上右下右
证明过程如下：
作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC ∠=∠. ∵BAD DAC ∠=∠,∴E BAD ∠=∠,AB BE ==c. 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴
BD
=
DC
AB EB AC AC =,得证。

②外角平分线定理
如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有
()AB BD
AC DC
=同上 证明过程如下：
作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF ∠=∠.∵EAF EAC ∠=∠, ∴AEC EAC ∠=∠,AC AE =. 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴
BD
=
DC
AB AB AC CE =,得证。

A
B
D
C
E
c
b
c
A
B
C
D
E F
③三角形内角平分线长公式
如图，AD 为△ABC 中BAC ∠的平分线，则有
2bccos 2cos 2211b+c +b c
A A
AD =
（或
） 证明过程如下：
作BE//AC 交其延长线于E,BF ⊥AE 交其于F 。

由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB, ∴
b
c
AD AC DE BE ==. 又+DE=AE AD ,即b
b+c
AD AE =
.而△ABE 为等腰三角形, BF ⊥AE, ∴22sin =2csin
2
A
AE AF AB BAF ==∠,∴2bccos
2cos 2211b+c +b c
A A
AD =（或
）. ④内心到三边距离r(三角形内切圆半径)
设三角形面积为S ，则有
2r=a+b+c
S
（即面积的2倍除以周长）
证明过程如下：
连接OA,OB,OC. ∵相切，∴OF AB ⊥，即S △AOB =
11
cr 22
AB OF •=，同理 S △AOC = 1
br 2
，S △BOC = 1ar 2.又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,
∴2r=a+b+c
S
.
c
b c
A
F
B
D
C
E
.O A F B
C
E
2.重心:三角形三条中线交点
中线性质:将三角形面积等分成两部分.
重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有 :::2:1AG GC BG GE CG GF === 证明过程如下：
作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证.
延伸:三角形中线长公式 如图,AD 为△ABC 的中线,则有
22
1b +c +2bccos 2
AD A =
证明过程如下:
作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ，
∴1
,=
2AD DE AD AE =即，
∵BE//AC ，∴ABF A ∠=∠。

作AF ⊥EB 交其 延长线于F 。

又AB=c ，∴BF=AB cos ABF ∠=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +。

∴12AD AE =
2222
11(cos )(sin )b +c +2bccos 22
c A b c A A ++= A
G F
E C
B
D H A
F
B
E
D
C
3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。

垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。

外心性质：到三角形三个顶点距离相等。

内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径) R=
2sin c
C
(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程于下:
连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R.
又90ABD ∠=︒(直径所对的圆周角是90︒),AB=c, ADB C ∠=∠(同弧AB
所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB ∠,即2R sin c C =, R= 2sin c
C .
延伸①:正弦定理 由于R=
2sin c C ,同理易证2sin 2sin 2sin c b a
R C B A
===,变形得到 正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理
2
2
2
2cos a b c bc A =+- （222
cos 2b c a A bc
+-=）
证明过程如下：
作CD ⊥AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，
sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=
22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求
.O
A
B
D
C
A B
C
D
4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。

旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。

证明过程如下：
如图，P
1、P
2
、P
3
为△ABC三个旁心。

以P
1为例，P
1
在
2
BAM
∠平分线上，
∴P
1到AB、AM
2
距离相等，即P
1
到
AB、AC所在直线M
1N
1
、M
2
N
2
距离相等，
同理，P
1在
3
ABM
∠平分线上，∴P1到AB、BM3距离相等，即P1到AB、BC
所在直线M
1N
1
、M
3
N
3
距离相等,故得到旁心到三边所在直线距离相等。

补充：三角形面积公式
①
1
2
S ah
=（
1
2
底⨯高）
②
111
sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===
（1
2
某角的正弦值乘以它两边长度的积）
证明过程如下：
作AD⊥BC，则
1
·=
2
S BC AD
=
1
·sin
2
a AC C
1
·sin
2
a b C
=，得证，其他边角
同理可求。

P2
A
C
P3
P1
B
M2
M3
N1
N3
N2
1
M
A
B D C。