谢惠民数学分析习题课讲义部分题目解答

数学分析习题课讲义问题解答

第一章引论

1.3.2

练习题

1.关于Bernoulli 不等式的推广:

(1)证明:当12-≤≤-h 时Bernoulli 不等式nh h n

+≥+1)1(仍成立;

(2)证明:当0≥h 时成立不等式2

)1()1(2

h n n h n

-≥+,并推广之;

(3)证明:若),,2,1(1n i a i =->且同号,则成立不等式

∑∏==+≥+n

i i

n i i

a

a 1

1

1)1(.

2.阶乘!n 在数学分析以及其他课程中经常出现,以下是几个有关的不等式,它们都可以从平均不等式得到:

(1)证明:当1>n 时成立n

n n )2

1(!+<;【证明】利用平均值不等式,有

n n

k n

k k

k n ∏∑==≥1

1

1所以

n

n n )2

1(

!+≤因为1>n ,所以取等号的条件n === 21不满足,故n

n n 2

1(

!+<.(2)利用)1(]2)1)[(1()!(2

n n n n ⋅⋅-⋅= 证明:当1>n 时成立

n

n n 6

2(

!+<;【证明】利用平均值不等式,有

n n

k n

k k n k k n k n ∏∑==-+≥-+1

1

)

1()1(1所以

n

n n n n n 6

2(

]6

)

2)(1([

!+<++≤(3)比较(1)和(2)中两个不等式的优劣,并说明原因;

(4)证明:对任意实数r 成立n

n k r n r

k n n )(1)!(1

∑=≤.

【证明】利用平均值不等式,有

n n

k r

n k r

k

k n ∏∑==≥1

1

1所以

n

n k r n r

k n n )

(1)!(1

∑=≤3.证明几何平均值-调和平均值不等式:若0>k a ,n k ,,2,1 =,则有

∑∏==≥

n

k k

n

n

k k a n a 111

1)(【证明】利用平均值不等式,有

n n

k k

n k k

a a n ∏∑==≥11111所以

∑∏==≥

n

k k

n

n

k k a n a 111

1)(4.证明:当c b a ,,为非负数时成立3

33c

b a ca b

c ab abc ++≤

++≤.【证明】由于

ca

bc ab c b a a c c b b a ++≥++⇒≥-+-+-2222220)()()(所以

3

3)(3)(2ca

bc ab c

b a ca b

c ab c b a ++≥++⇒

++≥++利用平均值不等式,有

3

23)

(33abc ca bc ab ca bc ab =⋅⋅≥++所以

3

3

abc ca bc ab ≥++5.证明下列不等式:

(1)b a b a -≥-和b a b a -≥-;【证明】利用三点不等式,有

a

b b a b b a =+-≥+-)(由对称性知b

a b a ≥+-所以

b

a a

b b a b a -=--≥-),max(

(2)∑∑∑===≤≤

-

n k k n

k k

n

k k

a a

a

a 1

1

2

1;有问:左边可否为∑=-n

k k a a 2

1?

【证明】利用(1)的结论,有

∑∑∑====

-≤

-

n

k k

n

k k

n

k k

a

a a

a

a 2

11

1

1反复利用三点不等式,有

∑∑∑∑∑=====≤≤+

+≤+

≤+=n

k k

n

k k

n

k k

n

k k n

k k

a a

a a a

a a a a

1

3

212

12

11

再利用这个结论,有

∑∑∑===≤≤

-

n

k k

n

k k

n

k k

a a

a

a 2

2

1

1(3)

b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++111;

【证明】显然函数x x x x f +-

=+=

11

11)(是单调增加的,所以有b

b a

a b

a b b

a a b

a b a b

a b a ++

+≤

+++

++=

+++≤

+++111111(4)n

n

n

n

a b a a b a -+≤-+)()(.【证明】利用三点不等式,有

n

n

n n n n n n n b a b a b a a a b a a a b a )()()()(+≤+=+≤+-+=+-+第二章数列极限

2.7.3

参考题第一组参考题

1.设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 分别收敛于数c b a ,,.

取}{12-k a 的一个子列}{36-k a ,它收敛于数a ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以

c a =.取}{2k a 的一个子列}{6k a ,它收敛于数b ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c b =.于是有b a =.

对任给的0>ε,存在正整数1N 与2N ,当1N n >时有εa a n <--12,当2N n >时有εa a n <-2.现取),max(221N N N =,当N n >时有εa a n <-,故}{n a 收敛于a .