第_9_讲__完全平方数(学习指导)

第9讲完全平方数

第一部分基本知识点——这是重中之重

一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。

0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。

观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：

性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。

推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；

性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。

性质3：完全平方数除以3余0或1；

完全平方数除以4余0或1；。

性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。

性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。

性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。

一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。

约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。

性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），

其中A＋B与A－B的奇偶性相同。

第二部分学案

[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？

分析：⑴两位数从10到99共90个，其中偶数90÷2＝45（个）。

⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。

⑶两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。

[学案2] 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？

分析：⑴要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。

8＝2＋2＋2＋2＝2＋3＋3＝3＋5

⑵ 16＝（2＋2＋2＋2）＋（2＋2＋2＋2）

＝（2＋3＋3）＋（2＋3＋3）

＝（3＋5）＋（3＋5）

（2×2×2×2）×（2×2×2×2）＝162＝256

（2×3×3）×（2×3×3）＝182＝324

（3×5）×（3×5）＝152＝225

答：这个平方数可能是256、324、225．

[学案3]一个房间里有100盏灯，用自然数1、2、3、4、……、100编号，每盏灯各有一个开关，开始时，所有的灯都不亮。有100个人轮流进入房间，第一个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离去。第二个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离去；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离去。问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着？

分析：⑴对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，开关被按奇数次时灯是亮着的，开关被按偶数次时灯是灭着的。

⑵“一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯编号的约数个数”。求哪些灯还亮着，就是求哪些灯编号的约数个数是奇数个。显然，完全平方数有奇数个约数，所以用完全平方数编号的灯是亮着的。

在1～100这100个数中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

[学案4]两个完全平方数的差为51，且这两个完全平方数之间没有其他完全平方数，求这两个数。

分析：⑴设这两个完全平方数分别为A2、B2 ，且A－B＝1。

A2－B2＝51

（A＋B）（A－B）＝51

⑵得到A＋B ＝51

A－B ＝1 解得A＝26；B＝25

A2＝262＝676 ；B2＝252＝625

第三部分课后训练，巩固知识点

1、1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10＋10×11＋11×12的结果是不是完全平方数？为什么？

分析：不是！

我们把每一项的个位数字相加：2＋6＋2＋0＋0＋2＋6＋2＋0＋0＋2＝22，相加和的个位数字是2。完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，个位是2的自然数不可能是完全平方数。

2、1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋9×10的结果是不是完全平方数？为什么？

分析：不是！

我们首先考虑和的个位数字，2＋2＋0＋6＋0＝10，个位数字是0，有可能是完全平方数；另一方面，我们看总和除以4的余数：2＋0＋2＋0＋2＝6，6除以4余2，也就是说总和除以4余2，而完全平方数除以4的余数只能是0或1，余2的必然不是完全平方数。

分析：1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋9×10最后的结果是190，190介于132＝169和142＝196之间，而132＝169和142＝196是两个相邻的完全平方数，因此190不是完全平方数。

3、240乘以一个非零自然数α，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么α的最小值是。b的最小值是。

分析：240＝24×3×5，

240×α结果是完全平方数，完全平方数的质因数必须成对出现，所以α最小值是3×5＝15。

240÷b结果是完全平方数，完全平方数的质因数必须成对出现，所以b最小值是