流体力学习题解析

第六章 粘性流体绕物体的流动

6－1 已知粘性流体的速度场为k xz j xyz i y x u 2

2835 (m/s)。流体的动力粘度μ＝

0.144Pa·s ，在点(2，4，－6)处σyy ＝－100N/m 2，试求该点处其它的法向应力和切向应力。

已知：y x u 2x 5 ，z y x u 3y ，2

z 8z x u ，μ＝0.144Pa·s ，σyy ＝－100N/m 2。

解析：在点(2，4，－6)处，有

8010x

xy x u ，363y z x y

u ，19216z z x z u ；

2052x x y u ，0x z u

，723y z y x u ，243y y x z

u ，28882z z x u ， 0z y u ；1z

y x s 2361923680iv d z

u y u x u u 由

div 3

2

2y

yy

y u p ，可得 Pa 976.66100236144.03

2

)36(144.02div 322yy y

y u p ，则 Pa 592.66236144.032

80144.02976.66div 322x xx u x u p

Pa 336.34236144.03

2

192144.02976.66div 322z zz u z u p

Pa 488.7)2072(144.0)(

x

y yx xy

y

u x

u Pa 456.3)240(144.0)(

y

z zy yz z

u y u Pa 472.41)2880(144.0)(

z

x xz zx x

u z u 6－2 两种流体在压力梯度为k x

p

d d 的情形下在两固定的平行平板间作稳定层流流动，试导出其速度分布式。

已知：

k x

p

d d 。 解析：建立坐标系，将坐标原点放置在两种液体的分界面上，x 轴与流动方向相同，y 轴垂直于平行平板。根据题意，两流体在y 轴和z 轴方向的速度分量都为零，即u y ＝u z ＝0。由连续性方程知

x

u x

＝0，即速度分量u x 与x 坐标无关。另外，由式(6－6)可以看出，在质量力忽略不计时，有

0 y p ，0 z

p

，因此，压力p 只是x 的函数，于是式(6－6)可简化为 )(1d d 2

x 22x 2x z u y u x p u

由于流体是在两无限大平行平板间作稳定层流流动，因此上式中2x 2z u 与2

x

2y

u 项相比可以忽略不计，同时，由于

x u ＝0，那么0d d x

u ，于是上式可进一步简化为 x p

y

u d d 1d d 2

x 2 对于第一种流体有 112

1x 2d d 1d d k

x p y u 对于第二种流体有 222

2x 2d d 1d d k

x p y u

积分以上两式，得

111x d d C y k y u ； 12

2x d d C y k

y u 再次积分以上两式得

21211x 2C y C y k u

； 2

12

2

2x 2C y C y k u 根据边界条件确定四个积分常数：

① 当y ＝0时，x2x1u u ，得 2

2C C ； ② 当y ＝0时，21 ，即y

u

y u d d d d 2x 21x 1

，得 21

11 C C ；

③ 当y ＝b 时，0x1 u ，得 b C b k C 112

22 ；

④ 当y ＝b 时，0x1 u ，得 b C b k C 1

2

222 。 将以上所得各式联立，解得

1212112 kb C ； 1212212 kb C ； 1

22

22 kb C C

于是得到两种流体的速度分布式分别为

1

22

12121211x 22

kb y kb y k u ； 1

22

121222

22

x 22

kb y kb y k

u 6－3 密度为ρ、动力粘度为μ的薄液层在重力的作用下沿倾斜平面向下作等速层流流动，试证明：

(1) 流速分布为 )(2sin 22h H g u

(2) 单位宽度流量为 3

3sin H g q

已知：ρ，μ，H ，h ，θ。

解析：(1) 建立坐标系如图所示，液层厚度方向h 为自变量，由于液层的流动为不可压缩一维稳定层流流动，则N －S 方程可简化为

0sin 2

2 h

u g 将上式整理后，两次积分得

212

sin 2C h C h g u

由边界条件：当h ＝0时，

0 h

u

，得 01 C ； 当h ＝H 时，u ＝0，得

sin 22

2H g C

。 所以流速分布为 )(2sin 22h H g u

(2) 单位宽度流量为

3

H

22H

3sin d )(2sin d H g h h H g h u q

6－4 一平行于固定底面0－0的平板，面积为A ＝0.1m 2，以衡速u ＝0.4m/s 被拖曳移动，平板与底面间有上下两层油液，上层油液的深度为h 1＝0.8mm ，粘度μ1＝0.142N·s/m 2，下层油液的深度为h 2＝1.2mm ，粘度μ2＝0.235N·s/m 2，求所需要的拖曳力T 。

已知：A ＝0.1m 2，u ＝0.4m/s ，h 1＝0.8mm ，h 2＝1.2mm ，μ1＝0.142N·s/m 2，μ2＝0.235N·s/m 2。 解析一：建立坐标系如图所示，由于两层油液均作不可压缩一维稳定层流流动，则N －S 方程可简化为

02

2 z u

将上式两次积分后，得

C z C u

对两层油液的速度分布可分别写为

2

22111C z C u C z C u 由边界条件：当z ＝0时，02 u ，得 02

C ； 当z ＝h 2时，u 1＝u 2，得 221

21h C C h C ； 当z ＝h 1＋h 2时，u 1＝u ，得 1

211)(C h h C u ； 当z ＝h 2时，21 ，即z

u

z u 2211 ，得 2211C C 。 将以上四式联立，可解得 122121 h h u C

； 12212211)( h h h u C ； 1

2211

2 h h u C ； 02

C 代入上述速度分布式，得

z

h h u u h h h u z h h u u 12211

21221221122121)(

那么，拖曳平板所需要的力为 N 724.310

)142.02.1235.08.0(4

.01.0235.0142.0|31221211121 h h u A z u A

T h h z