八年级上册数学第二单元：全等三角形知识点与练习

第二单元全等三角形

本单元的学习目标

①重点：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质及应用

②难点：三角形全等的判断方法及应用；角平分线的性质及应用

在中考中的重要性：

①中考热点，初中数学中的重点内容

②考察内容多样化，有的独立考三角形全等，有的考全等三角形结合其他知识

点综合，有的探究三角形全等条件或结论的开放性题目

③题型以选择题、填空题、解答题为主

【知识归纳】

1.全等三角形的基本概念:

（1）全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C’（如图1）

A A’

B C B’C’

图1

2.全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等

（2）全等三角形的对应角相等

3.全等三角形的判定方法

（1）三边相等（SSS）；

（2）两边和它们的夹角相等（SAS）；

（3）两角和其中一角的对应边相等（AAS）；

（4）两角和它们的夹边相等（ASA）；

（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）．（该判定只适合直角三角形）

注意：没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。如图2，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；如图3，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。

图2 图3

4.角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。

5.角平分线推论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

判定三角形全等常用思路

公理及定理练笔

1、一般三角形全等的判定（如图）

(1) 边角边（SSS） A

AB=A′B′ BC=B′C ′ _______=_____

∴△ABC≌△A′B′C′

（2）边角边（SAS）

AB=A′B′∠B=∠B′ _______=_____ B C

∴△ABC≌△A′B′C′

A′

(3) 角边角（ASA）

∠B=∠B′ ____=_____ ∠C=∠C′

∴△ABC≌△A′B′C′

B ′ C′

(4) 角角边（AAS）

∠A=∠A′∠C=∠C′ _______=_____

∴△ABC≌△A′B′C′

2、直角三角形全等的判定：

斜边直角边定理（HL）

AB=AB _____=_____

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

B C B′ C′

二、全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角＿＿＿＿＿

2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿＿＿＿

注意：

1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。

2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。

判断下列各组里的两个图形是否全等：

1、三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形（）

2、有两边和一角分别对应相等的两个三角形（）

3、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形（）

4、等腰三角形的顶角的平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形（）

5、边长相等的两个等边三角形（）

6、两条直角边分别对应相等的两个直角三角形（）

第二单元练习

一、选择题

1、下列说法正确的有（ ）

①用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形 ②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形 ③所有的正方形是全等图形

④全等图形的面积一定相等

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2、在下列条件中，不能判定直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别对应相等 B. 斜边和一个锐角分别对应相等 C. 两个锐角分别对应相等

D. 斜边和一条直角边分别对应相等

3、已知：如图2，△ABD ≌ △CDB ，若AB ∥CD ，则AB 的对应边是（ ） A. DB B. BC C. CD D. AD

4、如上图，在①AB=AC ，②AD=AE ，③∠B=∠C ，④BD=CE 四个条件中，能根据“SSS ”证明△ABD 与△ACE 全等的条件顺序是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④D. ①③④

5、如图7，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于M 、N ，有如下结论：

①△ACE ≌△DCB ；②CM=CN ；③AC=DN ，其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个

6、如上图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3cm, 则点D 到AB 的距离为( )

A. 5cm

B. 3cm

C. 2cm

D. 不能确定

7、如上图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，

第六题图

E

D

C

B

A

第七题图