图形在坐标中的平移(提高)知识讲解
坐标平面内图形的轴对称和平移(提高) 知识讲解
坐标平面内图形的轴对称和平移（提高）【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．在直角坐标系中，已知点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称， （1）试确定点A 、B 的坐标；（2）如果点B 关于x 轴的对称的点是C ，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a ，b 即可解答本题；（2）根据点B 关于x 轴的对称的点是C ，得出C 点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．【答案与解析】解：（1）∵点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称，∴2250a b aa b a -=-⎧⎨++-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩， ∴点A 、B 的坐标分别为：（4，1），（－4，1）；（2）∵点B关于x轴的对称的点是C，∴C点坐标为：（－4，－1），∴△ABC的面积为：12×BC×AB＝12×2×8＝8．【总结升华】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．举一反三：【变式】小华看到了坐标系中点B关于X轴的对称点为C（－3，2），点A关于Y轴对称点为D（－3，4），若将A、B、C、D顺次连接，此图形的面积是多少？【答案】解：∵B关于x轴的对称点为C（－3，2），∴B（－3，－2），∵点A关于y轴对称点为D（－3，4），∴A（3，4），∴△ABD的面积为：12×AD×DB＝12×6×6＝18．2.已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）AB∥x轴；（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．【答案与解析】解：（1）A、B两点关于y轴对称，故有b＝3，a＝4；（2）A、B两点关于x轴对称；所以有a＝－4，b＝－3；（3）AB∥x轴，即b＝3，a为≠－4的任意实数．（4）如图，根据题意，a＋3＝0；b－4＝0；所以a＝－3，b＝4．【总结升华】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．类型二、用坐标表示平移3.如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）．（1）已知A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出A′、B′、C′的坐标；（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；（3）请直接写出△A′B′C′的面积为．【思路点拨】（1）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）可得A、B、C三点的坐标变化规律，进而可得答案；（2）根据点的坐标的变化规律可得△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；（3）把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．【答案与解析】解：（1）A′为（4，0）、B′为（1，3）C′为（2，﹣2）；（2）△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位）；（3）△A′B′C′的面积为6．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）举一反三：【变式】（大庆校级模拟）如图所示，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）若点M的坐标为（x、y），则它的对应点N的坐标为．（2）若点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，求代数式…的值．【答案】解：（1）由图象知点M和点N关于x轴对称，∵点M的坐标为（x、y），∴点N的坐标为（x，﹣y）；（2）∵点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，∴a=﹣3，b=﹣2，∴…=+++…+，=﹣+﹣+…+，=﹣，=．类型三、综合应用4. 如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）（1）直接写出C，D，E，F的坐标；（2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可；（2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可．【答案与解析】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质．。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是数学中的一个基础概念，是指在坐标平面上将所有点沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
在平移中，所有的点都按照相同的方式进行移动，保持它们之间的相对位置不变。
下面将对平移的相关知识点进行总结。
一、平移的定义和性质平移是指在平面上将所有点沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
具体来说，对于平面上的一个点P，设平移向量为u，平移操作可以表示为P' = P + u，其中P'为P经过平移后的点。
平移具有以下性质：1. 平移不改变图形的大小和形状，只是改变了它们的位置。
2. 平移保持图形之间的相对位置不变，即直线上的点平移后仍保持直线上。
3. 平移操作是可逆的，即可以通过向相反的方向平移来恢复原始图形的位置。
二、平移的向量表示和运算在平移中，我们使用向量来表示平移的方向和距离。
平移向量通常用u表示，它有两个分量，即水平分量和垂直分量。
设平移向量为u = (a, b)，表示向右平移a个单位，向上平移b个单位。
那么平移点P(x, y)变为P'(x+a, y+b)。
在向量表示下，平移的运算可以转化为向量加法的形式，即P' = P+ u。
三、平移的坐标变换规律平移操作可以通过坐标变换规律来表示和计算。
设P(x, y)为初始点，P'(x', y')为平移后的点，则有以下坐标变换规律：1. x' = x + a，表示点的横坐标加上平移向量的水平分量。
2. y' = y + b，表示点的纵坐标加上平移向量的垂直分量。
根据这些坐标变换规律，我们可以快速计算出平移后的点的坐标。
四、平移的应用场景平移在几何学和数学中有广泛的应用，特别是在图形的移动和变换方面。
在平面几何中，平移可以用于平面图形的制作和变换。
将一个基础图形进行平移后，可以得到一些特定的图形，如正方形、长方形、菱形等。
在向量学中，平移被广泛应用于向量的运算和变换。
平移向量可以表示位移和速度等物理概念，并且用于解决向量方程和平衡力问题。
坐标平移的知识点总结
坐标平移的知识点总结一、坐标平移的定义在数学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来表示平面上的点，其中x轴和y轴分别是水平方向和垂直方向。
对于平面上的任意一点P(x,y)，我们可以将它的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示点P在x轴上的投影距离，y表示点P在y轴上的投影距离。
坐标平移是指将平面上的所有点按照相同的向量进行移动，即将点P(x,y)平移至P'(x',y')，其中x' = x + a，y' = y + b，(a,b)为平移向量。
通过坐标平移，所有的点都将按照相同的方向和距离进行移动，从而改变它们的位置。
坐标平移可以通过向量的加法来实现，即将每个点的坐标向量加上平移向量，从而得到平移后的新坐标。
二、坐标平移的性质1. 平移不改变点之间的距离和方向。
即经过平移变换后的点之间的距离和方向关系不变。
2. 平移不改变点的相对位置关系。
即对于平面上的任意两个点A和B，它们之间的距离、倾斜角等关系在进行平移变换后不改变。
3. 平移是可逆的。
即对于任意一个点P(x,y)，经过平移变换得到P'(x',y')，那么可以通过反向平移变换将P'(x',y')还原为P(x,y)。
4. 平移满足向量加法的性质。
即平移变换可以通过向量的加法来表示，满足结合律、交换律、单位元等性质。
5. 平移不改变点的轨迹。
即平面上的曲线、图形经过平移变换后，它们的轨迹关系不改变。
三、坐标平移的表示方法1. 向量表示法在向量表示法中，我们可以用向量来表示平移变换。
即平移向量(a,b)可以表示为一个有向线段，它的起点为原点O(0,0)，终点为点T(a,b)。
这样，对于任意一个点P(x,y)，它的平移后的新坐标可以表示为P'(x',y') = P(x,y) + (a,b)。
2. 矩阵表示法在矩阵表示法中，我们可以用矩阵来表示平移变换。
平移图形知识点总结
平移图形知识点总结
平移图形的知识点总结如下：
一、平移的定义
平移是指在平面上将一个点或者图形按照一定的规律，沿某一方向移动一定的距离，在新的位置上生成一个全等的点或者图形。
在平移过程中，原图像和平移后的图像是对应点全等，即它们的位置相对于一个向量发生了平移，而平移向量就是平移操作的规律。
二、平移的性质
1. 平移不改变图形的形状、面积和内角度。
2. 平移前后相应点的距离和方向都相等。
3. 平移可以叠加进行，即可以把一个形状分成若干个小的平移变换进行处理。
三、平移的表示方法
平移可以用向量表示。
假设原图形上的一个点的坐标为 (x, y)，平移向量为 (a, b)，那么平移后的新坐标为 (x+a, y+b)。
也可以通过平移规律和过程式处理的方法来表示。
四、平移的应用
1. 地图的制作：在地图上，我们经常会看到地图的不同部分是平行移动的。
2. 图案设计：在图案设计中，平移可以将一些图案进行重复生成，形成新的图案。
五、平移的实际案例
1. 旅游路线规划：旅行社需要根据客户的需求在地图上进行平移来规划旅游路线。
2. 工程设计：在工程设计中，常常需要对建筑布局进行平移操作，来确定建筑物的位置和空间布局。
总之，平移是几何学中的基本变换之一，它不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置，因此在实际生活中有着广泛的应用。
了解平移的知识，可以帮助我们更好地理解空间运动和设计布局，对于学习数学和应用数学有着重要的意义。
图形在坐标系中的平移课件
平移的性 质
平移前后，图形上对 应点的距离保持不变。
平移过程中，图形上 各点移动的距离和方 向相同。
平移不改变图形的形 状和大小，只改变其 位置。
平移的分 类
水平平移
图形在水平方向上移动。
竖直平移
图形在竖直方向上移动。
斜向平移
图形在任意方向上移动。
02 图形在坐标系中的平移
点的平移
总结词
点的平移是指一个点在坐标系中沿着某一方向移动一定的距离。
图形在坐标系中的平移 课件
目录
Contents
• 平移的定义与性质 • 图形在坐标系中的平移 • 平移变换的应用 • 平移变换的数学表达 • 平移变换的物理意义
01 平移的定义与性质
平移的定 义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 直线移动一定的距离，而不改变 图形的大小和形状。
02
平移不改变图形上点的坐标，只 是使图形在坐标系内移动。
05 平移变换的物理意义
力的作用效果
物体在力的作用下产生加速度， 在坐标系中表现为图形的平移。
力的方向决定了平移的方向， 力的大小决定了平移的距离。
当物体受到多个力的作用时， 其平移效果是各个力作用效果 的合成。
运动的合成与分解
平移变换是运动的一种形式，可 以通过运动的合成与分解来理解。
在平面坐标系中，平移变换可以 看作是物体在两个方向上的分运
详细描述
在二维坐标系中，如果一个点 $(x, y)$ 沿着 $x$ 轴正方向移动 $a$ 个单位，其 新坐标变为 $(x+a, y)$；如果沿着 $x$ 轴负方向移动 $a$ 个单位，其新坐标变 为 $(x-a, y)$。类似地，沿着 $y$ 轴移动的情况也类似。
用坐标表示平移全PPT课件
（4）将点A先向左平移a(a>o)个单位长度，再向上平移b(b>o) 个单位长度点B2 ，则 点B2的坐标是 （-2-a，-3+b） .
.
14
^y
如图，三架飞机P、Q、R保持编队飞行， 分别写出它们的坐标。4
2.将点P（m+2,2m+4)向右平移1个单位得 到P’，且P’在y轴上，那么P’坐标是（B）
A.(-2,0) B.(0,-2) C.(1,0) D.(0,1)
.
16
小结上
(x,y+a)
向
上
上 加
下 平下
(x-a,y)
移 向左平移a a
点(x,y)
减 向右平移a
(x+a,y)
左右平平移
向 下
左减横右加纵不变
能
3
力 提
(-3,1）
22
(-1,1）
1
升
Q
P
-5
-4 -3 -2 -1 0
Q’(2,3) P（' 4,3）
R’(4,1)
1
23
4
5
x>
-1
(-1,-1）R
30秒后，飞机P飞到-22P`位置，飞机Q、R飞到
了什么位置？你能写-3 出这三架飞机新位置的
坐标吗?
.
15
知识拓展
1.将点M（a,b)向左平移2个单位长度， 再向下平移3个单位长度后，其坐标变 为（1，-6），则a=( 3 ),b=(-3 ).
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移 所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.
11.2 图形在坐标系中的平移.2 图形在坐标系中的平移-课件
平移后，对应点的横坐标 不变，纵坐标比原来增加1
-2
总结规律2:
交流归纳 ： 在平面直角坐 标系中，将图形沿垂直方向 平移，其对应点的横坐标发 生改变，纵坐标改变。 设点 P( x,y) 是平移前图形 上任意一点
点P( x,y+b)
向上平移 b个单位
点P( x,y)
向下平移 b个单位
点P( x,y-b)
( x+a,y)
( x+a,y-b)
B(-4,4)
(2,4) (7,1)
B1(2,2)
C1(7,-1)
C(1,1)
思考 把平面直角坐标系中的一个图形，按下面的要求平移， 那么，图形上任一点的坐标（x,y）是如何变化的？ （1）向左或向右移动a（a＞0）个单位
向右平移 a个单位
( x-a,y)
向左平移 a个单位
点P( x-a,y)
向左平移 a个单位
向右平移 a个单位
点P( x,y)
知识拓展
如图所示，三角形ABC在坐标平面内平移后得到新图 形三角形A3B3C3，写出三角形ABC与三角形A3B3C3各顶点 坐标。比较相应点坐标，看有怎样的变化？
y 8
A
6
A3
A (-3,7) A3(3,7)
B (-5,5) C (-1,1) B3(1,5) C3(5,1)
②பைடு நூலகம்-4
（2）
巩固提高
• 1 已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4） 的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应 点D的坐标为（ A ） A（1，2） C（5，3） B．（2，9） D．（﹣9，﹣4）
巩固提高
2 如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，△ABC中任 一点P（3，1）经平移后的对应点为P1（―1，―3）， 若A（2，4）、B（1，1）C（4，1），求△A1B1C1各顶 点的坐标并画出图形； y
坐标表示平移讲课稿
在三维坐标系中，平移表现为在x、y和z轴方向上的数值变化。设原点为O(x, y, z)，经过平移后变为O'(x+d, y+e, z+f)，其中d、e和f分别为在x、y和z轴方向 上的平移单位。
04 平移的应用场景
物理中的平移应用
物体在平面上的移动
运动轨迹的描述
在物理中，平移通常用于描述物体在 平面上的直线运动，不考虑旋转或翻 滚。
二维坐标系中的平移可以用平 面上的箭头表示，箭头的长度 和方向代表平移的距离和方向 。
在二维坐标系中，平移可以用 平面上的箭头表示。箭头的起 点表示原始点的位置，箭头的 终点表示平移后的点的新位置 。箭头的长度和方向代表平移 的距离和方向。
三维坐标系中的平移
01 总结词
三维坐标系中的平移表现为点 的空间移动，不改变其位置的 数值。
的不准确。同时，还需要注意参照物的选择是否符合实际需求和应用场景。
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坐标表示平移讲课稿
目录
• 平移的定义与性质 • 坐标表示平移 • 平移的数学表达 • 平移的应用场景 • 平移的注意事项
01 平移的定义与性质
平移的定义
平移是图形在平面内沿某一方向直线移动一定的距离，而不改变其形状和大小。 平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变其位置。
平移前后的图形是全等的，对应的点连线段平行且相等。
二维坐标系中的平移数学表达
总结词
二维坐标系中，平移表现为在x轴 和y轴方向上的数值变化。
详细描述
在二维坐标系中，平移表现为在x
轴和y轴方向上的数值变化。设原
点为O(x,
y)，经过平移后变为
坐标系中的平移知识点总结
坐标系中的平移知识点总结平移的概念在平面直角坐标系中，每一个点都有唯一的坐标表示。
当一个点(x, y)按照向量(a, b)进行平移时，它的新的坐标为(x+a, y+b)。
也就是说，点在横坐标方向上移动a个单位，在纵坐标方向上移动b个单位。
平移的性质1. 保持距离和形状不变：进行平移时，图形的任意两点之间的距离和图形的形状都不会发生变化。
2. 保持面积和方向不变：进行平移时，图形的面积和方向也都不会发生改变。
3. 在平移中，所有的点都按照相同的向量进行移动。
这也是平移的一个重要性质，它说明了在进行平移时，每一个点都会按照同样的距离和方向进行移动，不会有偏差。
平移的表示方法平移可以用向量表示。
如果一个图形按照向量(a, b)进行平移，那么这个平移向量可以用箭头表示，它的长度和方向分别代表移动的距离和方向。
平移的应用平移在现实生活中有很多应用，比如地图的移动、航空飞行中的飞机位置调整、工程建筑中的构图调整等等。
在数学教学中，平移也是非常重要的，它可以帮助学生更好地理解几何图形的位置关系和空间变化，从而更好地理解数学知识。
平移的描述在数学中，我们可以用数学语言和符号描述平移。
如果一个点(x, y)按照向量(a, b)进行平移，那么它的新坐标为(x+a, y+b)。
同时，我们也可以用平移矩阵来描述平移的过程，平移矩阵的形式如下：\[\begin{pmatrix}1 & 0 & a\\0 & 1 & b\end{pmatrix}\]其中，a和b分别代表横向和纵向的平移距离。
通过平移矩阵，我们可以更方便地进行坐标系中图形的平移操作。
平移的组合和逆运算当两次平移操作进行时，它们的结果仍然是一个平移变换，这两次平移操作的结果可以用一个平移向量的和来表示。
两次平移操作的和就是这两次平移向量的和，它代表了两次平移操作的综合结果。
平移的逆运算，就是将图形按照平移向量的相反方向进行移动，使得原来的位置恢复。
图形在坐标系中的平移(共12张PPT)
A1( 3,3 ),C1( 2,1 ) 1
1
( 4 )将点D( -1,2 )向下平移1个单位;
( 3 )写出图形中和坐标轴平行的线段;
在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A( 4,-1 ),B( 1,1 ).
4.在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A( 4,-1 ),B( 1,1 ).将 线段AB平移后得到线段A'B',若点A'的坐标为( -2,2 ),则点B'的坐标为 ( 5,4 ) .
第11章
图形在坐标系中的平移
-9-
12.一个三角形ABC的三个顶点坐标分别为A( 0,0 ),B( 3,0 ),C( 2,3 ). ( 1 )把三角形ABC向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到三角形A'B'C', 写出点A',B',C'的坐标.
( 2 )若三角形A″B″C″三个顶点坐标分别是A″( -2,-3 ),B″( 1,3 ),C″( 0,0 ),则三角形A″B″C″是由三角形ABC经过怎样的平移得到的?
A1( (2
)3(,4-(2),,-C421)(.)2求,2 出) 此图形的面积.
( 2,5 )
B.
向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度
( 2 )将三角形ABC向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到三角形A″B″C″.
( 3 )( 4,9 ).
解:( 1 )如图. 如图所示,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为( -1,3 ),( -4,1 ),( -2,1 ),将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是( 1,2 ),则点A1,C1的坐标分别是 ( A )
《图形的平移与旋转》全章重点题型-提高
《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计；4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【要点梳理】要点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．要点诠释：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小．2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．要点诠释：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．3. 平移与坐标变换：(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换．(2)图形的平移平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．要点诠释：（1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．（2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．●要点二、旋转变换1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.要点诠释：（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°.（3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）２．旋转变换的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.３．旋转作图步骤：①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.●要点三、中心对称与图案设计1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的．要点诠释：中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.要点诠释：中心对称作图步骤：①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.3.图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．【典型例题】➢类型一、平移变换1. 阅读理解题．（1）两条直线a，b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角．【思路点拨】（3）画出图形，根据图形得出即可；（4）根据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；（5）把n=2013代入求出即可．【答案与解析】解：（3）如图有12对不同的对顶角，故答案为：12．（4）有n（n-1）对不同的对顶角，故答案为：n（n-1）；（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，故答案为：4050156．【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律．举一反三：【变式】（2017·莒县模拟）如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（）．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C2．（2015春•召陵区期中）如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1= ，S2= ，S3= ；（3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），请你求出空白部分表示的草地面积是多少？（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的度都是1个单位），请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？【思路点拨】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一个封闭图形即可．（2）结合图形，根据平移的性质可知，①②③中阴影部分的面积都可看作是以a﹣1为长，b为宽的长方形的面积．（3）结合图形，通过平移，阴影部分可平移为以a﹣2米为长，b米为宽的长方形，根据长方形的面积可得小路部分所占的面积．（4）结合图形可知，小路部分所占的面积=a米为长，b米为宽的长方形的面积﹣a米为长，1米为宽的长方形的面积﹣2米为长，b米为宽的长方形的面积+2米为长，1米为宽的长方形的面积．【答案与解析】解：（1）画图如下：（2）S1=ab﹣b，S=ab﹣b，S2=ab﹣b，S3=ab﹣b猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab﹣b方案：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；2、将左侧的草地向右平移一个单位；3、得到一个新的矩形理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b．其水平方向的长变成了a﹣1，所以草地的面积就是：b（a﹣1）=ab﹣b．（3）∵小路任何地方的水平宽度都是2个单位，∴空白部分表示的草地面积是（a﹣2）b；（4）∵小路任何地方的宽度都是1个单位，∴空白部分表示的草地面积是ab﹣a﹣2b+2．【总结升华】本题主要考查了利用平移设计图案，用到的知识点是矩形的性质和平移的性质，能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键．举一反三：【变式】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（）．A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定【答案】B.四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC．➢类型二、旋转变换3．正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△OAF变到△OBE的位置．请说出其变化过程．（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论．（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由．【思路点拨】（1）根据图形特点即可得到答案；（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可；（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF ≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．【答案与解析】解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AF⊥BE．证明：延长AF交BE于M，∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OB，∴∠AOB=∠BOC=90°，在△AOF和△BOE中∴△AOF≌△BOE（SAS），∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，∵∠EBO+∠OEB=90°，∴∠FAO+∠OEB=90°，∴∠AME=90°，∴AF⊥BE，即AF=BE，AF⊥BE．（3）成立；证明：延长EB交AF于N，∵正方形ABCD，∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，∴∠ABF=∠BCE，∵AB=BC，BF=CE，∴△ABF≌△BCE，∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，∴∠E+∠FAB=45°，∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，∴∠ANE=180°-90°=90°，∴AF ⊥BE ，即AF=BE ，AF ⊥BE ．【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．4.如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连接 EF．将△EOF 绕点O 逆时针旋转角得到△E 1OF 1(如图2)．(1)探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明；(2)当＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE 1＝BF 1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE 1为直角三角形，就要考虑证∠E 1AO ＝90°.【答案与解析】解：(1)AE 1＝BF 1，证明如下：∵O 为正方形ABCD 的中心，∴OA＝OB ＝OD.∴OE＝OF .∵△E 1OF 1是△EOF 绕点O 逆时针旋转角得到，∴OE 1＝OF 1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠E 1OA ＝900－∠F 1OA ＝∠F 1OB. 在△E 1OA 和△F 1OB 中，， ∴△E 1OA≌△F 1OB （SAS ）.∴ AE 1＝BF 1.(2)取OE 1中点G ，连接AG.∵∠AOD＝900，＝30° ，∴ ∠E 1OA ＝900－＝60°. ααα1111OE OF E OA FOB O A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝αα∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】在等边三角形ABC中有一点P，已知PC＝2, PA＝4，PB＝APB＝.【答案】90°➢类型三、中心对称与图形设计5.如图，方格纸中四边形ABCD的四个顶点均在格点上，将四边形ABCD向右平移5格得到四边形A1B1C1D1．再将四边形A1B1C1D1，绕点A逆时针旋转180°，得到四边形A1B2C2D2．（1）在方格纸中画出四边形A1B1C1D1和四边形A1B2C2D2．（2）四边形ABCD与四边形A1B2C2D2．是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心；若不成中心对称，请说明理由．【思路点拨】（1）首先把各个顶点平移，以及作出对称点，然后顺次连接各个对称点即可作出对称图形；（2）观察所作图形，对称点连线的交点就是对称中心．【答案与解析】解：（1）（2）两个图形关于点O对称中心．【总结升华】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．举一反三：【变式】（罗平县校级期末）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，①写出A、B、C的坐标．②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1．【答案】解：①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）；②A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1），如图所示：6.如图，这两幅图是怎样利用旋转、平移或轴对称进行设计的？你能依照其中的图案自己设计一个图案吗？【答案与解析】解：（1）答案不惟一，可以看作是一个小正方形图案连续平移48次，平移前后所有的图形共同组成的图案．（2）答案不唯一，可以看作是一组竖条线组成的等腰直角三角形，以直角顶点为中心、按同一个方向分别旋转，旋转前后的四个图形共同组成的图案．【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．举一反三：90180270、、(1)(2)【变式】下列图形中，能通过某个基本图形平移得到的是（）．A. B. C. D. 【答案】D.。
图形在坐标系中的平移上课用课件
-4
234x A1（3，－3）
点A向右平移5 个单位得到点 A1
A（-2，-3）→
（-2+5,-3) →
A1 (3,-3)
仔细观察，如何将点A1向左平移5个 单位得到A点坐标是？
y4 3
2 1
-4 -3 -2 -1 O 1 -1
-2
-3
A（－2，－3）
-4
234x A1（3，－3）
点A1向左平移 5个单位得到 点A1
（1）P（x,y） P1 (x-1,y+2)
先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
（2）P（x,y） P1 (x+3,y-2)
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位
（3）P（x,y） P1 (x,y-1)
向下平移1个单位
（4）P（x+3,y-2）
P1(x-1,y+2)
先向左平移4个单位，再向上平移4个单位
-4
P（2,2)→ (2-5,2) →P1(-3,2)
将三角形ABC向右平移5个单位 会怎样？
A y4
A1
C
3 C1
2
B
1
B1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
-2 x
-3
-4
2、在平面直角坐标系中，有一点P（-4，2）， （1）若将P先向右平移5个单位长度，再向上平 移3个单位长度，所得坐标为（__1_，__5_）_。
1
A B
-4 -3
-2A1 -1
O1 -1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
4
x 答案：
C1
-2
B1
-3
-4
A（4,3)→ (4-6,3-4) →A1(-2,-1) B（3,1)→ (3-6,1-4) →B1(-3,-3) C（1,2)→ (1-6,2-4) →C1(-5,-2)
图形在坐标中的平移(提高)知识讲解
图形在坐标中的平移(提高）知识讲解【学习目标】1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换。
2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.【要点梳理】要点一、点在用坐标中的平移在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点（x ＋a，y)或(x－a，y）；将点（x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y ＋b）或（x，y－b）．要点诠释：（1）在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变，沿y轴方向平移横坐标不变．要点二、图形在坐标中的平移在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下)平移a个单位长度．要点诠释:(1)平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化。
【典型例题】类型一、点在用坐标中的平移1．（2016•藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A(m﹣1，n+2)先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到点A′，若点A′位于第二象限,则m、n的取值范围分别是（）A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4 【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得．【答案与解析】解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到点A′（m+2,n+4）, ∵点A′位于第二象限，∴,解得：m＜﹣2,n＞﹣4，故选D．【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加,左移减;纵坐标，上移加，下移减．2. 如果将点P(3，4）沿x轴方向平移2个单位,再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______．【答案】（1，1）或（5,1)【解析】解:直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2,y—3），或(x+2,y—3)照此规律计算可知平移后的点的坐标是（1，1）或（5，1）．故答案填：（1，1）或(5,1)．【总结升华】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式】将点M向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到M′（-2，—3），则点M的坐标是_______．【答案】（1，-1）．类型二、图形在坐标中的平移3.（2014•钦州)如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC 中有一点P的坐标为（a，2)，那么变换后它的对应点Q的坐标为．【思路点拨】根据对应点A、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q的坐标即可．【答案】（a+5，﹣2）．【解析】解：由图可知,A（﹣4，3)，A′（1,﹣1），所以,平移规律为向右5个单位，向下4个单位,∵P(a,2），∴对应点Q的坐标为(a+5，﹣2)．故答案为：（a+5，﹣2）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，观察图形得到变化规律是解题的关键．举一反三:【变式】（2015•济南）如图,在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A 的对应点A1的坐标为( ）A.(4，3) B。
数学坐标平移知识点总结
数学坐标平移知识点总结一、基本概念1.1 坐标平移的定义在二维平面直角坐标系中，假设有一个点P(x,y)，若将点P沿着x轴方向平移a个单位，y轴方向平移b个单位，则新坐标为P'(x+a, y+b)。
这个过程就是坐标平移，其中(a, b)称为平移向量，通常记作T(a, b)。
坐标平移可以表述为：P'(x+a, y+b) = T(a, b) (x, y)1.2 坐标平移的表示坐标平移的表示方法有很多种，最常见的有向量表示和矩阵表示。
以向量表示为例，对于二维平面中的点P(x, y)，其平移向量为T(a, b)，则P' = P + T = (x+a, y+b)。
1.3 平移方向坐标平移的方向通常有水平方向和垂直方向平移两种。
水平方向平移是指点P沿着x轴平移，垂直方向平移是指点P沿着y轴平移。
1.4 平移距离坐标平移的距离由平移向量的两个分量a和b来确定，分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通常可以通过计算平移向量的模来确定平移的距离，即d = √(a^2 + b^2)。
1.5 坐标平移的例子下面以一个简单的例子来说明坐标平移的过程。
假设有点P(3,4)，要对其进行平移，平移向量为T(2,-1)。
那么根据坐标平移的定义，点P'的坐标为P'(3+2, 4-1) = (5, 3)。
这就是对点P进行平移后得到的新点P'的坐标。
二、性质2.1 坐标平移的性质坐标平移有一些基本的性质，其中最重要的是平移不改变图形的形状和大小。
这个性质直接来自于平移的定义，即只是将点在坐标系中的位置移动了，而没有改变其原来的位置关系。
2.2 平移向量的性质平移向量也有一些重要的性质，如平移向量的加法和数量乘法。
两个平移向量相加即是将两个平移向量的分量分别相加，数量乘法即是将平移向量的每个分量分别乘以一个常数。
这些性质使得平移向量在坐标平移中有着重要的作用。
2.3 平移和向量的关系平移向量和向量有着密切的关系。
坐标平移知识点总结
坐标平移知识点总结坐标平移的定义在二维平面上，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置。
假设有一个点P(x,y)，它的横坐标是x，纵坐标是y。
当我们对这个点进行平移的时候，我们可以将它沿着横轴或者纵轴移动一定的距离。
假设沿横轴平移了a个单位，纵轴平移了b个单位，那么新的点的坐标将是P'(x+a, y+b)。
这就是坐标平移的基本定义。
数学表达形式坐标平移可以用数学表达式来描述。
假设原始点的坐标是(x,y)，平移向量是(a,b)，那么新的点的坐标可以表示为(x+a, y+b)。
这个表达式表示了在坐标系中平移点的位置。
其中，a和b可以是正数、负数、甚至是零，分别对应不同的平移方向和距离。
性质1. 坐标平移是一个向量运算。
平移向量(a, b)可以视为一个二维向量，它的终点是新的点P'，它的始点是原始点P。
因此，平移可以看作是一个向量的平移。
2. 坐标平移是可逆的。
如果我们知道一个点P'的坐标和平移向量(a, b)，那么我们可以求得原始点P的坐标。
只需要将P'的坐标减去平移向量就可以得到P的坐标。
3. 坐标平移保持线段的长度和方向不变。
假设在平面上有一条线段AB，经过平移之后变为A'B'。
那么线段AB和线段A'B'的长度和方向是相等的。
这意味着平移不会改变线段的几何性质。
4. 坐标平移保持角度不变。
如果在平面上有两条线段AB和CD，经过平移之后变为A'B'和C'D'，那么线段AB和线段A'B'之间的角度等于线段CD和线段C'D'之间的角度。
这意味着平移不会改变角度的大小。
应用坐标平移在实际应用中有着广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景：1. 图形变换：在几何学中，我们经常需要对图形进行平移操作。
平移可以改变图形的位置，但不会改变它的形状和大小。
因此，平移是一种非常常见的图形变换操作。
图形运动平移知识点总结
图形运动平移知识点总结1. 平移的定义平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动。
在平面几何中，平移是指将某个图形沿着直线进行移动，而不改变其大小和形状。
平移可以用矢量表示，其中矢量的大小表示平移的距离，而方向表示平移的方向。
2. 平移的性质平移具有以下性质：（1）平移不改变图形的大小和形状；（2）平移保持图形的所有内部角度不变；（3）平移保持图形的所有边长不变；（4）平移保持图形的所有对角线不变；（5）平移前后图形的中点保持不变。
3. 平移的描述平移可以用坐标描述。
设有一点A(x,y)，将其平移至A'(x',y')，其平移矢量为（a,b），则有：x’ = x + ay’ = y + b4. 平移的表示平移可以用几何图形来表示。
设有一平面上的图形ABCD，将其沿着矢量（a,b）进行平移，得到图形A’B’C’D’，其中A’ = A + (a, b)，B’ = B + (a, b)，C’ = C + (a, b)，D’ = D + (a, b)。
5. 平移的计算平移的计算可以通过向量进行。
设有一图形A，将其平移矢量为（a,b），则有：A’ = A + (a,b)这里A和A’分别为平移前后的坐标，（a,b）为平移矢量。
6. 平移的应用平移在几何中有着广泛的应用，特别是在实际问题的解决中。
例如，通过平移可以进行图形的拼接、图形的对称以及图形的变换等。
此外，平移还在计算机图形学中有着重要的应用，例如在图形的变换和显示中。
7. 平移的变换平移是几何中的一种基本变换，它可以将一个图形移动到另一个位置，而不改变其大小和形状。
平移可以通过向量来描述，其中矢量的方向表示平移的方向，而大小表示平移的距离。
平移具有很多性质，包括不改变图形的大小和形状、保持图形的部分性质不变等。
平移在计算机图形学、几何变换等方面有着广泛的应用。
8. 平移的实例平移在几何中有着广泛的应用，下面是平移的一些实例。
实例1：给出一平面上的三角形ABC，将其沿着向量（3, 4）进行平移，求平移后的三角形顶点的坐标。
数学图形平移的知识点总结
数学图形平移的知识点总结数学图形平移是几何学中的一个重要概念，它是指将一个图形在平面上沿着某个方向和距离进行移动的操作。
平移操作可以改变图形的位置，但不改变其形状和大小。
平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
在平移操作中，我们需要了解一些概念以及相关的性质和定理。
一、平移的定义和性质1. 平移的定义平移是指把一个图形完全移动到另外一个位置，使得每一个点都保持原位置和原来的距禈。
可以用向量来描述平移的过程，如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
2. 平移的性质① 平移不改变图形的形状和大小，只改变其位置；② 平移操作是可以叠加的，即若图形A经过平移得到了图形B，若再对图形B进行一次平移，则得到的图形和直接对图形A进行平移后得到的图形是一样的；③ 平移和原图形的面积、周长、角度等性质都是一样的；④ 平移是一个刚性变换，它保持了图形的相对位置和相似关系。
二、平移的表示方法1. 向量表示法平移可以用向量来表示。
给定向量AB（a，b），将点P（x，y）平移到点P’（x+a，y+b）。
2. 坐标表示法平移也可以用坐标表示法来描述。
对于平面上的一个图形，如果将每一个顶点（x，y）移动到（x+a，y+b），那么这就是图形的平移。
三、图形的平移与原图形的关系1. 图形的位置关系在平移中，我们需要了解图形和它的平移图形之间的位置关系。
平移后的图形和原图形相对位置并没有改变，只是位置发生了平移。
2. 平移图形的坐标平移图形的坐标可以通过原图形的坐标和平移向量来计算。
如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
3. 平移图形的面积、周长等平移不改变图形的形状和大小，平移后的图形和原图形具有相同的面积、周长和角度等性质。
四、平移的实际应用平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
它在实际生活中有许多应用，比如地图上的标注、建筑设计、计算机图形学等方面。
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图形在坐标中的平移（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.
2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.
【要点梳理】
要点一、点在用坐标中的平移
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．
要点诠释：
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变．
要点二、图形在坐标中的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
要点诠释：
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
【典型例题】
类型一、点在用坐标中的平移
1．（2016•藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（）
A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4 【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得．
【答案与解析】
解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，n+4），∵点A′位于第二象限，
∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D．
【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
2. 如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______．
【答案】（1,1）或（5，1）
【解析】
解：直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2，y-3），或（x+2,y-3）
照此规律计算可知平移后的点的坐标是（1，1）或（5,1）．
故答案填：（1，1）或（5,1）．
【总结升华】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
举一反三：
【变式】将点M向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到M′（-2，-3），则点M的坐标是_______．
【答案】（1，-1）．
类型二、图形在坐标中的平移
3.（2014•钦州）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC 中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为．
【思路点拨】根据对应点A、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q的坐标即可．
【答案】（a+5，﹣2）．
【解析】解：由图可知，A（﹣4，3），A′（1，﹣1），
所以，平移规律为向右5个单位，向下4个单位，
∵P（a，2），
∴对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）．
故答案为：（a+5，﹣2）．
【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，观察图形得到变化规律是解题的关键．举一反三：
【变式】（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A 的对应点A1的坐标为（）
A.（4，3）
B.（2，4）
C.（3，1）
D.（2，5）
【答案】D．
解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），
即（2，5），故选：D．
类型三、综合应用
【高清课堂：第一讲平面直角坐标系2 369935练习3】
4.在A市北300km处有B市，以A市为原点，东西方向的直线为x轴，南北方向的直线为y轴，并以50km为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C(10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km，问经几小时后，B市将受到台风影响?并画出示意图．
【思路点拨】当台风中心移动到距B点200千米时，B市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．
【答案与解析】
解：∵台风影响范围半径为200km，
∴当台风中心移动到点（4，6）时，B市将受到台风的影响．
所用的时间为：50×（10-4）÷40=7.5（小时）．
所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．
（注：图中的单位1表示50km）
【总结升华】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
举一反三：
【变式】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．
【答案】解：如图，
在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.
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