洛伦兹模型和混沌

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力学系统的混沌现象分析

力学系统的混沌现象分析力学系统是物理学中重要的研究对象之一，涉及到物体的运动和力的作用。

在力学系统中，存在着一种有趣而复杂的现象，即混沌现象。

混沌现象表现为系统在微小的初始条件下，其演化轨迹变得极其敏感，结果呈现出无法预测的、随机的和周期性的特征。

在本文中，我们将对力学系统的混沌现象进行详细分析。

首先，我们来看经典的混沌系统之一——洛伦兹系统。

洛伦兹系统是由爱德华·洛伦兹于1963年提出的一个简化的大气环流模型，用来研究大气中的气流等现象。

洛伦兹系统由三个微分方程描述，分别表示了空间特定位置上流体粒子的速度和位置。

当某些参数取特定值时，洛伦兹系统表现出典型的混沌行为。

在混沌状态下，系统的演化轨迹在相空间中呈现出奇特的“蝴蝶状”结构，且无法准确预测未来的状态。

混沌现象的产生源于力学系统的非线性性质。

在线性系统中，初始条件对于系统的演化并没有明显的影响。

然而，在非线性系统中，微小的初始条件差异会导致系统演化结果的巨大不同。

这种敏感依赖于初始条件的特性，被称为“蝴蝶效应”。

蝴蝶效应的一个典型例子是“蝴蝶效应理论”，即一只蝴蝶在亚洲扇动翅膀所产生的微小气流变动，可能会引起数周后在美洲的龙卷风形成。

混沌现象的另一个重要特征是演化轨迹的不可周期性。

在混沌系统中，虽然可以看到某些模式的出现，但这些模式并不会重复出现。

与之相反，系统轨迹呈现出无序无规的变化。

这种无序的特性为混沌系统带来了一定的随机性，使得其演化结果无法完全确定。

这也是为何混沌系统很难被模拟和预测的原因之一。

混沌现象的研究对于理解自然界的复杂性和不确定性具有重要意义。

通过对力学系统的混沌现象进行研究，我们可以更好地理解自然界中的非线性系统、大气环流、天体运动等现象。

此外，混沌现象还有着广泛的应用价值，例如在信息加密、密码学和随机数生成等领域。

然而，尽管混沌现象在理论上提供了对系统行为的新视角，但在应用中也带来了一定的挑战。

由于混沌系统的非确定性和不可预测性，利用混沌现象进行控制和优化等工程应用依然是一个复杂的问题。

fxd3-1洛伦茨方程和混沌

2.洛伦兹方程
洛伦兹方程
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。
dx

d
dy

d

-s (x - y)
rx - y - xz
dz
d

-bz
当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生?
1.流体中的不稳定性
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
奇怪吸引子
李雅普诺夫指数公式
在相空间里混沌系统的两个轨道相邻点之间的距离是随时间分离的，而分离程度是按指数增加的。
两个轨道： xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 - y0 ，经过一次迭代以后有：
x1 - y1
f (x0 ) - f (y0 )
r rc 时共轭复根的实部为正值， C1与C2成了不稳定的焦点。定态对流失
稳，是不稳定的。这时将出现一次新分岔－霍普夫分岔，平衡点C1与C2失稳发展成为奇怪吸引子。
洛伦兹吸引子
rc

s(s b 3) s - (b 1)

24.7368 ,(s

洛伦兹系统的混沌区间

洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统是一种描述流体动力学中对流现象的数学模型。

它包含三个非线性微分方程，描述了三个变量（速度、温度和密度）随时间的变化。

这个系统的一个显著特征是混沌现象，即微小的扰动会导致系统进入不可预测的状态。

通过数值模拟和理论分析，研究者们发现洛伦兹系统的混沌区间是由两个分别称为“鞍点”和“极限环”的不稳定结构组成的。

在这个区间内，系统的状态会随时间不断变化，但又不会无限趋向于某一特定状态。

这种不可预测的行为在气象学、物理学和工程学等领域都具有重要的应用价值。

除了理论分析，实验研究也对洛伦兹系统的混沌现象进行了深入探究。

在实验室中，研究者们使用了各种方法来模拟和控制洛伦兹系统，包括电路模拟、光学实验等。

这些实验结果不仅验证了理论模型中的混沌现象，还为进一步研究天气预测、流体控制等应用提供了重要的实验基础。

总之，洛伦兹系统的混沌现象是一个具有重要理论和实际应用价值的研究领域，它不仅挑战了传统物理学对于“确定性”的理解，也为我们深入了解自然界的复杂性提供了新的视角和思路。

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两类混沌系统的定性分析

摘要自气象学家洛伦兹首次发现了混沌模型-洛伦兹系统，混沌系统成为众多专家学者研究的热点之一. 众所周知，混沌系统蕴含着极其复杂的动力学行为. 而对混沌系统的定性分析可以帮助我们了解其丰富复杂的动力学行为. 因此，本文对两个混沌系统进行了定性分析，其中一个系统为双翼洛仑兹类混沌系统，另一个为金融混沌系统.分析过程主要包括以下几点：（1）求解各参数范围内的平衡点及其稳定性；（2）分析平衡点的局部动力学行为；（3）平衡点的分支分析；（4）庞加莱紧致法分析系统在无穷远处的动力学行为；（5）分析系统的特殊轨道.通过以上分析，得到了系统的全局动力学行为.关键词：混沌系统，定性分析，平衡点，无穷远分析，分支AbstractMore authors devoted them themselves to the chaotic system since the first chaotic system-Lorenz system was found by Lorenz. It is well-known that chaotic system poses more complicated and plentiful dynamic behaviors. And the qualitative analysis of the chaotic system can help us to reveal the complicated dynamic behaviors.So in this paper, we make qualitative analysis for two chaotic systems. One is the double wing Lorenz-like chaotic system, and the other is a financial chaotic system. And the work in this paper include:（1）the equilibrium points and its stability;（2）the local dynamic behavior of the equilibrium points;（3）the bifurcation analysis of the equilibrium points;（4）the dynamics at infinity using Poincare compact;(5）the special orbits of the system.By the above analysis, the global dynamics are obtained.Keywords: Chaotic system, Qualitative analysis, Equilibrium point, Dynamics at infinity, Bifurcation目录第一章引言 (1)1.1研究背景和意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 本文的主要工作及安排 (4)第二章研究混沌系统的理论和方法 (5)2.1奇点类型 (5)2.2稳定性理论 (6)2.2.1 线性稳定性理论 (6)2.2.2 非线性稳定性理论 (7)2.3三维系统中的无穷远分析-庞加莱紧致化方法 (8)2.4 分支理论 (10)2.4.1 鞍结点分支 (10)2.4.2 超临界分支 (11)2.4.3 草叉分支 (11)2.4.4 Hopf分支 (11)第三章一个双翼混沌系统的动力学行为 (14)3.1 系统的提出 (14)3.2 系统的局部动力学特性 (14)3.2.1 系统的平衡点 (14)3.2.2 平衡点0E的局部动力学行为 (15)E的局部动力学行为 (18)3.2.3 平衡线z3.2.4 平衡点±E 的局部动力学行为 (19)3.3 无穷远动力学行为 (22)3.3.1 在坐标卡11,V U 中 (22)3.3.2 在坐标卡22,V U 中 (24)3.3.3 在坐标卡33,V U 中 (25)3.4 无穷异宿轨 (27)第四章一类金融混沌系统的动力学行为 (28)4.1系统的局部动力学行为 (28)4.1.1 系统的平衡点 (29)4.1.2 0E 点的局部动力学行为 (29)4.1.3 ±E 点的局部动力学行为 (31)4.1.4 ±E 点的局部动力学行为 (32)4.2系统在无穷远处的动力学行为 (33)4.2.1 在坐标卡11,V U 中 (33)4.2.2在坐标卡22,V U 中 (34)4.2.3在坐标卡33,V U 中 (35)第五章结论 (38)致谢 (39)参考文献 (40)第一章引言·1.1研究背景和意义众所周知，常微分方程的实际作用是从17世纪末诞生之际就显现出来的.随着科技的不断发展，常微分方程已经在气象、工程、生物、物理、化学、经济金融等众多应用领域中发挥着重要作用.常微分方程在17世纪末诞生之时还并未单独成为一门分支学科，18世纪才成为有自己的方法和目标的新的分支学科，这段时期，众多专家学者把注意力放在如何求解微分方程上.而微分方程作为应用的重大意义就是很多实际问题可以化归为微分方程的求解问题.因此求微分方程的解析解是数学家们讨论微分方程解的任务之一.但实际上，很多微分方程的解析解很难求出，于是有了对解的数值模拟.直到现在，随着计算机的飞速发展，求微分方程的数值解仍然是一热点话题.然而，数值解只是一种模拟，而且在实际应用中（如物理、工程、天文学）并非一定要找到解，要想了解的性态，我们还可以不求解微分方程而只根据方程本身的特性直接研究解的性质，这就是微分方程解的定性分析.早在19世纪，数学家庞加莱开创了微分方程解的定性理论（讨论微分方程相空间的几何特征，如平衡解的拓扑类型，稳定性，周期轨的存在性等），李雅谱诺夫则开创了微分方程解的稳定性理论的研究.到了20世纪，微分方程进入了定性理论研究的阶段.关于定性理论的研究，目前已经取得了很多卓越的成果.可以说常微分方程定性理论已经构成近代非线性分析中重要的组成部分，对于其他学科分支的研究有宝贵的参考价值.1963 年，美国的气象学家洛仑兹在研究大气现象时构造了一个确定的三维自治常微分方程系统——洛仑兹系统⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=−=,,),(xy bz z xz y cx yx y a x 其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛=28,38,10,,c b a .并以题目为《决定性非周期流》的论文发表了所得结果，开辟了混沌学的研究新里程.洛仑兹系统是第一个混沌模型.1975年，美国数学家Yorke 和Tien-Yien Li 首次给出混沌的正确表述，并发表了著名的论文-《周期3 意味着混沌》. 1976年，Logistic 映射的混沌学行为首次出现在《Nature 》杂志上的《具有复杂动力学行为的简单数学模型》一文中. 1976年Rossler 在研究化学反映时发现了一个混沌系统，后来被人们称为Rossler 系统（Rössler O E ，1976）.1983年，美国伯克利分校Chua 在研究电路时发明“蔡氏电路”震动了学术界，蔡氏电路模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−=，，，y z z y x yx f y x βα ))(( 其中0,,>γβα，)(x f 为连续奇对称函数（Messias M ，2009）.当)(x f 为分段线性函数时，尽管系统非常简单，它却可以表现出标准的混沌理论行为.常期以来洛仑兹系统和蔡氏电路系统成为众多专家学者研究混沌系统的主要对象.Chua 电路的发现不仅促进了混沌的发展，也推进了混沌理论在工程中的应用.随着对混沌学研究的不断渗入，更多的新混沌系统如陈系统（Chen ，1999）、吕系统（吕金虎，2002）等被专家学者研究.由于混沌系统表现出的丰富的动力学行为，利用微分方程中定性理论方法对混沌系统的复杂动力学行为进行定性分析成为对混沌系统进行理论研究的重要组成部分.主要包括对混沌系统的平衡点类型及稳定性研究，奇点分支、Hopf 分支研究，同宿、异宿轨道的存在性，退化异宿轨的存在性等.系统在无穷远的性态也是系统定性分析的重要内容.但在2008年之前，很少有人对三维系统中的无穷远性态进行分析.2008年， Llibre, Messias 和Silva （Llibre J ，2008）对 Rabinovich 系统的全局动力学进行了分析，包括利用庞加莱紧致化方法对该系统的无穷远动力学行为进行了详细的分析.从而推动了混沌系统无穷远动力学行为的研究.1.2 国内外研究现状近年来关于混沌系统的定性分析的论文硕果累累.尤其是对经典的洛仑兹系统，Chua 电路系统等的研究.2008年， Llibre, Messias 和Silva （Llibre J ，2008）对如下Rabinovich 系统⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=+−=,,,321xy z v z xz y v hx yyz x v hy x4321),,,(R v v v h ∈进行了全局动力学分析，并利用庞加莱紧致化方法对该系统的无穷远动力学进行了分析.次年，Messias （Messias M ，2009）又研究了洛仑兹系统的无穷远动力学分析及其无穷远异宿轨道等，并且在该文献中，详细介绍了庞加莱紧致化方法.同年，Llibre ，Messias （Llibre J ，2009）对 Rikitake 系统⎪⎩⎪⎨⎧−=−+−=+−=,1)(,xy z x a z y yyz x x μμ的全局动力学进行了分析，其中主要的一项工作是利用庞加莱紧致化方法对无穷远动力学进行研究.2011年，Messias （Messias M ，2011）利用庞加莱紧致化方法对经典 Chua 系统利用无穷远动力学做了分析，同时作者在文献（Messias M ，2012）中对Shimizu-Morioka 方程做了无穷远动力学和全局动力学分析. 此后，众多关于混沌系统的动力学行为分析都加入了关于无穷远动力学行为分析（Liu Y ，2012）（Wang H ，2014）.2011年，文献（Kuzenetsov Y.A ，2004）研究了如下新洛伦兹系统()⎪⎩⎪⎨⎧++−=−=−=，2,,ex xy bz z xz cx y x y a x 其中R c b e a ∈≥>,,0,0,讨论了该系统的不同参数区域内不变流形的局部特性，Hopf 分支，退化的草叉分支，同宿、异宿轨道的存在性等.2014年，文献（Wang H ，2014）研究了如下系统()()⎪⎩⎪⎨⎧+−=−+−=−=,,,xy bz z axz cy x a c yx y a x 其中a , b, c 为不等于零的实数, 揭示了更多该系统隐藏的动力学行为，如平衡点的分布及稳定性，同宿、异宿轨道的存在性及退化异宿轨的存在性，无穷远动力学分析等. 更多关于混沌系统的文献可参看（Li X ，2012）（Liu Y ，2010）（Liu C ，2006）（LiuY，2013）（马红光，2006）（Sprott J.C，2000）（Yang Q，2010）（Wang H，2015）.1.3 本文的主要工作及安排受以上文献研究结果的启发，本文对一类双翼洛仑兹类混沌系统和一类金融混沌系统进行了全局动力学分析，主要包括平衡点及其稳定性，平衡点的特征，Hopf分支分析，无穷异宿轨分析和利用庞加莱紧致化方法进行无穷远动力学分析等.尤其本文给出了系统各平衡点在各参数范围内的稳定性.在已有文献中，很多平衡点处稳定性研究比较复杂，一般情况下作者会采取将参数取特殊值再做研究. 本文则克服困难给出了各参数值范围内平衡点的稳定性，这样，可不用代数参数值即可看出平衡点的稳定性，也便于寻找混沌吸引子. 具体安排如下第一章介绍混沌系统的相关知识背景，以及混沌系统定性分析国内外的一些研究现状.第二章介绍了本文定性分析所要用到的一系列基本的定义定理，包括平衡点的相关知识，稳定性相关知识，庞加莱紧致化方法在三维空间的转换方法，分支的相关知识等.第三章研究了一个双翼洛仑兹类混沌系统的动力学行为，主要从平衡点及其稳定性，无穷远动力学行为，无穷远异宿轨和奇点即Hopf分支几方面进行研究讨论.第四章讨论了一个金融混沌系统的动力学行为，主要包括平衡点及其稳定性，无穷远动力学行为，奇点分支等.第五章给出了本文研究的主要结论，并且指出了自己文章中的不足和对未来的展望.第二章研究混沌系统的理论和方法本章介绍文中用到的基础理论和知识. 本部分内容可参看文献（马知恩，2015）（张锦炎，1997）（张祥，2015）（张芷芬，2003）.2.1奇点类型考虑常系数n 维线性自治微分系统如下)12(),(−=x f x这里n R x ∈，令其解空间为G . 定义2.1.1 若点G x ∈，使得0)(≠x f ，则称x x =为系统(2-1)的常点；若G x ∈∗，使得0)(=∗x f ，则称∗=x x 为系统(2-1)的奇点，奇点也称为平衡点.若∗x 为系统(2-1)的奇点，则()∗=x t x 必为系统的解，这个解是平行于时间t 轴的直线，它在相空间的投影就是奇点∗x .对于非线性系统的奇点类型分析，我们可借助于线性系统来考虑，线性系统的奇点类型有鞍点、结点、焦点、中心.对平面非线性系统，分离线性项后为)22(),,(),,(−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=y x Y dy cx dt dy y x X by ax dt dx其中)(,r o Y X =且连续可微，22y x r +=.定理2.1.1 设系统(2-2)中的Y X ,满足（i ）在奇点)0,0(O 的邻域内有有连续的一阶偏导数；（ii ）)(),(r o y x X =，)(),(r o y x Y =，22y x r +=.则如果)0,0(O 是对应线性系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dt dy by ax dt dx的一个奇点，那么无论是焦点、结点或是鞍点，)0,0(O 都是相应的非线性系统(2-2)的一个同类型奇点.2.2稳定性理论2.2.1 线性稳定性理论考虑常系数n 维线性自治微分系统如下)32(,−=Ax dtdx这里阶实常数矩阵是n A R x n ,∈.定理2.2.1 若A 的所有特征值的实部均小于零，则系统(2-3)的零解是渐进稳定；若A 的所有特征值的实部都不大于零，并且实部为零的特征值仅对应单重初等因子，则系统(2-3)的零解是稳定的；若A 的特征值中存在实部大于零的根，则系统(2-3)的零解是不稳定的.定理2.2.2（Routh 判据）对于一个已知的三维动力系统，其雅克比行列式的特征方程为.0322130=+++a a a a λλλ设0>n a ，各项系数均为正数.按特征方程系数列写Routh 阵表：000111230123a a cb a a λλλλ 其中010********,)(a b a bc a a a a a b ==−=. 如果此阵表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有根均有负实部.假如第一列的系数有负数，那么系统是不稳定的，不稳定的平衡点个数等于第一列系数符号改变的次数.定理2.2.3（Hurwitz 判据）考虑一元三次代数方程，032213=+++a a a λλλ此方程所有的根的实部均为负数的充要条件是,0013142531>=a a a a a a a H k此式中3,2,1=k ，同时规定当3>j 时，0=j a .2.2.2 非线性稳定性理论定理2.2.4 非线性系统)42(.0)0,(),,(−=+=t f x t f Ax dtdx若),(x t f 连续，关于x 满足Lipschitz 条件，且对t 一致的有，0),(lim=→xx t f x 则当A 没有零实部特征值时，系统（2.2.2）与其去掉扰动项的线性系统Ax dtdx= 的零解有相同的稳定性.定理2.2.5 （稳定流形定理）对于系统，n R x x f dtdx∈=),( 设)(,0)0(x f f =在0的一个邻域G 内连续可微，)(0x t ϕ是系统的解所确定的流，)0(Df A =有k 个负实部的特征值和k n −个正实部的特征值，则存在一个k 维可微流形S ，它与该系统的稳定子空间s E 在原点0相切，且对所有S x ∈0和0≥t 有，0)(lim ,)(0=⊂+∞→x S S t t t ϕϕS 称为该系统的稳定流形.也存在一个k n −维可微流形U ，它与该系统的不稳定流形U E 在原点0相切，且对所有U x ∈0和0≤t 有，0)(lim ,)(0=⊂−∞→x U U t t t ϕϕU 称为该系统的不稳定流形.2.3三维系统中的无穷远分析-庞加莱紧致化方法平面系统无穷远奇点是平面有限奇点的一种推广，用于研究平面系统的轨线在平面上无穷远处的性态，参看文献（马知恩，2015）.N 维系统中的多项式向量场X 可以扩展到球体n S 上的解析向量场, 进行这种扩展的方法称为庞加莱紧致化方法. 并且通过该方法我们可研究多项式向量场无穷远处的动力学，其对应于球体n S 的赤道1−n S . 文献（Messias M ，2009）详细介绍了将该方法.考虑多项式微分系统⎪⎩⎪⎨⎧===，，，)()()(321z y x P z z y x P y z y x P x 上式也可以等价的写成多项式向量场)(321P P P X =，X 的度定义为{}3,2,1:)deg(max ==i P n i .令{}1||:||),,,(443213=∈==y R y y y y y S 为4R 中的单位球，{}0>: =43+y S y S 是北半球，{}0:3〈∈=−y S y S 是南半球.在点y 处S 的切线空间由3S T y 表示.则有切面}),,(:),,,{(3321443213)01,0,0(R x x x R x x x x S T ∈∈=.考虑中心投影++→=S S T R f 3)1,0,0,0(3:;−−→=S S T R f 3)1,0,0,0(3:，x x x x x f Δ±=±/)1,,,()(321，其中2/1312)1(∑=+=Δi i x x . 3S 的赤道为}0=: {=432y S y S .显然，2S 可以通过3R 的无穷大来识别.+f 和−f 为3S 上定义的两个映射，在北半球定义一个X Df −，南半球定义另一个X Df −.用X 表示−+∪=S S S S 23/上的向量场，向量场限制在+S 与−S 上分别与X Df +和X Df −一致.)y X 在−+∪S S 上有如下表达式：，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−−−−−−−−=3214342412332312322211312214111)(P P P y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y X 其中|)|/|,|/|,|/(434241y y y y y y P P ii =.通过这种方式，)(y X 是与球3S 相切的4维空间中的向量场.现在我们可以通过)())((14y X y y X P n −=将向量场)y X 解析地延拓到整个球体3S .该扩展向量场)(X P 称为庞加莱紧致.由于3S 是一个可微流形，为了计算)(X P 的表达式，我们可以考虑八个局部坐标卡),(),,(i i i i G V F U ，其中)4,3,2,1=(}0<: {=},0>: {=33i y S y V y S y U i i i i ；微分同胚3:R U F i i →和3:R V G i i →，4,3,2,1=i 是分别从原点到切空间的中心投影在()0,0,0,1±，()0,0,1,0±，()0,1,0,0±和()1000±，，，的逆映射.首先在1U 中进行计算.假设原点()0,0,0,0，点34321),,,(R y y y y ∈和3S 的切线平面中的点)0,0,0,1(),,,,1(321z z z 共线，则有43322111y zy z y z y ===. 则 ),,()/,/,/()(3211413121z z z y y y y y y y F ==.如，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=1214121312121/100/0/10/00/1/)(y y y y y y y y y y DF和1314)/(−−Δ=n n z z y ，解析向量场)(X P 变为，),,}()/({1331221113P z P P z P P z z z n n−+−+−Δ− 其中)/,//1(3231,3z z z z z P P ii =，以类似的方式我们可以推导出2U 和3U 中)(X P 的表达式分别为在2U 中，),,}()/({2332212113P z P P z P P z z z n n−+−+−Δ− 其中)./,/1,/(3233122z z z z z P P =在3U 中，),,}()/({3323213113P z P P z P P z z z n n−+−+Δ− 其中)/1,/,/(3323133z z z z z P P =.把i U 中的表达式乘以1)1(−−n 即可得到)(X P 在i V 中的表达式.当在局部坐标卡中使用压缩向量场)(X P 的表达式时，我们通常省略因子1)/(1−Δn z . 我们可以通过重新调整时间变量来做到这一点. 接下来，我们将使用从封闭的北半球的)(X P 的正交投影到04=y ，我们继续通过)(X P 表示该投影向量场.注意，封闭北半球的投影是半径为1的封闭球B ，其内部与3R 不同，其边界2S 对应于3R 的无穷远.当然，在整个闭合球B 中定义了)(X P ，使得边界上的流是不变的.B 上的这个新的x 向量场被称为庞加莱紧致化，B 将被称为庞加莱球.2.4 分支理论分支是非线性动力系统的参数变化导致其拓扑相图不等价的现象.分支主要包括局部分支和全局分支两大部分，其中局部分支是集中研究相轨迹在系统平衡点或闭轨的邻域内发生的变化，然而全局分支是要研究动力系统的相轨迹拓扑结构在整个相空间内的变化情况.动力系统的分支又可以进一步细分为动态和静态分支，动态分支是研究其相轨迹的拓扑结构的变化情况，突出的是系统的运动情况，而静态分析是研究平衡点的数目及其稳定性的变化，突出的是系统的性质问题.动力系统厂家爱你的分支主要有超临界分支，鞍结分支，草叉分支和Hopf 分支等.首先以一维单参数非线性微分方程为例介绍奇点分支.此部分结果选自（张祥，2015）.2.4.1 鞍结点分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(2R x x x f dtdf∈+==μμμ当0>μ时，系统不存在平衡点；当0=μ时，系统只有一个二重平衡点00=x ；当0<μ时，二重奇点分裂成两个平衡点μ−±=21，x ，此时可以看出μ−=1x 是一个不稳定的鞍点，而μ−−=2x 则为稳定的结点，这种两个奇点重合最后消失的现象称为鞍结点分支.2.4.2 超临界分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(2R x x x x f dtdf∈−==μμμ可以得到系统有两个平衡点μ==21,0x x .当0<μ时1x 是不稳定的，2x 是稳定的；当0=μ时两个平衡点在重合成半稳定的二重奇点，当0>μ时，上述二重平衡点又分裂成两个平衡点，1x 是稳定的，2x 是不稳定的，这类两个奇点重合交换稳定性的现象称为超临界分支.2.4.3 草叉分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(3R x x x x f dtdf∈+==μμμ当0>μ时，系统只有唯一的不稳定平衡点0=x .当0=μ时，系统有唯一的三重平衡点0=x ，它仍是不稳定的；当0<μ时，三重平衡点分裂成三个平衡点：不稳定平衡点0=x 和稳定平衡点μ−±=21，x .这种在参数变化的某个过程中保持一个奇点，然后突然分裂成三个奇点的现象称为草叉分支.2.4.4 Hopf 分支首先我们考虑如下平面系统：)52(),,,(),,,(−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==μμy x g dtdy y x f dt dx其中R ∈μ为参数，下面先以系统（2-5）为出发点给出Hopf 分岔的定义和Hopf 分岔定理.定义2.4.1 Hopf 分支是指由于平衡点突然改变了稳定性，进而系统因此产生了孤立的周期解（平面系统中为极限环）的现象.定理2.4.1（平面Hopf 分支定理1）设),(μμμy x O 是系统（2-5）对应的线性系统的一个中心型奇点，当0=μ时，)0,0(μO 是系统（2-5）的一个稳定（不稳定）的焦点，当0>μ)0(<时，μO 变成了一个不稳定（稳定）的焦点，则当)0(0><μ，且μ充分小时，在μO 点附近系统（2-5）有至少一个稳定(不稳定)的极限环存在.通过定理（2-5）发现如果需要确定周期接的存在性，可以用奇点的稳定性的判定作为依据.而当系统的线性部分是非奇异的, 则有如下结论：定理2.4.2（Hopf 分支定理2）设在系统()()()62,,:12−∈∈=C f R x x f xI μμ中，()0,0O 是()0I 的奇点，即()00,0=f .又设()()()μμμO x x f D A |,=，其中()μO 是()μI /的奇点，()0det ≠μA ，()μA det 的特征根为()()μβμαi ±.如果：（1）()00=α，()00>β；（2）()0|0≠=μμμαd d . 则当μ充分小时，系统（2-6）在0=μ的某一侧邻域中至少存在一个闭轨，且当0μμ≤时，参数的分岔值0=μ是唯一的.然而在本文中包括在实践中，我们更多遇到的是三维的动力系统，定性分析也都是围绕着三维系统展开.而在寻找三维非线性动力系统的Hopf 分支的时候还是可以借鉴平面系统的方法，只是对三阶特征方程进行分析而已.同时对于三维混沌系统的Hopf 分支，我们有下面这个定理.定理2.4.3 （三维空间中的Hopf 分支定理）考虑系统()()72,,3−∈=R x x F dtdxλ设()λ,x F 在R R ×3包含原点的一个邻域U 内解析，()0,0=λF ,()()λλ,0DF A =有特征值()()λβλαi ±和()λδ，()00=α，()00>β，()00<δ，()00'>α.则有下列结论：（1）若系统（2-7）的原点当0=λ时是稳定而不渐近稳定的平衡点时，则系统（2-7）的解在原点邻域内的某一区面上全是闭轨；（2）若系统（2-7）的原点当0=λ时是渐近稳定（不稳定）的平衡点，则对充分小的()00<>λλ，系统（2-7）在原点的邻域内有渐近稳定的闭轨.第三章一个双翼混沌系统的动力学行为3.1 系统的提出文献（Zhang C ，2012）研究了一个双翼混沌系统)13(2−⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=+−=，，，ky bz z cy x y yz ax x其中R k c b a ∈,,,均为实系数.并说明当时7,10,5,20====k c b a ，该系统呈现双翼轨线图，如下图（3-1）（a ）在y x −平面上的双翼轨线图（b ）在z y −平面上的双翼轨线图图3-1 系统（3-1）轨线图然而文献（Zhang C ，2012）只是对该系统的数值仿真模拟相图进行讨论，并没有进行定性分析.本文将再次深入讨论该系统，对其做定性分析.包括平衡点、平衡点类型、流形情况、奇点分支情况、Hopf 分支、无穷远奇点、无穷异宿轨等.3.2 系统的局部动力学特性在这一部分中，我们将针对系统（3-1）的局部动力学行为进行研究，主要包括系统的平衡点分布情况，孤立与非孤立平衡点的稳定性与分支.3.2.1 系统的平衡点求解如下代数方程组可以得到系统（3-1）的平衡点⎪⎩⎪⎨⎧=+=+−=+−.0,0,02ky bz cy x yz ax 解此方程组后，下面讨论该系统平衡点.（1）当0=k 时，0===z y x ，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（2）当0>k 时，有如下四种情况（i ）当b=0时，R z y x ∈==,0此时z 轴为系统一条平衡线()z E z ,0,0=；（ii ）当0,0=≠ac b 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（iii ）当0>abc 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（iv ）当0<abc 时，系统有三个平衡点分别为()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,. （3）当0<k 时，有如下四种情况（i ）当0=b 时，R z y x ∈==,0，z 轴为系统一条平衡线()z E z ,0,0=；（ii ）当0,0=≠ac b 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（iii ）当0<abc 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（iv ）当0>abc 时，系统有三个平衡点分别为()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,.由如上讨论不难看出，当0≠b 时，如果0≥abck 系统有唯一平衡点()0,0,00=E ，然而如果0≤abck 则系统有三个平衡点()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,，由此可知在abck 由正变到负的过程中，系统（3-1）从一个三重平衡点分裂为三个单重平衡点，这种现象被称为草叉分支.3.2.2 平衡点0E 的局部动力学行为首先系统（3-1）在平衡点()000,,z y x 处的雅克比行列式为，bky c y z a J 002001−−= 因此可知在0E 处的雅克比行列式为，bc a J 0001000−−=其特征方程()()()()0=−−+=c b a f λλλλ，由此可得三个特征值分别为，，，c b a ==−=321λλλ根据稳定流形定理，可知系统（3-1）在平衡点0E 处具有如下稳定性，为方便表达，在接下来的部分中统一用Sloc W 表示稳定流形，Uloc W 表示不稳定流形，Cloc W 表示中心流行：（1）当0>a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-2:表3-2 当0>a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型0E 附近的流形0<b0<c渐近稳定的结点 Sloc DW 30=c 非双曲的 S loc DW 2和Cloc DW 1 0>c 鞍结点 S loc DW 2和U loc DW 1 0=b0<c非双曲的 S loc DW 2和C loc DW 10=c非双曲的 S loc DW 1和C loc DW 2 0>c非双曲的S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1续表3-20>b0<c鞍结点 S loc DW 2和Uloc DW 1 0=c 非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10>c鞍结点S loc DW 1和Uloc DW 2当0=a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-3:表3-3 当0=a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型 0E 附近的流形0<b0<c非双曲的S loc DW 2和C loc DW 1 0=c S loc DW 1和C loc DW 2 0>c S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=b0<cS loc DW 1和Cloc DW 20=c Cloc DW 3 0>c C loc DW 1和Uloc DW 20>b0<cS loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=c C loc DW 2和Uloc DW 1 0>cC loc DW 1和U loc DW 2当0<a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-4:表3-4 当0<a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型 0E 附近的流形0<b0<c鞍结点 Sloc DW 2和U locDW 10=c 非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10>c 鞍结点 S loc DW 1和Uloc DW 2 0=b0<c非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=c 非双曲的 C loc DW 2和Uloc DW 1 0>c 非双曲的 C loc DW 1和U loc DW 2 0>b0<c鞍结点 S loc DW 1和U loc DW 20=c 非双曲的 C loc DW 1和U loc DW 20>c结点Uloc DW 33.2.3 平衡线z E 的局部动力学行为当0,0≠=k b 时，系统有平衡线()z E z ,0,0=，此时的雅克比行列式为，bc z aJ z 00010−−=此时的特征方程()，0])()[(2=+−−+−=z ac c a b f λλλλ 可解得特征值为.0,24)()(3221=−+±−=λλzc a a c ，在此处有ac z a c −=−=+2121,λλλλ，因此z E 处的动力学行为可由如下表3-5:表3-5 系统（3-1）在z E 处的动力学行为3.2.4 平衡点±E 的局部动力学行为当参数范围为0,0<≠abck b 时，系统有三个平衡点，现讨论±E 两个平衡点处的动力学行为，由于两个点的对称性，所以仅以+E 为例进行详细讨论. 此时系统在平衡点+E 的雅克比行列式为，bkabc kc kabc ac a J −−−−=+2001容易得特征方程为02)()()(23=−−+−−+=abc ab bc c b a f λλλλ. 设参数所在集合为{}0|),,,(4<∈=abck R k c b a W ，此集合又可分为参数范围z E 附近的流形a c >ac z >C loc DW 1和Uloc DW 2ac z = C loc DW 2和U loc DW 1 ac z < S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1a c =ac z >发生Fold-Hopf 分支ac z = Cloc DW 3ac z < S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1a c < ac z >S loc DW 2和Uloc DW 1ac z = S loc DW 1和C loc DW 2 ac z <S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1{}{}{}，，，0,0,0|),,,(0,0,0|),,,(0,0|),,,(321><>∈=<>>∈=><∈=ac b k W k c b a W ac b k W k c b a W abc k W k c b a W 这其中3W 集合又可分为{}{}，，a c W k cb a W ac W k c b a W <∈=≥∈=|),,,(|),,,(332331 再进一步将32W 划分为.02|),,,(02|),,,(2|),,,(2|),,,(32432323323223232132⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−−−∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−−−<∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−>∈=c a ac c a W k c b a W c a ac c a b W k c b a W c a ac c a b W k c b a W c a ac c a b W k c b a W ，，，根据Routh-Hurwitz 判别准则结合韦达定理可以得出如下结论:定理 3.2.1 当参数1323121),,,(W W W W k c b a ∪∪∪∈时，±E 是不稳定的；而当参数432332),,,(W W k c b a ∪∈时，±E 是局部渐近稳定的.证明：由+J 的特征方程结合Hurwitz 判据可以得到，c b a H −−=1 ，abc a c b H a c b abcc b a H 2)()(1212+−=−−−−= .2200)(10223abcH abcc b a a c b abcc b a H −=−−−−−−−=当1),,,(W k c b a ∈时，有02<−abc ，容易知道32H H 和符号相反，不可能同时为正，因此±E 是不稳定的；当2),,,(W k c b a ∈时，有0,0<>ac b .若0,0><c a ，则01<−−=c b a H ，±E 是不稳定的；若0,0<>c a ，此时1H 正负未知，若1H 为负则±E 显然是不稳定的，若1H 为正，此时0,0,0<><−abc b a c ，可知02)(12<+−=abc a c b H H ，±E 是不稳定的. 当31),,,(W k c b a ∈时，有a c ac b ≥><,0,0.此时1H 正负未知，若1H 为负则±E 显然是不稳定的，若1H 为正，此时0,0,0<<>−abc b a c ，可知02)(12<+−=abc a c b H H ，±E 是不稳定的.当131),,,(W k c b a ∈时，此时ca acc a b abc b c a −−−><<>−2,0,0,0，我们将2H 展开可得0)]2()[(2<−−−−−=ca acc a b c a b H ，±E 是不稳定的. 当432332),,,(W W k c b a ∪∈时，此时ca acc a b abc b c a −−−<<<>−2,0,0,0，可以得到01>−−=c b a H ，02()[(2>−−−−−=ca acc a b c a b H ，0223>−=abcH H ，此时±E 是渐近稳定的. 证毕.由定理3.2.1也不难看出，当参数232),,,(W k c b a ∈时，系统（3-1）会发生分支行为，具体情形如下所述.定理3.2.2 当参数232),,,(W k c b a ∈，系统（3-1）会在+E 处经历Hopf 分支. 证明：当232),,,(W k c b a ∈时，易知系统（3-1）的特征方程有一个负实根ca ac−−=21λ 和一对共轭的纯虚根i ωλ±=32，，其中2)(2c a ac −−=ω.事实上，若参数满足ca acc a b −−−=2，那么()0Re 2=λ，进而 ().024)(1616]2)[()(4Re 2222222≠−−−+−−+−=ca acc a c a ac c a c a dbd ωωωωλ因此当232),,,(W k c b a ∈时，发生Hopf 分支的横截性条件成立.同时，()0Re 1<λ和i ωλ±=32，，其中0>ω，从而发生Hopf 分支的所有条件都成立.综上所述系统在+E 处发生Hopf 分支.证毕.。

浅谈混沌理论

浅谈混沌与世间种种巨大的力量相比，扇动着翅膀的蝴蝶似乎没多大力量。

然而有一句谚语却说：“中国上空的一只蝴蝶振动双翅，美国某处便下起了大雨。

”混沌理论可以证明这一谚语。

对蝴蝶力量的科学洞察始于洛伦兹的工作。

洛伦兹是一位气象学家，也被尊称为混沌理论的缔造者之一。

当时，洛伦兹正在检验一个简单的气象预测模型。

洛伦兹完成了冗长的计算后，需要对结果进行复核，他将 0. 506而不是初始的精确值 0.506127作为初值输入计算机。

他知道这样做将产生千分之一的误差，并预计在其气象预测中和原来的计算将有同等大小的差异。

然而，令他大为吃惊的是，新的天气预报和原先的结果几乎没有什么相似之处，他立即意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为原数据重新输入时，两组数据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异。

这万分之一的误差——这种误差大约相当于多了一阵轻柔的微风——很快就使天气预报变成了一片混乱。

他用图像来模拟气候的变化，最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅。

这就是我们今天所熟知的 “蝴蝶效应“，从科学的角度来看，蝴蝶效应反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。

混沌理论认为：在混沌系统中，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。

正所谓失之毫厘，谬以千里。

对气象工作者来说，那一天是黑暗的日子。

洛伦兹意识到：“如果大气层真是这样活动的话，那么要想做出长期气象预报几乎是不可能了。

”但这一天的经历并非只对气象工作者有意义。

他冲破了束缚人们思想的堤坝，并为新的研究领域的开辟奠定了基石，由此引入了混沌这一理论。

我们再来看看一个简单的物理系统-单摆。

在一根不能伸缩的长度为 Z 的细线下端悬挂一个小球，微微移动后，就可以在一竖直面内来回摆动，这种装置称为单摆。

只要有一定物理常识就知道，在一定的条件下(忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力，且摆角) ，回复力 F=一k x ，单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反，单摆做简谐振动。

经典力学中的混沌现象研究

经典力学中的混沌现象研究混沌现象是指在经典力学中的一类非线性动力学系统中展现出的高度敏感依赖于初始条件的现象。

它起初被误认为是系统运动的不可预测性，但随着对混沌现象的深入研究，科学家们逐渐认识到混沌是一种具有内在规律性的现象。

经典力学中的混沌现象研究对于科学的发展和理论的构建具有重要的意义。

一、混沌现象的起源混沌现象的起源可以追溯到1887年霍普夫提出的迭代逃逸现象。

他在研究一个简单的力学系统时发现，该系统在经过多次迭代后产生了无规则的运动。

这一发现引起了科学家们的兴趣，随后，洛伦兹在20世纪60年代提出了著名的洛伦兹方程，揭示了混沌现象的基本特征。

二、混沌现象的基本特征混沌现象的基本特征包括：敏感依赖于初始条件、确定性、自组织、非周期性等。

敏感依赖于初始条件是混沌现象最引人注目的特征，它意味着微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。

确定性表示混沌现象的演化过程是可以通过确定的数学方程描述和预测的。

三、混沌现象的数学模型混沌现象可以通过一系列的数学模型来描述。

其中最经典的混沌模型之一是洛伦兹方程。

洛伦兹方程是一个三维非线性系统，它描述了大气运动中的流体对流现象。

洛伦兹方程的解具有非常复杂的轨迹，即使微小的初始条件变化也会导致系统行为的剧烈改变。

四、混沌现象的应用混沌现象的研究在许多领域都有广泛的应用。

在天体力学中，混沌现象的研究可以用于描述行星轨道的演化和宇宙运动的复杂性。

在气候学中，混沌现象的研究可以用于分析气候系统的变化和周期性。

在信息加密中，混沌现象的应用可以用于生成随机数和保护数据安全。

五、混沌现象的研究挑战与展望尽管经典力学中的混沌现象已经取得了许多重要的研究成果，但仍然存在许多挑战和未解之谜。

例如，尚未找到一种通用的方法来确定混沌系统的初始条件，这限制了对混沌现象的深入研究。

此外，混沌现象在理论上的解释和数学模型的构建仍然需要更多的理论探索和实验验证。

总之，经典力学中的混沌现象是一门极富挑战性的研究领域。

洛伦兹模型与混沌

洛伦兹模型与混沌—————《蝴蝶效应》混沌理论：混沌理论（（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。

在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。

从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。

混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。

自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种貌似随机的行为或性态。

确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。

典型的模型有单峰映象（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen 吸引子等。

为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。

混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。

混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。

[1]对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。

定义混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。

”混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。

在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力、杠杆原理、相对论等。

混沌实验报告

混沌实验报告混沌实验报告引言：混沌，这个词充满了神秘和魅力，它是一种看似无序却又包含着某种规律的现象。

混沌理论的提出，为我们解开了一些自然界中看似混乱的现象背后隐藏的规律。

为了更好地了解混沌现象，我们进行了一系列混沌实验。

实验一：双摆实验我们首先进行了双摆实验，这是一种经典的混沌系统。

通过调整摆的初始条件，我们观察到了摆的运动呈现出了混沌现象。

在初始条件微小变化的情况下，摆的运动轨迹产生了巨大的差异。

这说明了混沌系统对初始条件的极端敏感性。

实验二：洛伦兹系统实验接下来，我们进行了洛伦兹系统实验。

洛伦兹系统是混沌理论的经典案例之一。

通过调整系统的参数，我们观察到了系统状态的变化。

当参数处于某个特定范围时，系统呈现出混沌状态。

这种混沌状态的特点是系统状态在相空间中呈现出复杂的轨迹，即“蝴蝶效应”。

实验三：分形实验分形是混沌理论的重要组成部分。

我们进行了一系列分形实验，包括分形图形的绘制和分形维度的计算。

通过这些实验，我们发现分形具有自相似性和无穷细节的特点。

无论是在自然界中的山脉、云朵，还是在人造的分形图形中，我们都能够看到这种无穷细节的美妙。

实验四：混沌与控制混沌现象的存在给控制系统设计带来了挑战，但同时也为我们提供了新的思路。

我们进行了一系列混沌与控制相关的实验，探索如何利用混沌现象来设计更有效的控制系统。

通过混沌系统的反馈和调节，我们成功地实现了对系统状态的控制。

结论：通过一系列混沌实验，我们深入了解了混沌现象的特点和规律。

混沌系统对初始条件的敏感性、复杂的轨迹和无穷细节的特点给我们带来了许多启示。

混沌现象不仅存在于自然界中，也可以在人工系统中得到应用。

混沌理论的研究对于我们认识世界的深入，以及在控制系统设计中的创新具有重要意义。

未来，我们将继续深入研究混沌现象，探索更多的应用领域，为科学和技术的发展做出贡献。

参考文献：1. Strogatz, S. H. (2014). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.2. Ott, E., Grebogi, C., & Yorke, J. A. (1990). Controlling chaos. Physical review letters, 64(11), 1196-1199.3. Mandelbrot, B. B. (1982). The fractal geometry of nature. WH freeman.。

洛伦兹系统的混沌区间

洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统是一种非线性动力学系统，由爱德华·洛伦兹于1963年提出。

它是一种描述流体力学中对流现象的数学模型，也可以用于描述天气预测、心脏跳动等现象。

洛伦兹系统的方程组包括三个变量：x、y、z，它们随时间的变化受到彼此之间的相互作用影响。

在洛伦兹系统中，当参数值超过某个临界值时，系统将进入混沌状态。

这种状态表现出明显的不可预测性，即使微小的初始条件差异也会导致系统演化出完全不同的轨迹。

混沌区间是指参数值范围内的一段区间，使得系统处于该区间内时表现出的行为是混沌的。

混沌区间的存在使得洛伦兹系统具有了深刻的意义，它不仅揭示了自然界中普遍存在的混沌现象，也为混沌学的发展提供了重要的理论基础。

研究洛伦兹系统的混沌区间是一个非常重要的问题，其涉及到非线性动力学、混沌现象、复杂系统等领域。

许多学者和研究人员通过实验、数值模拟等方法，对洛伦兹系统的混沌区间进行了深入的研究，取得了许多重要的成果。

这些研究成果不仅有助于深入理解洛伦兹系统的混沌现象，还为其他领域的研究提供了有益的启示。

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基于力学系统的混沌现象研究

基于力学系统的混沌现象研究混沌现象是自然界中一种复杂而难以预测的行为模式。

它在力学系统中的研究，为我们揭示了一种新的科学领域，也为我们认识和理解自然界提供了新的视角。

一、混沌现象的定义与特征混沌现象最早由美国数学家洛伦兹在1963年提出。

他通过对大气运动的研究，发现了一种无规律而又复杂的运动模式。

混沌现象的特征主要包括：敏感依赖于初始条件、确定性的非周期性、无规律的运动轨迹等。

二、混沌现象的力学系统研究混沌现象的研究主要基于力学系统。

力学系统是研究物体运动的科学，它通过描述物体的质量、速度、加速度等物理量来研究物体的运动规律。

通过对力学系统的分析，我们可以揭示混沌现象背后的规律和机制。

三、混沌现象的数学模型为了更好地研究混沌现象，科学家们提出了一系列的数学模型。

其中最著名的是洛伦兹模型。

洛伦兹模型是一个描述大气运动的非线性微分方程组，它通过对空气流动的建模，揭示了混沌现象的本质。

四、混沌现象的应用混沌现象的研究不仅仅是理论上的探索，它还具有广泛的应用价值。

例如，在通信领域，混沌现象可以用于加密和解密信息。

在金融领域，混沌现象可以用于预测市场走势。

在生物领域，混沌现象可以用于研究心脏的节律性变化等。

五、混沌现象的挑战与展望尽管混沌现象的研究已经取得了一些重要的成果，但是仍然存在许多挑战。

例如，如何准确地预测混沌现象的行为？如何控制混沌现象的发展趋势？这些问题需要我们进一步深入研究。

总结起来，基于力学系统的混沌现象研究是一个充满挑战和机遇的领域。

通过对混沌现象的研究，我们可以更好地理解自然界的复杂性，也可以为人类社会的发展提供新的思路和方法。

希望未来能有更多的科学家投身于混沌现象的研究，为人类的进步做出更大的贡献。

典型混沌系统和混沌同步的简介

2典型混沌系统和混沌同步的简介2.1典型混沌系统的介绍混沌从表述形式上大体包括两大类：以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。

时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。

介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：Lorenz 系统、蔡氏电路、统一混沌系统。

2.1.1 Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。

他提出了著名的Lorenz 方程组：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----cz xy y xz bx y x y a x ＝ｚ＝＝。

(2-1)这是一个三阶常微分方程组。

它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。

式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统 (2-1)的主要控制参数。

kv a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。

在参数范围为)1/()3(--++⋅>c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。

在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x 、y 随时间t 的变化情况。

图2.1 Lorenz 系统的吸引子图2.2 分量x随时间t的变化情况图2.3 Lorenz系统的x-y相图总体上，Lorenz吸引子由左右两个环套而成，每个环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶的翅膀。

混沌系统介绍及例子

混沌系统介绍及例子混沌系统（Chaos system）是指具有混沌行为特征的非线性动力学系统。

混沌行为表现为系统的状态在一定的参数范围内非周期性地演化，表现出高度敏感的初始条件和小幅的参数变化所引起的状态的剧烈变化。

混沌系统的研究不仅在理论物理领域有重要意义，也在生物学、经济学、工程学和社会科学等领域有广泛应用。

混沌系统的行为是非周期的，无法以简单的数学公式进行预测。

混沌系统有三个关键属性：灵敏度依赖于初始条件、确定性演化以及混沌的周期特征。

混沌系统可以用混沌图、Lyapunov指数、诺依曼熵等方式进行分析和描述。

下面是两个著名的混沌系统的例子：1. 洛伦兹系统（Lorenz system）：洛伦兹系统是由麻省理工学院的气象学家Edward Lorenz于1963年提出的模型，用于描述大气中气流的运动。

这个三维非线性微分方程组由以下三个方程组成：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x,y,z是系统状态变量，σ,ρ,β是系统参数。

当参数取特定值的时候，洛伦兹系统展现出复杂的混沌行为，形成漂亮的吸引子，称为洛伦兹吸引子。

2. 常微分方程混沌系统（Ordinary differential equation chaos system）：该系统是一个由非线性常微分方程描述的混沌系统，最经典的例子是由Mackey-Glass方程提出的混沌系统。

Mackey-Glass方程用于描述生物学和医学领域中的物理现象，其表达式为：dx/dt = β * x(t - τ)/(1+x(t - τ)^n) - γx(t)其中，x是系统状态变量，β, τ, γ, n是系统参数。

当参数取一定的范围时，Mackey-Glass方程会显示出混沌行为，从而产生混沌状态。

混沌系统的研究对于理解复杂系统的行为具有重要意义。

混沌系统的特点使得其具有很大的应用潜力，例如，混沌系统已经被应用于随机数生成、数据加密、通信系统、生物学系统和金融市场等领域。

洛伦兹系统的混沌区间

洛伦兹系统的混沌区间洛伦兹系统是指1963年Edward Lorenz提出的一个简单的非线性微分方程组，用于描述大气对流的特征。

该系统的三个参数分别为Prandtl数、Rayleigh数和Arnold-Beltrami-Childress（ABC）流形的流体循环速率，但是这三个参数中只有一些特定的值才能产生混沌。

关于洛伦兹系统的混沌区间，目前主要有两种观点。

一种观点是，洛伦兹系统存在混沌区间，需要参数取值的合适范围，这也被称为Lorenz Butterfly。

另一种观点则认为，对于确定洛伦兹系统的初值和参数，系统一定会呈现混沌性质。

无论哪种观点都说明了洛伦兹系统的混沌性质。

混沌是指在一定的条件下，系统会呈现无规律的、不可预测的状态，即使初值或者参数只有微小的变化，也会造成系统演化的天差地别。

这种性质对于一些实际问题具有重要意义，比如气象学、经济学、生物学等等。

然而，洛伦兹系统的混沌区间并不是固定的，取决于参数的具体取值。

当参数处于某个合适的范围内时，洛伦兹系统会呈现混沌性质，否则就不会。

对于Lorenz Butterfly，它给出了洛伦兹系统的混沌区间范围，包括了参数的取值和初始条件的范围。

在这个范围内，洛伦兹系统会形成一个奇异的结构，呈现出蝴蝶的形态。

这也让人们进一步研究了函数的分形性质，对于分形理论的发展起到了推动作用。

总之，洛伦兹系统的混沌性质是研究非线性动力学中非常重要的问题之一。

洛伦兹系统是一个简单而典型的例子，通过研究它的混沌性质，可以更好地理解混沌现象的本质和起源，同时也为探索非线性系统的更深层次性质提供了基础和方向。

洛伦兹方程的混沌效应

洛伦兹方程的混沌效应洛伦兹方程是描述非线性动力学系统的一种数学模型，它由爱德华·洛伦兹于1963年提出。

这个方程组起初是为了研究大气对流而建立的，但后来发现它具有混沌效应，引起了科学家们的广泛关注。

洛伦兹方程的混沌效应是指系统在微小扰动下产生无法预测的、极其复杂的行为。

1. 洛伦兹方程的基本形式洛伦兹方程由三个耦合非线性偏微分方程组成：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y和z是状态变量，t是时间。

σ、ρ和β分别代表控制参数，它们决定了系统的行为特征。

2. 洛伦兹吸引子洛伦兹方程描述了一个三维相空间中的轨迹，这些轨迹形成了一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。

洛伦兹吸引子具有分叉结构和无限细节，呈现出自相似性和分形特征。

这意味着即使在不同的尺度上观察，洛伦兹吸引子的形状和结构都是相似的。

3. 混沌现象洛伦兹方程的混沌效应表现在系统对初始条件极其敏感，微小扰动会导致系统轨迹的巨大偏离。

这意味着无法精确预测系统未来的行为，因为微小误差会在演化过程中被放大。

洛伦兹方程还具有周期倍增、分岔等特征，使得系统呈现出复杂多样的行为。

4. 混沌与确定性混沌并不等同于随机性或不确定性。

洛伦兹方程是一个确定性模型，即给定了初始条件和参数值后，系统的演化轨迹是唯一确定的。

然而，由于非线性耦合以及对初始条件极端敏感，微小误差会导致轨迹分离，并最终产生混沌行为。

5. 混沌与应用混沌理论在许多领域具有广泛应用。

在天气预报中，由于大气系统是一个复杂非线性系统，微小扰动可能导致预测结果差异很大。

混沌理论的引入可以帮助我们理解和解释这种不确定性。

混沌现象还在通信、密码学、生物学等领域有着重要的应用。

6. 混沌控制由于混沌系统的不可预测性，研究如何控制混沌行为成为一个重要课题。

混沌控制旨在通过调节系统参数或施加外部干扰来使系统从混沌状态转变为有序状态。

数学的混沌理论

数学的混沌理论混沌理论是数学中一种涉及非线性动力系统的分支，它研究的是看似混乱无序的系统行为。

混沌理论包含了一系列重要的概念和现象，如吸引子、分岔、奇点等，深化了我们对复杂系统的理解。

本文将介绍混沌理论的基本原理和一些与之相关的重要应用。

1. 混沌理论的起源与发展混沌理论的起源可以追溯到19世纪中叶，当时的数学家们开始对动力系统的行为进行研究。

然而直到20世纪60年代，混沌理论才真正引起了数学家们的广泛关注。

在此期间，一些重要的研究成果相继出现，如洛伦兹提出的洛伦兹吸引子以及佩尔特斯基兴等的相关工作，这些成果为混沌理论的发展奠定了基础。

2. 混沌的数学模型混沌系统的数学模型通常采用迭代映射或微分方程来描述。

迭代映射是一种简单而直观的模型，它将系统的状态从一个时刻映射到下一个时刻。

常见的迭代映射包括著名的Logistic映射和Henon映射。

而微分方程则更加适合描述连续变化的系统，其中最为著名的例子是洛伦兹方程。

3. 混沌系统的特征和行为混沌系统的行为通常表现为对初始条件极其敏感，微小的变化可能导致系统演化出完全不同的结果。

这种不确定性使得混沌系统的行为看似随机而无序，但实际上却是由确定性的非线性规律所决定的。

此外，混沌系统常常呈现出激起人们兴趣的特征，如分岔现象、吸引子的出现以及奇异吸引子等。

4. 混沌理论的应用混沌理论不仅在数学领域发展迅猛，还在众多学科中得到广泛应用。

在物理学中，混沌理论被用于研究天体力学、量子力学等领域。

在生物学中，混沌理论被应用于研究生物钟、心脏节律等现象。

此外，混沌理论还被应用于通信加密、数据压缩、图像处理等信息学领域。

5. 混沌理论的挑战和展望尽管混沌理论在许多领域取得了重要的成果，但仍然有许多挑战亟待解决。

首先，如何准确地刻画和预测混沌系统的行为是一个重要的课题。

其次，如何在实际应用中克服混沌系统的不确定性，提高系统的可控性也是一个难题。

未来的研究将继续探索混沌系统的本质，寻找更多的应用领域，并解决其中的难题。

数值分析 Lorenz问题与混沌

实验6.1（Lorenz 问题与混沌）问题提出：考虑著名的Lorenz 方程()dx s y x dt dy rx y xz dtdz xy bz dt ⎧=-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=-⎪⎩其中s,r,b 为变化区域有一定限制的实参数，该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。

实验要求：（1）请读者找出Lorenz 方程与上述程序中使用的方程间的关系。

（2）对目前取定的参数值SIGMA 、RHO 和BETA ，选取不同的初始值y0（当前程序中的y0是在坐标原点），运行上述的程序，观察计算的结果有什么特点？解的曲线是否有界？解的曲线是不是周期的或趋于某个固定的点？（3）在问题允许的范围内适当改变其中的参数值SIGMA 、RHO 和BETA ，再选取不同的初始值y0，运行上述的程序，观察并记录计算的结果有什么特点？是否发现什么不同的现象。

程序清单：主程序：%BLZ Plot the orbit around the Lorenz chaotic attractorclfclc%Solve the ordinary differential equation describing the%Lorenz chaotic attractor.The equation are difined in%an M-file,blzeq.m%The value of the global parameters areglobal SIGMA RHO BETASIGMA=10.;RHO=10.;BETA=20.;%The graphics axis limits are set to values known to%contain the solution.axis([0 50 -30 30 -30 30])view(3)hold ontitle('Lorenz Attractor')y0=[0 0 eps];tfinal=100;[t,y]=ode23('blzeq',[0 tfinal],y0);plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))blzeq函数程序%BLZEQ Equation of the Lorenz chaotic attractor%ydot=lorenzeq(t,y)%The differential equation is written in almost linear form.function ydot=blzeq(t,y);global SIGMA RHO BETAA=[-BETA 0 y(2)0 -SIGMA SIGMA-y(2) RHO -1];ydot=A*y;实验结果及其分析：题中的方程与程序中的方程的关系是变量进行了轮换，x换成了y，y换成了z，z换成了x。

洛伦兹混沌模型

LORENZ MODEL黎颖物理学院 121120053流程图：0.001源程序：T=0.001N=10000运行结果图：X-Z图，横坐标X纵坐标Z，R=0.5，Y0=1，Z0=1，X0分别为1和3X与Z随时间变化图，黑线X,红线Z （如无特别说明，以下均取Y0=1，Z0=1，图示方框中“1,0,5”代表X0=1，R=0.5”,“3,0.5”代表X0=3，R=0.5，下同）X,Z随时间变化收敛于一点当X有较大变化时X,Z随时间收敛于同一点R=2X,Z随时间变化收敛于一点当X有较大变化时X,Z随时间收敛于同一点R=10X,Z随时间变化收敛于一点当X有较大变化时X,Z随时间收敛于同一点R=15X,Z随时间变化收敛于一点当X有较大变化时X,Z随时间收敛于同一点X，Z随时间变化不收敛R=251,25对应的图形太小X的初值有极小变化时随时间变化X，Z与变化前值将差距放大，此图中X0=1时值与X0=1.00001时值相差太大以至于显示X0=1的地方很小，几乎看不到，但在运行数据中可以清楚看到偏离的放大以下分别是R=30,50,100,200的X-Z图，他们都不是收敛的探讨R与收敛的关系：通过如下程序来找到让X,Z随时间收敛的R取值范围我对收敛的定义是：当X，Y，Z有一定偏离时，随着时间的发展，最终X,Y,Z趋于一个较固定的点（讨论在THEGMA=10,B=8/3条件下进行）程序编写思路：1，对同一个R分别取X0=1，Y0=1，Z0=1和X0=10，Y0=10，Z0=10，X0=1，Y0=1，Z0=1经过较长时间后得到X1，Z1X0=10，Y0=10，Z0=10经过较长时间后得到X2，Z2当ABS(X1-X2)<0.0001且ABS(Z1-Z2)<0.0001时认为此R处收敛，输出X2，Y2否则认为不收敛，不输出X,Y值2，对R从0到100，取0.1为补偿循环3，X0=10，Y0=10，Z0=10条件太严格，放松条件在X=10，Y0=1，Z0=1处得到较宽松条件下的收敛值源程序如下：低要求收敛（X0=10，Y0=1，Z0=1）：此图展示了通过我编写的程序在给定条件下找到的所有收敛点（即X,Z收敛于此点）此图横坐标为R，纵坐标为X和Z的值，黑线X，红线Z，没有X,Z对应处即不收敛的R范围图中不便读数，且易把X,Z较小处误认为是不收敛，下面贴出不收敛处及附近数值从左到右三幅图，每幅图中有三列数据，第一列为R，第二列为X，第三列为Y，X，Y无值处不收敛高要求收敛（X0=10，Y0=10，Z0=10）：与低收敛要求相比减少了一部分R区间图1图二图三图四虽然这样做是有一定问题的，比如收敛的定义就不太严格，但是我们至少可以看出，当R值较大时，尤其是是大于二十几时表现出不收敛，混沌的特性最后，贴上这里面最漂亮的一张图ZR值X R=1，2，3,4,5,6,时，由（1,1,1）随时间演变的轨迹图。

混沌动力学模型

混沌动力学模型混沌动力学模型是一种描述非线性系统行为的数学模型。

它的核心概念是混沌现象，即系统的微小变化会引起巨大的效应，使系统表现出不可预测的行为。

混沌动力学模型的研究对于理解和揭示自然界中复杂系统的行为规律具有重要意义。

混沌动力学模型的起源可以追溯到20世纪60年代，由美国数学家Edward Lorenz提出。

他在研究大气环流系统时，发现微小的初始条件变化会导致天气预报的巨大误差。

这一发现引发了他对非线性系统的研究，最终形成了混沌动力学模型。

混沌动力学模型的核心方程是著名的洛伦兹方程，它描述了一个简化的大气对流系统。

洛伦兹方程是一个三维非线性常微分方程组，它的解决过程展现了混沌现象。

洛伦兹方程的形式如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y、z是系统的三个状态变量，t是时间，σ、ρ、β是系统的参数。

通过调节参数的值，可以观察到不同的系统行为，包括稳定状态、周期运动和混沌运动。

混沌动力学模型的研究揭示了非线性系统的一些重要特性。

首先是灵敏依赖于初值条件，微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。

这意味着我们无法准确预测系统的未来行为，只能给出可能的演化趋势。

其次是周期倍增现象，系统在某些参数值下会表现出周期倍增的行为，即周期长度不断加倍，最终进入混沌状态。

最后是拓扑混沌，非线性系统的相空间结构呈现出复杂的拓扑特征，例如奇异吸引子和分岔图等。

混沌动力学模型的研究不仅在天气预报、气候学等领域有重要应用，还在物理学、生物学、经济学等多个学科中发挥着重要作用。

通过混沌动力学模型，我们可以更好地理解和解释自然界中的复杂现象，为科学研究和实践提供指导。

混沌动力学模型的研究也给我们带来了一些启示。

首先是复杂系统的不可预测性，即使是简单的非线性系统也可能表现出混沌行为，我们无法准确预测系统的未来演化。

其次是系统的微小变化可能引起巨大效应，这对于控制和管理复杂系统具有挑战性。

洛伦兹模型与混沌

洛伦兹模型与混沌案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。