计算方法复习2011

《计算方法》复习第一章 绪论考核知识点：了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

例1．下列计算y 的公式中哪一个算的准？为什么？ •1）已知|x|<<1答：b 好,因为分母数值大，缩小分子误差答：a 好,因为b 中有相近数相减第二章 矩阵与线性代数方程组考核知识点：高斯顺序消去法，列主元消去法；高斯―赛德尔迭代法，迭代解数列收敛的条件；简单/雅可比迭代法；Gauss-Seidel 迭代法；LU 分解（p64, 例2-4） (二)复习要求1. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯消去法和列主元消去法。

2. 掌握线性方程组简单/雅可比迭代法和高斯―赛德尔迭代法。

3. 知道迭代解数列收敛性的充分条件。

LU 分解（p64, 例2-4）假定我们能把矩阵A 写成下列两个矩阵相乘的形式：A=LU 其中L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵。

这样我们可以把线性方程组Ax=b 写成Ax=（LU ）x=L( U x ) = b 令U x=y,则原线性方程组Ax=b 于是可首先求解向量y 使 Ly=b 然后求解Ux=y,从而求解线性方程组Ax=b 的目的.例1 用消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧1-=4+2+4=+2+31-=4++2321321321x x x x x x x x x解 消元⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡17-17555-5001-412−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡50-2510555-5001-412−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1-42141231-412=51-⋅+2⋅1-⋅+3-⋅+2321312......]b A [).()()()(r r r r r r r于是有同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧17-=1711=10-50-=2+50+332321x x x x x x ..xx xy a +--+=11211))1)(21(2)2x x xy b ++=2）已知|x| << 1xxy a 2sin 2)=xx y b )2cos 1()-=回代得解： x 3=－1, x 2=1,x 1=1。

原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 。

例2. 给定方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3223493520642321321321x x x x x x x x x ,用三角分解法（不选主元）求方程组的解。

解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2313516421=k ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅-⋅--⋅-⋅--)6(212421321)6(213421521642=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-512163216422=k ==Q所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131210121001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=30630642U 然后由L Y=B 解出Y;再由UX=Y 解出X,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡324920131210121001321y y y 解出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡93920321y y y解出例3．已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-331216321642⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--631531216321642⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-3124300630642321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡375321x x x（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式 （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛 （3）取5=a ,T X)101,51,101()0(=，求出)2(X。

解：（1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1m x x a x x x a x x x a x m m m m m m m m m（2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。

（3）取5=a ，TX)101,51,101()0(=由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x则 ）（2X =（25013， 258，25013）T第三章 矩阵特征值考核知识点：乘幂法、Jacobi 法；掌握计算绝对值最大的特征值的乘幂法及求解原理；掌握求对称矩阵特征值的Jacobi 法及原理. 乘幂法(p90, 例3-1) 例1.用幂法求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5423A 的绝对值最大的特征值和相应的特征向量，精确到6位有效数。

取⎦⎤⎢⎣⎡=110u ，作如下迭代：1-=k k Au v ，)m ax(k k v m =,kkk v m u 1=,k=1,2,3,… （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==9511542301Au v ，91=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1555556.01111v m u⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==222224.7666668.3000000.1555556.0542312Au v ，222224.72=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1507692.01222v m u⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==030768.7523076.3000000.1507692.0542323Au v ，030768.73=m⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1501094.01333v m u ，004376.74=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1500156.01444v m u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000624.7500469.345Au v ，000624.75=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1500022.01555v m u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000088.7500067.356Au v ，000088.76=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1500003.01666v m u⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000012.7500010.367Au v ，000012.77=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1500001.01777v m u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000004.7500002.378Au v ，004376.78=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1500000.01888v m u⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.7500000.389Au v ，000000.79=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1500000.01999v m u⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.7500000.3910Au v ，000000.710=m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000000.1500000.01101010v m u因而A 的绝对值最大的特征值为7.000000,相应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000.1500000.0。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==004376.7503282.3000000.1501094.0542334Au v第四章 非线性方程与方程组考核知识点：对分法；迭代法；牛顿法；弦截法。

1．知道有根区间概念，和方程f (x )=0在区间(a ,b )有根的充分条件。

2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握迭代法，知道其收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法。

掌握初始值的选择条件。

4. 了解弦截法。

1.求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。

就是将方程的有根取间对分,然后在选择比原区间缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法。

2、简单迭代法：先将f (x )=0化成x =φ(x ),然后取x 0,计算x n +1=φ(x n ), n=0,1,2,…直到∣x n +1-x n ∣≤ε.这时f (x )的零点ξ满足ξ=φ(ξ)。

假设φ′(x )在不动点ξ附近连续,∣φ′(ξ)∣<1,则迭代x n +1=φ(x n )在ξ附近收敛。

例1.用迭代法求f (x )=4-4x +sin x =0的零点是否收敛解. 先化成x =1+1/4sin x ,此时φ(x )=1+1/4sin x ,其导数为1/4cos x ,绝对值小于1,-∞＜x<∞,故收敛．3、Newton 法构造近似解的一个思路是‘以直代曲’,‘以线性函数代非线性函数’. Newton 法是在初始近似x 0作Taylor 展开:f (x )= f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+f ″(η)(x -x 0)2/2 略去余项,取其零点为新近似x 1,x 1=x 0-f (x 0)/f ′(x 0) 一般地,对n =0,1,2,…计算 x n +1=x n -f (x n )/f ′(x n )直到∣x n +1-x n ∣≤ε.这就是Newton 法.几何上也就是由(x 0,f (x 0))作f (x )的切线,交x 轴于x 1.因此,Newton 法也叫切线法.例2．为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B)21211,11kk xx xx+=+=+迭代公式(C)3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D)231x x =-迭代公式11221+++=+k kkk x xx x解答：在(A)中,2/32)1(21)(,11)(,11--='-=-=x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->=1.076故迭代发散。

应选择(A)。

可以验证在(B)，(C)， (D)中，ϕ(x )满足1)<<'r x ϕ，迭代收敛。

例3 试建立计算3a 的牛顿迭代格式，并求3791411.的近似值，要求迭代误差不超过10－6。

解 令0=-==33a x x f a x )(,，求x 的值。

牛顿迭代格式为),...,,()()(10=3+32=3--='-=2231+k xa x xa x x x f x f x x kk kk k k k k k迭代误差不超过10－6，计算结果应保留小数点后6位。

当x =7或8时，x 3=343或512，0>8''80<7''7)()(,)()(f f f f 而,取x 0=8,有≈8⨯3791411+8⨯32=3+32=22001.x a x x 7.478 078≈⨯+⨯=+=22112478078.73791.411478078.732332xa x x 7.439 9560381220=-21.x x≈4399567⨯3791411+4399567⨯32=3+32=22223 (x)a x x 7.4397600001960=-32.x x≈4397607⨯3791411+4397607⨯32=3+32=22334...x a x x 7.439760于是，取≈*x 7.439760例4．a) 验证方程230x -=求根的Newton 迭代格式为111322n n n x x x --=+.b) 假设 0 1.5x =，计算3x ，保留 6 位有效数字.解答：a)证明. 设 2()3f x x =-. 由 Newton 迭代格式有111()()n n n n f x x x f x ---=-'211132n n n x x x ----=-111322n n x x --=+b) 代0 1.5x =入 111322n n n x x x --=+，则 100131317/42222x x x =+=∙+=,同样 2111317697/5622247x x x =+=∙+=,.第五章 代数插值法考核知识点：插值多项式，拉格朗日插值多项式,差商及其性质，牛顿插值多项式；最小二乘法，法方程组，线性拟合。