正项级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛
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第二节正项级数及其收敛法
(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
绝对收敛与条件收敛
散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。
的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。
收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n幂级数：010)3(lim)3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n nn n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于ρρρρρ函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ixix ixix ixe e x e e x x i x e 或 三角级数：。
复变函数-无穷级数-3
n1
n1
lim un2 u n
n
lim
n
un
0
由比较审敛法知 un2 收敛.
反之不成立.
1 n1
1
例如：
n1
n
2
收敛,
n1 n 发散.
练习题
一、填空题: 1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根等于 , n1 则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .
2 vn
2
即
l 2 vn
un
3l 2
vn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数, n1
如果
lim
n
nun
l0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散; n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛. n1
例 3 判定下列级数的敛散性:
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,)
;(ⅱ)lim n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn 的绝对值
rn un1.
证明 un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 ,
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
收敛函数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 令. rn S Sn , 则所求误差为
0
rn
(n
1 1)n1
(n
1 2)n2
1 (n 1)n1
1
1
1 n1
1 n (n 1)n
作业p206 1(2)(5) ；2(1)(3) ；3(2)(4)；4(4)(5)(6)
2
所给级数收敛
定理5 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n un
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(2) 当 1 时, 级数可能收敛 可能发散; 证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 ,
的敛散性 .
解:
lim un1 n un
lim n
(n 1) xn n xn1
x
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ;
当x 1时,
定理6. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设
级数,
且
lim n
n
un
,则
为正项
(2) 当 1时, 级数可能收敛 可能发散;
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
1
例如, p – 级数
lim un1 lim (n1) p 1
n un
n 1 np
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
6-2 常数项级数的审敛法
即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
返回
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n
收敛函数
(1)
n
的敛散性
2n
解： lim n n
un
lim n n
2 (1)n 2n
lim 1 n 2 (1)n n 2
1 2
所给级数收敛
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 令. rn S Sn , 则所求误差为
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(2) 当 1 时, 级数可能收敛 可能发散; 证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
(1) 当 1时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
n un
n 1 np
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1,或不存在，且不是无穷大 时不能用
比值审敛法;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
即 un (n )
n1
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
绝对收敛与条件收敛
∞ n2 n2 故 ∑ ( 1 ) n n 收敛, 因此 ∑ ( 1 ) n n 绝对收敛. e e n=1 n =1
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S
高数无穷级数 数项级数敛散性判别法
n1 n 1
un 发散 n1
vn 发散 n 1
vn 收敛 n 1 un发散 n1
{ n }有界
{ sn } 有界
{ n }无界
un 收敛 n1 vn 发散 n 1
2
{ sn } 无界
y
例1
审敛 p 级数
y 1 ( p 1) p x
3
p 级数
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
收敛 发散
特殊 情况
p 1时 p 1时
p 1时 对应的是 调和级数
正好是 p 级数敛散的 分界级数
重要的 参考级数
调和 级数 等比级数、p 级数、
4
例2
审敛
n 1
则
0 l 时， un、 v n 具有相同的 敛散性
n 1 n 1
un 0, 相当于 un vn n v n un , 相当于 un vn ( 2 ) lim n v n un l l , 对 , N , 当n N时, 证 lim n v 2 n l un 3l l 3l un 故 v n un v n l 即 2 vn 2 2 2 vn
n
则
un
0
故 发散
绝对 总结 收敛 条件 收敛 un 的状态 n1 发散
24
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
1 1 1 1 解 若p 1, p , 而 发散， p 发散 n n n 1 n n 1 n
un 发散 n1
vn 发散 n 1
vn 收敛 n 1 un发散 n1
{ n }有界
{ sn } 有界
{ n }无界
un 收敛 n1 vn 发散 n 1
2
{ sn } 无界
y
例1
审敛 p 级数
y 1 ( p 1) p x
3
p 级数
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
收敛 发散
特殊 情况
p 1时 p 1时
p 1时 对应的是 调和级数
正好是 p 级数敛散的 分界级数
重要的 参考级数
调和 级数 等比级数、p 级数、
4
例2
审敛
n 1
则
0 l 时， un、 v n 具有相同的 敛散性
n 1 n 1
un 0, 相当于 un vn n v n un , 相当于 un vn ( 2 ) lim n v n un l l , 对 , N , 当n N时, 证 lim n v 2 n l un 3l l 3l un 故 v n un v n l 即 2 vn 2 2 2 vn
n
则
un
0
故 发散
绝对 总结 收敛 条件 收敛 un 的状态 n1 发散
24
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
1 1 1 1 解 若p 1, p , 而 发散， p 发散 n n n 1 n n 1 n
正项级数及其审敛法
(1) 若 bn 收敛 , 则 an 也收敛 .
n1
n1
(2) 若 an 发散 , 则 bn 也发散 .
n1
n1
证明 (1) 设 n bn n 1
an bn , (n 1, 2, )
且 sn
a1 a2 an b1 b2
n1
单减函数 f ( x) 使得 f (n) an (n 1,2,)
则级数
an 与反常积分
f ( x)dx 同敛散 .
1
n1
思路：构造一个单调递减函数f (x)，使得f (n) an
则
an与
1
f (x)dx同敛散.
n1
例 判定级数
1 的敛散性.
n2 n ln n
n! (3) n1 nn ;
解
(1) lim an1 n an
1
lim
n
( n1)! 1
n!
lim 1 n n 1
0 , 1 收敛. n1 n!
(2) lim n
an1 an
lim
n
(
n 1)! 10n1
10n n!
lim n 1 n 10
0)
思考题 设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2
n1
n1
收敛?反之是否成立?
解 由正项级数 un 收敛，可以推得 un2 收敛,
n1
n1
lim un2 u n
n
lim
n
un
0
7.2 数项级数收敛性判别法
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
2011年1月6日星期四
20
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证:
是单调递增有界数列, 是单调递增有界数列 故 又 故级数收敛于S, 故级数收敛于 且
2011年1月6日星期四
21
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判别法判别下列级数的敛散性 判别下列级数的敛散性: 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性
1 1+ n
所以级数 ∑
∞
1
收敛． 所以级数 ∑ n 2 e − n 收敛．
n =1
∞
2011年1月6日星期四
11
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说明：判别级数的敛散性， 说明：判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和 发散级数，则可以以它们为标准进行比较． 发散级数，则可以以它们为标准进行比较．
级数、等比级数与调和级数， 常用于比较的级数有 p − 级数、等比级数与调和级数， 因此必须记住它们． 因此必须记住它们．
1 解：令 un = ，则 (2n − 1) ⋅ 2n
un +1 (2n − 1) ⋅ 2n lim = lim = 1， n →∞ u n →∞ (2n + 1)(2n + 2) n
比值审敛法此时失效． 比值审敛法此时失效．
∞ 1 1 1 < 2 ，而级数 ∑ 2 收敛， 收敛， 但注意到 (2n − 1) ⋅ 2n n n =1 n
根据比值审敛法知 原级数是收敛的． 根据比值审敛法知，原级数是收敛的． ∞ 3n 的敛散性． 例 7 判别级数 ∑ 2 n 的敛散性． n =1 n 2
提示： 完全类似！ 提示：解法与例 6 完全类似 ！
第二讲正项级数收敛判别法(一)解剖
nn1
n1
n1 (n2 1) 2
（A）收敛
（B）发散
#2014021901
例4 判别敛散性
1
x
(2)
n1
n 0
1
x2
dx
（A）收敛
（B）发散
#2014021902
例4 判别敛散性
nn1
x 1
(1)
n1
n1 (n2 1) 2
(2)
n
0 1 n1
x2
dx
证：(1)0
u n
nn1
n1
(n2 1) 2
也发散 .
说明：
1. 比较判别法仅适用于正项级数 ；
2. 不等式条件可以从某一个N后都满足就行；
3.常用的参考级数
几
何
级
数
aq
n
n0
常用的不等式
a2 b2 2ab, a,b R
sin x x, x 0 ex 1 x, x 0
x ln(1 x) x, x 0 1 x
例2.
讨论
p
收敛。 发散。
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
#2014021903
（A）收敛
（B）发散
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例7.
判别级数 ln1
(n N)
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ;
第二节正项级数及其审敛法、第三节绝对收敛与条件收敛
un1 r, 则 N , 当n N时, 有 un
uN 1 ruN , uN 2 ruN 1 r uN ,
2
,
uN m r uN ,
m
m m 1
而级数 r uN 收敛,
uN m
m 1
un收敛, n N 1
原级数收敛
(2)当 1时, 则 N , 当n N时,
故级数发散
e 1 1 n (1 ) n lim un 0
n
un 1 un
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un 是正项级数,如果lim n un
( 为数或 ) , 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
n 1
n
1 n 1 n
发散
an 例7 p n 1 n
n
(a 0)
解 lim n un lim n
n
an a lim n a p p n ( n ) n
故 (1) 当 a 1 时, 即 1 时,
(2) 当 a 1 时, 即 1 时,
n 1
1 n1 ) ( ln ; (3) n 1 n n
n
1 1 ~ n ( 2) n 时, n 3 n 3
1 又 n 收 敛, 故原级数收敛. n 1 3
1 n1 ) ( ln (3) n 1 n n
1 n1 ln x ln( 1 x) n n lim lim n x 0 1 x2 2 n 1 1 x 1 1 x lim lim , x 0 x 0 2 x (1 x ) 2x 2
级数审敛法
;
n=1 n!
n!
(2) n=1 10n ; 1
1
(3)
.
n=1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
=
(n 1)! 1
=
1
0
n1
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n=1 n!
(2)
un1 un
=
(n 1)! 10n1
10n n!
= n1 10
(n ),
故级数
n=1
n! 10n
n=1
n=1
(3) 当 l = 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n=1
n=1
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数,
n=1
如果lim n
nun
=l0
(或lim n
nun
= ),
则级数 un 发散;
n=1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n=1
例 3 判定下列级数的敛散性:
设
n=1
un
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
=
(可为 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; = 1时失效.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n=1 n
(
=
1)
级数
n=1
1 n2
收敛,
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
x)
=
0
(x在收敛域上)
7.2 正项级数及其审法敛
收敛。
2)
n.
n1 2 n5
因为
0
n
2 n5
n n5
1 n2
n 1,2,,
1
而级数
n2
n 1
是收敛的 p 级数 p 2 1,
由比较审敛法知级数
n
收敛。
n1 2 n5
例2 判断下列级数的敛散性:
1） sin 1；
n 1
n
2）
2n 1 .
n1 n5 2
解： 1） sin 1；
所以由比较审敛法知正项级数
n n
n1 2n 1
也收敛。
课堂练习：
判断级数 n! 的敛散性，并说明理由。 nn n 1
小结: 1.正项级数的比较审敛法； 2.正项级数的比值审敛法；
作业: P150. 1（2）；2（2）；3（2）.
因为单调有界数列必有极限所以收敛二正项级数的比较审敛法定理比较审敛法一是两个正项级数且若级数收敛则级数若级数发散则级数上述定理可以简单地这样记忆
§7.2 正项级数及其审敛法
对于一个无穷级数，通常需要考虑解决两个问题： 1. 如何判别级数是否收敛？ 2. 如果收敛，怎样求和？
第二个问题通常比第一个问题要难得多，本节将介绍 如何判别正项级数是否收敛的方法，即审敛法。
大收小收，小发大发
定义. 形如
1 1 1 1 1
np
n 1
2p 3p
np
1
的级数称为 p 级数． p=1 时 n1 n 称为调和级数。
p 级数的敛散性有如下定理：
定理 当
p
1时，p
级数
n 1
1 np
收敛；
当
p 1
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2 vn 2
即
l 2 vn
un
3l 2
vn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
推论：设正项级数 un 和 vn 的一般项 un 和 vn
n1
n1
均为 n 时的无穷小, 且 un ~ vn ,
则二级数有相同的敛散性.
例 3 判定下列级数的敛散性:
(1) sin 1 ; n1 n
1
n1
n 3n
sin
2
n
6
收敛
例6
a n n!
n1 nn
(a 0)
解
lim un1 n un
an1(n 1)!
lim
n
(n 1)n1
nn a n n!
lim a a , n (1 1 )n e n
故 (1) 当 a e 时, 即 1 时, 级数收敛
(2) 当 a e 时, 即 1 时, 级数发散
1 n1 ( ln )
(2) n1 3n n ; (3) n1 n
n
解 (1) n 时, sin 1 ~ 1 ,
nn
又
1
发 散,
故原级数发散.
n1 n
(2)
n 时,
1 3n n ~
1 3n
又
1
n1
3n
收 敛,
故原级数收敛.
1 n1
( ln )
(3) n1 n
n
lim
n
1 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
比较审敛法是一基本方法，但应用 起来却有许多不便，因为它需要建立定 理所要求的不等式，而这种不等式常常 不易建立，为此介绍在应用上更为方便 的极限形式的比较审敛法。
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级数
n1
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
1 (2n
1)
收敛.
例5
n1
n 3n
sin 2
n
6
解
由于
lim un1 n un
不存在，比值审敛法失效，
而
n 3n
sin
2
n
6
n 3n
对
n n1 3n
由比值审敛法得
n
n1 3n
收敛
故由比较审敛法知
第二节 正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
正项级数非常重要，许多级数的收敛性问题 都可归结为正项级数的收敛性问题.
显然，正项级数的部分和数列为单调增加数列
s1 s2 sn
2.正项级数收敛的充要条件:
定理 正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
un1 un
1,即un1 un ,
lim
n
un
0.
原级数发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn , un vn ,
n1
sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1) 由lim un l , l l 3l ,
v n n
2
2
N , 当n N时, l un 3l
ln n 1 n
1
lim
x0
x
ln(1 x2
x)
n2
1 1 lim 1 x lim
x
1,
x0 2x
x0 2 x(1 x) 2
又
1
n1
n
2
收 敛,
故原级数收敛.
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
设 p 1, 则
1 np
nn1
1 n p dx
nn1
dx xp
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
2 1
dx xpn dx x 来自1 p1 证明 (1)当 1时, 取一数r ( ,1)
则 N ,
当n N时,
有 un1 r , un
uN 1 ruN , uN 2 ruN 1 r 2uN ,
, uN m r muN ,
而
级
数
r
m
uN
收
敛,
m1
uNm un收敛,
原级数收敛
m1
n N 1
(2)当 1时, 则 N , 当n N时,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
(2) 设正项级数 un发散, 则 sn (n ) n1
un vn , n sn (n )
vn发散. 定理证毕.
n1
推论: 若 un 收敛(发散)
n1
且vn kun (n N )(kun vn ), 则 vn 收敛(发散).
n1
(3) 当 a e 时, 即 1 时, 比值审敛法失效
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
1 1, n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1