正项级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛

ln n 1 n
1
lim
x0
x
ln(1 x2
x)
n2
1 1 lim 1 x lim
x
1,
x0 2x
x0 2 x(1 x) 2
又
1
n1
n
2
收 敛,
故原级数收敛.
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
第二节 正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
正项级数非常重要，许多级数的收敛性问题 都可归结为正项级数的收敛性问题.
显然，正项级数的部分和数列为单调增加数列
s1 s2 sn
2.正项级数收敛的充要条件:
定理 正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn , un vn ,
n1
sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
2 vn 2
即
l 2 vn
un
3l 2
vn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
推论：设正项级数 un 和 vn 的一般项 un 和 vn
n1
n1
均为 n 时的无穷小, 且 un ~ vn ,
则二级数有相同的敛散性.
例 3 判定下列级数的敛散性:
(1) sin 1 ; n1 n
1
1 n1 ( ln )
(2) n1 3n n ; (3) n1 n
n
解 (1) n 时, sin 1 ~ 1 ,
nn
又
1
发 散,
故原级数发散.
n1 n
(2)
n 时,
1 3n n ~
1 3n
又
1
n1
3n
收 敛,
故原级数收敛.
1 n1
( ln )
(3) n1 n
n
lim
n
1 n
即部分和数列有界
un收敛.
n1
(2) 设正项级数 un发散, 则 sn (n ) n1
un vn , n sn (n )
vn发散. 定理证毕.
n1
推论: 若 un 收敛(发散)
n1
且vn kun (n N )(kun vn ), 则 vn 收敛(发散).
n1
n1
n 3n
sin
2
n
6
收敛
例6
a n n!
n1 nn
(a 0)
解
lim un1 n un
an1(n 1)!
lim
n
(n 1)n1
nn a n n!
lim a a , n (1 1 )n e n
故 (1) 当 a e 时, 即 1 时, 级数收敛
(2) 当 a e 时, 即 1 时, 级数发散
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
Baidu Nhomakorabea
1 1, n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
(3) 当 a e 时, 即 1 时, 比值审敛法失效
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
设 p 1, 则
1 np
nn1
1 n p dx
nn1
dx xp
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
1
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1) 由lim un l , l l 3l ,
v n n
2
2
N , 当n N时, l un 3l
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
比较审敛法是一基本方法，但应用 起来却有许多不便，因为它需要建立定 理所要求的不等式，而这种不等式常常 不易建立，为此介绍在应用上更为方便 的极限形式的比较审敛法。
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
un1 un
1,即un1 un ,
lim
n
un
0.
原级数发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
证明 (1)当 1时, 取一数r ( ,1)
则 N ,
当n N时,
有 un1 r , un
uN 1 ruN , uN 2 ruN 1 r 2uN ,
, uN m r muN ,
而
级
数
r
m
uN
收
敛,
m1
uNm un收敛,
原级数收敛
m1
n N 1
(2)当 1时, 则 N , 当n N时,
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级数
n1
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
1 (2n
1)
收敛.
例5
n1
n 3n
sin 2
n
6
解
由于
lim un1 n un
不存在，比值审敛法失效，
而
n 3n
sin
2
n
6
n 3n
对
n n1 3n
由比值审敛法得
n
n1 3n
收敛
故由比较审敛法知