无穷大与无穷小,极限的四则运算

第 4 次课 2 学时

§1.5 无穷小与无穷大

一、无穷小

若)(x f 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，就称)(x f 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小，即有

定义1：对,0>∀ε若)0(0>>∃X δ，使得当00()x x x X δ<-<>时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当0()x x x →→∞时的无穷小，记为0

lim ()0(lim ()0)x x x f x f x →→∞

==，。

注⑴：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形。

⑵：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。 【例1】 因为0422)42(lim 2

=-⨯=-→x x ，所以42-x 当2→x 时为无穷小；

同理：0sin lim

=∞→x x x ，所以

x

x

sin 当∞→x 时为无穷小， 定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中，

（i ）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即：A 为)(x f 的极限()()0(),0,()f x A x x x x

x αα⇔=+→→→∞其中或。 （ii ）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。

()()()()()0

0000lim (),0,0,().

(),)().().(),()0())lim ().

.

x x x x f x A x x f x A f x A x x x f x A f x A x f x A x x x x f x A x x x f x A εδδεααεαααααεδ→→=∀>∃>-<-<=-→=-<→=+=+→→-=<-<=0证明：若则对使得当 0<时有令x 显然当时，（故当x x 时,x 为无穷小，且 反之，设 ，

则可使（在0<时成立，故二、无穷大

若当0x x →或∞→x 时∞→)(x f ，就称)(x f 为当0x x →或∞→x 时的无穷大。 定义2：若对)0(0,0>>∃>∀X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时，有

M

x f >)(，就

称

)

(x f 当

)

(0∞→→x x x 时的无穷大，记

作:))(lim ()(lim 0

∞=∞=∞

→→x f x f x x x 。

注⑴：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义。 ⑵：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

⑶：若∞=→)(lim 0

x f x x 或∞=∞

→)(lim x f x ，按通常意义讲，)(x f 的极限不存在。

【例2】 可证明∞=→20

1lim

x x ，所以当0

→x 时2

1

x 为无穷大。 曲线的渐近线：一般地，若lim (),x f x c y c →∞

==则是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。 若0

0lim (),x x f x x x →=∞=则是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。

定理2：当自变量在同一变化过程中时， （i ）若)(x f 为无穷大，则

)

(1

x f 为无穷小。（ii ）若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则

)

(1

x f 为无穷大。 （证明略）

§1.6 极限运算法则

定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设0)lim(0lim ,0lim =+⇒==βαβα. 证明：考虑两个无穷小的情形。 设0x x →时 ,αβ均为无穷小。

0,

γαβε=+∀>，则1010,0,02 2.

x x εε

δδα>∃><-<<

对于当时，有2020,0 2.

x x ε

δδβ∃><-<<

同理，当时，有

1022

.2

2

x x εε

δδδδαβεεγαβαβεγ-<<=+≤+<

+

=2取=min{,}， 则当0<<时,,同时成立.

故也是无穷小。

注：可以推广到有限多个无穷小的代数和的情形。但是，无穷多个无穷小的和不一定是

无穷小，如：222222(1)

123112lim lim .2n n n

n n n n n n n n n →∞→∞+-⎛⎫+++++== ⎪⎝⎭

…… 定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u 有界，0lim 0lim =⇒=ααu 。 证明：证明0x x →时的情况，设函数u 在0x 的某邻域),(10δx U 内有界，即0>∃M ，当),(10δx U x ∈时，有M u ≤，又设α为当0x x →时的无穷小，即0lim 0

=→αx x ，故对

)(0,01δδδε<>∃>∀，当),(0δ∧

∈x U x 时，有εε

ααε

α=⋅

<=⇒<

M

M u u M

所以0lim 0

=→αu x x ，即αu 为无穷小；同理可证∞→x 时的情形。

推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，0lim 0lim =⇒=ααk 。 推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设

0)lim (0lim lim lim 2121=⇒====n n αααααα 。

定理

3：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且

)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。

证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当

100δ<-

)(ε

<

-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-

2

)(ε

<

-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有

ε

ε

ε

=+

<

-+-≤-+-=+-+2

2

)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0

。

其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理4：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且

)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。

证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，由§ 1.5

定理

1（i ）

⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f

（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记

αβαβγ++=B A ，由定理2的推论1.2及定理1γ⇒为无穷小，再由§1.5定理1

（iii ）AB x g x f =⇒)()(lim 。

推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。 推论2：n

n

x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。 定理5：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)

(lim )

(lim )()(lim

x g x f B A x g x f ==。 证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：

)

()()(ββ

αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f