巧用分割法求面积
四年级秋季班第2讲 巧求面积
（2）依次连接正方形四边的中点得到的新正方形是原正方形面积的一半。
（3）平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了四个面积相等的三角形（但是这四 个三角形不一定相同） 。
四年级秋季班第二讲——巧求面积
李拉娜
lilana927@hotmail .com
（4） 下图中两个正方形重叠部分面积是正方形 ABCD 面积的 的中心。
平移、旋转：主要通过移动的方法把分散的块集 中到一个规则的图形中。
一、 长方形的性质
（ 1）交叉相乘，乘积相等。
四年级秋季班第二讲——巧求面积
李拉娜
lilana927@hotmail .com
如上图， S 1 S 4
S 2 S 3 ，也就是说，对角的两个长方形面积相乘，乘积相等。
练习 1 如图，长方形 ABCD 被分成 9 个小长方形，其中 5 个小长方形的面积如 图中所标注，求长方形 ABCD 的面积。
把阴影部分做如下的分割：
其中 C 是长为 5 厘米、宽为 2 厘米的长方形，面积为 2 5 10 平方厘米。 A 与 B 的面积之和为 66 10 56 平方厘米。 B 的面积=2×正方形边长，A 的面积=5×正方形边长。 如果把 B 的面积看成 2 份，则 A 的面积就是 5 份，A 与 B 的面积之和是 7 份，1 份就是 56 7 8 平方厘米。 那么 B 的面积就是 2 8 16 平方厘米，正方形的边长为 16 2 8 厘米。原长方形 的长为 8 5 13 厘米，宽为 8 2 10 厘米。 原长方形的面积为 13 10 130 平方厘米。 练习 3 （第 12 届“迎春杯”刊赛试题）街心花园里有一个正方形的花坛，四 周有一条宽为 1 米的甬道（如图） ，如果甬道的面积是 12 平方米，那么中间的 花坛面积是多少平方米？
图形求积 妙在得法——谈谈求阴影图形面积的14种技巧
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★解题 技巧
图 形 求积
妙在得法
张 惠行
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涉 及 到 的 一 类 问题
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谈谈 求 阴 影 图 形 面 积 的 4 种 技 巧
广 西 桂 林 民 族 师 范 学校
4尖子 第6章 巧求面积2
第6章巧求面积2知识装备解答比较复杂的关于长方形、正方形的周长和面积计算问题时，不能只是生搬硬套计算公式，需要我们对要计算的图形进行认真的观察和仔细的分析，把看似不规则的图形经过分解、割补转化为可以运用计算公式进行计算的图形后再求它的周长和面积。
（1）长方形、正方形的面积计算公式：长方形的面积＝长×宽；正方形的面积＝边长×边长；（2）转化图形的方法：分割法——把一个大的图形用辅助线把它分解成几个规则图形。
如：割补法——把一个大图形中的一部分割下来后补在图形的另一部分，使原来不规则的图形转化为规则图形。
如：添辅助线法——在图形的某个位置画上一条辅助线，使图形各部分的组成更加清晰。
如：或或以上各种方法经常是综合应用的。
运用以上方法要遵循两个性质：①两个图形能完全重合，则这两个图形面积相等；②把一个图形割补成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积的和。
因此求需求部分的面积时要运用加、减法；求大面积时把各个小部分面积相加；求其中一个部分面积时用大面积减去已知的小部分面积。
初级挑战1把下图的平行四边形割补后变成一个长方形，求长方形的面积。
思考一下，求出的长方形的面积与原来的平行四边形的面积相等吗？2cm4cm思路点拨：题目要求我们把平行四边形经过割补后转化为一个长方形，怎样割补呢?可以这样想：长方形的长与宽是互相垂直的，如果我们从平行四边形的一个顶点，向它的对边作垂线，垂足在对边上，那么就把原来的平行四边形分出了一个小三角形，再把这个小三角形平移到另一边，长方形就出现了。
答案：具体操作如下：通过割补与平移可以发现，长方形的长与平行四边形的底相等，为4cm。
长方形的宽就是平行四边形的高，为2cm。
所以长方形的面积为4×2＝8（平方厘米）。
因为割下来的三角形与补上去的三角形的面积相等，所以长方形的面积就是原平行四边形的面积。
能力探索1用割补法求下图等腰梯形的面积是多少。
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
巧用割补法求阴影部分面积
巧用割补法求阴影部分面积作者：刘昆来源：《学苑创造·C版》2014年第02期九年级上册学完扇形的面积公式后，细心的同学一定会发现，与扇形有关的练习题常常以“与圆有关的求解阴影部分面积”的形式出现.这类题目看起来复杂，其实只要掌握好解题技巧，就能化繁为简. 下面通过几个例子详细介绍解决这类题目最常用的割补法.类型一：分割法例1 如图1所示的阴影部分，其形状称为“弓形”，其面积为所对扇形与三角形面积之差.即：S阴影=S扇形AOB-S△AOB【拓展练习】练习1 如图2所示，求阴影部分面积.【分析】阴影部分实际上是两个弓形，其面积可表示为半圆面积减去直角三角形的面积.解：S阴影=S半圆-S三角形=[12]π×52-6×8×[12]=12.5π-24练习2 如图3，正方形ABCD的边长为a，以顶点B，D为圆心，以边长a为半径分别画弧，求在正方形内两弧所围成的图形的面积.【分析】连接AC，将这阴影的图形，分割转化为两个相同的弓形求解。
解：S阴影=2（S扇形ADC-S△ADC）=2（[90πa2360-12][a2]）=[12πa2]-[a2]练习3 如图4，正方形的边长为2a，以各边为直径在正方形内分别作半圆，求四弧所围成的阴影部分图形的面积.【分析】方法一，可以将整个图形分割成4个练习2中的图形，然后按照练习2中的解题方法求解，解答略. 方法二，这个图形是正方形内4个半圆互相重叠，阴影部分刚好是正方形对角线在4个半圆中切出的8个弓形之和，因此阴影部分面积可表示为4个半圆面积减4个等腰直角三角形面积，而这4个等腰直角三角形面积之和正是该正方形的面积. 解答如下：解：S阴影=4S半圆-S正方形=4×[12]π[a2]-4[a2]=（2π-4）[a2]类型二：拼补法.此类题目一般是将几个图形进行拼、接补全后，形成较规则的图形，再解答.例2 （1）如图5，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为多少？（2）若在题（1）的条件下，增加一个圆，变成如图6所示图形，设这四个圆的半径都是r，则这四个圆中阴影部分面积之和为多少？（3）若在题（1）的条件下，有n个这样的半径都是r的圆，如图7所示，那么这n个圆中阴影部分的面积之和又为多少呢？请说明理由.【分析】这些扇形所在圆的半径均相同，但是各自圆心角度数不确定，但当我们将其拼接后，会发现图5中圆心角的度数之和就是△ABC的内角和，这样就可以化零为整，将阴影部分整合成一个图形求解. 问题（2）和问题（3）都可以按照此方法求解，只是阴影部分拼接成的图形圆心角度数变成了多边形的内角和.解：（1）[S阴影=180π×0.52360=0.125π]（2）[S阴影=360πr2360=πr2]（3）[S阴影=180（n-2）πr2360=（n-2）πr22]【拓展练习】练习4 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为多少？【分析】由于这两个扇形半径相等，且∠A+∠B=90°，可以将这两个扇形拼接在一起形成一个圆心角为90°的扇形.类型三：等积变形法，又可以分为平移法、对称法、等底同高法几类.例3 平移法.如图9，两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且弦AB与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积为多少？【分析】在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆平移至两个半圆共圆心，位置如图10所示.例4 对称法.如图11，PA，PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A，B分别为切点，∠APB=60°，OP 与弦AB交于点C，与⊙O交于点D. 求阴影部分的面积（结果保留π）.【分析】△ACO与△BCO关于直线OP对称，可将△BCO换为△ACO，即可将阴影部分合为一个扇形.[解：∵PA，PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A，B分别为切点∴PA=PB且OA⊥PA，∠APO=12∠APB=12×60°=30°又∵OA=OB∴OP垂直平分AB. 即AB⊥OC，AC=BC 又∵OC=OC∴△BCO≌△ACO（SAS）∴S△ACO=SΔBCO，即S阴影=S扇形AOD∵在Rt△APO中∠AOP=90°-30°=60°∴S阴影=60π×12360=16π]例5 等底同高法.如图12所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积的比例为多少？【分析】阴影部分图形不规则，需要将其进行图形变换，拼接在一起. 如图13，连接OD，OC，根据图形的轴对称性和等底等高的三角形的面积相等，易知阴影部分的面积即为扇形OCD的面积，再根据正方形的四个顶点是圆的四等分点，即可求解.用割补法求阴影部分面积，其核心的数学思想就是化归思想，即，将我们不熟悉的、不规则的图形，通过割补的方式转化为我们常见的、熟悉的、规则的图形来求解.下次再碰到这样的题目，同学们应该能轻松解决.。
几何第10讲_分割法求面积(学生版)A4
1．分割法就是把图形切开，但是并不移动，使题目便于解答．2．组合图形中，如多边形、圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要用到割补的方法．重难点：熟悉常见图形的分割方法，注意单位是否需要换算．题模一：分割成规则图形例1.1.1图中的数字分别表示对应线段的长度，下面多边形的面积是____________平方厘米（单位：厘米）．例 1.1.2右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD （阴影部分）的面积是__________．几何第10讲_分割法求面积2 34 232 2 266 116 3 22例1.1.3如图3，五边形ABCDE 内有一点O ，O 点到五条边的垂线段的长都是4厘米，五边形的周长是30厘米，则五边形ABCDE 的面积是__________平方厘米．例1.1.4如图，12AD =，7AB =，EH ∥AD 阴影部分面积为28，求GH 的长度．例1.1.5三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．题模二：分割成最小单元例1.2.1如下图，每条边都相等，每个角都是直角，则根据信息，求下图的面积为（ ）平方厘米．HGFEDCB AADCB529 20图3345A．16B．20C．24D．32例1.2.2图中最大的正方形的面积为64，阴影部分的面积为（）．A．28B．32C．336D．40例1.2.3下图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点．那么阴影部分面积是空白面积的______倍．例 1.2.4已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积各是多少平方厘米？随练1.1如图，多边形面积为__________．随练1.2右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是________随练1.3图2的“蝙蝠”图案由若干个等腰直角三角形和正方形组成，已知阴影部分的面积为1，则“蝙蝠”图案的面积是__________．随练1.4如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是18平方厘米，那么正方形B的面积是____________平方厘米．作业1如图，多边形面积为__________．333424图2BA2246394作业2如图，四边形ABCD 各边的边长均已标在图中，其中，∠A =90°，∠C =90°，请求出四边形ABCD 的面积．作业3下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，阴影部分面积为__________．作业4如右图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形的盒内，它们之间互相重合．已知露在外面的部分中，红色面积为36，黄色面积为11，绿色为7．那么正方形盒子的底面积是______________．作业5如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120 的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？作业6右图是由七巧板拼成的边长为20cm 的正方形，那么图中阴影部分的面积是2cm ．631314ABCD红黄绿作业7如图，大等边三角形中放了三个面积都是30平方厘米的小正六边形．大三角形的面积是__________平方厘米．作业8如图，已知大正方形的面积为m，那么小正方形的面积为______.（改自2013年6月29日考试真题）作业9如下图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（）平方厘米．A．240B．270C．300D．360。
割补法巧算面积
割补法巧算面积割补法巧算面积知识精讲：分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）练习1如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少平方米？例题2如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？练习47．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？选做题例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？例6.已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD的面积是多少？作业：1.如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连. 图中阴影部分的面积总和是多少？2. ．（2013秋•诸暨市校级期中）如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积3. 求阴影部分面积．4．求阴影部分面积．5. 求阴影部分面积：6.求阴影部分面积．7. 求阴影部分面积．8.（2011秋•宁波期中）求阴影部分的面积．9. 求阴影部分的面积．10. 求阴影部分的面积．11.求阴影部分的面积．12．求阴影部分的面积．。
小学奥数第九讲-图形的面积(二)
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】第九讲图形的面积（二）阅读与思考上讲里我们学习了几何图形中一些面积计算的相关知识和方法。
本讲我们继续探讨平面几何图形面积的计算问题。
对于较为复杂的组合图形的面积问题，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，灵活运用典型的数学思想方法、技巧解题。
1、利用弦图分割拼补求面积：如图1 弦图是由四个相同的长方形拼成一个大正方形，大正方形的边长等于长方形的长和宽的和，小正方形的边长等于长方形的长和宽的差。
根据大小正方形的边长和长方形的长与宽之间的关系可以巧妙地解决许多面积问题。
2、利用等量代换的思想计算有部分图形重叠的组合图形面积计算问题。
这类问题需要我们认真观察图形的特点，从组合图形中重叠的部分出发，寻找图形中的内在联系，巧妙地利用已知图形面积的和与差之间的关系建立等式，等量代换。
从而巧妙地求出组合图形的面积。
3、添加合适的辅助线构造成特殊图形如平行四边形、正方形、等腰直角三角形或等积形等。
添加辅助线的一般技巧有“见中点连中线，见中线延长一半”；“四十五度旁边想直角，分割拼补成等腰”等等。
典型例题|例①|如图2 从一个正方形木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为5平方米。
问锯下的长方形木条面积是多少？分析与解这类题可以巧妙地运用弦图来求面积。
如图2 可以看出剩下的长方形的长是原正方形的边长，它的宽比长少0.5米。
根据弦图的启发，我们可以假设有四个与剩下的长方形一样的长方形，把它们拼成如图 3 的大正方形，这个大正方形的边长是长方形的长和宽的和，阴影小正方形的边长是长方形长和宽的差，正好等于0.5米，问题迎刃而解了。
大正方形的面积=0.5×0.5+4×5=20.25，大正方形的边长为4.5米，于是剩下的长方形中长+宽=4.5，长-宽=0.5，长=（4.5+0.5）÷2=2.5（米）。
四年级下 奥数思想 第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG练习2如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2练习4如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2.3. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？4.5. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？6.7. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？8. 9. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？10.D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加．32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2. 例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积是72平方厘米．那么第二个图中每个小三角形面积是8平方厘米，正方形B 的面积是32平方厘米．1 2 2 3 4 5 1 2 23 45答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米 详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：150简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．3 24 3 4124 9答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积．13.作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6．14.作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15.作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
初二面积问题解题技巧
初二面积问题解题技巧（原创实用版4篇）目录（篇1）1.初二面积问题解题技巧2.学会利用图形分割3.学会判断半周长4.注意区分面积和周长5.多做练习正文（篇1）初二面积问题一直是学生们的难点，但是掌握了一定的技巧后，就可以轻松应对了。
以下是一些常用的解题技巧：1.学会利用图形分割：在解决面积问题时，可以将图形分割成多个小块，分别计算每个小块的面积，最后将它们加起来得到总面积。
这种方法可以有效地解决一些复杂的问题。
2.学会判断半周长：在解决面积问题时，有时需要用到半周长这个概念。
半周长是指图形或线段的长度的一半。
可以根据半周长来计算弧形或扇形的面积。
3.注意区分面积和周长：面积和周长是两个不同的概念，但是在解决一些问题时，常常会混淆它们。
因此，在解题时需要特别注意区分这两个概念。
4.多做练习：掌握技巧最好的方法就是多做练习。
通过大量的练习，可以加深对技巧的理解和掌握，提高解题的准确率和速度。
总之，掌握初二面积问题解题技巧对于解决这类问题非常重要。
目录（篇2）I.初二面积问题的解题技巧II.如何计算几何图形的面积III.解题步骤和注意事项正文（篇2）初二面积问题解题技巧在初二数学中，面积问题是一个重要的知识点。
掌握正确的解题技巧，能够帮助我们更好地解决这类问题。
以下是一些关于初二面积问题的解题技巧：一、如何计算几何图形的面积1.矩形、平行四边形、三角形和梯形等图形的面积公式可以直接使用其名称来记忆。
例如，矩形的面积为底边长乘以高。
2.圆和扇形的面积需要使用相应的公式进行计算。
例如，圆形的面积可以使用π乘以半径的平方来计算。
3.另外一些几何图形，如菱形、正方形等，可以使用不同的方法来计算其面积。
例如，菱形的面积可以使用对角线之积的一半来计算。
二、解题步骤和注意事项1.阅读题目时，要仔细理解问题，明确所求的面积类型。
例如，如果要求某个图形的周长或体积，则需要考虑使用不同的公式进行计算。
2.在计算面积时，需要注意单位的统一。
几何图形面积计算的几种常用方法
几何图形面积计算的几种常用方法吴仕为(福建省福鼎市第八中学ꎬ福建宁德３５５２１５)摘㊀要:几何图形面积问题是初中数学中的重难点部分ꎬ该部分知识在高中数学中也同样占据着重要地位.因此ꎬ对于初中学生而言ꎬ必须打好几何知识基础.在几何图形面积问题中ꎬ不规则图形面积或阴影部分面积的求解是十分常见的ꎬ学生在面对此类问题时ꎬ往往找不到正确的解题思路与方法.针对此种情况ꎬ便需要学生灵活应用常见几何图形面积的计算方法进行求解.基于此ꎬ文章主要分析与研究几何图形面积计算的几种常用方法ꎬ以期为广大师生提供解题参考与借鉴.关键词:几何图形ꎻ面积ꎻ常用方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－００５２－０３收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:吴仕为(１９７３.９ )ꎬ男ꎬ福建省福鼎人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀与几何图形面积有关的计算问题主要考查学生的数学思维与计算能力ꎬ由于几何图形的变化灵活多样ꎬ从而导致大部分学生对这类问题感到困难与茫然ꎬ尤其是在计算不规则图形的面积时ꎬ学生很难快速获取解题突破口.实际上ꎬ解决与几何图形有关的面积问题时ꎬ只要充分掌握常用方法ꎬ熟悉常用解题套路ꎬ便能够高效完成问题解答.鉴于此ꎬ文章围绕典型的几何图形面积计算问题ꎬ分析求几何图形面积的几种常用方法.１巧用平移法计算几何图形的面积平移法ꎬ顾名思义是通过图形的横向㊁纵向水平运动进行解题ꎬ即把几何图形中的部分进行切割ꎬ然后使其横向或纵向水平运动到恰当位置ꎬ进而重新组合成常见的规则几何图形ꎬ然后利用规则图形的面积公式求解ꎬ以此达到简化解题难度的目的[１].在实际解题过程中ꎬ学生可以通过观察几何图形的结构特征ꎬ快速判断是否需要利用平移法计算面积.例１㊀如图１ꎬ现有一块长度为３２ｍ㊁宽度为２０ｍ的矩形地面ꎬ需在地面上按照阴影区域设计修建道路ꎬ其余非阴影区域用于绿化设计ꎬ若绿化设计面积为５４０ｍ２ꎬ请问道路修建的宽度应为ｍ.图１㊀矩形地面构造示意图学生在遇到此类不规则图形的面积问题时ꎬ通过观察已知图形便能够快速发现其结构特征ꎬ可考虑利用平移法ꎬ将不规则几何图形转化为规则的基本图形ꎬ然后利用规则图形的面积公式求解面积.基于此ꎬ本题有两种求解计算方法ꎬ求解过程如下.方法１㊀如图２ꎬ将不规则图形经过平移变为三个规则的矩形ꎬ通过平移与组合阴影部分的图形ꎬ能够得到两个规则的阴影矩形.假设道路的宽度为ｘｍꎬ结合题目条件能够列出(２０－ｘ)(３２－ｘ)＝５４０ꎬ这是一个关于ｘ的一元二次方程ꎬ解此方程即可得到问题的答案.解法１㊀设道路宽度为ｘｍ.根据题意ꎬ得(２０－ｘ)(３２－ｘ)＝５４０ꎬ即ｘ２－５２ｘ＋１００＝０ꎬ解得ｘ１＝５０(不合题意ꎬ舍去)ꎬｘ２＝２.故道路的宽度应为２ｍ.２５图２㊀平移变为三个规则的矩形方法２㊀如图３ꎬ将不规则图形平移变换为四个规则的矩形ꎬ此时绿化设计面积被分成四个规则的矩形ꎬ根据题目中的已知条件能够得到２０ˑ３２－(２０＋３２)ｘ＋ｘ２＝５４０ꎬ这是关于ｘ的一元二次方程式ꎬ解此方程即可得到问题的答案.图３㊀平移变换为四个规则的矩形解法２㊀设道路宽度为ｘｍ.根据题意ꎬ得２０ˑ３２－(２０＋３２)ｘ＋ｘ２＝５４０ꎬ即ｘ２－５２ｘ＋１００＝０ꎬ解得ｘ１＝５０(不合题意ꎬ舍去)ꎬｘ２＝２.故道路修建的宽度应为２ｍ.通过典型例题讲解可以发现ꎬ利用平移法解决不规则几何图形的面积问题时ꎬ平移的方式不同ꎬ可能会得到不同的解题思路.教师应抓住典型例题的 一题多解 思路ꎬ进一步拓展学生的数学逻辑思维ꎬ进而引导学生突破固有思维限制.２巧用旋转法计算几何图形面积旋转法主要应用于构造直角三角形㊁全等三角形等基本图形求面积问题ꎬ这种解法的基本原理是面积的旋转不变性[２].例２㊀如图４ꎬ点Ｐ是等边әＡＢＣ内的一点ꎬＰＡ＝３ꎬＰＢ＝４ꎬＰＣ＝５ꎬ则әＡＢＣ的面积是(㊀㊀).Ａ.９＋２５３４㊀㊀㊀㊀Ｂ.９＋２５３２Ｃ.１８＋２５３Ｄ.１８＋２５３２根据总结的旋转法解题技巧ꎬ应找到旋转中心.根据等边三角形边长的性质易知ＡＢ＝ＢＣꎬ故可考虑以点Ｂ为旋转中心ꎬ将әＢＰＣ逆时针旋转６０ʎꎬ可图４㊀等边әＡＢＣ示意图得到әＢＥＡꎬ如图５所示.由旋转的性质可得ＢＥ＝ＢＰ＝４ꎬøＰＢＥ＝６０ʎꎬ进而能够判断әＢＰＥ是等边三角形ꎬＰＢ＝ＰＥ＝４ꎬøＢＰＥ＝６０ʎ.此时ꎬ在әＡＥＰ中ꎬＡＥ＝５ꎬＡＰ＝３ꎬＰＥ＝４ꎬ利用勾股定理的逆定理能够判断әＡＰＥ是直角三角形ꎬ即øＡＰＥ＝９０ʎꎬ进而能够计算出øＡＰＢ的度数.过点Ａ作ＡＦʅＢＰꎬ交ＢＰ的延长线于点Ｆꎬ利用三角函数可计算出ＡＦ及ＰＦ边长ꎬ再次利用勾股定理可得出ＡＢ边长ꎬ最终利用三角形面积公式计算得到әＡＢＣ的面积.图５㊀旋转变换后的图形解㊀因为әＡＢＣ是等边三角形ꎬ所以ＢＡ＝ＢＣ.以Ｂ点为旋转中心ꎬ把әＢＰＣ逆时针旋转６０ʎ得到әＢＥＡꎬ连接ＥＰꎬ过点Ａ作ＡＦʅＢＰꎬ交ＢＰ的延长线于点Ｆꎬ则ＢＥ＝ＢＰ＝４ꎬＰＣ＝ＡＥ＝５ꎬøＰＢＥ＝６０ʎꎬ所以әＢＰＥ是等边三角形ꎬ所以ＰＢ＝ＰＥ＝４ꎬøＢＰＥ＝６０ʎ.在әＡＥＰ中ꎬＡＥ＝５ꎬＡＰ＝３ꎬＰＥ＝４ꎬ所以ＡＥ２＝ＰＥ２＋ＰＡ２ꎬ所以әＡＰＥ是直角三角形ꎬøＡＰＥ＝９０ʎꎬ所以øＡＰＢ＝１５０ʎꎬ所以øＡＰＦ＝３０ʎ.在әＡＰＦ中ꎬＡＦ＝１２ＡＰ＝３２ꎬＰＦ＝３２ＡＰ＝３２３.在әＡＢＦ中ꎬＡＢ２＝ＢＦ２＋ＡＦ２＝(４＋３２３)２＋(３２)２＝２５＋１２３ꎬ所以әＡＢＣ的面积为３４ＡＢ２＝３４(２５＋１２３)＝９＋２５３４.故正确选项为Ａ.３巧用分割法计算几何图形面积在计算几何图形面积的过程中ꎬ分割法较为常３５用ꎬ其本质是对原图添加合适的辅助线ꎬ从而达到将原图分隔为若干个规则的几何图形ꎬ如直角三角形㊁等腰三角形㊁正方形㊁长方形等ꎬ然后利用规则图形的面积公式解决问题ꎬ从而求得原图形的面积.例３㊀已知☉Ｏ为әＡＢＣ的内切圆ꎬ其中Ｆ㊁Ｄ㊁Ｅ分别是ＡＢ㊁ＢＣ㊁ＡＣ边上的切点ꎬ若ＢＣ＝ｘ㊁ＡＣ＝ｙ㊁ＡＢ＝ｚꎬ☉Ｏ的半径为Ｒꎬ请计算әＡＢＣ的面积Ｓ.解㊀如图６所示ꎬ将圆心Ｏ分别与点Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ㊁Ｅ㊁Ｆ连接ꎬ形成әＣＯＢ㊁әＣＯＡ㊁әＢＯＡ三个三角形ꎬ这三个三角形的面积之和即为әＡＢＣ的面积Ｓ.因为Ｄ㊁Ｅ㊁Ｆ为☉Ｏ与ＣＢ㊁ＣＡ㊁ＢＡ边的切点ꎬ所以ＯＦʅＢＡꎬＯＥʅＣＡꎬＯＤʅＣＢ.因为☉Ｏ的半径为Ｒꎬ所以ＦＯ＝ＥＯ＝ＤＯ＝Ｒ.所以Ｓ＝ＳәＢＯＡ＋ＳәＣＯＢ＋ＳәＣＯＡ＝１２Ｒ ｚ＋１２Ｒ ｙ＋１２Ｒ ｘ＝１２ｚ＋ｙ＋ｘ()Ｒ.图６㊀分割后的әＡＢＣ示意图４巧用 补 法计算几何图形面积补 方式与 割 方式相反ꎬ 割 是指将原几何图形分割为若干个常见的规则图形ꎬ而 补 是指利用添加辅助线方式ꎬ将原不规则图形转化为规则图形ꎬ利用规则图形的面积公式直接求解ꎬ从而达到降低实际解题难度的目的.同时也能够根据不同的 补 的方式ꎬ将原不规则图形转化为多样化的规则图形ꎬ进而为学生提供多元化的解题路径.例４㊀如图７ꎬ将一个边长为３的正方形ＡＢＣＤ绕点Ａ逆时针旋转３０ʎꎬ得到ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄꎬ请计算图７中阴影部分的面积.图７㊀不规则阴影部分示意图分析㊀本题目主要考查正方形性质与旋转性质ꎬ故借助图形的旋转不变性㊁正方形的性质即可实现求解.如图８所示ꎬ这是基于 补 方式处理后的示意图.图８中ＡＥＣＢ为直角梯形ꎬ基于此便可以利用题目中所给条件与直角梯形相关公式完成阴影部分面积的分析与计算.图８㊀将阴影部分 补 成规则图形解㊀设ＣＤ与ＢᶄＣᶄ的交点为Ｅꎬ连接ＥＡ.根据已知条件ꎬ将正方形ＡＢＣＤ绕点Ａ逆时针方向旋转３０ʎ得到正方形ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄꎬ由旋转的性质可得ꎬøＢᶄＡＢ＝３０ʎ.因为ＡＢＣＤ为正方形ꎬ所以ＡＢᶄ＝ＡＤ.因为ＡＥ＝ＡＥꎬøＢᶄ＝øＤ＝９０ʎꎬ所以әＥＢᶄＡɸәＥＤＡ.因为øＤＡＢᶄ＝øＢＡＤ－øＥＡＢᶄꎬ且øＥＡＢᶄ＝３０ʎꎬ所以øＤＡＢᶄ＝６０ʎꎬøＥＡＤ＝３０ʎꎬ所以ＥＤ＝ＤＡ ｔａｎ３０ʎ＝３ˑ３３＝１.从而可知阴影部分面积Ｓ阴＝ＳＡＢＣＤ－２Ｓꎬ即Ｓ阴＝３ˑ３－２ˑ１ˑ３ˑ１２＝３－３.５结束语综上所述ꎬ解决几何图形面积计算问题ꎬ对提高初中生数学成绩㊁强化学生解题能力与数学思维十分有利.因此ꎬ教师应积极通过典型的几何图形面积计算问题的讲解与解析ꎬ帮助学生充分掌握常用的几何图形面积计算方法ꎬ进而总结解题方法和技巧ꎬ熟悉常规题型的解题套路ꎬ实现快速㊁正确解题.参考文献:[１]蒋艳ꎬ杨品方.例析解几中涉及三角形面积的多种题型[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０２０(７):５９－６１. [２]李宏杰.关注几何面积探寻考查方式:以中考试题为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０２３(３):７３－７５.[责任编辑:李㊀璟] ４５。
巧求面积(四年级用)
巧求面积教学目标：学会应用所学知识解决一些实际问题及较复杂的面积计算。
教学过程：一、知识要点我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，运用这些知识可以解决许多有关面积的问题。
但是有些比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算，生搬硬套公式往往不能奏效，这时，我们可以运用一些巧妙的解题技巧来解决问题。
1、面积公式：长方形的面积=长×宽（S=a×b a表示长方形的长b表示长方形的宽）正方形的面积=边长×边长（S=a×a a表示正方形的边长）2、锦囊妙计。
（1）割补法：把图形分割或添补成可求面积的长方形或正方形，再用长方形或正方形的面积公式计算。
（2）平移法: 通过平移的方法把分散的面积集中到一个长方形或正方形中，再用长方形或正方形的面积公式计算。
二、典型例题1、割补法例1.张爷爷有一块如下图的菜地，你能帮他计算出菜地的面积吗？（单位:米）（1）学生先独立思考，说一说自己的想法。
（2）解析：通过观察可以看出，这个图形可以采用分割的方法，把图形分割成两个长方形，图形的面积=两个长方形面积的和；或者在图形的左上角补上一个正方形，把它变成一个大长方形，图形的面积=大长方形面积－正方形面积。
（课件动画演示）列式：30×20+（30+20）×40=2600（平方米）列式：30×40+（30+40）×20=2600（平方米）列式：（20+30）×（40+30）－30×30=2600（平方米）答：张爷爷的菜地面积是2600平方米。
例2：下图为一个长50米、宽25 米的标准游泳池。
它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。
求游泳池面积和地砖面积。
宽长解析：从图中可以看出，游泳池是长方形，可直接运用长方形面积公式计算出来。
而瓷砖面积不规则，无法直接运用长方形面积公式计算。
如果把大长方形中间空白部分的小长方形割掉（课件动画演示），剩下的就是阴影部分的面积，所以阴影的面积=大长方形的面积－小长方形的面积，即可求出地砖面积。
小学数学课件——分割方法求面积
提示：十二边形中有12个 A
三角形与三角形OAB相等，
O
三角形OBC与三角形OAB C
B
的面积相等（等底等高）.
解：如图，三角形OAB的面积是十二边形面
积的十二分之一，
阴影部分的面积与三角形OAB的面积相同，
所以阴影三角形的面积是
60÷12=5（平方米）。
A O
C
B
3．比较图中两个阴影部分I和II的面积，它 们的大小关系是 相 等 。
5．如图所示，每一个正六边形的面积均为6 平方厘米，那么阴影部分的面积是 12 平 方厘米。
提示：把每个六边形分成 6个相同的三角形，
观察分割后剩余的三角 形的数目。
解：如图，把每个正六边形 分成六个相同的三角形，
于是原图中阴影部分是 3个正六边形面积–6个三角形面积
=2个正六边形的面积， 所以阴影部分的面积
12．正方形ABCD与等腰直角三角形BEF放在
小学数学课件—— 分割方法求面积
1．公园要建一个正方形花坛，并在花坛四周 铺上2米宽的草坪，草坪的面积是96平方米， 花坛和草坪的面积总和是（ C ）平方米。
（A）204 （B）190 （C）196 （D）100 提示：将草坪分割一下. 得到四个小正方形和四个 长方形。
解：如图所示，我们把草坪 分成了4个小正方形和4个长 方形，
F
A
F
解：由图1，知道三角形ABF的面积是整个六边 形面积的六分之一，
所以在图2中，矩形BFEC的面积是六边形面 积的三分之二，
而三角形PBC的面积= BC×P点到BC的高÷2， 三角形PEF的面积= EF×P点到EF的高÷2， 所以阴影部分的面积等于矩形BCEF面积的一 半，也就是六边形面积的三分之一。 所以阴影部分的面积
组合图形的面积分割法
组合图形的面积分割法
物体所占据的平面图形的大小叫做它们的面积。
先将组合图分成几个形状不同的图形，然后分别计算它们的面积，再将各部分的面积相加，计算出组合图的面积。
组合图形的面积分割法 1
1、分割法
将一个组合图根据其特征和已知条件分成几个简单的正则图，分别计算每个图的面积，最后求它们的面积之和。
2、旋转法
将原始图形旋转一次或多次，使其成为我们熟悉的新图形，然后进行计算。
3、割补法
把图形的一部分剪下来，填到另一部分，这样就成了我们已经学过的几何图形，然后再计算。
4、挖空法
把多边形想象成一个完整的规则图形。
计算出它的面积后，减去空的部分的面积。
5、折叠法
将组合图形折叠成几个相同的图形。
，先求一个图的面积，再求几个图的面积之和。
组合图形的面积分割法 2
三角形的面积：底×高÷2
三角形的底：面积×2÷高
三角形的高：面积×2÷底
平行四边形的面积：底×高
平行四边形的高：面积÷底
平行四边形的底：面积÷高
梯形的面积：（上底＋下底）×高÷2梯形的上底：面积×2÷高－下底
梯形的下底：面积×2÷高－上底
梯形的高：面积×2÷高－上底。