“化归”策略

“化归”思想在中学数学教学中的渗透与化归的策略河源市龙川县老隆镇第二中学邹秋雄【摘要】化归思想是中学数学思想中最常见、最基本、较浅显的一种思想，而化归方法是中学数学学习过程中经常运用的一种有效手段。

在数学教学中渗透化归思想是非常必要的。

而在实际操作过程中，我们应如何渗透化归思想呢？如何把握化归的三要素“化归的对象、化归的目标、化归的方法”呢？又将如何准确地把握化归的策略呢？本文将对上述问题进行粗浅的阐述，以达到在解决数学问题的过程中能准确地运用化归方法。

准确地把握化归策略，灵活地运用化归方法，有效地防止化归的错误的目的。

【关键词】化归思想化归方法化归策略一、化归思想概述数学思想方法教学比数学知识教学困难，尽管如此，数学思想还是有规律可循的。

本文就来谈一下“化归”思想在中学数学教学中的渗透与化归策略。

化归思想是中学数学思想中最常见、最基本、较浅显的一种数学思想，而化归方法是中学数学学习过程中经常运用的一种有效手段。

所谓“化归”就是将所要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题。

具体地说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题等。

善于化归的学生不仅经常会“逢凶化吉”、“柳暗花明又一村”，而且学习起点和总体认识水平比其他同学往往略高一筹。

因此，化归方法是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施化归数学思想的技术手段。

我们可以作一个比喻，化归数学思想相当于建筑的一张蓝图，化归方法则相当于建筑施工的手段，化归思想比化归方法更深刻，更抽象地反映数学对象间的内在关系，是化归方法的进一步的概括和升华。

比如：“化归”去解方程372=-x 就是化归方法，而当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，又称之为化归思想。

化归思想方法包含三个基本要素：化归的对象、化归的目标和化归的方法。

二、化归思想方法在教学中的渗透那么，如何在中学数学教学中渗透“化归”思想呢？数学思想方法必须以基础知识和基本技能作为载体体现出来，中学数学中有许多体现“化归”思想知识和技能，无论在代数中还是几何中都能找到。

它们分布在概念的定义、定理的证明、运算的法则（性质），图形（象）的性质和具体问题的解决。

但学生在掌握知识时并不一定注意到化归思想方法。

因此，中学教师在进行化归数学思想方法教学时，显然不可能将有关化归方法这一套东西一下子全部灌输给学生，只能采取逐步孕育的方法，结合数学知识的教学，让学生逐步体会到化归的基本思想，了解化归方法的基本步骤，直至掌握这一方法。

首先在教有理数时孕育化归思想，让学生懂得通过绝对值的概念，可将有理数大小比较转化为算术大小比较，有理数四则运算转化为算术四则运算。

在教整式加减时继续孕育化归思想。

使学生明确最简方程x=a是解一元一次方程的化归目标。

解方程的过程是首先寻找所给方程与目标的差异，然后设法消去差异，直至达到化归目标，即化为最简方程。

在教“一元二次方程”一章时，继续用化归思想指导解方程。

在一元一次方程的基础上，学习了一元二次，简单的高次方程、分式方程、无理方程和方程组时，重点是抓如何化归，掌握“降次”、“消元”的化归方法，将新知识转化为旧知识，在本章结束时最好设计一节数学思想方法训练课，巩固强化化归方法。

学完“一元二次方程”一章后，多数同学都能自己归纳出解代数方程的基本思想是：无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，解方程组的基本思想是通过消元降次将方程组转化为一元二次方程或一元一次方程，至此，学生初步形成化归方法。

但是化归方法的教学并没有结束，还需进一步引导学生应用化归方法指导几何学习，使学生认识到平面几何研究平面图形的性质（形状）、位置、大小关系等，而这些变化无穷的平面图形则是各种不同的最简单最基本的图形组合而成，要解决一个几何问题，只要在复杂图形中，辨析或构造出基本图形，并且应用基本图形的性质，就可使问题得以解决，即把要解决的几何问题作为化归对象，把基本图形作为化归目标，将复杂图形化归基本图形就作为化归方法。

另外，空间问题转化为平面问题、新的几何定理的证明转化为已学过几何定理来证明等。

这些都是我们解几何问题的化归思想。

总之，化归思想，贯穿于整个数学系统的始终，通过不断在新情景下渗透化归思想方法，可使学生进一步巩固，发展对化归方法的理解，使学生能比较自觉地运用化归方法的熟悉化、简单化、和谐化原则去解综合题，常常可以独辟踩径，解决新问题，获取新知识。

可见，在教学中渗透化归思想是必要的，也是完全可能的，问题在于在解决数学问题的过程中能否准确地运用化归方法，准确地把握化归策略，灵活地运用化归方法，有效地防止化归错误。

三、关于化归策略下面，就来粗浅谈谈在解决数学问题过程中的化归策略的问题。

什么是化归策略呢？一般地说，它是在解决数学问题的过程中，有意识地对问题进行分析、联想，把未知的问题化归为已有知识范围内可解的一种思维策略，其目的是：化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体等，掌握这种策略，应注意以下几点：（一）明确化归原理，把握化归策略。

数学是一个有机的整体。

它的各部分之间的相互联系，相线依存、相互渗透，使之构成一个互相交错的立体空间，其中，每一个相对独立的知识系统构成一个知识块。

由数学知识的连续性，决定了相邻两个知识块之间具有相关性和相容性；由数学知识的对称性，决定了某些不同知识块之间具有相似性，合同性。

所有这些都反映了不同的数学知识之间的内在联系。

所谓“化归策略”就是我们们在研究数学问题的过程中，充分运用这些联系，对问题的情景进行适当转化，使之达到“思想明朗化，方法简单化”的目的一种思维策略。

将化归策略运用具体的解题过程中，关键是如何实施化归。

一般地说，它的实施由下列程序来实现：1、找准问题的化归对象（化“新”为“旧”，化“生”为“熟”，化“繁”为“简”，化“难”化“易”等）。

2、根据问题的结构，分析解决问题的难点所在，确定化归目标（具有对性和层次性，因“题”而宜）。

3、探寻化归手段（即化归方法），并将在新的情景中所得的结果再次转化到原情境之中，使原问题获得解决。

下面列几个例子来说明一下：如①四边形问题转化为三角形问题,梯形化归为三角形及平行四边形，多边形问题转化为四边形问题或三角形问题，其思想是化归，其化归目标是把四边形、梯形。

多边形化归为较基本的几何图形—三角形。

其化归方法是作辅助线，然后通过三角形来研究较复杂问题的有关性质。

又如：②已知a＞1，且a≠1，求使方程l o g(x-a k)=l o g(x2-a2)有解的k的取值范围。

一种解法是化归为方程(x-a k) =x2-a2，但这个方程含有参数k，最后需检验满足不等式x-a k＞0（x2-a2＞0）。

如果我们考虑到已经掌握的有关曲线知识，构造函数y=x-a k和函数y=22a-x，问题可以化归为求在x轴上方的等边双曲线部分与斜率为1的直线具有公共点的条件。

上述两种解法都是典型的化归方法。

其中第二种解法运用数形结合，把代数问题化为几何问题，再把所获几何解答反演回代数领域而获得最终解答。

事实上，化归这一种重要的数学思想方法，在解一元二次方程中得到了充分而生动的体现。

在用因式分解法和公式法解一元二次方程时有以下四种基本解法：1、如果方程的一边是关于ｘ的完全平方式，另一边是个非负的常数，则根据平方根的意义将形如（x+m）2=n(n≥0)的方程转化为两个一次方程：x +m =而得解1,2x m =-±。

此为开平方法。

2、如果可将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负的常数，则其后的求解可由思路一完成。

此为配方法。

3、如果方程一边为零，一边能分解成两个一次因式之积，就可以得到两个因分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解。

此为因式分解法。

4、如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。

纵观以上四种方法，不难发现，方法一即所谓开平方法，它是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，即由（x +m ）2=n (n ≥0)转化为x +m =完成了由“二次”向“一次”的转化。

方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，因而习惯上称之为“配方法”。

方法三即因式分解法，其理论依据是“若干个因式之积为零时，则其中至少有一个因式为零。

”据此，也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。

方法四即所谓公式法，其中的求根公式是“配方法”与“开平方法”联手结出的“果”，它以强调结论，应用结果为前提，而省略了公式的探究过程。

实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。

从以上分析不难看到：将“二次”转化为“一次”之际，也就是顺利求解一元二次方程之时，因此，应用化归思想“降次转化”，是解一元二次方程各方法之“宗”。

化归思想在中学数学中有广泛的应用，应该在教学中予以重视。

（二）寻求化归目标，优化化归方法。

从上面的讨论我们注意到，实施化归策略的关键是化归目标的确定，化归方法的选择，而这两者的确定主要取决于问题的整体性分析。

同一个数学问题，由于观察的角度不同。

对问题分析，理解的层次不同，可以导致化归目标的不同，化归方法的不同。

因此，在平时的数学过程中，应引导学生从不同的角度看待问题，从不同的层次分析，理解问题，以此拓宽学生的思想，培养学生的化归能力。

例1、求证同一底上两角相等的梯形是等腰梯形。

已知：如图，梯形A B C D 中；A B ‖C D 、∠A =∠B ，求证：A D =B C 。

化归目标一：把梯形问题转化三角形问题。

A BC D如图（1），延长A D 、B C 相交于点E 。

因为∠A =∠B ，可证E A =E B ，又因为 E A B ‖C D ，所以∠E D C =∠E C D ， 因此，E D =E C ，由等量减等量D C 其差相等，可证A D =B C 。

(图1) A B化归目标二：如图（2），分别过D 、C 两点，作梯形的高D E 、C F ，将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，只要证△A D E ≌△B C F 即可。

D CA E FB (图2) (图3) 化归目标三：如图（3），过点D 作D E ‖BC 交A B 于点E ，这样就把梯形转化为一个三角形A BC D E和一个平行四边形。

只要证明△A D E 为等腰三角形即可证结论。

例2、求函数y =X X ++1的值域。

分析：该函数的定义域为0≤X ≤1，其表达式为两个二次根式之和；根号下都是关于X 的一次函数；两个一次函数中，一个单调递增，另一个单调递减。

由此，构成解本题的三个难点，同时也为我们提供了三个突破口。