高中数学必修四课件 正切函数的图像和性质

与正切函数有关的定义域和值域问题
(1)求函数y＝ 1 - tanx的定义域；
(2)求函数y＝tan|x|的值域．
(1)y＝ 1－tan x→tan Z)
π π x≤1→kπ－2，kπ＋4 (k∈
由正切函数的 (2)y＝tan|x|―――――――→ 奇偶性去绝对值 tanxx≥0，且x≠π＋kπ，k∈Z 2 y＝ π －tanxx<0，且x≠ ＋kπ，k∈Z 2
则 φ 可以是( π A．－ 6 π C．－ 12
) π B. 6 π Dkπ. 12 π π ∴φ＝kπ－ ，k∈Z，当 k＝0 时，φ＝－ . 6 6
答案： A
π tan2×12＋φ ＝0
π 2． 函数 f(x)＝tanx＋4 的单调递增区间为( π π A.kπ－2 ，kπ＋2 ，k∈Z
函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tan x
图象
π 定义域 {x|x≠kπ＋ ，k∈Z} 2 值域 R 周期 π 奇偶性 奇 π π k π － ， k π ＋ 2 2 上 单调性 在开区间_______________ 都是增函数
1． 已知函数
π y＝tan(2x＋φ)的图象过点12，0 ，
π (2)令 u＝tan x， 因为|x|≤ ， 所以 u∈[－ 3， 3]， 3 原函数化为 y＝u2－2u. －2 对称轴为 u＝－ ＝1∈[－ 3， 3]． 2 所以当 u＝1 时，ymin＝12－2×1＝－1. 当 u＝－ 3时，ymax＝3＋2 3. 所以 f(x)的值域为[－1,3＋2 3]．
1．4.3 正切函数的性质与图象
1．在诱导公式中，tan(x＋π)＝tan x，tan(－x) ＝－tan x．想一想，这两个公式体现了正切函 数的什么性质？ 2．回想一下正弦曲线的画法，利用正弦线画出 [0,2π]上的图象．你能否利用正切线画出函数 y π π ＝tan x，x∈－2，2 的图象？
图象,结论
[解题过程] (1)要使函数有意义， 只须使 1－tan x≥0， 即 tan x≤1 π π ∴kπ－ ＜x≤kπ＋ ，k∈Z， 2 4 ∴函数 y＝ 1－tan x的定义域为 π π k π － ， k π ＋ ，k∈Z. 2 4
π tan x x≥0，x≠ ＋kπ，k∈Z， 2 (2)y＝tan|x|＝ π x ＜ 0 ， x ≠ ＋ k π ， k ∈ Z － tan x . 2
其图象如图所示．
所以函数y＝tan |x|的值域为R.
[题后感悟] 解形如tan x>a的不等式的步骤：
1.(1)求函数 y＝ tan x－ 3的定义域； π | x | ≤ (2)已知 f(x)＝tan2x－2tan x ，求 f(x)的值 3 域．
解析： (1)要使函数有意义，必须使 tan x－ 3 ≥0 即 tan x≥ 3. π π ∴kπ＋ ≤x＜kπ－ ，k∈Z. 3 2 ∴函数 y＝ tan x－ 3的定义域为 π π k π ＋ ， k π － (k∈Z) 3 2
答案： C
3．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为 ________． π 解析： T＝ 2 π 答案： 2
4．求函数 y＝ tan x＋lg(1－tan x)的定义域．
tan x≥0 tan x≥0 解析： 由题意得 ， 即 ， tan x<1 1－tan x>0
π ∴0≤tan x<1.∴kπ≤x<kπ＋ ， 4 π 即函数的定义域为{x|kπ≤x<kπ＋ ，k∈Z}. 4
13π tan－ 4 与
π 1 π π 由 kπ－ < x－ <kπ＋ ，k∈Z， 2 2 4 2 π 3π 得 2kπ－ <x<2kπ＋ ，k∈Z， 2 2 1 π 所以函数 y ＝ tan －2x＋4 的单调递减区间是 π 3 2kπ－ ，2kπ＋ π，k∈Z. 2 2
正切型函数的单调性及其应用 1 π － x ＋ (1)求函数 y＝tan 的单调区间； 2 4 (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小．
[解题过程]
1 1 π π (1)y＝tan－2x＋4 ＝－tan2x－4 ，
(1)求 y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间， π π ω>0 时，由 kπ－ <ωx＋φ<kπ＋ ，k∈Z 求得 x 2 2 的范围，ω<0 时，可先用诱导公式把 ω 化为正 值； (2)比较两个同名函数值的大小，应先保证自变 [题后感悟] 量在同一单调区间内， 再利用函数单调性比较大 小．
2.(1) 求函数 区间． (2)比较
)
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z 3π π C.kπ－ 4 ，kπ＋4 ，k∈Z π 3π k π － ， k π ＋ D. ，k∈Z 4 4
π π π 解析： kπ－ <x＋ ＜kπ＋ (k∈Z)， 2 4 2 3π π ∴kπ－ ＜x＜kπ＋ (k∈Z)． 4 4
(2)因为 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． π π 又因为 <2<π，所以－ <2－π<0. 2 2 π π 因为 <3<π，所以－ <3－π<0. 2 2 π π 显然－ <2－π<3－π<1< ， 2 2 π π 又 y＝tan x 在－2，2 内是增函数， 所以 tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即 tan 2<tan 3<tan 1.