刘徽和圆周率
刘徽原理刘徽
刘徽原理刘徽刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。
是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。
刘徽的数学著作，留传后世的很少，所留均为久经辗转传抄之作。
他的主要著作有：《九章算术注》10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷。
可惜后两种都在宋代失传。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。
但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值。
刘徽割圆术的赏识与改进建议
刘徽割圆术的赏识与改进建议一、数学文化理念割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积（周长）去无限逼近圆的面积（周长），并以此求取圆周率的方法。
凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,求得的圆周率的近似值徽率（3.14）.刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明。
祖冲之（429-500）在刘徽“割圆术”的基础上，首次将“圆周率”精确到小数第七位，领先世界一千年。
这是中国古代数学家的骄傲，也反映了中国古代数学家的聪明才智和钻研精神。
（1）哲学是一切自然科学和社会科学的概括和总结，数学中充满了辩证法，数学学习需要用马克思主义哲学来指导。
要想深入探索刘徽割圆术，唯有2件武器，那就是马克思辩证思想和数学中的“清晰的直觉”和“严格的演绎”。
刘徽割圆术蕴含着丰富的马克思辩证统一思想，数列极限的学习中不光要学习知识，更重要的是提升辨证思维能力。
直与曲的统一：直与曲是两个完全不同的概念，二者的差别是明显的。
刘徽开创“割圆术”来计算圆周率，以圆内接正多边形的周长去逼近圆的周长，这种方法包含的由直线向曲线转化（以直代曲）和用近似值向精确值逼近的思想，在当时条件下是难能可贵的。
常量与变量的统一：常量与变量是数学中的两个基本概念，这两种量的意义有着严格的区分，但它们又是相互依存，相互渗透，依据一定条件相互转化。
圆的周长（面积）是一个常量，这个常量的计算并非轻而易举，它是通过逐次增加边数的内接正多边形的周长（变量）来实现的，即常量是变量的逼近的极限过程。
有限与无限的统一：有限与无限存在着本质的区别．然而两者之间并非存在不可逾越的鸿沟，而是在一定条件下可以相互转化，正是这种转化使得无限在数学世界中显示威力。
刘徽割圆正是体现有限与无限对立统一思想的例子，在无限的过程中得到了圆的面积或周长。
量变与质变的统一：刘徽割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”，内接正多边形的边数越来越多时，它与圆周偏差就会越来越小。
圆周率的发展
祖冲之 计算出3.1415926 <π< 3.1415927/3.1415929......
早期的圆周率大都是通过实验而得到的结果，即基于对
一个圆的周长和直径的实际测量而对圆周率进行估算。古
埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以谷粒数与方形对 比的方法取得数值。东、西汉之交的刘歆通过做实验，得 到圆周率的近似值分别为3.1547、3.1992、3.1498、3.2031、 比“径一周三”的古率有所进步。
3.141592之计算得出的密率分数近似值
355/113 ，外国数学家获得同样结果，已是 一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰 出贡献，有些外国数学史家建议把π叫做"祖 率"．
欧拉
指出π是超越数的可能性
卡西 把圆周率精确到小数点后17位
阿基米德 用穷竭法得到圆周率的近似值为22/7, 3.14
3 . 1 4 1 5 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 三天一士一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀 不死，乐尔乐。 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 死珊珊，霸占二妻。救吾灵儿吧！不只要救妻，一路 救三舅，救三妻。 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 吾一拎我爸，二拎舅（其实就是撕吾舅耳）三拎妻。 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 不要溜！司令溜，儿不溜！儿拎爸，久久不溜！ 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 饿不拎，闪死爸，而吾真是饿矣！要吃人肉？吃酒吧！
已知正6边形一边（恰与半径等长)即求得正12边形边长，…….由正 12边形求正24边形一边之长时，刘徽反复地应用到句股定理（或称 商高、勾股定理）
割圆法求圆周率公式
割圆法求圆周率公式（原创版4篇）目录（篇1）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇1）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此可以近似认为π等于多边形周长与半径的比值，即π = a / b。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代被广泛应用，尤其是在算筹时代。
刘徽利用这种方法计算出了圆周率的前七位数字，为数学发展做出了重要贡献。
在现代，割圆法也广泛应用于测量领域，例如地球半径的测定等。
四、割圆法求圆周率的误差分析割圆法虽然可以快速地得到圆周率的近似值，但在实践中仍然存在一定的误差。
随着计算精度的提高，割圆法的局限性逐渐显现。
例如，当多边形的边数增多时，计算量也会随之增加，导致计算效率降低。
目录（篇2）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇2）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此π的值也趋近于圆的周率。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代和现代都有着广泛的应用。
《刘徽割圆术》课件
割圆术与极限思想的关系
极限思想是数学中一个重要的 概念，它描述了当某量变化时 ，其极限的存在性。
割圆术体现了极限思想的应用 ，即通过不断增加多边形的边 数，使得多边形的周长无限接 近于圆的周长。
这种极限思想的应用使得刘徽 能够利用有限的手段来逼近无 限的数值，从而得到圆周率的 近似值。
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计算机图形学
在现代计算机图形学中，刘徽割圆术 的思想被广泛应用于生成平滑的曲线 和曲面，例如在制作动画、游戏、电 影等领域。
数值分析
刘徽割圆术中的数值计算方法也被广 泛应用于现代科学中的数值分析领域 ，例如在计算物理、工程等领域中， 可以利用刘徽割圆术的方法进行数值 模拟和计算。
04
刘徽割圆术的局限性与挑战
在数学史上的地位
推动了中国古代数学的发展
刘徽割圆术是中国古代数学发展史上的重要里程碑，它的出现标志着中国古代数学从经验型向理论型的转变。
对世界数学史的影响
刘徽割圆术的提出和应用，不仅对中国古代数学产生了深远影响，也对世界数学史的发展产生了重要影响，为后 来的数学家提供了宝贵的启示和借鉴。
在现代科学中的应用
古代科学技术的局限性
缺乏精确的测量工具
古代科学技术的限制使得刘徽在进行 割圆术时无法获得精确的数值和比例 。
缺乏数学理论支持
受限于经验和实践
由于历史背景和知识体系的限制，刘 徽只能通过直观和实践来验证割圆术 ，这使得其结果的可靠性和准确性存 在一定问题。
当时的数学理论尚未发展到能够完全 支撑刘徽割圆术的证明，这使得该方 法在理论上的可靠性受到质疑。
刘徽割圆术在现代科学中的应用前景
数学建模
刘徽割圆术的基本思想和技巧可以应用 于数学建模中，为解决实际问题提供新 的思路和方法。例如，在物理、工程、 经济等领域中，可以利用刘徽割圆术的 思想来建立数学模型，解决复杂的问题 。
历史趣闻魏晋时期的刘徽在数学方面有何成就？
如对您有帮助，可购买打赏，谢谢魏晋时期的刘徽在数学方面有何成就？导语：刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，对中国的古典数学理论的创立及发展做出了极其重要的贡献，在中国乃至时间的数学史上，都占据着重要的位置刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，对中国的古典数学理论的创立及发展做出了极其重要的贡献，在中国乃至时间的数学史上，都占据着重要的位置。
下面，让我们一起去看一下刘辉的简介吧。
刘辉的出生日期，大约是在公元225年前后，他卒于295年，是当时世界上最杰出得到数学家。
他在这方面的著作，对后世数学的发展有着至关重要的影响，同时也奠定了他在数学界不可动摇的地位，也为数学界留下了最为宝贵的文化遗产。
刘辉思维敏捷又刻苦好学，在数学上有着许多的成就，而这些成就大致可以分为两个方面的内容。
其一是他研究了古代中国的数学理论，从而整理出了一套数学体系，而他这方面的这就从他的数学著作中就可以看出来。
他那一套比较完整的数学理论又包括了通分、约分以及各运算法则，同时又从理论方面证明了无理方根的存在;刘辉还给了率一个明确地定义，再通过“率”来定义“方程”;同时他对勾股理论也做出了一定的发展。
其二就是面积与体积理论。
他提出了刘徽原理，并将多种面积或体积的问题加以解决。
另外，他还在自己的著作中，给出了对幽州率的计算方法，使圆周率又成为“徽率”。
刘辉一直都在数学的海洋中遨游，不断地专研和学习，并提出新的见解和理论，对数学的发展做出了巨大的贡献。
刘徽是魏晋时期有名的数学家，他在数学上有着极大的成就，在数学界中占据着极其重要的位置。
他在十分简陋的环境中，冥思苦想，提出了一个又一个令人振奋的理论。
接下来，让我们来看一看与刘徽生活常识分享。
关于刘徽的割圆术(终审稿)
关于刘徽的割圆术文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-关于刘徽的割圆术关键词九章算术, 刘徽, 割圆术, 圆周率1 刘徽割圆术的内容刘徽的割圆术, 是刘徽在为《九章算术》第一卷方田中的圆田术所作的注中提出来的, 包括如下内容:1) 刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法, 然后指出“周三径一”是不对的, 他说: 以半周乘半径而为圆幂, “此以周径谓至然之数, 非周三径一之率也. 周三者, 从其六觚之环耳, 以推圆规多少之较, 乃弓之与弦也. ”2) 刘徽提出用割圆内接正六边形为正十二边形等步骤, 使圆内接正多边形的面积逐次逼近圆的面积. 进而又指出: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. 觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. 若夫觚之细者, 与圆合体, 则表无余径. 表无余径, 则幂不外出矣. ”3) 刘徽详述了割圆的算法, 例如, 关于割圆内接正六边形为正十二边形, 他说: “令半径一尺为弦, 半面五寸为勾, 为之求股. 以勾幂二十五寸减弦幂, 余七十五寸, 开方除之, 下至秒忽, 又一退法求其微数, 微数无名者以为分子, 以下为分母, 约为五分忽之二, 故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二. 以减半径, 余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三, 谓之小股, 为之求弦, 其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽, 余分弃之, 开方除之, 即十二觚之一面也. ”4) 刘徽在计算了圆内接正一百九十二边形的面积后, 对圆面积进行了大胆推断, 从而获得了当时世界上最精确的圆周率的值. 他说: “差幂六百二十五分寸之一百五, 以十二觚之幂为率消息, 当取此分寸之三十六以增于一百九十二觚之幂( 即三百一十四寸六百二十五分寸之六十四) , 以为圆幂三百一十四寸二十五分寸之四. ”5) 刘徽验证了自己获得的结果的正确性, 为此, 他继续用割圆术, 直到求出圆内接正三千零七十二边形的面积. 他说: “当求一千五百三十六觚之一面, 得三千七十二觚之幂,而裁其微分, 数亦宜然, 重其验耳. ”2 刘徽割圆术的历史地位2. 1 古希腊已有割圆思想古希腊巧辩学派的学者Ant iphon ( 约公元前五世纪) 提出用边数不断增加的圆内接正多边形来接近圆, 并提出把圆看作是无穷多边的正多边形; 另一个古希腊巧辩学派的学者Br yso n( 约公元前五世纪) 类似地提出用边数不断增加的圆外切正多边形来接近圆; 而古希腊的一位大数学家Eudox us( 约公元前四世纪) 则依据这一思想创立了穷竭法这种着名的获取定理和证明定理的方法.虽然刘徽不是人类历史上第一个提出割圆思想的人, 但是, 他没有简单地重复任何人, 而是独立地、完整地、创造性地提出了割圆术, 和古希腊的数学家们一样, 刘徽的思想同样是辉煌的.2. 2 刘徽用割圆术获得了当时世界上最精确的圆周率值古希腊的Ant iphon, Br yso n, Eudo xus 虽然先于刘徽提出割圆思想, 但他们都没有用它去求圆周率的值. 然而, Archimedes( 公元前287～公元前212年) 继承了割圆思想, 并根据圆周长大于圆内接正多边形周长而小于圆外切正多边形周长, 得到圆周率P满足223/ 71 < P< 22/ 7 的结果. 古希腊的Ptolemy( 公元～168年) 并没有专门研究圆周率的值, 他依据他的定理( Ptolemy 定理) 提出一种特殊的割圆技巧,求出了各圆心角所对的弦长的六十进制数值, 其中1/ 2度圆心角所对弦长的数值为31′2 5″,相当于求得P的值为P≈377/ 120. 这是刘徽以前有据可考的圆周率的最好结果.我国古代很早就知道“周三径一”误差很大, 需要改进, 不少人在这方面作过工作:汉代的刘歆( 约公元前50～公元23年) 所用圆周率的值为P≈3. 1547;汉代的张衡( 公元78～139年) 所用圆周率的值为P≈3. 1623; 三国的王蕃( 公元219～257年) 所用圆周率的值为P≈3. 1556. 这些P的近似值都不如Archimedes 和Ptolemy 的结果好, 并且都未提供出正确的算法, 缺乏理论根据.而刘徽根据他所提出的割圆术, 运用勾股定理, 设计出一个完整的求圆周率P近似值的算法.设n= 6 ( 术曰: 割六觚以为十二觚) , 又设r= 1, 则有s= 1( 术曰: 置圆径二尺, 半之为一尺, 即六觚之面也) , 算法步骤如下:1 设弦为r , 勾为s/ 2, 求股, 赋予a( 此为小股, 术曰: 令半径为弦,半面为勾, 为之求股) ;o将r - a 赋予b( 此为余径, 术曰: 觚面之外, 又有余径, 又曰: 以减半径, 谓之小股) ;设勾仍为s/ 2, 股为b, 求弦, 赋予s( 实为圆内接正2n 边形的边长, 术曰: 为之求小弦, 即十二( 2n) 觚之一面也) ;求S= ns 圆周率的近似值( 实为圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积, 术曰: 得二十四( 4n) 觚之幂) ;将2n 赋予向1 .上述算法为计算出更精确的圆周率值奠定了基础. 刘徽所获得的“圆幂三百一十四寸二十五分寸之四”,即P≈3. 1416, 这是当时世界上最精确的圆周率的值.顺便指出, 祖冲之( 公元429～500年) 研究过刘徽的割圆术, 再加上自己的创造, 他获得了当时世界上最精确的圆周率的值: 3. 1415926 < P< 3. 1415927. 此外, 他还用最佳近似分数给出所谓疏率和密率: P≈22/ 7, 这一结果与Archimedes的上限结果相同; P≈355/ 113, 这一结果在西方迟至1573年才由Otho 重新获得.2. 3 在中国刘徽首次比较准确地描述了极限概念在中国战国时代的着作《庄子》中记录了名家惠施的话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. ”这段话已经有了极限思想的雏形. 但名家所表现出的极限思想是不自觉的、模糊的. 名家的目的仅仅是为了在辩论中强调名词概念的相对性, 因而不可能形成数学上的清晰的极限概念.但是, 刘徽在割圆术中比较准确地描述了极限概念. 他说: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. ”这明确地肯定了limS= P. 这里S是圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积.他又说: “觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. ”这表明刘徽实际上建立了不等式S < P< S+ e, 其中e= S- S , 此即刘徽所说的“差幂”.刘徽的这一不等式明显地优于Archimedes 的不等式, 这是因为: 第一, Archimedes 既要用到圆内接正多边形,也要用到圆外切正多边形, 而刘徽用“差幂”,只需要用圆内接正多边形, 可以减少大约一半运算次数; 第二, 由于S 等于圆内接正4n 边形的半周长, 并且容易证明, S+ e小于圆外切正4n 边形的半周长, 因而, 刘徽的这一不等式比Archimedes 的不等式更精确. 刘徽显然和Archimedes 一样, 已经意识到这里存在类似夹逼定理这样的极限性质, 由此既可以推断极限的存在, 还可以确定极限值各数位上的准确的有效数字. 刘徽正是这样做的, 他用圆内接正一千五百三十六边形和圆内接正三千零七十二边形的面积, 依据他的不等式, 验证了他的结果直到第四位小数都是正确的.刘徽接着说: “觚之细者, 与圆合体, 则表无余径, 表无余径, 则幂不外出矣. ”他正是根据这一点, 解释了圆田术求圆面积的方法( 半周半径相乘得积步) . 刘徽的解释方法, 与Eudox us 证明圆面积之比等于半径平方比的穷竭法如出一辙.3 刘徽割圆术的局限性刘徽的极限概念是不彻底的刘徽的割圆术虽然比较准确地描述了极限概念, 而且, 很可能进行了真正的极限运算, 但刘徽的数学素养还不足以完整地描述这个无限的趋向过程. 他采用了“割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣”,“觚之细者, 与圆合体, 则表无余径”等绝对的、不准确的言词. 实际上, 刘徽的思想陷入了矛盾之中, 一方面, 他像惠施那样意识到割圆的过程是无限的, 是万世不竭的, 另一方面, 他又竭力回避无限, 不愿意正视无限, 相信总有“不可割”,“表无余径”,“幂不外出”,“与圆周合体而无失”之时. 这就足以说明刘徽的极限概念是不彻底的. 事实上, 我国古代还有不少学者虽具有极限思想的雏形, 但在描述中都毫无例外地不得不采用绝对的、不准确的言词. 极限概念的不彻底, 限制了刘徽对极限概念的挖掘和应用, 也限制了刘徽在数学上的创造性. 纵观刘徽在数学上的工作可以看出, 虽然他在圆周率的计算等方面取得了令世人瞩目的成果, 但是, 刘徽在整个数学史上的地位,则不可能超过Ar chimedes 等人.参考文献1 刘徽注. 九章算术. 上海: 上海古籍出版社, 19902 Morris Kl ine 着; 张理京, 张锦炎译. 古今数学思想. 上海: 上海科学技术出版社, 19793 How ard Eves . An In tr od uct ion to the His tory of Mathemat ics. New York: Saunders Coll ege Pub lish ing, 19834 李俨. 中算史论丛. 北京: 中国科学院出版, 19545 钱宝琮. 中国数学史. 北京: 科学出版社, 19816 邓建中, 葛仁杰, 程正兴. 计算方法. 西安: 西安交通大学出版社, 19857 王乃信，王树林，西北农业大学学报，1997年8月。
圆周率历史简介
圆周率的历史可以追溯到古代的数学家们对圆的性质的研究。
在中国，魏晋时期的刘徽使用了“割圆术”来求得圆周率的近似值，而汉朝的张衡则通过π的平方除以16等于5/8，得出π等于10的开方约为3.162。
同时，在印度，阿耶波多利用384边形的周长算出圆周率约为根号9.8684，而婆罗门笈多则推论出圆周率等于10的平方根。
在欧洲，斐波那契算出了圆周率约为 3.1418，而韦达用阿基米德的方法算出3.1415926535<π<3.1415926537。
到了现代，科学家们已经计算出圆周率的小数点后31.4万亿位，这个纪录在一千年后才被打破。
总的来说，圆周率的历史是数学和科学进步的见证。
祖冲之算圆周率
祖冲之算圆周率祖冲之研究了刘徽的“割圆术”。
所谓“割圆术”就是在圆内画个正6边形,其边长正好等于半径,再分12边形,用勾股定理求出每边的长,然后再分24、48边形,一直分下去,所得多边形各边长之和就是圆的周长。
祖冲之非常佩服刘徽这个科学方法,但刘徽的圆周率只得到96边,得出3 。
14的结果后就没有再算下去,祖冲之决心按刘徽开创的路子继续走下去,一步一步地计算出192边形、384边形⋯⋯以求得更精确的结果。
当时,数字运算还没利用纸、笔和数码进行演算,而是通过纵横相间地罗列小竹棍,然后按类似珠算的方法进行计算。
祖冲之在房间地板上画了个直径为1丈的大圆,又在里边做了个正6边形,然后摆开他自己做的许多小木棍开始计算起来。
此时,祖冲之的儿子祖已13岁了,他也帮着父亲一起工作,两人废寝忘食地计算了十几天才算到96边,结果比刘徽的少0 。
000002丈。
祖对父亲说：“我们计算得很仔细,一定没错,可能是刘徽错了。
”祖冲之却摇摇头说：“要推翻他一定要有科学根据。
”于是,父子俩又花了十几天的时间重新计算了一遍,证明刘徽是对的。
祖冲之为避免再出误差,以后每一步都至少重复计算两遍,直到结果完全相同才罢休。
祖冲之从12288边形,算到24567边形,两者相差仅0 。
0000001。
祖冲之知道从理论上讲,还可以继续算下去,但实际上无法计算了,只好就此停止,得出圆周率必然大于3 。
1415926,而小于3 。
1415927。
很多朋友知道了祖冲之计算的成绩,纷纷登门向他求教。
之后,祖冲之又进一步得出圆周率的密率是355／113,约率是22／7。
直到1000多年后,德国数学家鄂图才得出相同的结果。
刘徽与圆周率的故事
刘徽与圆周率的故事
刘徽是中国古代杰出的数学家，他与圆周率有着密切的关联。
刘徽在简陋的环境下提出了“割圆术”，通过计算圆内接多边形的周长来近似计算圆的周长。
他从圆内接正六边形开始，然后计算正十二边形、正二十四边形，一直计算到正九十六边形，得出圆周率的近似值为3.14。
然而，刘徽对此结果并不满意，他继续深入计算，最终得出当时世界上最精确的圆周率为3.1416。
刘徽的割圆术以及他对圆周率的精确计算，不仅在当时是一个伟大的发现，也使得中国在圆周率计算方面的研究一直处于世界领先地位。
他的贡献为后来的数学家提供了重要的启示和基础。
《九章算术注》中的数学思想和方法
数学史话关于圆周率与圆的面积《九章算术》中求圆的面积一律用古法的所失弥少.割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣.”这几句话反映了他的极限觚面之外，又有余径.以面乘余径则幂若夫觚之细者与圆合体，则表无余径.表无余这里，“觚面”是圆内接正多边形的是边心距与圆半径的差.如图1，设PQ为圆《九章算术注》中的数学思想和方法钱宝琮刘徽宋本《九章算术》中的割圆术图1数学史话当然，这个不等式可以写成：S2n<S<S2n+(S2n-Sn).在割圆术中，刘徽称S2n-S n为“差幂”.当n很大时，“差幂”很小，因而S2n很接近于S,这是可以理解的.刘徽设圆内接正六边形的边长与半径相等，半径OP=1尺=1000000忽，则PT=12PQ=500000忽.OT= OP2-PT2=86605425忽，TR=OR-OT=13394535忽，PR2=PT2+TR2=267949193445方忽，PR就是圆内接正十二边形的边长.依此推算，刘徽求得圆内接正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形的边长.刘徽根据S2n=n⋅PQ⋅OR2算出在半径为10寸时，S96=313584625方寸，S192=31464625方寸，“幂差”S192-S96=105625，S192+(S192-S96)=314169625方寸，故31464625< 100π<314169624.刘徽舍弃不等式两端的分数，取100π=314或π=15750.他再三声明这个圆周率不够精确.刘徽又说：“差幂六百二十五分寸之一百五，以十二觚之幂为率消息，当取此分寸之三十六以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂三百一十四寸、二十五分寸之四.”这就是说，圆的面积应是31464625+36625= 314425方寸，由此得出π=314425÷100=39271250.这个近似分数化成十进小数是3.1416，自然是更精确了.他又说：“当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂而裁其微分，数亦宜然，重其验耳.”据此可知，刘徽曾求得圆内接正3072边形的面积，以证实圆周率39271250的正确性.在实用算术方面，他主张用π=15750来计算圆的面积.当边数无限增加时，圆内接正多边的面积趋近于圆的面积.公元前五世纪,希腊数学家安提丰（Anti⁃phon）最早发现了这个原理，但没有利用它来计算π的近似值.公元前三世纪中叶，阿基米德（Archimedes）以为圆周长介于圆内接多边形的周长和外切多边形的周长之间，算出31071<π<317.刘徽的割圆术思想比古希腊人的思想迟了几百年，而他的成就超过了和他同时代的数学家，这是值得表彰的.需要指出的是：①刘徽的不等式只需用圆内接正多边形的面积而不用外切多边形的面积来求解，所以能够达到事半功倍的效果；②我们的祖先很早就用位值制记数，能迅速地进行乘方、开方，数字计算工作比古希腊人的要容易得多.《九章算术》方田章的弧田术说：“设c为弧田（弓形）的弦，v为矢，则面积为A=12(cv+v2).”这不是一个很精密的近似公式.刘徽以为，在弧田为半圆时用这个公式计算出来的面积与用π=3计算出来的面积相等，如果弧田为劣弧，误差比率（相对误差）更大.在批判了旧法以后，他指出了处理弧田面积的正确方法.他说：“既知直径则弧可割分.”即依据已知的弦和矢，可求弧的直径.按照割圆术，求12弧、14弧、18弧等的弦和矢，并将这些大大小小的弦矢相乘，再折半，就得到相当精密的弧田（弓形）的面积值.但他又说：“若但度田，取其大数，旧术为约耳.”意思是说，在量田地的面积时不需要十分精密的数据，还可以用以前的方法.二、圆锥体积与球体积《九章算术》的商功章中，直立圆锥体与平截头直立圆锥体的体积公式，在假设π=3的条件下，是准确的.刘徽在“委粟依垣”术里注解说：“从方锥中求圆锥之积亦犹方幂求圆幂.”这说明圆锥体的体积和它的外切方锥体的体积之比等于圆的面积和它的外切正方形面积之比.方边为a、高为h的方锥体的体积是13a2h，所以底的直径为a、高为h的圆锥体的体积应是π4⋅13a2h=π12a2h.仿照此方法可得，平截头圆锥体的体积是平截头方锥体体积的π4倍.刘徽在方田章的畹田术注中讨论过直立圆锥的侧面积，他说：“若令其（直立方锥）中容圆锥，圆锥见幂（侧面积）与方锥见幂（侧面积）其率犹方幂之与圆幂也.”因此，他断定：“折径（斜高）以乘下周之半即圆锥之幂（侧面积）也”.若圆锥的底径为a，斜高为l，则它的侧面积应是12πal.刘徽用这种简单明了的方法处理圆锥的体积与侧面积问题，是容易被人们接受的.少广章的开立圆术中说：“置积尺数，以十六乘之，九而一，开立方除之即丸（球）径.”设球的体积为V、球径为D，则由开立圆术可得D =9或V=916D3.九60数学史话图2图3三、关于十进分数少广章开方术：“设整数N为被开方数，a为方根的整数部分，r=N-a2，则N=a+r a.”这当然太不准确.当时人们还用a+r2a+。
圆周率的历史
圆周率的历史圆周率，一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数.它定义为圆形之周长与直径之比.它也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
圆周率是一个常数(约等于3.1４15926),是代表圆周长和直径的比例.它是一个无理数,即是一个无限不循环小数。
圆周率在生产实践中应用非常广泛,在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。
因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。
圆周率π圆的周长与直径之比是个与圆的大小无关的一个常数，人们称之为圆周率。
巴比伦人最早发现了圆周率。
1600年,英国威廉奥托兰特首先使用π表示圆周率,因为π是希腊之“圆周"的第一个字母.170６年，英国的琼斯首先使用π。
173７年，欧拉在其著作中使用，后来被数学家广泛接受,一直沿用至今.π是一个非常重要的常数，一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的重要标志，古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过值的计算方法。
从埃及到巴比伦到中国一直都在对圆周率的精确值做出研究。
早期的测算中人们使用了很粗糙方法.古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。
或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率的稍好些的值。
在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器--律嘉量斛.刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。
他得到一些关于圆周率的并不划一的近似值,分别为３.154７，3．1992,3．1498，３。
203１,比径一周三的古率已有所进步。
人类的这种探索的结果,当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。
转图为汉莽新嘉量铭文公元前20０年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出π值的正确求法。
他专门写了一篇论文《圆的度量》用圆外切与内接多边形的周长以大小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，巧妙地求得π.这是第一次在科学中创用上下界来确定近似值，公元前１５0年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法（以1的圆心角所对弦长乘以3６０再除以圆的直径）给出了π的近似值3。
刘徽九章算术注与祖冲之计算圆周率之谜
刘徽的开方术 – 近似计算
《九章算术》第四卷少广的开方术如下：
术曰：置积为实。借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。 除已，倍法为定法。其复除，折法而下......
刘徽为此写的注文如下：
术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之自乘当还复 有积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。其数不可得而 定。故惟以面命之，为不失耳。譬犹以三除十，以其余为三分之一，而复其数可以举。 不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再 退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。
λ1
10
≈
A －B 2B
2
然后验算开方近似值的平方是否与A相等或与A还有多少差距：
祖冲之利用刘徽的开方术实现高精度开方（二）
如果加了一个微数之后开方近似值的平方与A还有差距，很容易想到用同样的 方法计算出第2个微数 100 ≈
λ2
A －B 1 2B 1
2
再次验算开方近似值的平方是否与A相等或与A还有多少差距：
大意如下：对A开方开不尽，而A = B + Δ
B+
2
Δ
2B+1
<
A
<
B+
Δ 2B
A ≈ B+
λ1
10
+
λ2
100
+
……
近似值的范围
近似值表达式。微数为十进制分 数，其实质等同于十进制小数。
祖冲之利用刘徽的开方术实现高精度开方（一）
祖冲之熟读过《九章算术》，能准确理解刘徽注文的涵义，并且他善于筹算。 按刘徽的近似计算思路，祖冲之利用刘徽开方近似值的上下限范围计算出刘徽 的第1个微数：
刘徽割圆术的数学原理
刘徽割圆术，又称为“徽割圆术”或“刘徽圆周率计算法”，是中国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出的一种计算圆周率的方法。
这个方法的数学原理涉及到对圆的割线和三角函数的概念。
刘徽的割圆术基于圆周率与圆的直径的关系，即π（圆周率）等于圆的周长与直径的比值。
他提出了一种通过割圆得到近似值的方法，主要涉及到正多边形的内接和外接。
具体步骤如下：
1. 内接正六边形的构造：在圆内作一个正六边形，使其顶点分别位于圆的周上，这个六边形的直径等于圆的直径。
2. 内接正十二边形的构造：在内接正六边形的每个边上取一点，连接这些点，得到一个内接正十二边形。
3. 内接正二十四边形的构造：在内接正十二边形的每个边上再取一点，连接这些点，得到一个内接正二十四边形。
4. 迭代过程：重复上述步骤，每次构造的多边形边数翻倍，从而逐渐逼近圆。
5. 圆周率的逼近：当多边形的边数越来越多时，多边形的周长将逐渐接近圆的周长。
刘徽认为，当多边形的边数非常大时，多边形的周长与圆的周长的比值即为π。
这个方法虽然在原理上是正确的，但是在实际计算中，随着多边形边数的增加，计算的复杂性也增加，所以其实用性相对有限。
现代数学中，我们更常用其他方法如莱布尼茨级数、无穷级数等来计算圆周率π。
刘徽、祖冲之与圆周率
刘徽、祖冲之与圆周率在中国，对圆周率的探求有着悠久的历史。
李淳风在《隋书·律历志》中称：古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。
自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新律，未臻折衷。
宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二数之间。
密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。
约率：圆径七，周二十二。
又设开差幂、开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最者也。
《九章算术》和《周髀算经》都取3作为圆周率的近似值。
东汉著名科学家张衡获得，较《九章算术》和《周髀算经》中的“周三径一”已经有了明显的进步。
东汉刘歆（？～23年）为新朝王莽所制造的“律嘉量斛”上的铭文称：律嘉量斛，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。
（《隋书·律历志》，第409页）根据铭文中的数据，不难计算得到圆周率的近似值（如图5-4所示）这个结果又比张衡的要精确一些。
图5-4 律嘉量斛上的尺寸三国时代的布衣数学家刘徽在注释《九章算术》圆田术时提出著名的“割圆术”。
刘徽在注释中用出入相补原理证明：由周三径一的古率及圆田术文所得并不是圆的面积，而是圆内接正十二边形的面积，从而证明了取3作为圆周率的值是很不精确的；接着，刘徽用无穷分割求和原理证明了《九章算术》中的圆面积公式；最后，他给出了计算圆周率的详细过程和数据。
割圆术的主要内容如下：（1）圆面积公式的证明。
如图5-5，AB是圆O的内接正n边形的边长（设为），AD和BD是圆O 的内接正2n边形的边长。
筝形OADB的面积为故圆内接正2n边形的面积为（12）于是圆面积其中C为圆的周长。
图5-5 刘徽的割圆术（2）刘徽得到圆内接正多边形边长递推公式（今称“刘徽倍边公式”）取R =1尺，即有（13）利用面积公式（12）依次求得，，，，（平方寸），（平方寸）求得圆周率的近似值（3）刘徽又发现：相邻两个“差幂”的比接近1/4，即因此圆面积因此得于是求得圆周率的另一近似值。
圆周率是谁发明的 是怎么算出来的
圆周率是谁发明的是怎么算出来的
圆周率不是谁的发明，是我国古代数学家祖冲之首先计算出其准确值在3.1415926 和3.1415927 之间，并可以用分数355/113 来表达，准确到小数点
后第7 位。
1 圆周率的发展过程圆周率不是某一个人发明的，而是在历史的进程中，
不同的数学家经过无数次的演算得出的。
古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论
计算圆周率近似值的先河。
公元480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后
7 位的结果，给出不足近似值3.1415926 和过剩近似值3.1415927，还得到两
个近似分数值。
1 圆周率是咋算出来的公元263 年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，
他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192 边形。
他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”
包含了求极限的思想。
刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，刘徽在得圆
周率=3.14 之后，将这个数值和铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14 这个数值还是偏小。
于是继续割圆到1536 边形,求出3072 边形的面
积，得到令自己满意的圆周率。
公元480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后
7 位的结果，给出不足近似值3.1415926 和过剩近似值3.1415927，还得到两
个近似分数值，密率和约率，密率是个很好的分数近似值，要取到才能得出。
刘徽和圆周率的故事
刘徽和圆周率的故事
《我和刘徽的“圆周率之约”》
嘿，你们知道吗，我最近可干了一件特别牛的事儿，我和古代的大数学家刘徽来了一场奇妙的“邂逅”。
那天啊，我正百无聊赖地翻着一本讲古代数学家的书，突然就看到了刘徽的名字，还有他研究圆周率的事儿。
我当时就来了精神，心想着这刘徽可真厉害啊，能算出圆周率那么神奇的东西。
我正看着呢，突然感觉眼前有点模糊，等我再睁开眼的时候，发现自己居然来到了一个陌生的地方。
周围的人都穿着古代的衣服，我正懵着呢，就听到有人在喊：“刘徽先生来了！”我一扭头，就看到一个穿着长袍的人走了过来，周围的人都对他特别尊敬。
我心里一嘀咕，这不会就是刘徽吧？我壮着胆子走过去，问他：“您，您是刘徽先生吗？”他微笑着点了点头，然后好奇地看着我。
我赶忙自我介绍：“我，我是从未来来的，我可崇拜您了！”刘徽哈哈一笑，说：“未来来的？有意思。
”
然后我就跟着刘徽来到了他研究圆周率的地方，他给我讲他是怎么一点点计算圆周率的，那认真的样子可太帅了。
我就在旁边听得一愣
一愣的，时不时还插几句嘴：“哇，这么厉害啊！”“哎呀，我怎么就想不到呢！”
正说着呢，我突然听到有人喊我名字，我一睁眼，发现自己又回到了现实，手里还捧着那本书呢。
哎呀呀，这场和刘徽的“圆周率之约”可真是太有趣啦！我以后可得好好研究研究圆周率，向刘徽先生学习呢！。
祖冲之与圆周率的故事
祖冲之与圆周率的故事 祖冲之是我国古代⼀位伟⼤的数学家、天⽂学家和物理学家，他有许多卓越的贡献，其中之⼀就是计算出了圆周率。
祖冲之与圆周率 冲之计算圆周率采⽤的是三国时刘徽发明的“割圆术”。
“割圆术”是在圆内作⼀个内接正六边形。
内接正六边形的每边长都等于半径，其周长正好是半径的6倍，直径的3倍。
求出正六边形总的边长，就可以得到圆周的近似值，刘徽⽤这个办法求出了3.1416的值。
祖冲之从圆的内接正六边形开始，先算内接正12边形的边长，再算内接正24边形、正48边形的边长……边数⼀倍⼜⼀倍的增加，祖冲之⼀共算到了正12288边形，由此推算出的圆周率为3.14159251.祖冲之认为，从理论说，把圆周这样分割下去是⽆穷⽆尽的。
但真正计算起来，却是繁难复杂的。
最后，祖冲之将圆分割到了24576边形，得到圆周率为3.14159261。
要知道，那时的⼈既没有计算尺，更没有计算机，全靠⽤算筹来计算。
边数每翻⼀番，⾄少要进⾏7次运算，其中除了加和减，有两次乘⽅，两次开⽅。
祖冲之算出来的结果有6位⼩数，估计他在运算过程中，⼩数⾄少要保留10位以上。
如果没有熟练的技巧和坚持的毅⼒，是⽆法完成的。
在祖冲之以前，还有⼈提出圆周率跟22/7相似，祖冲之称它为“疏率”。
他⼜算出了另⼀个圆周率的近似值355/111，称为“密率”，因为它更加精密。
过了1000年，德国⼈奥托和荷兰⼈安托尼兹先后提出355/113这个近似值。
欧洲⼈不知道祖冲之已经提出过“密率”，他们就把这个近似值叫做“安托尼兹率”。
现在，⼈们把它⼜称为“祖率”，这是对祖冲之⾮凡成就的肯定。
以后，各国的数学家们继续进⾏着这项计算。
1596年，荷兰数学家卢道夫算出15位⼩数的圆周率，打破了当时的世界纪录。
后来他⼜将这个数值推进到了35位。
18世纪初，圆周率算到了72位。
19世纪，⼜先后求到了140位，200位，500位。
1973年，有⼈花了15年时间，算到了707位。
小学素材数学家名人故事：刘徽个人简介
数学家名人故事：刘徽个人简介
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位。
他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则;改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3。
14的结果。
刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。
《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。
他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
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他用割圆术，从直径为2 尺的圆内接正六边形开始割 圆，依次得正12边形、正24 边形……，割得越细，正多边 形面积和圆面积之差越小， 用他的原话说是“割之弥细， 所失弥少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周合体而 无所失矣。”他计算了3072 边形面积并验证了这个值．
圆周率（π）是一个无限不循环小数，也是一个 无理数。圆周率用于圆的周长和面积的计算。 小数点后100位： 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
第三组
刘徽（约公元225年—295年），汉族，山 东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典 数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个 非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产.刘 徽是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论 证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探 求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他 给我们中华民族留下了宝贵的财富。
中国数学家刘徽在注释《九章算术》时（263 年）只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也 得出精确 到两位小数的π值，他的方法被后人称 为割圆术。南北朝时代的数学家祖冲之进一步得 出精确到小数点后 7位的π值（约5世纪下半叶）， 给出不足近似值3.1415926和过剩近似值 3.1415927，还得到两个近似分数值，密率 355/113和约率22/7。