一元二次方程的构造
人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 一元二次方程
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
不同 点
探究新知
素养考点 一元二次方程一般形式的有关概念
例 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常 数项.
二次项、二
解： 去括号，得
次项系数、一次
3x2-3x=5x+10
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
(3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为
a×22+b×2+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
课堂小结
一元二次 方程
定义 等号两边都是整式，只含一个未知 数且未知数的最高次数是2的方程
概念
判断 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次）
巩固练习
（3）4x(x+2)=25
(4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二 次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。
专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。
一元二次方程的构造
一元二次方程的构造一元二次方程是数学中的重要概念，它由一次项、二次项和常数项组成，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c都是实数且a不等于0。
这篇文章将探讨一元二次方程的构造及其相关概念。
一元二次方程的构造是指根据已知条件，通过解方程来求得方程中的未知数。
解一元二次方程的过程可以通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法进行。
我们可以通过因式分解的方法来构造一元二次方程。
对于形如(x +a)(x + b) = 0的方程，我们可以通过求解方程(x + a) = 0和(x +b) = 0来得到方程的解x = -a和x = -b。
因此，如果我们已知一元二次方程的两个根，就可以通过(x - r1)(x - r2) = 0的形式来构造方程，其中r1和r2分别是方程的两个根。
我们可以通过配方法来构造一元二次方程。
通过将方程的二次项与常数项进行配方，可以将一元二次方程转化为完全平方的形式。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0的形式，从而得到方程的解x = -3。
除了因式分解和配方法，我们还可以通过求根公式来构造一元二次方程。
求根公式是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个根可以通过以下公式来求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过求根公式，我们可以根据一元二次方程的系数来构造方程的根。
如果我们已知一元二次方程的一个根r，那么可以构造一个满足方程的另一个根为s的方程。
根据求根公式，我们可以得到方程的系数与根的关系：s = (-b - r) / a通过求根公式，我们可以将一元二次方程的根与系数进行转换，从而构造满足特定条件的方程。
总结一下，一元二次方程的构造是根据已知条件通过解方程来求得方程中的未知数。
通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法，我们可以根据方程的根或系数来构造一元二次方程。
一元二次方程
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?
(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1) a2-4=0
a+2≠0 ∴a=2 ∴当a=2时，原方程 是一元一次方程
(2) a2-4≠0
∴a≠±2
∴当a≠±2时，原 方程是一元二次方 程
三、方程的根
2、(2019·大连)某房屋开发公司经过几年 的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4 万平方米，到2019年的7万平方米．设这两 年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均 增长率为x，则可列方程为
1.将方程化成一般形式. 2.解方程时选取方法要恰当。 3.应用根与系数关系时，要
特别注意应，b2-4ac≥0. 3.一元二次方程系数可以判断
系数是___b______,常数项是_______
1.下列关于x的方程中是一元二次方程 的是（ D）
A. 3x24xB5. 2 2x23x2y4
C. x2 2 1D. 0 2x
E. a2xbxc0
2x2 32x 7 6
2、方程①
5 3y
y2
1
②
x2
3x 10 2
14.若方程(x+1)(x+a)=x²+bx-4，则( ) A. a＝4，b=3 B. a＝-4，b=3， C. a＝4，b=-3 D. a＝-4，b=-3
求证：
（1）对于任何实数x，均有：2x24x3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式 3x2 5x1的
值总大于 2x24x7 的值。
(5)X2=X(X+1)+36 (6)ax2+bx+c=0(a≠0)
构造一元二次方程解题
四.用根的判别式构造一元二次方程
5．已知 14（b-c）＝（a﹣b）（c﹣a）
且a≠0，则 b+c ＝
．
a
答案：2
五.用求根公式构造
7．已知a＝
1 8
求（ 1+ 1-4a）3﹣ 2
（ 1+ 1-4a）2+a×（ 1+ 1-4a）+4的值．
2
2
答案：4
六.运用主元法构造
6．已知a＞b＞0，且a2+b2＝6ab，求 的值a+b ．
构造一元二次方程技巧
肇东市宋站中学校
一. 已知两根求作新的方程
以x 1,x2为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x2 (x1 x2 )x x1x2 0
1.已知两个数的和等于2，积等于-
15，则这两个数中较大的
是
． 答案：5
变式.已知两个数的差等于2，积等
于15，则这两个数中较大的
是
4.已知m=1+ 2 ，n=1- 2，且（7m2﹣14m+a） （3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9 【分析】观察已知等式可知，两个括号里分别
有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可由已知m、n的 值移项，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代 入已知等式即可． 故选：C．
a-b
答案： 2
总结
构造一元二次方程既是一种重要 的数学方法，又是一种常用的数学思 想，某些非一元二次方程问题，若能 抓住其特征，则可以用过构造一元二 次方程来解决。
． 答案：5或-3
二.由根的定义构造一元二次方程
2.两个不相等的实数m，n满足
如何构造一元二次方程解题
如何构造一元二次方程解题
一元二次方程是数学中最基础的方程之一，它可以用来解决很多实际问题，所以掌握一元二次方程的解题方法是很重要的。
一元二次方程的形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
解题思路可以分为以下几个步骤：
1、观察一元二次方程的系数，确定求解方法。
如果系数
a不等于0，则可以用常见的解法求解；如果系数a等于0，
则可以用特殊的解法求解。
2、把一元二次方程化为一元一次方程，解出x的值。
如
果系数a不等于0，则可以使用二次公式求解：x=（-b±√（b²-
4ac））/2a；如果系数a等于0，则可以使用求根公式求解：
x=-c/b。
3、根据求出的x值，检验是否满足一元二次方程，从而
得出最终解。
以上就是构造一元二次方程解题的步骤，简单明了，易于理解。
掌握了上述方法，就可以更有效地解决一元二次方程的问题了。
一元二次方程的求解是数学中常见的问题，在实际生活中也有很多应用。
例如，在经济学中，可以用一元二次方程来解
决消费者理性投资的问题。
此外，在物理学中，可以用一元二次方程来求解物体运动轨迹和动量定理等问题。
综上所述，一元二次方程是数学中非常重要的方程之一，掌握它的求解方法对于解决实际问题非常有帮助。
因此，我们应该积极研究数学，努力掌握一元二次方程的解题方法，以便在实际生活中应用。
第3讲数学第2章《一元二次方程》
八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
2、因式分解法是解一元二次方程的最常用的方法。
3、“a ≠0”是一元二次方程的前提，是一个重要的隐含条件。
4、因式分解法将一元二次方程转化成一元一次方程来解，体现了“转化化归”的数学思想。
例题精选：例1、把方程（2x －1）（3x+2）＝x 2+2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.例2、已知关于x 的方程()()012112=--+++x m x m m，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并猜测方程的解； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？例3、用因式分解法解方程：（1）2x 2－5x ＝0 （2）x （2x －7） + （2x －7）＝0（3）4x 2－9＝0 （4）25（x+3）2－16＝0（5）（2x+1）2＝2（2x+1） （6）4x 2－4x+1＝0（7）4（y －1）2＝（3y+1）2 （8）（3x+2）2－2（3x+2）－3＝0例4（1）若一元二次方程ax2－bx－2017＝0有一个根是－1，则a+b＝ . （2）若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2＝0的常数项为0，则m的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 0（3）解方程3x（x+2）＝5（x+2）时，两边同除以x+2，得3x＝5.你认为对还是错： . （4）若x＝n是关于x的方程x2+mx+2n＝0的非零实数根，则m+n的值为 .（5）已知实数m，n满足3m2+6m－5＝0，3n2+6n－5＝0，且m≠n，则nm + mn＝ .例5、已知a，b为实数，关于x的方程x2-（a-1)x+b+3＝0的一个根为a+1，（1）用含a的代数式表示b；（2）求代数式b2－4a2+10b的值.例6、（1）已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式（m2－m）（m－2m+ 1）的值. （2）已知m2+m－1＝0，求m3+2m2－2018的值.（3）已知3x2－x＝1，求9x4+12x3－2x2－7x +2018 的值学生练习：1关于x的一元二次方程（m2－m－2）x2+mx+1＝0成立的条件是（）A.m≠－1B. m≠2C. m≠－1 或 m≠2 D . m≠－1 且 m≠22、下列方程中，一元二次方程共有（）①x2－2x－1＝0；②1y+ 3y－5＝0；③－x2＝0④(x+1)2+y2＝2；⑤(x－1)(x－3)＝x2.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个3、若关于x的一元二次方程()1-a x2+x+a-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A.-1B. 0C. 1D.-1或14、利用平方法可以构造一个整系数方程.如：当x=12+时，移项得x-1＝2，两边平方得（x-1）2＝()22，所以得x 2－2x －1＝0.依照上述方法，当x ＝216-时，可以构造出一个整系数方程是（ ） A. 4x 2+4x+5＝0 B. 4x 2+4x －5＝0 C. x 2+x+1＝0 D. x 2+x －1＝05已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，若4a －2b+c ＝0，则它的一个根是（ ）A.－2B. －12 C. －4 D. 26若关于x 的方程x 2+(m+1)x + 12＝0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则m 的值为（ ）A.－52B. 12C.－ 52或12 D. 17、若x 0是方程ax 2+2x+c ＝0的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝（ax 0+1)，则M 与N 的大小关系正确的是（ ） A .M>N B. M ＝N C. M<N D. 不确定8、若a 是方程x 2－2x －1＝0的解，则代数式2a 2－4a+2017的值为 .9、已知关于x 的方程()()012342=-++---m x m x m m m是一元二次方程，则m = .10、已知m ，n 都是方程x 2+2017x －2019＝0的根，则（m 2+2017m －2018)(n 2+2017n －2020)＝－ .11、若关于x 的方程a(x+m)2+b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1 （a ≠0),则方程a(x+m+2)2+b ＝0的解是 .12、解方程：（1）2x 2－6＝0 （2）（x －4）2＝16（3）2（3x －2）2＝34 （4）3（x+5）2＝11（5）（x －1)2－2(x －1)＝0 (6)(2x+1)2＝6x+3（7）（3x－4)(x+1)+4＝0 (8)x(x－10)+25＝02 是方程x2－4x+c＝0的一个根，求c的值.13、已知x＝514、若方程x2－6x－k－1＝0与x2－kx－7＝0仅有一个公共的实数根，试求k的值和公共的根.15、已知m是方程x2－2x－5＝0的一个根，求下列代数式的值：（1）m3－2m2－5m－9；（2）m3+m2－11m－916、设a>2,b>2，试判断关于x的方程x2－(a+b)x+ab＝0与x2－abx+(a+b)＝0有没有公共根，请说明理由.17、选取二次三项式ax2+bx+c（a0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如：①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2＝（x－2）2－2；②选二次项和常数项配方：x2-4x+2＝（x－2）2+（22－4）x或原式＝（x+2）2+（22+4）x③选取一次项和一次项配方：x2-4x+2＝（2x－2）2－x2.根据以上材料，解决下列问题：（1）写出x2-8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy－3y+3＝0，求y x的值.八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
谈谈构造一元二次方程解题
再 由一 元 二 次 方 程 根 的定 义 可 类 比构 造 以 ａ ， ａ ： 为 根 的一 元 二 次 方 程 （ —ａ ） （ —
ａ ）＝Ｏ ｏ 进而结合（ ＋ｂ 。 ） （ ７＋ｂ ２ ）：ｌ ， 知
（ ＋ｂ １ ） （ ＋６ ２ ） 一１＝ （ —ａ １ ） （ —ａ ２ ） 。
裨益 ．
８ ＋ｌ ３ ）＋２ （ 一８ ＋１ ３ ） ＋（ 一８ ＋
１ ３ ）＋１ ０ ； 一８ ＋ｌ ５＝ （ 一８ ＋１ ３ ） ＋
２ ； 故原式 ： １ ０：５
３ 根据方程根 的判别式 ， 构 造一元二
次方 程
（ 河北 省 廊 坊 市 第 十 小 学 陈 敬 艳
一
例１ 设 ｓ ， ｔ 为实 数且 １ ９ ｓ ＋９ ９ ｓ＋１＝
－
一
０ ， ｔ ２ ＋ ９ ９ ＋ １ ９ ： Ｏ ， ｓ ≠０ ， 求 堕 ｝
的值 ．
４ ａ ｃ ） ＋ （ ２ 。 ｃ 一 ６ ） ・
（ — ｂ ＋ ￣ ／ ｂ ２ － ４ ａ ｃ
分 析： 注 意 求 值 对象的 ／ ＿
一
在分式 的学习中， 经常遇到一些 分式 问
题． 按部 就 班地 依 靠 分 式 的基本 性 质 很 难 解 决， 必须 注 意 巧 用 一 定 的方 法 ． 现 举 例 介 绍
如下 ：
３ 口： ｃ 变 形为 口 ） 一６ ＋ｃ：０ ， 即
一
口 。
ｂ ｘ ＋ｃ＝０有 实数 解 ， 从而 △ ＝ ｂ 。一
Ｚ ａ
分析 ： 由题 设 ｓ ｔ ≠ ０知 ５≠ ０且 ｔ ≠０ ．
注意 到 两 个 方 程 系 数 间 的联 系 ， 将 １ ９ ｓ ＋ ９ ９ ｓ＋１：０变 形为 ＋９ ９ ＋１ ９：０ ， 即 （ ） ＋９ ９１ ＋１ ９：Ｏ
构造一元二次方程解题的六种方法
构造一元二次方程解题的六种方法类型一、利用根的定义构造：若已知等式具有相同的结构，则可把某两个变元看做是关于某一个字母的一元二次方程的两根.1．已知 p ²－2p－5=0 ，1/q ²－2/q－5=0，其中p，q为实数，且pq≠1，求p2＋1/q ²的值。
解：易知q≠0 ，故由 pq≠1 可得p≠1/q ，又1/q ²－2/q－5=0 即（1/q）2 －2（1/q）－5=0 与 p ²－2p－5=0 形式相同，从而可知 p，1/q为方程 x2－2x－5=0的两根，∴ p ＋1/q =2, p ·1/q =－5,∴ p2＋1/q ²=（p＋1/q）2－2p·1/q = 4－2×（－5）= 4＋10 = 14 。
方法点拨：上题中因为有 p≠1/q这个条件，因而可以逆用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 x²－2x－5=0，从而利用韦达定理得解。
(1) 当b=c时，易得a=b=c，显然2c=a+b(2) 当b≠c时，则可把b-c、a-b、c-a当做是有两个相等实数根的一元二次方程(b-c)x²+(a-b)x+c-a=0的系数.又∵(b-c)+(a-b)+(c-a)=0, ∴x1=x2=1,由根与系数的关系得x1·x 2=(c-a)/(b-c)=1，即2c=a+b.7. 已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，求证：1/m+1/m=2/p．证明，由已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，得n²(p－m) ²－4mp(m－n)(n－p)＝0．∴方程p(m－n)x²＋n(p－m)x＋m(n－p)＝0(m≠n)有两个相等的实数根．∵p(m－n)＋n(p－m)＋m(n－p)＝0，∴方程的两个实数根为x1＝x2＝1．根据根与系数的关系，得1×1=m(n-p)/p(m-n)化简得mn＋np＝2mp，∴1/m+1/m=2/p（m≠n）当m＝n时，由已知可得p＝m，此时亦有1/m+1/m=2/p成立，。
一元二次方程的知识点总结
一元二次方程知识点的总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为 的一元.二次方程(2) 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）， 则a=0或(3） 法 （4) 法,其中求根公式是 当 时,方程有两个不相等的实数根.（5) 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值题（1） 一元二次方程的应用 (2） （3) 可用于解决实际问题的步骤 （4）（5）（6） 知识点归类建立一元二次方程模型知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式.例 下列关于的方程,哪些是一元二次方程？ ⑴；⑵；（3)；（4)；（5）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为(a ，b ，c 是已知数，)。
其中a ，b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.注意:（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
（3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）; （2）； （3)例2 已知关于的方程是一元二次方程时,则知识点三 一元二次方程的解一元二次方程使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
构造一元二次方程解题
构造一元二次方程解题在近年的中考或数学竞赛中，常常会出现构造一元二次方程求解的问题。
对于此类问题，如果我们能够根据题目的特征，巧妙地运用所学的知识构造一元二次方程求解，往往可收到事半功倍的效果。
下面举例说明，希望同学们能够从中受到有益的启示。
一 利用相反数的性质构造例1 若代数式m 2 + 3与4m + 1互为相反数，则m -2等于（ ）A. 4B. - 4C.D. -41 解 由相反数的性质（互为相反数的两个数或两个式子之和为零），得m2 +3 + 4m + 1 = 0，即m 2 + 4m +4 = 0，(m + 2)2 = 0，解之得：m = - 2，所以m -2 = (-2)-2 =41，故本题应选C 。
二 利用同类项的定义构造例2 如果两个单项式 -a a y x 232+与1423+a y x 的和仍是单项式，试求这个单项式。
解 由同类项的定义，得a 2 + 3 = 4，解之得a = ± 1；2a = a 2 + 1，解之得a = 1，所以a = 1。
则所求的单项式为：-2x 4y 2 + 3x 4y 2 = x 4y 2。
三 利用同类二次根式的概念求解例3 若最简二次根式35-a 与32+a 是同类二次根式，则a 的值为( )A. 2或3B. -2或3C. 3D. 2解 由同类二次根式的定义可知：5a – 3 = a 2 + 3，解之得a 1 = 2，a 2 = 3。
但当a = 3时，已知为12，它不是最简二次根式，所以a 只能取2，故本题应选D 。
四 利用非负数的性质构造例4 已知实数x 、y 满足9x 2 + 12x + 4+2-y =0，求代数式2x y 的值。
解 因9x 2 + 12x + 4 = (3x +2)2 ≥ 0，2-y ≥ 0，且(3x + 2)2 +2-y = 0，则由非负数的性质（几个非负数之和为零，则每个非负数为零）得(3x + 2)2 = 0且2-y = 0，解之得x = -32，y = 2。
中考复习：一元二次方程在几何题型的应用
有关代数与几何的综合题一直是中考的热点.在解答一些几何问题时，若能立足于知识间的横向联系，依据题设找到图形的已知元素和未知元素之间的等量关系，恰当地建立一元二次方程模型，再借助方程的知识来解答，则可使问题化繁为简、化难为易.下面就如何根据题目的条件来构造一元二次方程举例予以说明.一、利用勾股定理构造一元二次方程勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.因此，在遇到与直角三角形有关的几何问题时，可以考虑利用勾股定理建立等量关系，构造一元二次方程来解题.例1如图1，在△ABC 中，AC =6cm ，BC =8cm ，点P 从A 点出发沿AC 边向C 点以1km/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以1.5cm/s 的速度移动，在点B 停止，点P ，Q 分别从A 、C 同时出发4秒钟后PQ =210cm ．（1）求证：∠ACB =90°；（2）若点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ =BQ ．分析：（1）根据勾股定理的逆定理即可求解；（2）PC =6-x ，CQ =1.5x ，BQ =8-1.5x ，利用勾股定理和PQ =BQ 列出方程，求出答案．解：（1）P 、Q 同时出发4秒钟后：PC 2=(6-4×1)2=4，QC 2=(1.5×4)2=36，∴PC 2+QC 2=4+36=40，∵PQ =210，∴PQ 2=40，∴PC 2+QC 2=PQ 2，∴∠PCQ =90°，即∠ACB =90°；（2）设经过x 秒钟后PQ =BQ ，则PC =AC -AP =6-x ，CQ =1.5x ，BQ =8-1.5x ，而PQ =BQ ，∴PQ 2=BQ 2．∵PQ 2=PC 2+QC 2=(6-x )2+(1.5x )2，∴(6-x )2+(1.5x )2=(8-1.5x )2，解得：x 1=2，x 2=-14（不合题意，舍去）.答：经过2秒钟后，PQ =BQ ．评注：此题考查一元二次方程的实际运用.解题的关键是设出运动时间x ，并用x 表示相关线段的长，然后利用勾股定理构造出一元二次方程解题.另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．二、利用面积公式构造一元二次方程在解答几何图形的计算问题时，可以在面积或体积方面找相等关系，然后构造一元二次方程模型来解题.对于规则图形，如三角形、平行四边形、梯形等几何图形，我们可以直接套用面积公式.对于不规则的图形，我们可以通过分割或者补全的形式转化成规则图形，然后找出各部分面积之间的关系列出方程.例2如图2，△ABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =4cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以2cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t (s).（1）若△PCQ 的面积是△ABC 面积的图1图2中考复习：一元二次方程在几何题型的应用14，求t的值.（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．分析：（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为12×4×8=16，△PCQ的面积为12t(8-2t)，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系S△PCQ=12S△ABC列方程求出t 的值，但方程无解．解：（1）∵S△PCQ=12t(8-2t)，S△ABC=12×4×8=16，∴12t(8-2t)=16×14，整理得t2-4t+4=0，解得t=2．答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC 面积的14；（2）当S△PCQ=12S△ABC时，12t(8-2t)=16×12，整理得t2-4t+4=0，△=(-4)2-4×1×8=-16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．评注：本题考查一元二次方程和三角形的面积公式的应用.解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用面积公式和面积之间的关系建立等量关系，列出一元二次方程，再求解即可．三、利用相似比构造一元二次方程如果两个三角形相似，相对应的边的比值相等，且周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.相似三角形中的等量关系也可以为我们构造方程解题创造条件.对于一些平面几何问题，同学们在解题时要注意挖掘图形中的边角关系，证明三角形相似，然后利用相似三角形的性质，根据线段间的比例关系构造一元二次方程使问题获解.例3如图3，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.其中只要有一点到终点，运动即停止.问：几秒后PQ⊥DQ.分析：如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，对应边成比例，再设AP=y cm，QB=2y cm，求出y即可．解：设y秒后PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，∴∠BQP+∠DQC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠B=90°，∴∠BQP+∠QPB=90°，∴∠DQC=∠QPB，∴△BPQ∽△CQD，∴BP CQ=BQ CD，设AP=y，QB=2y，∴6-y12-2y=2y6，∴2y2-15y+18=0，解得：y=32或6，经检验y=32是原分式方程的根，y=6不是原分式方程的根，舍去．答：32秒后PQ⊥DQ．评注：此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质.解题的关键是用含有未知数的代数式表示线段的长，然后根据相似三角形的性质，找出线段间的比例关系列出方程求解.图3。
一元二次方程课件2021-2022学年湘教版数学九年级上册
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
一元二次方程(讲义)
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
ax2+bx+c=0 (a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。
一元二次方程构造法
一元二次方程构造法一元二次方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在解一元二次方程的过程中，我们可以使用构造法来帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将详细介绍一元二次方程构造法的基本原理和应用。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在使用构造法解一元二次方程时，我们可以先构造一个与原方程具有相同根的新方程，然后通过求解新方程来得到原方程的解。
我们来看一下如何构造一个与原方程具有相同根的新方程。
假设原方程的根为x1和x2，我们可以构造一个新方程(x-x1)(x-x2)=0。
这个新方程的解同样是x1和x2，因此我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
接下来，我们来看一下如何应用构造法解一元二次方程的实际问题。
假设有一个矩形的长和宽分别为x和2x，其面积为12平方米。
我们可以通过构造方程x*(2x)=12来解决这个问题。
首先，我们将方程变形为2x^2=12，然后再除以2得到x^2=6。
接着，我们可以构造一个新方程(x-√6)(x+√6)=0，通过求解这个新方程，我们可以得到x的值，进而求得矩形的长和宽。
除了求解一元二次方程的根，构造法还可以帮助我们推导一些与方程相关的性质。
例如，通过构造方程(x-p)(x-q)=0，我们可以得到二次方程的判别式D=b^2-4ac，其中p和q为方程的根。
这个判别式可以帮助我们判断方程的根的性质，从而解决一些与方程相关的问题。
总结一下，一元二次方程构造法是解决一元二次方程问题的重要方法之一。
通过构造一个与原方程具有相同根的新方程，我们可以更好地理解和解决问题。
构造法不仅可以帮助我们求解方程的根，还可以帮助我们推导与方程相关的性质。
因此，在解决一元二次方程问题时，我们可以尝试使用构造法来提高解题效率和准确性。
希望本文对你理解一元二次方程构造法有所帮助，如果还有其他问题，请随时提问。
一元二次方程的解法情况总结
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)[有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0] .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±配方法:1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根)2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6.左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0；2. 将方程左边分解为两个一次式的积；3. 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。