中考数学专题：例谈“双勾模型图”的提炼及其应用含答案试卷分析详解

例谈“双勾模型图”的提炼及其应用

数学教学中，适时地对课本的定理进行适当的延伸与提炼，形成模型，再利用模型去分析和解决问题，能缩短思考时间，提高解题效率.下面举例说明.

1.题目

笔者在教学勾股定理内容时，为帮助学生形成新的模型图，给出下面这道题:

在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，求证: 22222AB BD AC CD AD -=-=.

这是一道无图题，蕴含分类图，图有两种可能，如图1、图2.

即由AD BC ⊥，得

222222

,AB BD AD AC CD AD -=-=，

所以22222AB BD AC CD AD -=-=.

这个模型图在初中数学中应用广泛，我们把这两个图形形象地称之为“双勾模型图”.

2.双勾模型图的应用

例1 (2016年益阳中考题)如图3，在ABC ∆中，15,14,13AB BC AC ===，

求ABC ∆的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.

1.作AD BC ⊥于D ，设BD x =，用含BD x =的代数式表示CD .

3.利用勾股定理，求出AD 的长，再计算三角形面积.

解析 由双勾模型图3，得

2222AB BD AC CD -=-.

设BD x =，则14CD x =-,

即22221513(14)x x -=-,

解得9x =.

12AD ∴=

=, 即12

ABC S BC AD ∆=⋅ 11412842

=⨯⨯=. 评析 本题求面积实际上是求一边上的高.利用双勾模型图1求出BD 的长，然后利用

勾股定理即可求出高AD 的长.

例2 如图4，四边形ABCD 中，BD AC ⊥.求证: 2222AD BC AB CD +=+. 解析 由双勾模型图1得:

2222AD AE CD CE -=-，

2222AB AE BC CE -=-.

将两式相减，得

2222AD AB CD BC -=-，

即2222AD BC AB CD +=+.

评析本题把图形看成两个双勾模型图(1)，利用双勾模型图的结沦很容易解决，这也体现了利用模型图给解题带来的简便.

例3 如图5，在ABCD 中，求证：222222AC BD AB BC +=+.

解析 作DE BA ⊥于点E ，CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，

则90AED BFC ∠=∠=︒CD EF =，.

由三ABCD ，得

,AB DC EF AB CD ===.

由双勾模型图1，得

2222

BD BE AD AE -=-，

由双勾模型图2，得

2222AC AF BC BF -=-.

22222222BD BE AC AF AD AE BC BF -+-=-+-，

即2222

()()()()AC BD AF BF AF BF BE AE BE AE AD BC +=+-++-++ 2()()2AF BF AB AB BE AE BC =++-+

2()2AF AE BF BE AB BC =-+++

2()2EF EF AB BC =++

222EF AB BC =+

评析 题中出现了线段之间的平方关系，易联想到勾股定理，为此作高构造直角三角形，形成了双勾模型图，利用这个模型图即可完成证明.

例 4 如图6，正方形ABCD 和正方形BEFG ，AG 、CE 相交于点H .若24AE CG ==，求正方形ABCD 和正方形BEFG 的面积之和.

由正方形ABCD 和正方形BEFG ，得

,AB CB BG BE ==，

90ABC GBE ∠=∠=︒，

∴ABG CBE ∠=∠，

可得ABG CBE ∆≅∆，

∴BAG BCE ∠=∠.

从而CAH ACH ∠+∠

CAH ACB BCE =∠+∠+∠

CAH ACB BAG =∠+∠+∠

90=︒，

即AG CE ⊥.

由双勾模型图1及例2，易推得

2222CG AE AC EG +=+，

由24AE CG ==，得2CG =，

∴22222420AC EG +=+=.

222211()201022

AB BE AC EG +=+=⨯=. 评析 题中“正方形的母子图”中有一个重要的结论:AG 与CE 既相等，又垂直.由垂直，联想到双勾模型图，便能顺利解答.当然，解本题时，若有例2的模型图在心中，就更易解答.