研究物体机械运动规律的一门学科

t t0 dt
瞬时速度的大小等于瞬时速率.
质点作平面曲线运动，运动方程为
rt
2ti
t
2
j
求：质点在1～3秒内的平均速度大小和第三秒
末的速度大小。
解：
v
r
t 2
r
r (3)
r1
r1
t 2i
j
r (3) 6i 9 j
r 4i 8 j
v 2i 4 j
v
22 42 4.47m / s
向轨迹曲线凹的一侧。
1. 掌握位矢、位移、速度、加速度等描述质点运
动的物理量（基本概念）。
r
rt
xt
i
yt
j
r v
r2 dr
r1 xi
dx
i
dy
yj j
dt dv
dt d2
r
dt d2x
d2y
a dt dt 2 dt 2 i dt 2 j
描述质点运动的物理量的三个共性：
P(t)
r
rP
rQ
Q(t+△t)
x
o
位移矢量：质点初位置指向末
位置r 的 有PQ向线rQ段。rP
z
r ( xi
x2 x1 )i ( yj zk
y2
y1 ) j
r
(z2 z1 )k
x2 y2
z2
1、位移是矢量，既有大小又有方向。 2、位移与路程是两个不同的物理量。
位移只决定于始末位置，与 过程无关，状态量；
B
O RA
lim lim lim
a
t 0
v t
t 0
vn t
t 0
v t
ann a
法向加速度： an
lim vn
t0 t
vs lim
t0 Rt
v s lim
R t0 t
lim s t0 t
ds dt
v
an
v2 R
方向 n 指向圆心。
切向加速度：
a
lim v
t0 t
v
dr
2i
2tj
dt
t 3, v (3) 2i 6 j
v(3)
22 62 6.32m / s
加速度：描述质点运动速度（大小与方向）变
化的物理量
z
vP
1. 平均加速度:
a
v
t
是向为矢量v，的其方方向。
P
vP
v
Q vQ
rP
rQ
vQ
o
y
2. 瞬时加速度:
x
a
lim
坐标系 固定在参考系上，定量描述空间位置的有次序的
一组数。（直角坐标系、极坐标系、自然坐标系）
二、 运动的描述－位置、位移、速度、加速度
位置矢量 质点位置的确定：
y P(x,y,z)
直角坐标系 P（x ,y , z）
位置矢量r :
r
x
原点到P点的有向线段OP，其
o
方向说明了P点相对于坐标轴 的方位，其大小（即它的模）
速率和速度是两个不同概念
1. 平均速率 2. 瞬时速率
v
v
s
t
lim v
s ds
t0 t dt
速率是标量，瞬时速度的大小等于瞬时速率
瞬时速度的大小与瞬时速率的关系
t 0
dr dS
r
r S
lim lim v v
t t 0
S t0 t
lim lim
r
S
S t t0
t 0
lim S dS
1. 矢量性 2. 瞬时性 3. 相对性 ：与参考系的选择有关。
质点运动学的两类问题
1.
已知质点的运动方程
r
r,求(t)4个基本物理量：
位矢、位移、速度、加速度。
2. 3.
a注 度t意0 ，，求必质须点根在据某运个动时方刻程t0（的矢速量度v式t0或 分和量加速
式），
4. 通过对t求导，得到任意时刻的v 和a，再将
r t
dr dt
位置矢量对时 间的一阶导数
在直角坐标系中:
r x(t)i y(t) j z(t)k
v
dr
d
x(t)i y(t) j z(t)k
dt dt
vxi vy j vzk
速度是矢量，有大小有方向
速度的大小 : v
v
vx2
v
2 y
v
2 z
t 时刻速度的方向：质点沿运动轨迹的切线， 且指向运动一方。
arctan( 4 ) 63.4
2
a
dv
4 j
为恒量 指向 y方向
dt
第一类问题：运动方程（求导）位移、速度、加 速度
例2：设质点沿x轴作直线运动，a=2t，t =0时 x0=0，
v0=0 试求: t =2s时质点的速度和位置。
解：加速度a不是常量，将a=2t写成 ：dv 2tdt
dt
dt
(3) dv 0
dt
5、积分问题。(不定积分和定积分一样，建议 用定积分）
6、矢量式与分量式的一致性，在解题时可以相互应 用，结果是一样的。（高中时更多的是用分量式， 分解为x、y方向；在大学中要理解并应用矢量式。）
➢ 掌握直角坐标系下质点运动的位矢（位置矢量）、 位移矢量、速度矢量、加速度矢量的概念，可以在 直角坐标系下熟练地计算质点平面运动时的速度和 加速度。
a
2 y
R 2
y
v
r
a
o
x
2. 熟练计算质点在平面内运动的运动学问题（两
类问题）。
r
rt
微分
v
dr
微分
a
dv
d
2
r
dt
dt dt
a
at
dv
adt
积分
v
v0
t adt
0
v
vt
dr
vdt
积分
r
r0
t vdt
0
作业： 书P32 1-1, 1-4, 1-5, 1-7
1、位移与路程
R
cos tj
dt
大小为
v
vx2
v
2 y
R
y
v
质点作匀速率圆周运动
r
tg vy cost ctgt
o
x
vx sin t
t 2 2
β：速度方向
与x 轴夹角
a
dv
R 2
costi
R 2
sin tj
dt
2
R costi R sin tj
2
r
大小为
a
a
2 x
t 0
v t
dv dt
d dt
dr dt
d
2
r
dt 2
在直角坐标系中，a 的分量式
a axi ay j azk
a a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
ax
dv x dt
d2 x dt 2
a y
dv y dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
当质点作曲线运动时，a 的方向总是指
z
r OP
表明了P点到原点的距离。
质点被限制在一平面内， 大小和方向分别为：
如在XY平面内运动，其位
置矢量表示为：
r x2 y2
r xi yj
arctg( y x )
质点的运动方程：
质点的位置随时间t的变化，即位置矢量的大小
和方向随时间t的变化。
r r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
矢量式
x x(t) , y y(t) , z z(t) 分量式
消去 t 即为质点运动的轨道方程(在空间经过的路径）
位移：质点在一段时间内位置的改变（大小和方向）
y
P(
x1
,
y1, z1 , t )
Q( x2 ,
y2 ,
z2, t
t )
rP
x1i
y1
j
z1
k
Leabharlann Baidu
rQ x2i y2 j z2k
➢ 掌握运动学两类基本问题的计算。
三、 典型运动—圆周运动
圆周运动是曲线运动的一个重要特例，一般
圆周运动中质点的速度大小和方向都在改变， 并普遍采用自然坐标系。
一. 切向加速度和法向加速度
t 时刻
A点：
v
A
t+t
时刻
B点:
v
B
v
vB
vA
vn
v
vn 方向改变量
v 大小改变量
v
vB
vA
v vn
注意！
2、瞬时速度与瞬时速率
3、r质 点r作2 平r1面不曲要线将运动r，与运动r 方混程淆为。
r( r
t)
2ti r2
r1
t
2
j
求质点在1～3s内的平均速度和 t=3s 时的速度。
4、质点在平面上运动，分别指出下列三种
情况中质点做何种特征的运动。
(1) dr 0 (2) dr 0
lim vB vA
t0 t
lim v dv t0 t dt
a的方向为 切线方向与该点速度同向或反向
v
vB
vA
v vn
B
O
RA
自然坐标系：
以运动质点为坐标原点，以质点的运动方向
为一个坐标轴，称为切向；取垂直于切向、
且指向轨道凹的一侧的方向为另一个坐标轴，
称为法向。
v
a
a
ann
dv dt
第一篇 力 学
力学 研究物体机械运动规律的一门学科。
机械运动 物体在空间的位置随时间的变化，是最
简单、最基本、最常见的一种运动形式。
力学分三部分：
静力学 研究力的基本性质、力系的简化与平衡 条件。
运动学 从几何方面研究物体运动的规律，不考 虑影响其运动的原因。（第一章）
动力学 研究物体的运动与所受作用力间的关系。 （第二章～第五章）
点的位置、速度和加速度矢量的表示式。
【解】 将 t 消去可以得到轨道方程
y
x2 y2 R2 质点沿此圆周运动
位置矢量表示为
r xi yj
r
o
x
R costi R sin tj
大小为
r
x2 y2 R
tg sin t tgt cost
速度v可以d由r位矢对Rt求导si得n 到ti
x 2t , y 4t 2 8
求 t=1→2s 时质点的位移；t=2s 时质点
的速度和加速度
【解】 位置矢量为
r
xi
yj
2ti
(4t 2
8)
j
位移r
r2
r1
2i
12
j
速度为
v
dr
2i
8tj
加速度为
a
dt dv
8j
当t
2s时，v
dt 2i
8
j，a
8
j
课堂练习
v2 R
n
a
a
a
a
2 n
a2
v2 R
2
dv dt
2
an
O
arctg a
an
an
v2 R
,
dv a dt
☺ 小结
1.
a
dv dt
描述速度大小的变化。
2.
an
v2 R
描述速度方向的变化。质点若作直 线运动，则法向加速度为零。
3. 推广至一般平面曲线运动
a
v2
n
dv
dt
：曲率半径。
题2：一质点作沿x轴运动，已知：a 2 6 x2
t 0时 x0 0 ; v0 0 求v( x)
【解】 a dv ; dv (2 6x2 )dt
dt
应用微分 变换：
a dv dv dx v dv dt dx dt dx
adx vdv
x (2 6 x 2 )dx
v
vdv
主要内容：
质点运动学的三个基本概念 运动的描述—四个基本量 典型运动—圆周运动 相对运动
一、 三个基本概念—质点、参考系、坐标系
质点 研究一个物理现象必须分离出所有那些使我们的 日常经验复杂化的外部因素。建立理论模型以突 出主要性质。 只有质量而忽略物体大小和形状的理想物体。
参考系 为描述一个物体运动而选作参考的另一物体。
o
24
x
和加速度。
解: (1) t 1s
r1
2i
r
r2
r1
17 j; 2i 6
t
j
2s
r2
4i
11 j
r
22 62 2 10 6.3 (m)
r和x轴正方向夹角
arctan 6 71.6
2
(2)
v
dr
2i
4tj
dt
v |t1 2i 4 j ; v 20 4.5(m / s)
v0
,
dt
r r0
在0至t时间内，速度由v0变为v，将上式两边积分
t
v
v0
a
0
v
(t )dt
dr
任意时刻t质点的速度
dr vdt
dt
在0至t时间内，位矢由r0变为r，则有
t
r
r0
v (t )dt
0
任意时刻t质点的位矢
课堂练习
题1：一质点在 xy 平面上运动，运动函数为
对两边积分：
v
dv
t
2tdt
;
0
0
v dx t 2 (1) dt
dx t 2dt ;
x
dx
t t 2dt ;
x 1 t3
(2)
0
0
3
把t=2s分别代入(1)、(2)得：
v 4m / s
;
x
8 3
2.67m
第二类问题：加速度（积分）速度、位置
归纳
设质点加速度 a
a
da已vt知 ，当t=d0v时，adtv
2. 已t知=t质0 点的加速度 at 和运动的初始条件（t=0
5.时代的入r0即和可v0）。，通过积分，求出质点的速度和位
置矢量。
例1：r已知2质ti点 运(19动方2程t 2 )：j
y
17
P
r
11 Q
求：（1）在 t=1s 到 t=2s 这一段时
r1
间内，质点位移大小和方向。
r2
（2）当 t=1s 时，质点的速度
0
0
2( x x 3) 1 v 2 2
v 2 x x3
“-”舍去
注意:当已知a(v)时，也可采用此方法。
a(v) v dv ; dx vdv 即可。
dx
a(v)
课堂练习
题3：一质点在xy平面内运动，其运动函数为，
x R cost, y R sin t
式中R 和ω为正值常量。求任意时刻t 质
路程是实际通过的路径长度，
是标 量，过程量。 一般 r S
y
P(t) S
r
rP
rQ
o
Q(t+△t)
x
z
以下两种情况中，位移的大小与路程相等：
1、方向不变的直线运动中，
r
s
2、当△t→0 时，
r
s
速度：描述质点位置变化快慢和方向的矢量
在t 内
1. 平均速度
v
r
2. 瞬时速度
v
t
lim t 0
二. 圆周运动的角量描述
角位置（角坐标）： t
角位移： 单位：rad 角速度： lim d
t0 t dt
角加速度：
lim
t0 t
d
dt
d 2
dt 2