协方差相关系数(PPT课件)
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协方差与相关系数 PPT
D(V ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 17
所以
Cov(U ,V ) Cov(2X Y , 2X Y )
Cov(2X , 2X ) Cov(2X ,Y ) Cov(Y , 2X ) Cov(Y ,Y )
所以D(t0X*-Y*)=0,由方差得性质知它等价于 P{t0X*-Y* =0}=1,即P{Y=aX+b}=1
其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X)、
• 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0、 证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y), 又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
协方差与相关系数
一、协方差得概念及性质 二、相关系数得概念及性质 三、协方差得关系式
§1 协方差
• 定义:设二维随机向量(X,Y)得数学期望 (E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称 它为随机变量X与Y得协方差,记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] • 协方差有计算公式
9 ， XY
1 3
，设
U
2X
Y
，
V 2X Y ， 求 UV .
解
Cov( X ,Y ) XY
D( X ) D(Y ) 1 3
49 2
D(U ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 33
E( X ) (1) 0.15 1 0.35 0.20
协方差和相关系数的计算ppt(共24张PPT)
E(X 2) 2
D( X ) D(Y ) 2
E(Y 2 ) 2
cov(U ,V ) (a2 b2 ) 2
而 D(U ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
D(V ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
故
UV
a2 a2
b2 b2
XY 1 0 P pq
E(X ) p, E(Y ) p, D(X ) pq, D(Y ) pq, E(XY ) p, D(XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1，12，2，22，)， 求
XY ．
解
cov( X ,Y )
当D(X ) > 0， D(Y ) > 0 时，当且仅当
P(Y E(Y ) t0 ( X E( X ))) 1
时，等式成立 —Cauchy-Schwarz不等式．
证明 令
g(t) E[(Y E(Y )) t( X E( X ))]2 D(Y ) 2t cov( X ,Y ) t2D( X )
在寒冷的年代里，母爱是温暖。
协方差和相关系数的计算
cov(U ,V ) 解 在文明的年代里，母爱是道德。
继续讨论：a，b 取何值时，U，V 不相关？
E(UV
)
E(U
)E(V
)
为X，Y 的相关系数，记为
a E( X ) b E(Y ) 例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1， 12， 2， 22，2 )， 求 2XY ． 2
E( XY ) p, D( XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
X X p ,Y Y p , P(X Y ) 1
协方差与相关系数(PPT课件)
2 误差rmin (1 XY ) DY , 其 中 XY
C ov(X , Y ) 为相关系数 DX DY
相关系数的性质 相关系数满足|ρXY |≤1且
XY 1 常数a, b, 使P{Y a bX } 1
2 证 由 (1 XY )
rmin 0 知 | XY | 1 DY
则称E ( X EX )(Y EY )为随机变量X 与Y的协方差, 记 为Cov( X ,Y ), 即
Cov( X ,Y ) E ( X EX )(Y EY )
将上式展开, 易得公式
Cov( X ,Y ) E ( XY ) ( EX )( EY )
特别, 当X与Y 相互独立时，有
解 Cov(X ,Y ) XY DX DY 0.5 4 16 4 例3 设 ( X , Y ) 服从参数为 1 ,
2 2 , 12 , 2 , 的
二维正态分布 , 求X 与Y 的相关 系数.
概率统计（ZYH）
例3 解 二维正态分布的密度是
f
exp(h) 2σ1σ 2 1 ρ 2
Cov( X , Y ) Cov( X , Y ) EX , b DX DX
2
Cov( X , Y ) Cov( X , Y ) E Y EY EX X DX DX
Cov(X , Y ) X EX E (Y EY ) DX
( σ1 σ 2 u 2 ) e
t2 2
t 2 u2 2
dtdu
u2 2
σ1σ 2
Hale Waihona Puke 1 e 2dt u
概率论与数理统计协方差和相关系数精品PPT课件
X
E(
X
)Y
E(Y
)
D( X )
D( Y )
Cov( X ,Y ) . D( X ) D(Y )
6
二、相关系数 (correlation coefficient)
1、定义:设(X,Y)是一随机向量，当D(X)>0, D(Y)>0,则称数
数
记作 XY
C值OV ( X ,Y )
D( X ) D(Y )
为了克服这一缺点，在计算协方差时，先对X与Y进行标准化.即:
征 X X E( X ) ,Y Y E(Y ) ,
D( X )
D(Y )
E( X ) 0, E(Y ) 0,
= Cov( X ,Y ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) E( X Y )
=
E
准化。
=
注意:更重要的是要知道如何将一个随机变量标准化.
2
§3 协方差和相关系 数
corrCeolvaatriioannce and coefficient
一、协方差
1、定义对: 于设向(X量,YX)和是Y一，随期机望向和量方，差称只E反{[映X-了E(变X)量][各Y-自E(的Y)情]}况，
没有相互之间的关系若。X、Y相互独立, E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，
= (5) 切比雪夫不等式
D(X)= 2
(b a)2 D(X)=
12
1
D( X ) 2
设r.vX具有均值E(X)= ,D(X)=2，则对 >0 ,有不等式
=
P
X
2 2
P
X
2
1 2 .
1
P99T10： 设E(X),D(X)均存在,且D(X) ≠0
一协方差与相关系数的概念及性质-27页PPT资料
σ 1σ22π 1ρ2 u eu 2 2du tet2 2dt
ρσ 1σ2 2 2, 2
故 C X 有 ,o Y ) v ρ 1 σ 2 ( σ .
于是 XY D C (X )o X ,D Y v ()Y )(.
结论
(1)二 维正态分布 中 ,参 密数 ρ度 代函 表X数 了 与Y的相关; 系数 ( 2)二 维正态X随 与 Y机 相变 关量 系数 等价 X与 于 Y相互.独立
例 2 已知 X,Y 分 随别 机 N (1 服 ,3 变 2)N ,从 (量 0,42), ρXY 12,设 ZX3Y2.
(1) 求Z的数学期望.和方差 (2) 求X与Z的相关系 . 数 (3) 问X与Z是否相互?为 独什 立?么
解 ( 1 ) 由 E ( X ) 1 , D ( X ) 9 , E ( Y ) 0 , D ( Y ) 1 .
5. 性质
( 1 )CX o ,Y ) v C (Y ,o X )v ; ( ( 2 )C a o ,b X ) v Y a ( C b X ,o Y ),v a ,b ( 为 ;常 ( 3 ) C X 1 X o 2 , Y ) C v X 1 ( , Y ) o C X v 2 , Y ) o ( .
例1 设 (X ,Y )~ N (μ 1 ,μ 2 ,σ 1 2 ,σ 2 2 ,ρ )试 , X 与 求 Y 的
相关 . 系数 解 由f(x,y) 1
2πσ1σ2 1ρ2
ex 2p(11ρ2)(x σ12 μ1)22ρ(xμσ 11 )σ(y2μ2)(y σ2 2 μ2)2
fX(x)
1 e(x2 σ μ 1 2 1)2,x, 2πσ1
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
ρσ 1σ2 2 2, 2
故 C X 有 ,o Y ) v ρ 1 σ 2 ( σ .
于是 XY D C (X )o X ,D Y v ()Y )(.
结论
(1)二 维正态分布 中 ,参 密数 ρ度 代函 表X数 了 与Y的相关; 系数 ( 2)二 维正态X随 与 Y机 相变 关量 系数 等价 X与 于 Y相互.独立
例 2 已知 X,Y 分 随别 机 N (1 服 ,3 变 2)N ,从 (量 0,42), ρXY 12,设 ZX3Y2.
(1) 求Z的数学期望.和方差 (2) 求X与Z的相关系 . 数 (3) 问X与Z是否相互?为 独什 立?么
解 ( 1 ) 由 E ( X ) 1 , D ( X ) 9 , E ( Y ) 0 , D ( Y ) 1 .
5. 性质
( 1 )CX o ,Y ) v C (Y ,o X )v ; ( ( 2 )C a o ,b X ) v Y a ( C b X ,o Y ),v a ,b ( 为 ;常 ( 3 ) C X 1 X o 2 , Y ) C v X 1 ( , Y ) o C X v 2 , Y ) o ( .
例1 设 (X ,Y )~ N (μ 1 ,μ 2 ,σ 1 2 ,σ 2 2 ,ρ )试 , X 与 求 Y 的
相关 . 系数 解 由f(x,y) 1
2πσ1σ2 1ρ2
ex 2p(11ρ2)(x σ12 μ1)22ρ(xμσ 11 )σ(y2μ2)(y σ2 2 μ2)2
fX(x)
1 e(x2 σ μ 1 2 1)2,x, 2πσ1
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
协方差与相关系数ppt课件
为 X 与 Y 的相关系数。
特别地 ( X , X ) (Y ,Y ) 1.
例1 设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上
的均匀分布,求X与Y的相关系数.
x=y
解:
f
(
x,
y)Βιβλιοθήκη 2 0(x, y) D 其它
D
1
1
x
2
E(X
)
0
2 xdx
0
dy
3
D( X ) 1 2x2dx x dy 4 1
注 1.方差是协方差特例，协方差是方差的推广；
2.方差反映了r.v.本身的离散程度，而协方差 反映了两个r.v.离散程度及相互联系。
定义2
记Cov( X ,Y )
D( X cov(Y ,
) X
)
cov( X ,Y D(Y )
)
称它为X与Y的协方差矩阵，其中
cov( X ,Y ) cov(Y , X ).
称Y与X负相关；
当(X ,Y ) 0时，称Y与X不相关。
3.不相关与相互独立
当X与Y相互独立时( X ,Y ) 0； 但当( X ,Y ) 0时X与Y不一定相互独立.
例3
X \Y 1
2
（1）若（X,Y) 分布律为
11
9
2 9
2
2 9
4 9
判断（X,Y)不相关性与相互独立性.
(2)若( X ,Y )在xoy平 面 上 由 圆 周x2 y2 1 所 围 的 区 域D内 服 从 均 匀 分 布 ， 证 明
注
1. 1 ( X ,Y ) 1;
2.当 ( X ,Y ) 大时，Y与X的线性相关关系密切；
当 ( X ,Y ) 小时，Y与X的线性相关关系疏远。
特别地 ( X , X ) (Y ,Y ) 1.
例1 设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上
的均匀分布,求X与Y的相关系数.
x=y
解:
f
(
x,
y)Βιβλιοθήκη 2 0(x, y) D 其它
D
1
1
x
2
E(X
)
0
2 xdx
0
dy
3
D( X ) 1 2x2dx x dy 4 1
注 1.方差是协方差特例，协方差是方差的推广；
2.方差反映了r.v.本身的离散程度，而协方差 反映了两个r.v.离散程度及相互联系。
定义2
记Cov( X ,Y )
D( X cov(Y ,
) X
)
cov( X ,Y D(Y )
)
称它为X与Y的协方差矩阵，其中
cov( X ,Y ) cov(Y , X ).
称Y与X负相关；
当(X ,Y ) 0时，称Y与X不相关。
3.不相关与相互独立
当X与Y相互独立时( X ,Y ) 0； 但当( X ,Y ) 0时X与Y不一定相互独立.
例3
X \Y 1
2
（1）若（X,Y) 分布律为
11
9
2 9
2
2 9
4 9
判断（X,Y)不相关性与相互独立性.
(2)若( X ,Y )在xoy平 面 上 由 圆 周x2 y2 1 所 围 的 区 域D内 服 从 均 匀 分 布 ， 证 明
注
1. 1 ( X ,Y ) 1;
2.当 ( X ,Y ) 大时，Y与X的线性相关关系密切；
当 ( X ,Y ) 小时，Y与X的线性相关关系疏远。
43 协方差和相关系数精品PPT课件
4
12
45
XY
1 12 0.968 1 4 12 45
2) E( X ) 0, E( XY ) 0
XY 0
XY
0.968
:有96.8%的线性相似度，即在[0,1]之间，
y=x2与某条直线y=ax+b的图像差别不大。
XY 0 :根本就没有线性相关性，但有其他相关性。
三. 矩
XY
COV ( X ,Y ) 1 D( X )D(Y ) 2
例6 1) X ~ U (0,1),Y X 2 ,求 XY
2）X ~ U (1,1),Y X 2 ,求 XY
解1)
E( X ) 1 , E(Y ) 1 , E( XY ) 1 , D( X ) 1 , D(Y ) 4
2
3
解 DX 3, DY 1,
D(V ) 16D( X ) 9D(Y ) 24Cov( X ,Y ) 33, D(W ) 4D( X ) 16D(Y ) 16Cov( X ,Y ) 44,
Cov(V ,W ) Cov(4X 3Y 1,2X 4Y ) 8D( X ) 16Cov( X ,Y ) 6Cov(Y , X ) 12D(Y ) 22.
)
1 0
x 0
x
2dy
dx
2 3
D(X )
1 0
x 0
x2
2dy
dx
4 9
1 18
x=y D 1
E(Y
)
1 0
x 0
y
2dy
dx
1 3
D(Y )
1 x
0 0
y2
2dy
dx
1 9
1 18
E(XY )
协方差和相关系数精选PPT
若随机变量X与Y的相关系数 为 X ,Y 的协方差.
所以方差是协方差的特例.
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
E (X E (X )Y ) (E (Y ) co X ,Y v )( D (X )D (Y ) D (X )D (Y )
为X ,Y 的 相关系数，记为
X Y
covX(,Y) D(X) D(Y)
1, 1/2x1/2
f(x)
0,
其 它 E(X)=0,
1/2
E (X)Y E (X co X )s xco xsd 0x 1/2 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，
因而 =0， 即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
XY0
X , Y 不相关
coX ,v Y)(0 E (X ) Y E (X )E ( Y )
E (X Y ) E E ((X X )E Y ()Y ) E E ((X X ))E E (Y () Y )E (Y )E (X )
1D(XY)D(X)D(Y)
2
若 ( X ,Y ) 为离散型，
cov(X ,Y) [xiE (X )][yjE (Y)]pij i 1j 1
若 ( X ,Y ) 为连续型，
43 75
例3 设 X 的密度函数为 f(x)1ex,x(,) 2
(1) 求 E( X ), D( X )
(2) 求 X与 X 的协方差和相关系数，并 确定X与 X 是否相关.
(3) 判定 X与 X 是否独立.
0y
3
D(X)E(X2)E2(X)2 75
D(Y)E(Y2)E2(Y)11 225
1
E(Y) (
所以方差是协方差的特例.
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
E (X E (X )Y ) (E (Y ) co X ,Y v )( D (X )D (Y ) D (X )D (Y )
为X ,Y 的 相关系数，记为
X Y
covX(,Y) D(X) D(Y)
1, 1/2x1/2
f(x)
0,
其 它 E(X)=0,
1/2
E (X)Y E (X co X )s xco xsd 0x 1/2 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，
因而 =0， 即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
XY0
X , Y 不相关
coX ,v Y)(0 E (X ) Y E (X )E ( Y )
E (X Y ) E E ((X X )E Y ()Y ) E E ((X X ))E E (Y () Y )E (Y )E (X )
1D(XY)D(X)D(Y)
2
若 ( X ,Y ) 为离散型，
cov(X ,Y) [xiE (X )][yjE (Y)]pij i 1j 1
若 ( X ,Y ) 为连续型，
43 75
例3 设 X 的密度函数为 f(x)1ex,x(,) 2
(1) 求 E( X ), D( X )
(2) 求 X与 X 的协方差和相关系数，并 确定X与 X 是否相关.
(3) 判定 X与 X 是否独立.
0y
3
D(X)E(X2)E2(X)2 75
D(Y)E(Y2)E2(Y)11 225
1
E(Y) (
协方差及相关系数PPT课件
3) 1 存在常数 a, b(b≠0), 使 P{ Y=aX+b }=1,
即: X 和 Y 以概率 1 线性相关.
相关系数刻划了X 和Y 间“线性相关”的程度.
概率论
可见, 若 ρ = ±1, Y 与 X 有严格线性关系; 若 ρ = 0, Y 与 X 无线性关系; 若 0 < |ρ| < 1, |ρ|的值越接近于1, Y 与 X的线性相关程度越高; |ρ|的值越接近于0, Y 与 X的线性相关程度越弱.
可见, 均值 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X的二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若 E X k Y l k ,l 1 ,2 , 存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
若 E [ X E ( X ) ] k [ Y E ( Y ) ] l k , l 1 , 2 ,存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. ((k+l)-th mixed central moment)
可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
四、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
c11 E {X [1E (X 1)2} ]
c 1 2 E { X 1 [ E (X 1 )X ]2 [ E (X 2 )]}
若 cij coX vi,(Xj) E {X [i E (X i)] X j[ E (X j)]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11
C
c21
即: X 和 Y 以概率 1 线性相关.
相关系数刻划了X 和Y 间“线性相关”的程度.
概率论
可见, 若 ρ = ±1, Y 与 X 有严格线性关系; 若 ρ = 0, Y 与 X 无线性关系; 若 0 < |ρ| < 1, |ρ|的值越接近于1, Y 与 X的线性相关程度越高; |ρ|的值越接近于0, Y 与 X的线性相关程度越弱.
可见, 均值 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X的二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若 E X k Y l k ,l 1 ,2 , 存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
若 E [ X E ( X ) ] k [ Y E ( Y ) ] l k , l 1 , 2 ,存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. ((k+l)-th mixed central moment)
可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
四、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
c11 E {X [1E (X 1)2} ]
c 1 2 E { X 1 [ E (X 1 )X ]2 [ E (X 2 )]}
若 cij coX vi,(Xj) E {X [i E (X i)] X j[ E (X j)]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11
C
c21
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1 2 1 1 n . Cov( X 1 , X 1 ) Cov( X 1 , X i ) D( X 1 ) n n i 2 n n
26
协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互
间的关系，但它还受X 与Y 本身度量单位的影响. 例如：
Cov(kX, kY )=k2Cov(X,Y )
可见， E ( XY ) EX
EY 存在的必要条件为
XY
Cov( X , Y ) 0 DX DY
COV( X,Y )＝ 0 .
即
可见，若X与Y 独立，COV ( X , Y ) 0.
D(X士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ) 即 D(X士Y) = D X + DY
Y
X －1 1
-2
0
1
0.3 0.1
0.12 0.18
0.18 0.12
求： 解
X pi
Cov( X , Y ) XY 。 X , Y边缘分布列为 Y 2 1 1 p j 0.4 0.6 0.4
0 0.3
1 0.3
EX 1 0.6 1 0.4 0.2 EY 2 0.4 0 0.3 1 0.3 0.5
6
定义4.5
设二维随机变量（X ,Y)，若
E[(X－E X )(Y－E Y )] 则称它为X与Y的协方差，记为 COV ( X,Y）。 存在， 即 COV ( X,Y )= E[(X－E X )(Y－E Y )]
称 XY
Cov( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )] DX DY DX DY
COV( X,Y )＝E(XY) －EXEY
可见，E ( XY ) EX
EY 存在的必要条件为
Cov( X , Y ) 0 COV( X,Y )＝ 0 . 即 XY DX DY 可见，若X与Y 独立，COV ( X , Y ) 0.
9
COV( X,Y )＝E(XY) －EXEY
X和Y分别服从正态分布
X和Y的相关系数 (1) 求Z 数学期望
17
例2 已知随机变量
X和Y分别服从正态分布 X和Y的相关系数
服从二维正态分布,并且
和
设
(2) 求 X 与Z 的相关系数
解 (2) 与 的协方差为
18
例3
(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布 求 Cov ( X, Y ) .
一 、独立性与不相关性 二、随机变量的矩
28差
COV ( X,Y )=E[(X－E X ) (Y－E Y )]
若随机变量 X, Y 为离散型.
COV ( X , Y ) COV ( X , Y )
( x EX )( y
i i j
j
EY ) Pij
若随机变量 X, Y 为连续型.
Cov( X , Y ) 相关系数 XY DX DY E[( X EX )(Y EY )] DX DY X EX Y EY E[ ] DX DY
( x EX )( y EY ) px, y dxdy
8
二. 协方差和相关系数的计算公式
COV( X,Y )＝E( XY ) －EXEY
证明：由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y )=E[(X － EX )(Y － EY )] = E(XY) － EX EY － EYEX+EXEY = E( XY ) － EX EY 即
协方差和相关系数
2
在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。
在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于
父亲的身高和其成年儿子身高的关系.
3
这里有两个变量：一个是父亲的身高， 一个是成 年儿子身高.为了研究二者关系.英国统计学家皮尔逊 收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据, 画出了 一张散点图.
注 ρXY＝0 仅说明X, Y 之间没有线性关系，但可 以有其他非线性关系.
13
例1
设 X , Y～N(0,4),且X,Y相互独立，W=2X+3Y,
Z = 2X - 3Y, 求 解
14
例1 设 X, Y～N(0,4),且X,Y相互独立，W = 2 X + 3 Y,
Z = 2X - 3Y, 求
15
36
20
例4
x y , 0 x 2, 0 y 2; p x, y 8 其它. 0,
求：
2
Cov( X , Y )
2 2 0 0
XY 。
又 E( X )
1 2 2 2 x px, y dxdy x dx ( x y )dy 5 0 8 0 3
2 1 2 7 解 因 EX 0 0 x px, y dxdy 8 0 xdx0 ( x y)dy 6 7 同理 EY . 6 2 2 2 2 1 4 E ( XY ) xyp x, y dxdy xdx y ( x y )dy 0 0 0 8 0 3 1 故 Cov(X,Y)=E(XY)－EX EY .
1 n Y X i . 计算协方差 Cov( X1 , Y ). n i 1
解
因 X 1，X 2， X n 相互独立，故
Cov( X1 , X i ) E ( X 1 X i ) E ( X1 ) E ( X i ) 0, (i 2,3,, n)
n 1 Cov( X 1 , Y ) Cov( X 1 , X i ) n i 1
4
那么要问：父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢？
类似的问题有： 吸烟和患肺癌有什么关系？
受教育程度和失业有什么关系？
高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？ 为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题， 我们需要从理论上对两变量的相互关系加以研究.
这一讲就来讨论这个问题.
5
一、 协方差与相关系数的概念
2
2 2
5 7 11 DX E ( X ) ( EX ) 3 6 36
2
11 同理 DY 36
故 XY
1 1 Cov( X , Y ) 36 . 11 11 DX DY 36
21
例5
已知二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布列为
1 , x 2 y 2 1; p x, y 其它. 0,
EX
1 1
解 因
x px, y dxdy
同理
1
1
1
xdx
1 x 2
1
1 x
dy
2x 1 x2
1 x 1 1 0. E ( XY ) xypx, y dxdy xdx ydy 1 x 1
例2： 已知随机变量 X和Y分别服从正态分布 X和Y的相关系数 (1) 求Z 数学期望 解: (1) Z 的数学期望为
服从二维正态分布,并且
和 设 和方差
(2) 求 X 与Z 的相关系数
XY
Cov( X , Y ) DX DY
又
16
例2
已知随机变量
服从二维正态分布,并且
和 设 和方差
X 与 Y 的协方差为:
EY 0.5
Cov( X , Y ) E ( XY ) EX EY 0.34 (0.2) (0.5) 0.24
23
Y
X
－1 1
-2 0.3 0.1
0 0.12 0.18
1 0.18 0.12
X pi Y p j
1 0.6
1 0.4 0 0.3 1 0.3
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化:
Cov( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )] X EX Y EY E( , ) DX DY DX DY DX DY
这就引入了相关系数: XY Cov( X , Y ) DX DY
27
第四节
第四章
独立性与不相关、矩
存在常数 a, b (b≠0），
即 X 和 Y 以概率1线性相关. 使 P{Y=a+bX}=1， 相关系数
是衡量两个随机变量之间线性相关程度的数字特征.
定义 设随机变量X, Y 的相关系数存在,
1）ρXY＝1， 称 X, Y 正相关；
2）ρXY＝－1， 称 X, Y 负相关； 3）ρXY＝0， 称 X, Y 不相关.
第三节
第四章
协方差、相关系数
一 、协方差和相关系数的概念 二、协方差的计算公式 三 、协方差和相关系数的性质
1
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值，
方差则反映了随机变量相对于其均值的离散程度， 但对于二维 这对我们了解随机变量有一定的帮助。
随机变量 X , Y ， 我们除了关心 X , Y的期望和方差外， 还希望知道之间的关系， 在反映分量之间关系的数字 特征中，最重要的就是本讲要讨论的
22
Y X －1 1
-2 0.3 0.1
0 0.12 0.18
1 0.18 0.12
E ( XY ) 1 (2) 0.3 (1) 0 0.12 (1) 1 0.18 1 (2) 0.1 1 0 0.18 11 0.12 0.34 EX 0.2
2 1
dx 0,
EY 0 .
故
Cov(X,Y)=E(XY)－EX EY 0.
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例4 已知( X,Y )的密度函数为