不等式分类型的解法全

不等式

题型一、一元二次不等式的解法：1、解下列不等式

（1）-1

x-1≥0

（3）x2-2x-15≥0

题型二、含参不等式的解法

2、解关于x的不等式

（1）x2-mx-12m2>0；（2）x2-mx-m<0。

题型三、利用根与系数的关系解不等式

3、（1）若x2-ax-b<0的解集为{x/20的解集。

（2）若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x/2

题型四、不等式恒成立问题

4、（1）已知不等式2≤3x2+px+6

对任意的x∈R都成立，求实数p的值；

x2-x+1≤6

a的取值范围。

（2）若x∈R,ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立，求

5、（1）已知不等式2x-1>m(x2-1)，若对于m∈[-2,2]，不等式恒成立，求实数x的求职范围。

a的取值范围。（2）函数f(x)=(2-a2)x+a在区间[0,1]上恒为正，求实数

题型五：作二元一次不等式表示平面区域

6、画出下列不等式表示的平面区域

（1）2x-3y+1>0；（2）2x+y+4≤0；

（3）2y-x>0；（4）y≤1；（5）x<-3。

⎪3x + 2 y ≥ 6

⎩3x + 4 y - 12 < 0

（ （

题型六：平面区域内的点与不等式

7、若直线 ax + y + 2 = 0 与连接点 A(-2,3) 和 B(3,2) 的线段有公共点，求 a 的取值范围。

变式：给出下列命题：1）原点和点（3,1）在直线 2 x + y - 6 = 0 的两侧；2）原点和点 (-3,1)

在直线 2 x + y - 6 = 0 的同侧；（3）点 (3,2)和(2,3) 在直线 2 x + y - 3 = 0 的两侧；（4）点

(-2,3) 和点 (-3,2) 在直线 2 x + y - 3 = 0 的同侧。其中正确的有

。

题型七：作出二次不等式组所表示的平面区域 8、用平面区域表示下列不等式组：

⎧x < 3 ⎪2 y ≥ x

⎧x ≥ y

（1） ⎨ （2） ⎨

⎪⎩3 y < x + 9

题型八：绝对值、二元二次不等式表示的平面区域 9、画出下列不等式表示的平面区域

（1） x - 2 + y - 2 ≤ 2

（2） y ≤ x ≤ 2 y

（3）

（x - 2 y + 2)( x + y - 3) < 0 题型九：平面区域面积问题

10、求不等式组 ⎨x + y ≥ 0

表示的平面区域的面积。 ⎪x ≤ 3 变式 1：若不等式组 ⎨x - 1 ≤ 0

（ a 为常数）所表示的平面区域的面积为 2，则 a = 。

⎪ax - y + 1 ≥ 0 ⎪3x + y ≤ 4 11、设 z = 2 x + y ，其中 x, y 满足条件 ⎨3x + 5 y ≤ 25 ，求 z 的最大值和最小值。 ⎪x ≥ 1

⎧x - y + 6 ≥ 0 ⎪

⎩

⎧x + y - 1 ≥ 0 ⎪ ⎩

⎧x ≥ 0 ⎪ 4

变式 2：若不等式组 ⎨x + 3 y ≥ 4 所表示的平面区域被直线 y = kx + 分为面积相等的两

3 ⎩

部分，则 k 的值为

。

题型十：求目标函数的最值

⎧x - 4 y ≤ -3 ⎪

⎩

变式 1：已知 f ( x ) = ax 2 - c ，且 - 4 ≤ f (1) ≤ -1,-1 ≤ f (2) ≤ 5 ，求 f (3) 的取值范围。

变式 2：实系数方程 x 2 + ax + 2b = 0 的一个根大于 0 且小于 1，另一个跟大于 1 且小于 2，

求 b - 2 a - 1

的取值范围。

变式 3：已知约束条件 ⎨ x + 2 y - 1 ≥ 0 ，且目标函数 z = a 2 x + (a - 2 - a 2 ) y 取得最小值 ⎪3x + y - 8 ≤ 0 1、已知 a > 0, b > 0, 求证：a + b )( + ) ≥ 4 （直接证明）

2、（1）已知 a > 0, b > 0, 求证： +

3、 1）已知 a > 0, b > 0, a + b = 1, 求证： + ≥ 4（1 的利用证明或带条件的证明）

（

⎧ x - 3 y + 4 ≥ 0 ⎪

⎩

的最优解唯一，为（2,2），则 a 的取值范围是

。

基本不等式

题型一、证明不等式

1 1

( a b

a 2

b 2

b a

≥ a + b （添加项证明）

（2）已知 a > 1, 求证：a + 1 a - 1

≥ 3 ；

1 1

a b

（2） a > 0, b > 0, 且2a + 8b - ab = 0, 求证：a + b ≥ 18 ；

（1）已知 x > 0, 求y = 2 - x - 的最大值；

（2）已知 x > 2, 求y = x + 的最小值；

（3）已知 0 < x < , 求y = x(1 - 2 x ) 的最大值；

+ 的最小值；

（3）若 + = 1, 求x + y 的最小值。

题型二、利用不等式求函数的最值 4、求下列函数的最值（一元函数）

4

x

1

x - 2

1 1

2 2

5、求下列函数的最值（二元函数）

设 x > 0, y > 0

（1）若 2 x + 5 y = 20, 求 lg x + lg y 的最大值；

（2）若 lg x + lg y = 1, 求 2 5

x y

1 9

x y