不等式分类型的解法全
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法1.加减法不等式公式：若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。
2.乘法不等式公式：若a>b且c>0，则a*c>b*c；若a>b且c<0，则a*c<b*c。
3.幂次不等式公式：对任意非零实数a和b若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；若a>b且0<n<1，则a^n<b^n。
4.倒数不等式公式：若a>b>0，则1/a<1/b。
5.奇偶性不等式公式：若a>0且n为正整数，则a^n>0。
若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。
常用的解基本不等式的方法有：1.用数轴法解：将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。
2.用代数方法解：针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。
3.用平方差、立方差或更高次差法解：对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。
通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。
4.用函数图像解：对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。
5.用不等式链解：若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。
以上是基本不等式的一些公式和常用解法。
对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。
希望以上内容对您有所帮助。
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
不等式分类型的解法全
不等式题型一、一元二次不等式的解法：1、解下列不等式（1）21212≤-+<-x x ； （2）01122≥---x x x（3）01522≥--x x题型二、含参不等式的解法2、解关于x 的不等式（1）01222>--m mx x ； （2）02<--m mx x 。
题型三、利用根与系数的关系解不等式3、（1）若02<--b ax x 的解集为{}32/<<x x ，求不等式012>--ax bx 的解集。
（2）若不等式02>++c bx ax 的解集为{}32/<<x x ，求不等式02<++a bx cx 的解集。
题型四、不等式恒成立问题4、（1）已知不等式6163222≤+-++≤x x px x 对任意的R x ∈都成立，求实数p 的值；（2）若1244,22+-≥++∈x x ax R x 恒成立，求a 的取值范围。
5、（1）已知不等式)1(122->-x m x ，若对于]2,2[-∈m ，不等式恒成立，求实数x 的求职范围。
（2）函数a x a x f +-=)2()(2在区间]1,0[上恒为正，求实数a 的取值范围。
题型五：作二元一次不等式表示平面区域6、画出下列不等式表示的平面区域（1）0132>+-y x ； （2）042≤++y x ；（3）02>-x y ； （4）1≤y ； （5）3-<x 。
题型六：平面区域内的点与不等式7、若直线02=++y ax 与连接点)3,2(-A 和)2,3(B 的线段有公共点，求a 的取值范围。
变式：给出下列命题：（1）原点和点）（,13在直线062=-+y x 的两侧；（2）原点和点)1,3(-在直线062=-+y x 的同侧；（3）点)3,2()2,3(和在直线032=-+y x 的两侧；（4）点)3,2(-和点)2,3(-在直线032=-+y x 的同侧。
不等式解法的精辟总结
不等式解法一、一元二次不等式解法1、 ax 2+bx+c>0 (或ax 2+bx+c<0) (a>0) 形式解题步骤：① 转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0，并求此方程的解；② 根据方程ax 2+bx+c=0解的情况，结合f(x)= ax 2+bx+c 的图像写出解集；③ x 2+bx+c>0 (a<0) 的情况首先转化为-ax 2-bx-c<0，再利用上表进行解答。
2、 经典练习1) x 2-4x-21≤0 2) 3x 2+x-14>0 3) -5x 2+3x+14>04) 06222>-+x x 5) 033442<-+-x x 6) 12x 2-8x-15≤0二、高次不等式1、高中阶段只解决比较简单的高次不等式，举例如下：例题1 x 3-6x 2+11x-6>0解： ① 试根，令x 3-6x 2+11x-6=0，将1带入成立，则此三次式可分解出因式（x-1）② 多项式除法将x 3-6x 2+11x-6分解为（x-1）（x 2-5x+6），再将x 2-5x+6分解为 （x-2）(x-3)， 最终分解为：（x-1）（x-2）(x-3)=0，③④ 写出解集，x 3-6x 2+11x-6>0的解集为：{x ∣1< x<2或x>3}.(注：写成集合) 方法归纳如下：① 试根，一般取[-3,3]之间的整数② 用多项式除法分解因式将其分解为（x-a ）（x-b ）(x-c)……=0的形式③ 用数轴标根法，在数轴上依次标出所有根④ 写出解集，> 0取x 轴上方部分，< 0取x 轴下方部分2、经典练习：1) x 3-3x 2+2x ≤0 2) x 3-x 2-x+1>0 (二重根情况的处理)。
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
不等式的解法
不等式的解法不等式，即数学中用来表示大小关系的符号，它与等式不同的地方在于，不等式可以有无数个解，而不像等式只有一个解。
解不等式的方法有很多种，接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式，它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式中的x系数作为直线的斜率，常数项作为直线的截距，画出不等式对应的直线。
然后，根据不等式符号的方向，涂色标记出不等式的解集。
例如，对于不等式3x+2>0，我们可以画出直线y=3x+2，并根据大于号的方向，将直线上大于0的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行加法、减法、乘法和除法运算，将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧，使得不等式变为0的形式。
最后，通过考察几个关键点的取值情况，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式转化为对应的一元二次方程，找到方程的判别式，判断方程的根的情况。
根据根的位置，将坐标平面分为几个区域，并确定每个区域对应的不等式的正负。
然后，将不等式对应的曲线画在坐标平面上，并根据不等式符号的方向，将曲线上符合条件的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行移项、配方、因式分解等运算，将不等式变为一元二次方程的零点形式。
各类不等式的解法
各类不等式的解法一、不等式的基本性质 不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；(3)可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； (4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：(1)同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； (4)开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；(5)倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
例1： 1)、5768--与的大小关系为 .2）、设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 .3）已知,αβ满足11123αβαβ-+⎧⎨+⎩≤≤≤≤, 试求3αβ+的取值范围.例2.比较()21+a 与12+-a a 的大小。
例3.解关于x 的不等式m x x m +>+)2(。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或 )0.(02><++a c bx ax 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。
0=∆0<∆c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=21.解下列不等式：（1）02322≥--x x (2)01692>++x x (3)542<-x x (4)0122≤++x x2.解不等式组（1）22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩ （2）2223054x x x x ⎧-->⎨->⎩3.若不等式02>++c bx ax 的解集为(-2,3),求不等式02<-+b ax cx 的解集.4.当k 为何值时，不等式08322<-+kx kx 对于一切实数x 都成立？ 三、分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式解法⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥<⇔<>⇔>0)(0)()(0)()(0)(0)()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）典型例题例1解下列不等式（1）x －3x ＋7 ＜0 （2）3＋2x ＜0 （3）4x －3 ＞2－x 3－x －3 （4） 3x ＞1例2 解下列不等式：（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0 （2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 （4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0（5） （6）．（7） （8）四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换015223>--x x x 0)2()5)(4(32<-++x x x 22123+-≤-x x 12731422<+-+-x x x x题型Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例1 解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x 题型Ⅱ：⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例2 解不等式x x x 211322+>+- 题型Ⅲ：⎪⎩⎪⎨⎧>>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3解不等式x x x 211322+<+-例4解不等式1112-+>+x x例5解不等式36922>-+-x x x五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推. （1）含有一个绝对值：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ;不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 （2）含有多个绝对值：零点分段法例1 解不等式（1）5500≤-x . （2）752>+x （3）32≥-x（4）1≤ | 2x-1 | < 5. （5） |4x-3|>2x+1例2解不等式：（1）|x -3|-|x +1|<1. （2）|x |－|2x ＋1||＞1．例3 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|． （I ）证明：-3≤f (x )≤3；（II ）求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集．六、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>()0log ()log ()(1)()0;()()()0log ()log ()(01)()0()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x例2.解不等式154log <x .例3.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a例4．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x aa a七、基本不等式（也叫均值不等式） 1．基本不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R) (3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值设x ，y 都是正数．(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P.(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2.练习1．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．162．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b≥2ab C.1a ＋1b ≥2ab D.b a ＋ab ≥23．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．22 D ．4 24.当x>1时，求函数f(x)＝x ＋1x －1的最小值________．5．已知x ，y>0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．6．某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.7. 已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.八、不等式的证明 （一）比较法：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 例1 求证：x 2 + 3 > 3x例2 a ,b ∈ R +，且a b ≥，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)(（二）综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学 定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
6.1 五种常见类型的不等式解法 Microsoft Word 文档
专题六不等式与线性规划6.1 五种常见类型的不等式解法不等式的求解是高考卷面中必不可少的一部分，它渗透在整个卷面中，各种题型，各个知识点都有它的影子. 主要考查五种不等式的解法：一元二次不等式，分式不等式，分段不等式，绝对值不等式，含参数的不等式.与这些不等式有关的还有指、对、幂不等式，三角不等式的求解，函数与不等式是息息相关的，所以在处理不等式的问题时,经常要用到函数的思想..此考点考查概率为100%，2013年各省市卷面均有出现，本省2013年的卷面中，第1题、第11题、16题、21题均与解不等式有关.题型1 一元二次不等式的解法考查说明：一元二次不等式是高考必考内容，很少单独出题，经常与集合、函数与导数结合出题，各种题型均有出现,难度不大，但是要求较高，计算必须正确无误.方法突破1：解一元二次不等式时，要掌握一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系，如下表：方法突破2：一元二次不等式与一元二次函数关系紧密，主要是利用一元二次函数的图象解不等式. 一元二次不等式求解分三个步骤：(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．不等式中有等号时注意解集中要含端点. 特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集． 例1、（2013安徽理6题5分）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0xf 的解集为（ ） A. {}|<-1>lg2x x x 或 B. {}|-1<<lg2x xC. {}|>-lg2x x D.{}|<-lg2x x解析：由题知，一元二次不等式()>0f x 的解集为1(-1,)2，所以由(10)>0xf 得到，1-1102x <<，解得ln 2x <-.所以选D 。
线性不等式的求解方法总结
线性不等式的求解方法总结线性不等式是数学中常见的一种类型，它由不等号连接的两个线性表达式组成。
对于解决线性不等式，我们需要了解一些求解方法和规则。
本文将对线性不等式的求解方法进行总结。
一、一元线性不等式的求解方法在解决一元线性不等式时，可以运用以下几种方法：1. 直观图解法对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元线性不等式，可以通过图像法直观地获得不等式的解。
首先，将不等式转化为等式ax+b=0，求出一次函数的零点x0=-b/a作为界限点。
接下来，根据函数图像的走势判断不等式的解集。
2. 区间判断法当不等式左端或右端是一个区间时，可以运用区间判断法求解。
首先，将不等式两端都化简为不等于零的表达式，并确定其正负性。
然后，根据不等式类型，确定解集是开区间、闭区间，还是无解。
3. 等效变形法等效变形法是一种常用的求解不等式的方法。
通过适当的变形和等价的代换，将原始的不等式转化为更简单的形式。
例如，对于不等式3x-6≤4x-7，可以通过移项、合并同类项等步骤得到解x≥1。
二、多元线性不等式的求解方法针对多元线性不等式，我们可以运用以下方法来求解：1. 图形法对于二元线性不等式ax+by+c>0或ax+by+c<0，可以通过图形法求解。
首先，将不等式转化为等式ax+by+c=0，得到一条直线。
然后，根据直线在平面上的位置和不等式的符号，确定解的范围。
2. 消元法多元线性不等式的求解过程中，常常会使用消元法解决其中一个变量。
例如，对于不等式2x+3y≤12，我们可以通过消去y的方式得到解集{(x,y)|0≤x≤6,0≤y≤4}。
3. 线性规划法线性规划法是一种通过线性代数和图形法求解多元线性不等式的方法。
它可以有效地确定多元线性不等式的最优解，将不等式约束条件与线性目标函数相结合，找到满足条件的最大或最小值。
总结：对于线性不等式的求解，我们可以根据不同的情况选择适合的方法，包括直观图解法、区间判断法、等效变形法、图形法、消元法和线性规划法等。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种表示数值关系的方法。
解不等式就是找出使不等式成立的数值范围。
在解不等式时，可以通过几种常见的方法来确定解集。
一、图像法图像法适用于简单的一元一次不等式。
通过将不等式转化为直线的形式，并在数轴上画出对应的线段，可以直观地找到满足不等式的数值范围。
例如，对于不等式x + 3 > 2，我们可以将其转化为x > -1的形式。
在数轴上，我们可以画出一个开口向右的箭头，箭头的起点为-1，表示解集为大于-1的所有实数。
二、代入法代入法是一种常见的解不等式的方法，特别适用于含有绝对值的不等式。
通过将可能的解代入到不等式中，验证是否满足不等式的关系，可以逐步缩小解集。
例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以先将其拆分成两个不等式：2x - 3 < 5和2x - 3 > -5。
然后分别解这两个不等式，可以得到解集为-1 < x < 4。
三、性质法性质法是解不等式的一种常用方法，通过利用不等式的性质和常用不等式的性质，可以快速求解不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x > 3，我们可以将其转化为x^2 - 4x - 3 > 0的形式。
通过因式分解或配方法，可以求得该不等式的根为x > 3或x < 1。
然后，结合二次函数的凹凸性质，可以得到解集为x < 1或x > 3。
四、区间法区间法是一种用于求解一元二次不等式的常用方法。
通过将一元二次不等式转化为标准形式，然后结合图像法和区间划分的方法，可以求解出不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 > 0，可以将其转化为(x - 2)(x - 3) > 0的形式。
通过将x^2 - 5x + 6 = 0的根-1, 2, 3绘制在数轴上，并观察函数的正负性，可以得到解集为-1 < x < 2或x > 3。
综上所述，解不等式的方法有很多种，包括图像法、代入法、性质法和区间法等。
不等式的类型及解法
不等式的类型及解法一、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程，形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b为已知实数，且a≠0。
解法：1. 将不等式转化为等式，即ax+b=0，求得方程的解x0。
2. 根据a的正负性，将解x0进行分类讨论：- 当a>0时，若x>x0，则ax+b>0；若x<x0，则ax+b<0。
- 当a<0时，若x>x0，则ax+b<0；若x<x0，则ax+b>0。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程，形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，且a≠0。
解法：1. 将不等式转化为等式，即ax^2+bx+c=0，求得方程的解x1和x2。
2. 根据a的正负性和二次函数的凸凹性，将解x1和x2进行分类讨论：- 当a>0时，若x1<x<x2，则ax^2+bx+c>0；若x<x1或x>x2，则ax^2+bx+c<0。
- 当a<0时，若x<x1或x>x2，则ax^2+bx+c>0；若x1<x<x2，则ax^2+bx+c<0。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，其中f(x)和g(x)为已知函数。
解法：1. 对于|f(x)|>g(x)，将不等式拆分为两个不等式：f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)。
2. 分别解出这两个不等式的解集，然后求并集即为原不等式的解集。
四、分式不等式分式不等式是指含有分式的不等式，形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，其中f(x)和g(x)为已知函数。
解法：1. 将分式不等式转化为分子和分母的符号相同的不等式：f(x)g(x)>0或f(x)g(x)<0。
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。
基本不等式的公式有许多，其中最常用的是加法不等式、乘法不等式、减法不等式和比较不等式。
加法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a+b≥0。
加法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a+b≥0转化为a≥-b，从而得出a的取值范围。
乘法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有ab≥0。
乘法不等式的解法是：若a、b是任
意实数，则可以将ab≥0转化为a≥0或b≥0，从而得出a、b的取值范围。
减法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a-b≥0。
减法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a-b≥0转化为a≥b，从而得出a的取值范围。
比较不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a>b或a<b。
比较不等式的解法是：若a、b
是任意实数，则可以将a>b或a<b转化为a-b>0或a-b<0，从而得出a的取值范围。
基本不等式的公式和解法可以帮助我们解决许多复杂的问题，它们在生活中也有着重要的作用。
比如，当我们在购物时，可以利用基本不等式的公式和解法来比较价格，从而节省购物费用。
此外，基本不等式的公式和解法还可以帮助我们解决许多其他的问题，比如计算投资回报率、计算贷款利息等。
总之，基本不等式的公式和解法对我们的生活娱乐有着重要的意义，它们可以帮助我们解决许多复杂的问题，节省购物费用，计算投资回报率和贷款利息等。
高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)
“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论： 当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。
跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（ ） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（ ） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（ ） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是 （ ） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（ ） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（ ）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1） 同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 （2） 转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3） 换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围 （4） 数形结合 基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为 巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式） 例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。
不等式的解法
2 x 10 0 2 解这个不等式组，得 x 3 x 4 2 x 10
3 1 不 等 式 中 所 含 的 以为 底 的 对 数 函 数 是 减 数 函， 3 2 x 3x 4 0 原 不 等 式 可 化 为
x | x 1或x 4 x | x 5 x | 2 x 7 x | 2 x 1或4 x 7
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.
-c≤ax+b≤c (1)|ax+b|≤c⇔____________.
-c (2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤ __________________.
2.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：
1.移项,通分把不等式的左边化为0. 2.由积商同号,把分式不等式转化为整式不 等式. 3.若分母大于0可直接去分母. f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0) g ( x) f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0)且g(x) 0 g ( x)
x | 2 x 1或4 x 7 所以原不等式的解集为
例3.解 不 等 式 4 x
3 2 x1 16 0
解：原不等式可以化为
(2 x )2 6 2 x 16 0
分解因式得 (2 8)(2 2) 0
x x
∵ ∴
2 220
x
∴ 解这个不等式，得 x
类型 一简单绝对值不等式的解法
1 答案： ［2,6］ 1.不等式 | x－2 | 1的解集是_____. 2
常见不等式通用解法
常见不等式通用解法常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式①基础一元二次不等式如2X2-X-6*：0，x2*1 0，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0,不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
2X2一X®:0的解为（弓,2）当二次项系数大于0,不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。
X2-2x-1 0 的解^为（一. 2）：：）当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。
②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如3X1 -9X 2，令t=3X，原不等式就变为t2-3t2：：0，再算出t的范围，进而算出X的范围又如X2 .ax4，令t =X2，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集③含参数的一元二次不等式解法步骤总结:如不等式x^ax+1沁，首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论，寻-4的正负性即可。
i<0, R此不等式的解集为：=o,{x Rix—a》、-a+\!a—4 ,、A c, -a - J a —4A>O C,—2—)5—2—，-)又如不等式x2_(a2+a)x+a\0 ,发现其可以通过因式分解化为(x-a)(x-a2) 0，所以只需要判定a2和a的大小即可。
f a = 0or a =1,{x E R|x Ha}此不等式的解集为0 ：：a ：：：1,(一：：才)一(a,；)2a cOor a :>1,(-°o,a)5a，讼)又如不等式ax2 -2(a 1)x 4 0，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成始判断两根2和2的大小关系，这样做是有问题 a的。
事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为0的。
讨论完a=0的情况再讨论a，：0和a 0的情况。
初一数学不等式题型及解题方法
初一数学不等式题型及解题方法初一数学不等式题目类型及解题方法不等式是数学中常见的概念之一，是一个符号表示的不等关系。
初一数学中对不等式的理解可以帮助我们更好地理解数值大小的差异，掌握不等式的基本解法也是初一数学学习中的重要内容。
本文将介绍初一数学中常见的不等式题目类型及其解题思路。
一、不等式的基本性质在学习不等式的题目类型之前，我们需要了解不等式的基本性质，以方便我们进行解题。
不等式的基本性质如下：1.同加减不等式两边之比的大小关系不变，即若a>b，则a+c>b+c,a-c>b-c。
2.同乘除不等式两边之比的大小关系不变，即若a>b且c>0，则ac>bc, a/c>b/c。
3.若不等式的系数为正，那么不等式两边之比的大小关系不变，即若a>b且k>0，则ka>kb。
4.若不等式两边同时取相反数，则不等式的不等关系翻转，即若a>b，则-b>-a。
二、不等式的常见形式在初一数学学习中，以下是不等式的常见形式：1.一元一次不等式一元一次不等式是初一数学学习中最基础的不等式形式，它通常可以表示为ax+b>c (或ax+b<c)，其中a,b,c为常数，x为变量。
解一元一次不等式通常包括以下步骤：（1）移项，把不等式中x的系数移到一个边，常数移到另一个边，则得到ax>c-b (或ax<c-b)。
（2）化简，将不等式两边分别除以系数a，此时需要考虑a的正负性及大小，如果a>0，则保持不等号不变，如果a<0，则不等号要取反。
得到x>c-b/a (或x<c-b/a)。
（3）判断，将解出的x带入原不等式中，判断是否符合题目要求。
2.二元一次不等式二元一次不等式包含两个未知数，通常可以表示为ax+by>c (或ax+by<c)，其中a,b,c为常数，x,y为变量。
解二元一次不等式通常需要以下几个步骤：（1）确定变量的取值范围，可以利用图像等方法确定。
高考数学不等式的解法
1 2
3x
1x22或 x
x
3
2
2
故不等式的解为：{x|x<-5或x>1}
例6：解不等式：⑴
3x2 2x3
1 x1
9
⑵16x-22+2x+3<0 ⑶lg(x2-3x-4)-lg(x+5)≥lg2
⑷
log 1
2
x
8log
x
1 2
7
0
解：⑴原不等式 3x2-2x-3<32-2x
<0）(a>0)的解的情况
3、简单的高次不等式 将不等式一边化为 若干个一次因式积，一边为0的情形，再 用数轴标根法写出不等式的解集。
4、分式不等式：通过移项、通分变为 （或≤0）的形式
f x gx
0
f g
x x
0（或≤0）
f
xgx 0或
gx 0
1x
3x
1
0
x 3, x 1
3 x 1或 1 x 1
2
原不等式的解为
-
3,
-
1
1 2
,1
例3：解不等式:(x-1)(x2-5x+6)(x2-x-2)≥0
解：原不等式 (x+1)2(x-2)3(x-1)(x-3)≥0 (x-1)(x-2)(x-3)≥0 或x=-1
∴logkx<-1或logkx>0
①若k>1，则 0
x
1 k
或x>1
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。
本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。
一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。
根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。
5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。
选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。
二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。
以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。
2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。
3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。
高中数学不等式的分类、解法
高中数学简单不等式的分类、解法一、知识点回顾1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。
2.一元二次不等式的解法解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系：二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228)4.5.6.a>1时af 0<a<17.8.9.10.（1）3-（23-<（2）213022x x ++>解集为（R ）(变为≤，则得?)（无实根则配方） 三、例题与练习例1已知函数)()1()(b x ax x f +∙-=，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-，则不等式0)2(<-x f 的解集为),21()23,(+∞--∞解法一：由根与系数关系求出3,1-=-=b a ，得32)(2++-=x x x f ，再得出新不等式，求解解法二：由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得0)(<x f 解集为),3()1,(+∞--∞ ，再由∈-x 2),3()1,(+∞--∞ 得解集变式1.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是 的解集是．. 1<0 ) 当0<a<1时，原不等式解集为)1,1(a当a=1时，0)1(2<-x ，原不等式解集为φ 当a>1时，原不等式解集为)1,1(a②.解关于x 的不等式0)1(log 12<--x a a答案：当a>1时，解集为)2log 21,0(a当0<a<1时，解集为)2log 21,(a -∞（总结指数与对数不等式解法）思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.例4：已知函数⎩⎨⎧≤≥+=)0(,1)0(,1)(2x x x x f ，则不等式)2()1(2x f x f >-的解集为分析：考虑解题思路，有两种方向---函数不等式或分段解不等式⎩⎨⎧-<122x x 变式4x f )(=解集为(例5：f e x f =)(分析：x ),0[+∞为1(f -)1,(--∞变式5为f (x )则不等解析 故不等－6<3，解得x ∈(2,3)四、小结1.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重2.要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不等式，注意数形结合。
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不等式
题型一、一元二次不等式的解法：1、解下列不等式
（1）-1<x2+2x-1≤2；（2）x2-2x-1
x-1≥0
（3）x2-2x-15≥0
题型二、含参不等式的解法
2、解关于x的不等式
（1）x2-mx-12m2>0；（2）x2-mx-m<0。
题型三、利用根与系数的关系解不等式
3、（1）若x2-ax-b<0的解集为{x/2<x<3}，求不等式bx2-ax-1>0的解集。
（2）若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x/2<x<3}，求不等式cx2+bx+a<0的解集。
题型四、不等式恒成立问题
4、（1）已知不等式2≤3x2+px+6
对任意的x∈R都成立，求实数p的值；
x2-x+1≤6
a的取值范围。
（2）若x∈R,ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立，求
5、（1）已知不等式2x-1>m(x2-1)，若对于m∈[-2,2]，不等式恒成立，求实数x的求职范围。
a的取值范围。
（2）函数f(x)=(2-a2)x+a在区间[0,1]上恒为正，求实数
题型五：作二元一次不等式表示平面区域
6、画出下列不等式表示的平面区域
（1）2x-3y+1>0；（2）2x+y+4≤0；
（3）2y-x>0；（4）y≤1；（5）x<-3。
⎪3x + 2 y ≥ 6
⎩3x + 4 y - 12 < 0
（ （
题型六：平面区域内的点与不等式
7、若直线 ax + y + 2 = 0 与连接点 A(-2,3) 和 B(3,2) 的线段有公共点，求 a 的取值范围。
变式：给出下列命题：1）原点和点（3,1）在直线 2 x + y - 6 = 0 的两侧；2）原点和点 (-3,1)
在直线 2 x + y - 6 = 0 的同侧；（3）点 (3,2)和(2,3) 在直线 2 x + y - 3 = 0 的两侧；（4）点
(-2,3) 和点 (-3,2) 在直线 2 x + y - 3 = 0 的同侧。
其中正确的有。
题型七：作出二次不等式组所表示的平面区域 8、用平面区域表示下列不等式组：
⎧x < 3 ⎪2 y ≥ x
⎧x ≥ y
（1） ⎨ （2） ⎨
⎪⎩3 y < x + 9
题型八：绝对值、二元二次不等式表示的平面区域 9、画出下列不等式表示的平面区域
（1） x - 2 + y - 2 ≤ 2
（2） y ≤ x ≤ 2 y
（3）
（x - 2 y + 2)( x + y - 3) < 0 题型九：平面区域面积问题
10、求不等式组 ⎨x + y ≥ 0
表示的平面区域的面积。
⎪x ≤ 3 变式 1：若不等式组 ⎨x - 1 ≤ 0
（ a 为常数）所表示的平面区域的面积为 2，则 a = 。
⎪ax - y + 1 ≥ 0 ⎪3x + y ≤ 4 11、设 z = 2 x + y ，其中 x, y 满足条件 ⎨3x + 5 y ≤ 25 ，求 z 的最大值和最小值。
⎪x ≥ 1
⎧x - y + 6 ≥ 0 ⎪
⎩
⎧x + y - 1 ≥ 0 ⎪ ⎩
⎧x ≥ 0 ⎪ 4
变式 2：若不等式组 ⎨x + 3 y ≥ 4 所表示的平面区域被直线 y = kx + 分为面积相等的两
3 ⎩
部分，则 k 的值为。
题型十：求目标函数的最值
⎧x - 4 y ≤ -3 ⎪
⎩
变式 1：已知 f ( x ) = ax 2 - c ，且 - 4 ≤ f (1) ≤ -1,-1 ≤ f (2) ≤ 5 ，求 f (3) 的取值范围。
变式 2：实系数方程 x 2 + ax + 2b = 0 的一个根大于 0 且小于 1，另一个跟大于 1 且小于 2，
求 b - 2 a - 1
的取值范围。
变式 3：已知约束条件 ⎨ x + 2 y - 1 ≥ 0 ，且目标函数 z = a 2 x + (a - 2 - a 2 ) y 取得最小值 ⎪3x + y - 8 ≤ 0 1、已知 a > 0, b > 0, 求证：a + b )( + ) ≥ 4 （直接证明）
2、（1）已知 a > 0, b > 0, 求证： +
3、 1）已知 a > 0, b > 0, a + b = 1, 求证： + ≥ 4（1 的利用证明或带条件的证明）
（
⎧ x - 3 y + 4 ≥ 0 ⎪
⎩
的最优解唯一，为（2,2），则 a 的取值范围是。
基本不等式
题型一、证明不等式
1 1
( a b
a 2
b 2
b a
≥ a + b （添加项证明）
（2）已知 a > 1, 求证：a + 1 a - 1
≥ 3 ；
1 1
a b
（2） a > 0, b > 0, 且2a + 8b - ab = 0, 求证：a + b ≥ 18 ；
（1）已知 x > 0, 求y = 2 - x - 的最大值；
（2）已知 x > 2, 求y = x + 的最小值；
（3）已知 0 < x < , 求y = x(1 - 2 x ) 的最大值；
+ 的最小值；
（3）若 + = 1, 求x + y 的最小值。
题型二、利用不等式求函数的最值 4、求下列函数的最值（一元函数）
4
x
1
x - 2
1 1
2 2
5、求下列函数的最值（二元函数）
设 x > 0, y > 0
（1）若 2 x + 5 y = 20, 求 lg x + lg y 的最大值；
（2）若 lg x + lg y = 1, 求 2 5
x y
1 9
x y。