整理二次函数应用题的类型知多少

二次函数应用题的类型知多少一、填空题limx→∞x−sinx x=________________1．答案：1limx→∞x−sinx x=lim x→∞(1−sinx x)=lim x→∞1−limx→∞sinxx=1−0=1正确解法：limx→2x 2+ax+bx 2−x−2=2a =b =2.已知，则_____, _____。

4+2a +b =0b =−2a −4lim x→2x 2+ax+bx 2−x−2=limx→2x+a+2x+1=a+43=2a =2,b =−8由所给极限存在知, , 得, 又由, 知limx→0e x −b(x−a)(x−1)=∞a =b =3.已知，则_____, _____。

∵lim x→0e x −b(x−a)(x−1)=∞limx→0(x−a)(x−1)e x −b=a1−b =0∴a =0,b ≠1, 即,={xsin1x x <0x +1x ≥04．函数的间断点是 。

f(x)x =0f(x)x =0解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。

lim x→0−xsin 1x=0 lim x→0+(x +1)=1 f(0)=1因为f(x)x =0所以函数在处是间断的，f(x)(0,+∞)f(x)x =0又在和都是连续的，故函数的间断点是。

lim x→0xsin 1x =5．极限 ．x →0xsin 1x 解 因为当时，是无穷小量，是有界变量．x →0xsin 1x lim x→0xsin 1x =故当时，仍然是无穷小量． 所以 0．f(x)={x +1 x ≥0|x =06．当k 时，在处仅仅是左连续．解 因为函数是左连续的，即f(0−)=lim x→0−(x +1)=1=f(0) f(0+)=lim x→0+(x 2+k)=k =1若k =f(x)x =0 即当1时，在不仅是左连续，而且是连续的． k ≠1f(x)x =0 所以，只有当时，在仅仅是左连续的．f(x)=1−cosx xx =0f(o)=7．要使在处连续，应该补充定义 limx→01−cosx x=limx→0sinx1=0f(0)=0解：2．，补充定义二、单项选择题lim x→∞(x 2x+1−ax −b)=0ab 1．已知，其中,是常数，则（ ）a =1,b =1a =−1,b =1(A) , (B) a =1,b =−1a =−1,b =−1(C) (D) ∵lim x→∞(x 2x+1−ax −b)=limx→∞(1−a )x 2−(a+b )x−bx+1=0解. ,∴1−a =0,a +b =0,∴a =1,b =−1 答案：C 2．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。

A.；B.；C. ；D.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 limx→∞sinxx=0而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

3．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）y =xsin 1x (x →∞)y =n (−1)n(n →∞)(A); (B); y =lnx(x →+0)y =1x cos 1x (x →0)(C)； (D) ∵lim x→∞xsin 1x=lim x→∞sin 1x/1x=1m =2k +1lim n→∞n (−1)n=limk→∞12k+1=0x n =1nπ+π2limn→∞1x ncos1x n=0解. , 故不选(A). 取, 则, 故不选(B). 取, 则, 故不选(D). 答案：C f(x)=1−2e 1x 1+e 1xarctanx,则x =0是f(x)4.的（ ）.（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点 f(0−0)=lim x→0−1−2e 1x1+e 1xarctanx =1−01+0⋅0=0,解：f(0+0)=lim x→0−1−2e 1x 1+e1x arctanx =lim x→0−e −1x −2e−1x+1arctanx =0−20+1⋅0=0,故f(0−0)=f(0+0),x =0为可去间断点,应选(A).f(x)=e x −a x(x−1)x =0x =1a =5.若，为无穷间断点，为可去间断点，则（ ）.（A ）1 （B ）0 （C ）e （D ）e -1x =0(e x −a)|x=0≠0a ≠1a =0x =1x =1a =e 解：由于为无穷间断点, 所以, 故. 若, 则也是无穷间断点. 由为可去间断点得.故选(C ).三、计算应用题⒈计算下列极限：lim x→∞(x−1x+3)x+2lim x→1sin(x−1)x 2+x−2limx→0√9+sin3x−3x （1）； （2）； （3） ；limx→4x 2−5x+4x 2−x−12lim x→1(3−x x 2−1−1x−1)（4）； （5）；（6）解：（1）lim x→1sin(x−1)x 2+x−2lim x→1sin(x−1)(x−1)(x+2) （2）=limx→1sin(x−1)x−1lim x→11x+2 =1×13=13=√9+sin3x +3 （3）解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算．即lim x→0√9+sin3x−3x √9+sin3x−3)(√9+sin3x+3)x(√9+sin3x+3) = limx→0sin3x x×lim√9+sin3x+3×16=12 ==（4）解 将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即lim x→4x 2−5x+4x 2−x−12=lim x→4(x−4)(x−1)(x−4)(x−3)=lim x→4(x−1)(x−3)=4−14−3=3（5）解 先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即lim x→1(3−x x 2−1−1x−1)limx→1(3−x)−(x+1)(x−1)(x+1)==lim x→1−2x+1=−1limx→∞(1−2x)5(3x 2+x+2)(x−1)(2x−3))limx→∞(1x−2)5(3+1x +2x 2)(1−1x )(2−3x)6)(−2)5×32=−32（6） = =2.设函数f(x)={xsin 1x +bx <0ax =0sinx x x >0a,bf(x)x =0问（1）为何值时，在处有极限存在？ a,bf(x)x =0（2）为何值时，在处连续？f(x)x =0lim x→0−f(x)=lim x→0+f(x)解：（1）要在处有极限存在，即要成立。

lim x→0−f(x)=lim x→0−(xsin 1x +b)=b lim x→0+f(x)=lim x→0+sinx x=1因为b =1lim x→0−f(x)=lim x→0+f(x)b =1x =0a 所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=f(x 0)b =1=f(0)=aa =b =1x =0 于是有，即时函数在处连续。

limx→2x 3+ax 2+b x−2=8ab 3．已知，试确定和的值∵lim x→2x 3+ax 2+b x−2=8∴lim x→2(x 3+ax 2+b )=8+4a +b =0b =−8−4a 解. ,,即∴limx→2x 3+ax 2+b x−2=limx→2x 3+ax 2−4a−8x−2=lim x→2[x 2+(a +2)x +2a +4]=4a +12=8,∴a =−1,b =−4故limx→0e 1x +1e 1x −1arctan 1x 4．求∵limx→0+e1x=+∞limx→0−e1x=0解. , ,limx→0+e1x+1e1x−1arctan1x=limx→0+1+e−1x1−e−1xlimx→0+arctan1x=π2,limx→0−e1x+1e1x−1arctan1x=limx→0−e1x+1e1x−1limx→0−arctan1x=π2,∴limx→0e1x+1e1x−1arctan1x=π2f(x)={e1x−1, x>0|f(x)5．设，求的间断点，并说明间断点的所属类型f(x)(−1,0),(0,1),(1,+∞)limx→1+e1x−1=∞limx→1−e1x−1=0f(0)=0x=1f(x)limx→0+f(x)=limx→0+e1x−1=e−1,解. 在内连续, ,, , 因此, 是的第二类无穷间断点;lim x→0−f(x)=limx→0−ln(1+x)=0x=0f(x), 因此是的第一类跳跃间断点.f(x)=limn→∞x+x2e nx1+e nx6．讨论的连续性。

f(x)=limn→∞x+x2e nx1+e nx={x2,x>00,x=0x,x<0f(x)(−∞,0),(0,+∞)limx→0f(x)=f(0)=0∴f(x)(−∞,+∞)解. ,因此在内连续, 又, 在上连续.整理丨尼克本文档信息来自于网络，如您发现内容不准确或不完善，欢迎您联系我修正；如您发现内容涉嫌侵权，请与我们联系，我们将按照相关法律规定及时处理。