整理二次函数应用题的类型知多少

二次函数应用题的类型知多少

一、填空题

lim

x→∞

x−sinx x

=________________1．

答案：1

lim

x→∞

x−sinx x

=lim x→∞

(1−

sinx x

)=lim x→∞

1−lim

x→∞sinx

x

=1−0=1正确解法：

lim

x→2x 2+ax+b

x 2−x−2

=2a =b =2.已知，则_____, _____。

4+2a +b =0b =−2a −4lim x→2x 2+ax+b

x 2−x−2

=lim

x→2x+a+2

x+1

=

a+43

=2a =2,b =−8由所给极限存在

知, , 得, 又由, 知

lim

x→0e x −b

(x−a)(x−1)

=∞a =b =3.已知，则_____, _____。

∵lim x→0

e x −b

(x−a)(x−1)=∞lim

x→0

(x−a)(x−1)

e x −b

=a

1−b =0∴a =0,b ≠1, 即,

={

xsin

1

x x <0x +1

x ≥0

4．函数的间断点

是 。

f(x)x =0f(x)x =0解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。

lim x→0

−xsin 1

x

=0 lim x→0

+(x +1)=1 f(0)=1因为

f(x)x =0所以函数在处是间断的，

f(x)(0,+∞)f(x)x =0又在和都是连续的，故函数的间断点是。

lim x→0

xsin 1

x =5．极限 ．

x →0xsin 1x 解 因为当时，是无穷小量，是有界变量．

x →0xsin 1

x lim x→0xsin 1

x =故当时，仍然是无穷小量． 所以 0．

f(x)={x +1 x ≥0|x =06．当k 时，在处仅仅是左连续．

解 因为函数是左连续的，即

f(0−)=lim x→0

−(x +1)=1=f(0) f(0+

)=lim x→0

+(x 2+k)=k =1若

k =f(x)x =0 即当1时，在不仅是左连续，而且是连续的． k ≠1f(x)x =0 所以，只有当时，在仅仅是左连续的．

f(x)=1−cosx x

x =0f(o)=7．要使在处连续，应该补充定义 lim

x→0

1−cosx x

=lim

x→0sinx

1

=0f(0)=0解：2．，补充定义

二、单项选择题

lim x→∞(

x 2

x+1

−ax −b)=0ab 1．已知，其中,是常数，则（ ）

a =1,

b =1a =−1,b =1(A) , (B) a =1,b =−1a =−1,b =−1(C) (D) ∵lim x→∞(

x 2

x+1

−ax −b)=lim

x→∞

(1−a )x 2−(a+b )x−b

x+1

=0解. ,

∴1−a =0,a +b =0,∴a =1,b =−1 答案：C 2．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。

A.；

B.；

C. ；

D.

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 lim

x→∞sinx

x

=0

而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

3．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）

y =xsin 1

x (x →∞)y =n (−1)n

(n →∞)(A); (B); y =lnx(x →+0)y =1x cos 1

x (x →0)(C)； (D) ∵lim x→∞

xsin 1

x

=lim x→∞

sin 1

x

/1

x

=1m =2k +1lim n→∞

n (−1)n

=lim

k→∞1

2k+1

=0x n =

1

nπ+π

2

lim

n→∞1

x n

cos

1x n

=0

解. , 故不选(A). 取, 则, 故不选(B). 取, 则, 故不选(D). 答案：C f(x)=

1−2e 1

x 1+e 1x

arctanx,则x =0是f(x)4.的（ ）.

（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点 f(0−0)=lim x→0

−

1−2e 1

x

1+e 1x

arctanx =1−0

1+0⋅0=0,解：

f(0+0)=lim x→0

−

1−

2e 1x 1+

e

1x arctanx =lim x→0

−

e −1

x −2e

−

1x

+1

arctanx =

0−2

0+1

⋅0=0,

故f(0−0)=f(0+0),x =0为可去间断点,应选(A).