数学悖论与三次数学危机
数学的三次危机——第三次数学危机
三、第三次数学危机数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托发现了很相似的悖论，它们涉及到集合论中的结果。
1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。
1902年著述《数学原理》，继而与怀德海合著《数学原理》(1910年～1913年)，把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作之一。
他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔文学奖。
他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。
1968～1969年出版了他的自传。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。
当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。
当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。
狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。
发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。
集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。
数学悖论与三次数学危机
贝克莱
贝克莱悖论与第二次数学危机
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随 着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几 乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具 为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问 世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题 运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿， 还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。 两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对 作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱 的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反 对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克 莱。
1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本 标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的 论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不 是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显 的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。 例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取 一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学 却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说 是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是 “已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目 的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
浅谈数学发展史中的三次危机
浅谈数学发展史中的三次危机摘要：在数学发展的历史长河中，危机与发展是并存的。
在数学发展史中出现了三次危机，人们通过对危机的探索，最终消除了它，并促进了数学的不断发展和进步。
第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现进而度过了把第一次数学危机。
第二次数学危机是人们对无穷小的误解，而微积分的出现产生了一种新的方法——分析法，分析法是算和证的结合，是通过无穷趋近而确定某一结果。
罗素悖论的发现，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
归根结底，导致三次危机的原因，是由于人的认识。
关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言历史上，数学的发展又顺利也有曲折。
打的挫折也可以叫做危机。
危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。
所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。
每一次危机，都是数学的基本部分受到质疑。
实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
二、无理数的发现---第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
数学史上的三大数学危机
3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无
穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。 特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”
C1
1
11
下边证明，当 c2 2时，c 不能表成整数比。
如（果不不妨然 设，n 有是两既个约正分整数数即m(m和, nn) 使1）c。两mn端
m
平方得 2
n2 m2
，即
2m2
n2。
由此知 n2 是偶数。由于偶数的平方是偶
数，奇数的平方是奇数，∴ n 是偶数。
12
因 n “既约”，m 不能再是偶数，于是 m 是奇数。
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
2
我们要求物体在t 0
的瞬时速度，先求S
t
。
S
S (t1)
S (t0 )
1 2
gt12
1 2
gt02
1 2
g[(t0
t ) 2
t02 ]
1 2
g[2t0t
(t)2 ]
∴
S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
21
当 t 变成无穷小时，右端的
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt 0 ，这就是物体在 t0 时的瞬时速度，
它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。
悖论与三次数学危机
数学悖论、三次危机及其深刻影响【摘要】“希帕索斯悖论”导致数学史上的第一次危机，引导人们发现与认识无理数，促使公里几何学、逻辑学的诞生以及公理体系的形成；“贝克莱悖论”导致数学史上第二次危机，使人们认识到当时，无论是牛顿还是莱布尼茨所提出的微积分理论其实并不严格，促使柯西等数学家将极限的定义严格化，造就了18世纪分析学的辉煌；“罗素悖论”发现，动摇了当时的数学基础——集合论，从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性，导致了数学史上第三次危机。
【关键词】数学史；数学悖论；数学危机引言谈及数学，总会给人以严谨、严密，逻辑性强的特点。
然而，数学的这些特点并非从古至今一成不变，而是通过一次次的修正，补充才逐渐形成。
纵观数学科学发展的历史过程，我们不难体会到：数学的发展也和其他事物的发展一样, 不可能是笔直的, 它也经历了曲折的发展过程。
本文就旨在通过回顾、讨论数学史三次危机的产生、解决，从而分析悖论对数学发展的意义与影响。
一、“希帕索斯（Hippasus）悖论”与第一次数学危机（一）背景大约在公元前五世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯（pythagoras）创建的毕达哥拉斯学派是一个从事政治、数学、哲学和宗教研究活动具有神秘主义色彩的团体。
同时，这一学派在哲学与数学方面的研究成果突出，在当时占有统治地位。
在哲学上，毕达哥拉斯跟当时的其他希腊思想家一样，也热衷于探索世界构成的本原问题。
与其他哲学学派不同，毕达哥拉斯学派宣称万物的本原不是自然物质，而是数。
由此提出了“数本原说”，主张“整个字宙间的一切现象，都可归结为整数和整数之比”。
在数学上，毕达哥拉斯学派证明了著名的毕达哥拉斯定理（即勾股定理）。
就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题：设一直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边边长为c，则有如下关系式：222a b c+=（二）“希帕索斯悖论”（即危机的产生和实质）毕达哥拉斯学派在所提出“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”的哲学信条不久，就受到了严重的挑战。
史上数学三大危机简介
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
三次数学危机和数学悖论读书笔记
三次数学危机和数学悖论读书笔记一、第一次数学危机。
1. 危机的起源。
- 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是整数或整数之比（即有理数）。
当他们研究等腰直角三角形的斜边与直角边的关系时，发现了一个不可公度的量。
例如，对于边长为1的等腰直角三角形，其斜边长度为√(2)，√(2)不能表示为两个整数之比，这与他们的信条产生了冲突。
2. 对数学的影响。
二、第二次数学危机。
1. 危机的起源。
- 17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分。
在微积分的早期发展中，存在着一些概念上的模糊性。
例如，牛顿的流数法中，对于无穷小量的定义和处理不够严谨。
在求导过程中，先把一个量看作无穷小量进行运算，最后又把它当作零舍去，这就引发了逻辑上的矛盾。
例如，对于函数y = x^2，求导时(Δ y)/(Δ x)=frac{(x + Δ x)^2-x^2}{Δ x}=2x+Δ x，当Δ x趋近于0时，牛顿把Δ x既当作非零的量进行运算，最后又当作零舍去得到y' = 2x。
2. 对数学的影响。
- 这次危机促使数学家们对微积分的基础进行深入的思考和研究。
柯西、魏尔斯特拉斯等数学家通过极限理论等方式来完善微积分的基础。
柯西提出了极限的ε - δ定义，使得微积分中的概念如导数、积分等有了严格的定义基础。
魏尔斯特拉斯进一步完善了极限理论，消除了无穷小量概念的模糊性，从而使微积分建立在严格的逻辑基础之上，推动了分析学的蓬勃发展，也为现代数学分析等学科的发展奠定了坚实的基础。
三、第三次数学危机。
1. 危机的起源。
- 19世纪末，集合论成为了数学的基础。
康托尔创立的集合论在处理无穷集合等问题上取得了巨大的成功。
罗素提出了著名的罗素悖论。
考虑集合S={xx∉ x}，如果S∈ S，根据S的定义，S∉ S；如果S∉ S，同样根据定义S∈ S，这就产生了矛盾。
这个悖论表明集合论本身存在着逻辑漏洞。
2. 对数学的影响。
- 第三次数学危机引发了数学界的巨大震动。
《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》“四次"数学危机第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比,他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现,边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬"和违反常识的事.它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条,也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安,相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决.两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。
正方形的一边与对角线,就不存在能同时量尽它们的第三线段,因此它们是不可通约的.很显然,只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了.我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生,比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了,正是有这种思想，当我们将负数开方时,人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。
但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义,因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。
第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
历史上的三次数学危机
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二、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积 分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达 哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机 则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提 出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质
疑 引起的。
6
1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成 就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻 辑上的问题。我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体 在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只 能求一段时间内的平均速度，无法求某一 时刻的瞬时速度。
时的极限，即
S
物体在 t0
时刻的瞬时速度=
lim
t 0
t
。 36
下边我们对（*）式的等号两边同时取
极限 t 0 ，根据“两个相等的函数取 极
限后仍相等”，得lim ( 瞬时速度= t0
gt0
1 2
g(t))
再根据“两个函数和的极限等于极限的
和”lti m，0(g得t0
1 2
27
这些例子使数学家们越来越明 白，在为分析建立一个完善的基础方 面，还需要再深挖一步：即需要理解 实数系的更深刻的性质。
28
② 魏尔斯特拉斯的贡献 德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）的努力，终 于使分析学从完全依靠运动学、直观理解 和几何概念中解放出来。他的成功产生了 深远的影响，主要表现在两方面，一方面 是建立了实数系，另一方面是创造了精确
35
② “贝克莱悖论”的消除
回到牛顿的（*）式上：
S t
gt0
1 2
数学悖论与三次数学危机
数学悖论与三次数学危机数学，作为一门精确的科学，自古以来一直受到人们的推崇和喜爱。
然而，数学也并非完美无缺，它也存在着一些悖论和危机，这些问题挑战着人们对数学的认知和理解。
本文将探讨数学悖论与三次数学危机，并着重讨论数学领域中的挑战和问题。
一、数学悖论1. 贝塞尔悖论：贝塞尔曲线在数学和科学领域中广泛应用，它是一种描述曲线形状的数学工具。
然而，贝塞尔悖论指出，贝塞尔曲线的某些性质与直觉相悖。
例如，当贝塞尔曲线被细分为越来越多的段落时，曲线并不会平滑地收敛到给定的目标形状。
这一悖论引发了对曲线近似和计算的许多挑战。
2. 伯克霍夫悖论：伯克霍夫悖论涉及到在无限次迭代的情况下，计算某些概率的困难性。
例如，如果我们有一枚硬币，每次抛掷，正面朝上的概率为1/2。
那么，如果我们连续无限次抛掷硬币，正面朝上的次数相对于总次数的比例又是多少呢？直觉上，这个比例应该是1/2，但根据伯克霍夫悖论，这个比例实际上是一个不确定的值。
3. 瑕疵统计：瑕疵统计是指在无限时间和空间中的某些分布，存在着某些奇怪的性质。
例如，考虑一个线段，我们可以通过在中间随机选择一个点，然后将剩余部分一分为二。
重复此过程，我们将得到一系列长度不断减小的线段。
然而，根据瑕疵统计，最终我们会得到一个长度为零的线段。
这种现象挑战着我们对无穷的理解。
二、三次数学危机1. 黑洞信息悖论：黑洞是宇宙中最神秘而又引人入胜的天体之一。
然而，根据黑洞信息悖论，当物质进入黑洞时，所有关于该物质的信息都将永久性地丢失。
这一结果与量子力学的基本原理相矛盾，其中信息是不可破坏的。
黑洞信息悖论挑战了我们对信息保存和宇宙进化的理解。
2. 艾伦-克拉曼恩悖论：在数学中，一个凯莱集合是指具有类似于实数线的长度，但没有定义的集合。
这种存在令人惊讶，因为对于实数而言，我们可以精确地描述和测量其长度。
然而，艾伦-克拉曼恩悖论指出，某些特殊的凯莱集合存在于一个叫做超计算的理论计算机中。
数学悖论与三次数学危机
数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。
历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。
数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。
危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。
悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1] 。
数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。
数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。
本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。
公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2] 。
他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数(即分数，两个整数的比)，除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。
毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3] ，也就是我们所说的勾股定理。
勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即 a2 =b2 +c 2，a 和 b 分别代表直角三角形的两条直角边， c 表示斜边。
然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
数学史上的三次危机及对数学发展的影响《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲XXX一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。
今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。
讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。
国学大师XXX在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
入乎其内，故能写之。
出乎其外，故能观之。
入乎其内，故有生气。
出乎其外，故有高致。
”同学们平时听课、读书、做题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个推向另一个。
我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1)以锄头为代表的农耕文明；(2)以大机器流水线作业为代表的工业文明;(3)以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我本日演讲的问题是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。
本日，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的紧张影响，让同学们不仅从数学自身的头脑办法和使用的角度，而且从文化和历史的高度审阅数学的全貌和艳丽。
赞美数学头脑的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的发达发展。
二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1XXX与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容XXX是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：XXX学派。
由XXX提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
数学三大危机简介
数学三大危机简介数学三大危机，涉及无理数、微积分和集合等数学概念。
今天小编在这给大家整理了数学三大危机资料，接下来随着小编一起来看看吧!数学三大危机第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。
小小根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机出现第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
从罗素悖论到第三次数学危机
• (3)无序对公理：对任意集合X,Y，存在集合Z，使得X,Y是它仅有的元素。 也
就是说：我们可以用一个集合 Z={X,Y} 来表示任给的两个集合 X,Y，称之为X 与Y的无序对。 •
• (4)并集公理：任给一族M，存在UM（称为M的并）它的元素恰好为M中所含
元素的元素。 也就是说：我们可以把族M的元素的元素汇集到一起，组成一 个新集合。 注：为了方便描述，定义族表示其元素全为集合的集合。 • (5)幂集公理(子集之集公理)：对任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰 好就是X的一切子集。 也就是说：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。
存在的。
• 罗素悖论的形式帮助我们看清了这一点：对于任何一个集合 A，总存在一个 集合 B，使得 B 不在 A 里面。换而言之，不存在所有集合的集合。
第三次数学危机的后续
• 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他
刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道： "一位科学家不会碰到比这 更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的 时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。 • 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数
得诺贝尔文学奖，以表彰其“多样且重要的作品，持续不断的追求人道主义
理想和思想自由”。他的代表作品有《幸福之路》、《西方哲学史》、《数 学原理》、《物的分析》等。
数学危机
• 数学危机是数学在发展中种种矛盾， 数学中有大大小小的许多矛盾，比如正
与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是 整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散， 乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在 整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整
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yx
n 的导数：
x
n 2 n x x n n x n 1 x n n 1 x n 2 x x 2
然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y ，
y x
x x
第二次数学危机的内容
公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释 许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引 起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积 分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能 自圆其说。
例如牛顿当时是这样求函数
第一次数学危机的影响
毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击， “数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑 战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混 乱。 第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学 科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存 在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出 了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类— —实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。 再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才 是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体 系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生 的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展 ,使几何学在此后两千 年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的 一次巨大革命。
数学悖论与三次数学危机
学科教学（数学） 康健
1.毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 2.贝克莱悖论与第二次数理
你知道吗？在数学发展过程中勾股定理的发现，引出了
数学上另一重要发现（无理数），进而在西方数学界掀起 了一场巨大风波。
n
xn
x
n2 n 1 n x n 1 nn 1 x n 2 x n x x x 2
最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数 n 1 的导数为
y n x
y x
n
对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发 现了其中的问题，他一针见血的指出：先用△x为除数除以 △y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明 △x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小 是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误 得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。 这就是著名的“贝克莱悖论”。 确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有 时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑。无穷小 量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论 的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多 世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。
第三次数学危机的影响
罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础— —集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。 罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身， 而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解 决。罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着 极大的困难。 第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地，然而科学面 前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作 中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了， 原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的 限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集 合而产生了悖论。
第二次数学危机的影响
第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待 无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一 危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格 朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为 彻底解决微积分的基础问题，柯西、魏尔斯特拉斯等人进 行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本矛盾， 就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现 与无穷小紧密相关的微积分的本质 。在解决使无穷小数学 化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之 相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。而柯西 采用的 ε －δ 方法刻画无穷小，把无穷小定义为以 0为极限 的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。后来魏尔斯特 拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限 理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。
毕达哥拉斯悖论
毕达哥拉斯学派对几何进行了研究，让我们看看 他们是如何比较两条线段的长度的。 在比较两条线段 a 和 b （设 b>a ）的长度时，如果 出现b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接使用 … a 作为两者的共同度量单位。更一般的情况下的 a 正整数倍不等于b。这时，可以去找一条小线段d ， 使a可以分成d的某整数（比如n倍），同时使b可 以分成d的另一整数倍（比如m倍），那么毕达哥 拉斯学派就把小线段 d 作为 a 与 b 的共同度量单位， 并说线段 a 与 b 是可公约或可公度的（ d 就是两者 的共同度量单位）
在外面经历了漫长的游历岁月后，这位年近 半百的智者回到家乡并开始讲学。在广收门徒后， 毕达哥拉斯建立了一个组织严密，并带有宗教色 彩的学派——毕达哥拉斯学派。 公元前六世纪，毕达哥拉斯学派在古希腊学 术界占统治地位，其思想在当时被认为是绝对权 威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为 “唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就 是数的和谐。他们认为万物皆数，而数只有两种， 就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的 比）， 除此之外不再有别的数，即是说世界上只 有整数或分数。
对于任意长度的两条线段来说，毕达哥拉斯学派成 员相信上面的操作过程总会在进行有限步后结束。他 们相信只要把单位线段取的适当短，总可以把两条线 段同时量尽，只是需要耐心。因此，任意两个同类量 是可通约的，或者说是可公度的。
风波乍起：第一次数学危机的出现
转折是从毕达哥拉斯提出勾股定理开始的。 他的一个学生希帕索斯在在摆弄老师的著名成果时，想 到这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是 可通约的呢？然而经过认真的思考，他发现，这两条线段不 存在共同的度量单位，不管度量单位取的多么小，都不能成 为正方形的边与对角线的共同度量单位。一句话，正方形的 边和对角线是不可公度的。 用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则 由勾股定理有 c 2 ，设已将 a和c中的公约数约去，即a、c 2a 2 已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m， 2 有 2m2 ， ，，于是 2a 2 a 2m 2 a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。 这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
为了从根本上消除集合论中出现罗素悖论，许多数学家进行了不懈的 努力。最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗 认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯 粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯·诺伊曼等人 的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），在ZFC 系统 中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条 公理。ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论 为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。 尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理集合 论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉， 它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质 上更深刻地以其它形式延续。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也 取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基 础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数 学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研 究的“黄金时代”。
这个过程相当于先用短些的线段当尺子去测量长 的。如果一次量尽，度量结束;如果一次量不尽，就用 余数作为尺子去量那个短些的线段，如果量尽，度量 结束；如果不量尽，就用新的余数作为尺子去量上次 的余数……依次下去，直到某一次的余数等于零，度 量结束。这时，结束前一次的余数就是我们要找的共 同度量单位。
罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论。理发师宣布了这样 一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。那 么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。如果他 自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人， 根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己 刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又 按他的原则他就该为自己刮胡子。同样有产生了这样的悖 论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。 这就是历史上著名的罗素悖论。罗素悖论的出现，动摇了 数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。
智慧之神：毕达哥拉斯 毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯悖论 第一次数学危机 第一次数学危机的影响
c a b
a b c
2 2
2
毕达哥拉斯（约公元前580~前500）， 古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，音 乐家、教育家。 在生前，这位超凡的天才人物已经被人们神 话。由于人们对他的智慧感到不可思议，又有 人说他的大腿上有一个金色胎记，以至于人们 相信他是太阳神阿波罗的儿子。 受到当时哲人的指点，毕达哥拉斯踏上了东方游学之旅。 他先到了埃及，在那里不仅学习埃及人的几何学，而且成为 学习埃及象形文字的第一个希腊人。在埃及逗留了至少13 年后，毕达哥拉斯到了古巴比伦，在那里获得了巴比伦数学 的全部知识。或许后来他还到达了更远的印度，无论到了哪 里，它都不断向有学问的人请教，接受当地流传的天文数学 等方面的知识，以丰富自己的见解，重要的是，他不仅懂得 刻苦学习，而且更善于认真思考。在经过兼收并蓄、汲取各 家所长后，毕达哥拉斯形成并完善了自己的思想。