人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 PPT课件

点F，则AE=
1 2 AB=30
cm．
令⊙O的半径为R cm，则OA=R cm ，OE=OF-EF=(R-10)cm．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
解得R =50．
所以修理人员应准备内径为100 cm的管道．
课堂小结
圆的轴对称性；垂径定理及其推论． （1）垂径定理和勾股定理的结合； （2）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线：
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
A．4 2 B．8 2
C．2 5
D．4 5
练习巩固，综合应用
2．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好 经过圆心O，则折痕AB的长为 __2__3__cm．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB 上的一个动点，则OP长的取值范围为 3≤OP≤5．
练习巩固，综合应用
4．已知⊙O中，若弦AB的长为
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.23．
Hale Waihona Puke Baidu
合作探究，形成知识
按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把 这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂 足为点M； 第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么？
合作探究，形成知识
你能用符号语言表达垂径定理吗？
AM=MB
(( ((
CD是圆O的直径，
CD⊥AB与点M
AC = BC
AD =BD
(
例题应用，深化提高
例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB 于点D．若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
学习目标 1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．
2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
合作探究，形成知识
证明圆的对称性 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C， D以外的任意一点．过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为M， 连接OA，OB． 在△OAB中，∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形． 又AB⊥CD，∴AM=BM． 即CD是AB的垂直平分线．这就是说，对于圆上 任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此， ⊙O关于直线CD对称．即圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是它的对称轴．
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径．
再见
（1）求证：BC=BD； （2）若CD=6，求⊙O的半径长． 解：（1）连接OC． ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CH=DH，BC=BD．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r， 则OH= 1 r．
2
∵CD=6， ∴CH= 1 CD=3．
2
∵∠CHO=90°， ∴OH2＋CH2=CO2，即( 1 r)2＋32=r2．
8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm， A 求⊙O的半径．
解：连结OA，过O作OE⊥AB，
E
B
．
O
垂足为E，则OE=3 cm，AE=BE．
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm．
在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA=5 cm．
∴⊙O的半径为5 cm．
练习巩固，综合应用
5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分 线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
D
A
B
R
O
练习巩固，综合应用
1．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB．
例题应用，深化提高
例2 如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约 有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱 高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半 径(结果保留小数点后一位)．
【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
2
∴r=2 3．
故⊙O的半径长是2 3 ．
练习巩固，综合应用
6．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修 理人员准备更换一段新管道．如下图所示，污水水 面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问 修理人员应准备内径多大的管道?
练习巩固，综合应用
解：如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于