人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 PPT课件
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人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)
推论的符号语言表述
由 ①CD是直径 ③AE = BE
可推得
②CD⊥AB
⑤④AA⌒⌒CD
= =
⌒ ⌒BBCD
用∵ ∴的格式写出来。 还有其它推导吗？
二、新知探究与学习
4、推论探究
重点讨论：假命题“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧”。
①为什么是假命题？（举反例如图） ②如何补充条件使其成为真命题？
5、定理及推论的理解
⑶ 下列说法正确的个数是（
）个
①平分弧的直径必平分弧所对的弦。
②平分弦的直线必垂直弦。
③垂直于弦的直径平分这条弦。
④平分弦的直径垂直于这条弦。
⑤弦的垂直平分线是圆的直径。
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，那么这条 直线必平分此弦所对的弧。
A、2
B、3
C、4
D、5
6、图形的识别与探究
（1）弦心距d、弓形高h的概念 （2）构建Rt△模型 （3）a、d、r、h 具有什么样的数量关系？
7、垂径定理及推论应用
例2、赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥， 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度 （弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.23米，求赵州桥主桥拱的半径 （结果保留小数点后一位）
C
F
拱高7.23米
A
跨度D37米
B
变式训练
练习1、往直径为650mm的圆柱体油槽内装 入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。
O
A
B
提升训练
练习2、某菜农在生态园蔬菜基地搭建一个截面为弓形的 蔬菜大棚（如图），大棚的跨度为30m，大棚的顶点C离 地面高度为2.3m。 ① 求该圆弧所在圆的半径。 ② 若菜农身高1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动范 围有几米?
人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径(共22张PPT)
获取新知
知识点一：垂径定理及其推论
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，
重复做几次，你发现了什么？
●O
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，
任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB, 垂足为E.
你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?
C
线段: AE=BE
所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的
距离）为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保
留小数点后一位）.
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂
足为D，与弧AB交于点C，则D
是AB的中点，C是弧AB的中点，
CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
2
2
设OC=x cm，则OD=(x-2) cm.
根据勾股定理，得
x2=42+(x-2)2，
解得
x=5.
即半径OC的长为5 cm.
E
·O
A
D
C
B
获取新知
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一下，得到的
命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
人教版九（上）数学精简课堂课件
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
知识回顾
情景导入
获取新知
例题讲解
随堂演练
课堂小结
情景导入
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州
石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)
24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共23张PPT) 人教版数学九年级上册
【解析】如图所示：连接OD ∵直径AB=15 ∴BO=7.5 ∵OC：OB=3：5 ∴CO=4.5 ∴ DC DO2 CO2 6 ∴DE=2DC=12．
3.（2021•杭州期末）如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， AB⊥MN，点C在线段AB上，OC=AC=2，BC=4，求⊙O的半径．
ABC ACB BAC
A⌒B ⌒BC
⌒ A⌒CB BAC
B O●
C
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解 决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
③ AE=BE
④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=⌒BD C
举例证明其中一种组合方法 已知:
求证：
O
E
A
B
D
【证明举例】
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2） A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？
C
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
A
E
B
O
【跟踪训练】
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= 16cm.
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB，
AE OAc2m OE2
102 62
8
∴ AB=16cm.
A
E
B
O·
垂径定理
内容
推论
辅助线
基本图形及 变式图形
_人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ③ AM=BM,
② CD⊥AB,
④A⌒C=⌒BC, ⑤⌒AD=⌒BD.
只要具备其中任何两个条件, 就可推出其余三个结论吗？
C
A
B
M
●O
D
证明猜想
已知： ① CD是直径, ③ AM=BM,
求证： ② CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理的推论
24.1.2 垂直于弦的直径
C
A
M
B
·O
D
学习目标（1分钟）
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形； 2.理解并掌握垂径定理及其逆定理； 3.能用垂径定理及其逆定理进行证明及计 算相关问题.
自学指导一（3分钟）
阅读课本P81-P82，解决下列问题:
1、圆是轴对称图形吗?
它的对称轴是什么?
图中有哪些等量关系？
EF=1cm 或7cm
5.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
N
（
）
B
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
O.
∴ AE－CE＝BE－DE
A CED B
即 AC＝BD.
常用辅助线的添法：解决有关弦的问题，有事没事垂一垂！
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
24.1.2垂直于弦的直径 课件人教版数学九年级上册
(1)证明：∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠APO. ∵AOIIPE,∴∠DPO=∠AOP, ∴∠APO=∠AOP,.∴AP=AO.
【综合拓展类作业】
(2)解：如图，过点O作OH⊥AB 于点H,
在Rt△AOH中， ∵AO=5,AH=4, ∴OH=√52-42=3. ∵AP=AO=5, ∴PH=AP+AH=9,
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么?由此你能得出什么结论?
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗?
证明：如图，设CD是○O的任意一条直径， A为 0O上点C,D 以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD, 交00于点A', 垂足为M, 连接OA,OA'.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
垂直于圆的直径 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【知识技能类作业】必做题：
1.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面 宽AB=48cm, 则水的最大深度为( C )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【知识技能类作业】必做题： 3.已知○ O 中，弦AB=8cm, 圆 心 到AB 的距离为3cm, 则此圆的半径为_5 cm.
4.如图，OE⊥AB 于E, 若○ O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=16 .cm.
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在00中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm.求 0 0 的半径.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形
∴∠DPO=∠APO. ∵AOIIPE,∴∠DPO=∠AOP, ∴∠APO=∠AOP,.∴AP=AO.
【综合拓展类作业】
(2)解：如图，过点O作OH⊥AB 于点H,
在Rt△AOH中， ∵AO=5,AH=4, ∴OH=√52-42=3. ∵AP=AO=5, ∴PH=AP+AH=9,
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么?由此你能得出什么结论?
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗?
证明：如图，设CD是○O的任意一条直径， A为 0O上点C,D 以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD, 交00于点A', 垂足为M, 连接OA,OA'.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
垂直于圆的直径 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【知识技能类作业】必做题：
1.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面 宽AB=48cm, 则水的最大深度为( C )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【知识技能类作业】必做题： 3.已知○ O 中，弦AB=8cm, 圆 心 到AB 的距离为3cm, 则此圆的半径为_5 cm.
4.如图，OE⊥AB 于E, 若○ O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=16 .cm.
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在00中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm.求 0 0 的半径.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形
人教版数学九年级上册：24.1.2《垂直于弦的直径》 PPT课件(共16页)1
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
⌒⌒
⌒⌒
∴ AD =BD. ∴ AC =BC,
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的 想法和理由.
发现图中有:
C
由 （1）CD是直径 可推得
A
┗●
B （2）AM=BM
M
●O
垂径定理的推论
CD⊥AB, ⌒⌒ AC=BC, ⌒⌒ AD=BD.
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题 ：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的 中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理
A C DB O
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
人教版(2012)九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 课件(29张ppt)
B D
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
5)
y
.
C 3
A O 2M D
Hale Waihona Puke 5B x达标练习4.如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
O
r 9-r
3E
A
B
D
角形全等. 要证 ⌒AC =A⌒D,⌒BC =⌒BD ，只需证明C点与D点
C
关于直径AB对称.
A
O ED B
同位讨论
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E. 求证：CE=DE,⌒AC = A⌒D, ⌒BC =⌒BD.
证明：连接OC,OD,则OC=OD 在Rt△OCE和Rt△ODE中：
A O
__O_E_=_O_E_____________
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件
5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理同步课件(共23张PPT)
弦等于 2 5 c. m
B
O
D
P E
C
A
练习
6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。
D
C
E
A
O
B
.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
赵的州弦桥 的是长我）国为隋37代米建，O造拱的高石（拱弧桥的，中距点今到有弦1的4距00离年）的为历7史O. ，是我国古代人民勤劳和智慧的结O晶，它的主桥拱是圆形．它的跨度（弧所对
作业
• 课本90页：8 9
• 不经历风雨，怎么见彩虹 5、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前 面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高．
（2）线段：AE=BE
（1）是轴对称图形．直径CD所在
的直线是它的对称轴
C
（2）线段：AE=BE
弧： AC=BC
·O
把圆沿A着D直=径BCDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
B
分别与 B、C B重合。
D
D
2.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形, 用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
所对的弦的长)为37.
B
O
D
P E
C
A
练习
6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。
D
C
E
A
O
B
.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
赵的州弦桥 的是长我）国为隋37代米建，O造拱的高石（拱弧桥的，中距点今到有弦1的4距00离年）的为历7史O. ，是我国古代人民勤劳和智慧的结O晶，它的主桥拱是圆形．它的跨度（弧所对
作业
• 课本90页：8 9
• 不经历风雨，怎么见彩虹 5、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前 面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高．
（2）线段：AE=BE
（1）是轴对称图形．直径CD所在
的直线是它的对称轴
C
（2）线段：AE=BE
弧： AC=BC
·O
把圆沿A着D直=径BCDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
B
分别与 B、C B重合。
D
D
2.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形, 用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
所对的弦的长)为37.
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径PPT优秀课件
探究二
探究
人教版数学九年级上册： 垂2直4.于1.弦2垂的直 于径弦PP的T优直秀径课-件课 件
人教版数学九年级上册： 垂2直4.于1.弦2垂的直 于径弦PP的T优直秀径课-件课 件
探究二 归纳总结
探究
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
C
∵ CD是直径，CD⊥AA' ∴ AM=MA' AC=CA' AD=DA'
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
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探究二
探究
通过垂径定理的证明，我们还可以进一步得到
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
C
C
思考：“不是直径”这个条件能
去掉吗？如果A不能，请·O举出反例.
AM OA 2 OM 2 5 2 3 2 4
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AB 2 AM 8
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提升
能力提升
1.某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽
度为7.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
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动手尝试
变式一
2.如图所示，在⊙O中，弦AB的长为8，M是 AB的中点，CM=2,求⊙O的半径．
解：连接 OA AB 8 , AM BM
OM AB , AM 1 AB 4 2
探究
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探究二 归纳总结
探究
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
C
∵ CD是直径，CD⊥AA' ∴ AM=MA' AC=CA' AD=DA'
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探究二
探究
通过垂径定理的证明，我们还可以进一步得到
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
C
C
思考：“不是直径”这个条件能
去掉吗？如果A不能，请·O举出反例.
AM OA 2 OM 2 5 2 3 2 4
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AB 2 AM 8
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提升
能力提升
1.某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽
度为7.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，
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动手尝试
变式一
2.如图所示，在⊙O中，弦AB的长为8，M是 AB的中点，CM=2,求⊙O的半径．
解：连接 OA AB 8 , AM BM
OM AB , AM 1 AB 4 2
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学配套课件(共16张PPT)
3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于 点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是______________________.
在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
⑤平分AB所对的劣弧（
（AC=BC ）
⑤平分AB所对的劣弧 A
（AD=BD ）
C
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
试 在下列图形中，你能否利用垂径定
一 理找到相等的线段或相等的圆弧。
试
D
C
A
O
AE B C
A
O
AE B
D
CE O
B
O
E
C
BD
B EA
O
例1已知，如图，在⊙O中，圆心O到
把一个圆沿着它的任意一条直径对 折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
发现： 圆是轴对称图形，它的对称轴是任意 一条直径所在的直线.
实践探究2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它
的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
E
Hale Waihona Puke 求证：四边形ADOE是正方形． A
·O
DB
课后拓展
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短 的弦长。
2.如图是一个输水管道的横
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A．4 2 B．8 2
C．2 5
D．4 5
练习巩固，综合应用
2．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好 经过圆心O，则折痕AB的长为 __2__3__cm．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB 上的一个动点，则OP长的取值范围为 3≤OP≤5．
练习巩固，综合应用
4．已知⊙O中，若弦AB的长为
8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm， A 求⊙O的半径．
解：连结OA，过O作OE⊥AB，
E
B
．
O
垂足为E，则OE=3 cm，AE=BE．
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm．
在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA=5 cm．
∴⊙O的半径为5 cm．
练习巩固，综合应用
5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分 线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径．
再见
2
∴r=2 3．
故⊙O的半径长是2 3 ．
练习巩固，综合应用
6．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修 理人员准备更换一段新管道．如下图所示，污水水 面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问 修理人员应准备内径多大的管道?
练习巩固，综合应用
解：如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
D
A
B
R
O
练习巩固，综合应用
1．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为我国隋代建造的石拱桥，距今约 有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱 高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半 径(结果保留小数点后一位)．
【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
合作探究，形成知识
按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把 这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂 足为点M； 第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么？
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
学习目标 1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．
2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
合作探究，形成知识
证明圆的对称性 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C， D以外的任意一点．过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为M， 连接OA，OB． 在△OAB中，∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形． 又AB⊥CD，∴AM=BM． 即CD是AB的垂直平分线．这就是说，对于圆上 任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此， ⊙O关于直线CD对称．即圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是它的对称轴．
点F，则AE=
1 2 AB=30
cm．
令⊙O的半径为R cm，则OA=R cm ，OE=OF-EF=(R-10)cm．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
解得R =50．
所以修理人员应准备内径为100 cm的管道．
课堂小结
圆的轴对称性；垂径定理及其推论． （1）垂径定理和勾股定理的结合； （2）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线：
合作探究，形成知识
你能用符号语言表达垂径定理吗？
AM=MB
(( ((
CD是圆O的直径，
CD⊥AB与点M
AC = BC
AD =BD
(
例题应用，深化提高
例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB 于点D．若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
（1）求证：BC=BD； （2）若CD=6，求⊙O的半径长． 解：（1）连接OC． ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CH=DH，BC=BD．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r， 则OH= 1 r．
2
∵CD=6， ∴CH= 1 CD=3．
2
∵∠CHO=90°， ∴OH2＋CH2=CO2，即( 1 r)2＋32=r2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.23．