函数图象与函数与方程

函数图象有关知识梳理

1．函数图象的变换

(1)平移变换： ①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到．

(2)对称变换：①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．

另：一些常用的对称结论：①若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)()(x a f x a f -=+成立，则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称；（变式)2()(x a f x f -=）②一般地，若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)()(x b f x a f -=+成立，

则函数)(x f y =的图像关于直线2

b

a x +=

对称；③若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)2(2)(x a f b x f --=成立，则函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称；（特别地若)2()(x a f x f --=或)()(x a f x a f --=+成立，则关于点)0,(a 对称）；④两个不同函数的对称：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2

a

b x -=

对称。 (3)伸缩变换：

①y ＝A f (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸长(A ＞1时)或缩短(10<

1

倍，纵坐标不变． (4)翻折变换：

①将y ＝f (x )的图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；（简记为：上不动，下翻上）

②将y ＝f (x )的图象位于y 轴右边的图像保留，位于y 轴左边的图像去掉，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．（简记为：左删除，右翻左） 2．描点法作图

方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．

注：数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先

要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．

练习检测

1．为了得到函数y ＝lg x ＋3

10的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )． A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析 y ＝lg x ＋3

10＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到． 答案 C

2．函数y ＝1－1

x －1的图象是( )．

解析 将y ＝－1

x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－

1x －1

的图象．

答案 B

3．(2011·陕西)函数y ＝x 1

3的图象是( )．

解析 该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和

单调性，再与函数y ＝x 比较即可．

由(－x )13＝－x 1

3知函数是奇函数．同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 1

3＜x ，知只有B 选项

符合． 答案 B

4．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )． A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝|f (x )| C ．y ＝f (－|x |) D ．y ＝－f (|x |) 解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧

f (－x )，x ≥0，

f (x )，x ＜0.

答案 C

5.函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是

( )．

[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．

解析 f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；

函数g (x )＝21－x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x ，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴

的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足． 综上所述，排除A ，B ，D.故选C.

答案 C

函数图象的识辨可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项． 6. (2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．

解析 当x ＞0时，2x ＝x 2有两根x ＝2,4；当x ＜0时，根据图象法易得到y ＝2x 与y ＝x 2有一个交点，则y ＝2x －x 2在R 上有3个零点，故排除B 、C ；当x →－∞时，2x →0.而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2＜0，故选A. 答案 A

7.已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.

(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；

(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察．

解 f (x )＝⎩⎨⎧

(x －2)2

－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，

－(x －2)2

＋1， x ∈(1，3)，

作出图象如图所示．

(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为

(－∞，1]和[2,3]．