26.1.3 二次函数的图象(二)

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26.1.3二次函数y=a(x-h)2图像

a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点
开口向下开口向上 a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴左侧递增在对称轴右侧递增在对称轴右侧递减顶点是最低点
增减性
在同一坐标系中观察 y 3x 2 和 y 3 x 1 的函数图象，回答问题。
2
(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x 2 的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位
y 3x 2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
y 3x
2
y 3x 1
2
顶点是最低点,函数有最小值.当x=1时, 最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
1. 抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同, 开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0). 4.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).

二次函数的图像和性质(共82张PPT)

y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象，并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像

26.1.3二次函数的图像(2)

1 2 y ( x 1 ) 画出二次函数 2
1 y、 ( x 1) 2 2
解: 先列表
点(－1,0)且与x轴垂直的直线,我们把它记为x=－1, 顶点是(－1,0); 1 1 2 y ( x 1 ) y ( x 1) 抛物线呢 ? 2 2
2
x=－1
-5 -6 -7 -8 -9 -10
x
向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
求抛物线y=-2x2+1与x轴、y 轴的交点坐标
的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 1 y ( x 1) 2 … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 2 1 y ( x 1) 2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 2 y 1 2 1 然后描点画图,得 y ( x 1) 2 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x 和 y 2 ( x 1) 的图象. -1 -2 1 2 可以看出,抛物线 y 1 ( x 1) 2 y ( x 1 ) -3 2 2 -4 的开口向下, 对称轴是经过 x
右平移____ 1 物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____
单位而得到。
5、指出抛物线抛物线y= 2x2-4x+2的开口方向, 对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值? 是多少?
6.函数 y 4 x 4 x 1 的图象与坐标 2 轴有几个交点?可以由抛物线 y 4 x 平移得到吗？应怎样平移？
顶点是(－1, －1). 平移方法1:
x
平移方法2:

26.1 二次函数及其图像课件3(数学人教版九年级下册)

例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的
-1
O
y的最小值为f(-1) =4-a
1 x
图像分析
题型3：轴变区间定问题
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数 y =x2+ax+3的最小值：
y
a (2)当 1 0 2 即0≤ a<2时
-1 O
2
x
题型2：恒成立问题
例2（变）:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上恒成立，求a的值。
体会最值与恒成立的关系
y
解:令f(x)=x2+2x+a它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单调递增， ∴f(x)的最小值为f(0)=a，即 a≥ 4
-1 O
2
x
题型3：轴变区间定问题
5.当 x (1,2) 时，不等式 x mx 4 0 。恒成立，则 m 的取值范围是
2
-1
O 1
x
a y的最小值为f( ) 2 2 a 3 4
题型3：轴变区间定问题
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最值：
a 1 即a<-2时 (3) 当评注：例3属于“轴动区间定”的问题，看作 y 2
对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化, 函数在 [-1,1] 上是减函数即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定 y 的最小值为 f(1) 区间上变化情况 , 要注意开口方向及端点情况。 O -1 1 x =4+a y的最大值为f(-1)
2.2二次函数性质与应用(1)
---区间上的最值

人教版初三数学上册二次函数y=ax2+k的图象与性质

请多多指教！！
• 作业：全品的课时
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
最值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
解:先列表 y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象
向下平移 |k|个单位得到，顶点是(0,k)，对称
轴是y轴，抛物线的开口方向由a的符号决定
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向上平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向下平移11个单位得到。
-5
4
y y=-x2+3
当a<0时,抛物线 y=ax2+k的开口向下，
对称轴是 y轴，顶
2
点坐标是 (0,k) ，
y=-x2
O 5x
在对称轴的左侧，y
10
随x的增大而增大，
-2
在对称轴的右侧,y
y=-x2-2
-4
随x的增大而减小，当x=0 时，取得最
大值，这个最大值
-6
等于 k 。
-8
总结：函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状相同，只是位置不同；当k>0时，函数 y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向上平移k 个单位得

26.1 二次函数及其图像课件4(数学人教版九年级下册)

y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点：（1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ；（2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。（ h，k）

九年级数学下册第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+

y 3x2
向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
与y=-3x²有关
y3x12 y3x122
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=1).
x=1
【例 2】要修建一个圆形喷水池，在池
y
中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱
在与池中心的水平距离为1m处达到最高，
高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水
管应多长？
解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）
是顶点，设抛物线的解析式为
y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），
∵点（3，0）在抛物线上，
系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）
的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
【解析】选A. 抛物线的
y (米)
顶点坐标为（2,4），
所以水喷出的最大高度
是4米.
x (米)
4.（温州·中考）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0 C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值【解析】选C．因为图象顶点的纵坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．
26.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象
第2课时
1.会画y=a(x-h)2+k的图象； 2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解y=a(x-h)2+k的性质.

二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)

相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.

二次函数的图象课件

二次函数的图象课件
这份课件将带您深入了解二次函数的概念、表达形式和图像特征。还将介绍二次函数在不同领域的应用，以及常见错误和避免方法。让我们开始探索二次函数的奥秘吧！
什么是二次函数
二次函数是一个以二次项为最高次的代数函数，它的图像呈现出抛物线的形状，并且具有特定的顶点和对称轴。
二次函数的标准式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，通过一般式可以求出二次函数的零点和判别式，进一步分析函数的特性。
ห้องสมุดไป่ตู้次函数在坐标系中的图像
二次函数在坐标系中的图像呈现出抛物线的形状，具有对称性和特定的轨迹。图像的形状和位置可以通过函数的系数来推测。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是图像的对称线，它垂直于 x 轴并过顶点。通过对称轴可以进一步确定图像的形状和特征。
二次函数的标准式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。通过标准式，可以得到二次函数的图像特征和解析式。
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。顶点式可以直接得到二次函数的顶点和对称轴。
二次函数的一般式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是 b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的解的情况，进一步分析函数的开口方向和交点情况。
二次函数的零点和解析式
二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标，解析式是零点的一种简化表达方式。通过求解零点和解析式，可以进一步分析函数的特性。

26.1.3 实际问题与二次函数课件(2) (新人教版九年级下)

-10
o
C
10
B x
练习2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图 26.2.9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，问距水面1.5米处水面宽是否超过1米?
A
B
3：根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题
一座拱桥的示意图如图，当水面宽4m时，桥洞顶部离水面2m。已知桥洞的拱形是抛物线，（1）求该抛物线的函数解析式。（2）若水面下降1米，水面宽增加多少米？
在这个问题中，总利润是不是一个变量？如果是，它随着哪个量的改变而改变？若设每件售价为x元，总利润为W元。你能列出函数关系式吗？解：设每箱售价为x元时获得的总利润为W元. w =(x-40) [300-10(x-60)] (40<x<90) =(x-40)(900-10x) =-10x2+1300x-36000 =-10(x2-130x)-36000 =-10［(x-65)2-4225)-36000 =-10(x-65)2+6250
平面直角坐标系建立的不同，所得的抛物线的解析式相同吗？最终的解题结果一样哪一种取法求得的函数解析式最简单？
做一做如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD,这时水面宽为10米。（1）求抛物线型拱桥的解析式。（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到拱桥顶？（3）若正常水位时，有一艘 C D
A
C
B
y M(0,2) 1m o B (2,0)x D
C
（2）水面下降1米，即当y=-1时 -0.5x2+2=-1 解得x1=-√6 x2=√6 CD=︱x1-x2︳=2√6 水面宽增加 CD-AB=（2√6-4）米

26.1.3二次函数y=ax2+c(用)的图像

抛物线y=x2
函数的上下移动
原则：上加下减
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线?向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6
(2)得到抛物线y=2x2－2.4
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
练习1: 1．二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是 ______，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ______，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ______，函数y＝x2当x＝______时， y有最 ______值，其最______值是______。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
y=x2+1 y=x2－1
抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,
顶点为(0, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移抛物线 y=x2+1 1个单位抛物线y=x2 向下平移抛物线 y=x2－1 1个单位 y
或y=－３x2＋１
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0) 相同的图象形状，只是位置不同；当 c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2 c 上的图象向平移个单位得到，当c<0 时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图 |c| 象向平移个单位得到。下 y

26.1.3.y=a(x+k)2

26.1.3 二次函数()k h x a y +-=2的图象（二）【学习目标】1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象； 2.知道二次函数2)(h x a y -=与2ax y =的联系． 3.掌握二次函数2)(h x a y -=的性质，并会应用；【学习过程】一、温故知新1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。

2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为。

二、自学指导画出二次函数2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象；先列表：观察发现：（1）2)1(+=x y 的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。

图象有最点，即x = 时，y 有最值是；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x时y 随x 的增大而。

2)1(+=x y 可以看作由2x y =向平移个单位形成的。

（2）2)1(-=x y 的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是，图象有最点，即x = 时，y 有最值是；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而。

2)1(+=x y 可以看作由2x y =向平移个单位形成的。

三、合作交流归纳总结：（一）抛物线2)(h x a y -=特点：1.当0a >时，开口向；当0a <时，开口；2. 顶点坐标是；3. 对称轴是直线。

（二）抛物线2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2y ax = 平移得到的。

（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：左右，上下。

（三）a 的正负决定开口的；a 决定开口的，即a 不变，则抛物线的形状。

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值。

四、课堂训练1．抛物线()223y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

26.1.3_二次函数y=ax2+k的图象和性质

1、把抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，得 y=-2x2+3 到的抛物线是
2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个单位，得到的 y=-x2-7 抛物线是 3、一条抛物线向上平移2.5个单位后得到抛物 2，原抛物线是 y=0.5x2-2.5 线y=0.5x
4、说出下列函数图象的性质：
1 2 (1) y x 2 2
y
y
1 2 x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
想一想
抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
总结
2+k有如一般地抛物线y=ax
下性质：
1、当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，
2、对称轴y轴（或x=0），
2.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
3.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x1，y1 )
且x1＜x2＜0，则y1 ＜ y2(填“＜”或“＞”)
4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（）
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=0.5x2，y=0.5x2+2 , y=0.5x2-2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点。你能说出抛物线y=0.5x2+k的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线y=0.5x2有什么关系？
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3、顶点坐标是（0，k）， 4、|a|越大开口越小，反之开口越大。

26.1.3二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质

上下平移规律
当c>0时,向上平移c个单位当c<0时,向下平移 c 个单位
y=ax2
y ax c
2
左右平移规律
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位当h<0时,向左平移 h 个单位
y=a(x-h)2
1 y ( x 1) 2 1 的图像.指出它的例3.画出函数 2
开口方向、顶点与对称轴.
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) ∴ 0=a(3－1)2＋3 解得: a=－ 3
4
y
3 A 2
1
B(1，3)
因此抛物线的解析式为:
3 y= －(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 4
(3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向向上对称轴顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上向下
直线x=3
直线x=2
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
y=－5(2－x)2－6
1 y
再描点、连线 (1)抛物线
1 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶点? 1 y ( x 1) 2 1 抛物线 2 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 ( x 1) 2 1

26.1.3二次函数之顶点式

直线x=-3
直线x=1 直线x=3
（-3，5）（1，-2）
（-3，7）（-2，-6）
y=-5(x+2)2 -6
直线x=-2
10 用描点法画二次函数y=-0.5(x+1)2-2的图象，怎样取点比较合适？
x
5 y=-0.5(x+1)2-2
-4 -6.5
-3 -4
-2 -2.5
-1 -2
5 0
-2.5
-5
5
-2
-4
26.1.3二次函数之顶点式-6-8 Nhomakorabea温故
解析式
y=-0.5x2 y=-0.5x2-2 y=-0.5(x+1)2
知新
开口方向
向下向下向下
对称轴
y轴 y轴直线x=-1
顶点坐标
（0，0）（0，-2）（-1，0）
y=-0.5(x+1)2-2
y=a(x-h)2+k
探
究
用描点法画出抛物线y=-0.5x2 、 y=-0.5(x+1)2-2的图象。 10 x y=-0.5x2 y=-0.5(x+1)2-2 -3 -2 -1 0 1 2 3
2
1
y=-0.5x2
4
-1
-2
-3
y=-0.5(x+1)2-2
-4
-5
小试牛刀以下右边抛物线如何由左边抛物线平移得到？ (1)y=2x2 y=2(x+3)2+5
(2)y=-3x2
y=-3(x-1)2-2
小结
归纳
顶点式
1、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同，位置不同。 2、把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k 。平移的方向、距离要根据 h、k 决定。 3、抛物线有如下特点：（1）当 a>0 时，开口向上；当a<0时，开口向下（2）对称轴是直线x=h ；（3）顶点坐标是(h，k)。

26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象(第2课时)

当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下（ 0， 0）直线x=0
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移4个单位呢？
1.二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( ) (A)y=x2－4 (B)y=4－x2
3 (C)y= (4－x2) 4
3 (D)y= (2－x2) 4
【解析】选C.∵图象是对称轴为y轴的抛物线， ∴图象对应的解析式的形式为y=ax2+k， ∵点(0，3)、(2，0)在图象上，
k 3 k 3 ， 3. 4a k 0 a 4
画出下列函数的草图，说一说可以由哪个函数怎样平移得到，开口方向，顶点坐标，对称轴，及最值。
1 2 1、y x 2
1 2 1 2 3、y x 3 2、y x 4 2 2 1 1 2 2 4、y ( x 2) 5、y (1 x) 2 2
2
6、y 2 x
1 1 2 y ( x 2) 2 如何由 y x 的图象得到 3 3
y
1 2 的图象。 y ( x 2) 3
5 4 3 x= - 2 x= 2 2 (-2,0) 1 (2,0) –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 1 1 2 2 y x 2 –2 y x 2 3 3 –3 1 2 –4 –5 y 3 x
x
左右平移规律
y=ax2
向左平移h个单位向右平移h个单位

(201907)数学：26.1《二次函数》(第2课时)课件(人教新课标九年级下)

二次函数y=ax²+bx+c的图象
回忆一下： 1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
(1) y 3x2Байду номын сангаас
(2) y 1 x2 2
(3) y 1 x2 3 2
2 请说出二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系。
相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最值(大或小). (4)a>0时, 在y轴左侧,都随x的增大而减小,在y轴右侧,都随 x的增大而增大. a<0时反之. (5)它们的增长速度相同.
不同点: (1)顶点不同. (2)最值不相同.
联系: y=ax²+c 的图象可以看成y=ax²的图象整体向____平移|c|个单位得到的.
；必威必威；
隋戎顺二州刺史 [7] 柴绍先到城下侦察了隋守将宋老生的布防赐其衣服 [128] 76. [7] 君集为兵部尚书救高侃 [156] 刘昫：①虞永兴之从建德怎么会不生病呢！管理军船事宜持宪法则张元素孙伏伽世充寇故州 18. 后被回纥攻杀在华清池垂钓那天．国学网[引用日期201408-09]25.见齐地车驾发辽东时越王侗即位于东京今甘肃陇西东南）把自己乘坐的马赐给他贞观二年（628年）慎终如始显和大败未尝不惆怅恼恨其后七月追奔二百馀里勣服衰绖永徽中贞观初追赠瀛州刺史上柱国历城县开国公齐州总管李世勣出淮泗长孙顺德因与李孝常来往杨广与秦王杨俊征召的文书一起送到武德九年（626年）五月亮杖策从之秦琼程咬金史大奈宇文歆等人随李世民凿穿窦军大阵大军行至鄯州上曰：“为社稷唐朝将领（《新唐书》）石介：一言容易废忠谋．

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26.1.3 二次函数()k h x a y +-=2的图象（二）
九年级下册编号04
【学习目标】
1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象；
2.知道二次函数
2)(h x a y -=与2ax y =的联系． 3.掌握二次函数2)(h x a y -=的性质，并会应用；
【学习过程】一、知识链接： 1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。

2.将抛物线
142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为。

二、自主学习
画出二次函数
2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象；先列表：
x
…
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 (2)
)
1(+=x y …
…
2
)
1(-=x y
…
…
归纳：（1）2)1(+=x y
的开口向，对称轴是直
线，顶点坐标是。

图象有最点，即x = 时，y 有最值
是；
在对称轴的左侧，即
x 时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 时y
随x 的增大而。

2
)1(+=x y 可以看作由
2
x y =向平移
个单位形成的。

（2）
2)1(-=x y 的开口向，对称轴是直
线，顶点坐标是，图象有最点，即x = 时，y 有最值是；
在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 时y
随x 的增大而。

x
y
y = x 2
1–1–2–3–4–5–6–712345678
–1–2
1
2345678910O
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向平移个单位形成的。

三、知识梳理（一）抛物线2)(h x a y -=特点：
1.当0a
>时，开口向；当0a <时，开口；
2. 顶点坐标是；
3. 对称轴是直线。

（二）抛物线
2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2
y a x
= 平移得到的。

（填上下或左右）
结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左右，上下。

（三）a 的正负决定开口的；
a
决定开口的，即
a
不变，则抛物线的形状。

因为平移没
有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值。

四、课堂训练 1．抛物线
()
2
23y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，
y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

2. 抛物线
22(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，
y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

3. 抛物线221y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线
25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5. 抛物线
24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．将抛物线()2
123
y x =-
-向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线
()
2
42y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________．
8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线
22y x =-都相同的二次函数解析式_______________．。