工程抗震-4地震响应计算

F
u

0t
F τ
mω
eξωtτ
sinຫໍສະໝຸດ ωtτd
τ
称之Duhamel积分
F(τ) F(t)
τ dτ
t-τ t
一般用数值积分法计算，
t
如Simpson法
x2t
ytdx
x

x 3
yx

4 yx

x

yx

2x
（5） 地震荷载作用下的振动
运动方程
根据Duhamel积分
0
0
1
2
3
加速度反应谱
4 T (s) 5
Sd (cm)
Sv (cm/s)
200 160 120
80 40
0 0
ξ =0.01 ξ =0.02 ξ =0.05 ξ =0.10 ξ =0.15 ξ =0.20
1
2
3
4 T (s) 5
速度反应谱
100 80 60 40 20 0 0
ξ =0.01 ξ =0.02 ξ =0.05 ξ =0.10 ξ =0.15 ξ =0.20
u
不同阻尼比的解
ξ =1.2 ξ =1.0 ξ =0.5 ξ =0.1
ξ>1时
临界阻尼比
ξ<1时 ξ=1时
考虑阻尼的频率和周期
t
（3）冲击荷载作用下的振动响应
动量守恒定律计算得到，静止质点在荷载作用后的速度满足等式
因此
对上式积分计算得到位移响应 （高阶无限小量 ）
u0

F t 2
2m
因此振动响应为
• 结构受到的最大地震荷载Fmax可以从加速度反应谱曲线直接计算得到
FEk

Fmax
mE Sa
,T

Sa

g
,T

GE
T Sa ,T ,
g
T Sa ,T
Amax
g为重力加速度，GE质点的重力荷载代表值（取值有规定） α为地震影响系数
β为动力放大系数 mE
Acceleration 35 40 45 50 55 60
t (s)
美国Northridge地震
Acceleration
5
10
15
20
25 t (s) 30
4.4 建筑和桥梁抗震设计规范的设计反应谱
• 水平设计加速度反应谱（桥梁）
特征周期值(s)
设计地
场地类别
S
震分组 I
II
III
IV
η2Smax
F
u (t )
u F Δ t eξωt sin ωt
mω
Δt
t
（4）不规则荷载作用下的振动响应
不规则荷载作用下的振动可以认为是一系列冲击荷载作用下的振动 叠加，时刻τ的冲击荷载产生的自由振动为
d u Fτd τ eξωtτ sin ωt τ
mω
对上式积分计算得到时刻t的位移：
1
2
3
位移反应谱
4 T (s) 5
• 加速度反应谱曲线随着周期增加而减小，而位移反应谱则随着周期 增加反而增加。这一规律具有普遍性，结构抗震设计常利用加速度 反应谱的这一特征来实现减轻地震荷载的目的。
• 在地震波反应谱计算时，一般假定阻尼比为0.05，如果实际结构的 阻尼比不是0.05，需要对反应谱曲线进行修正，即引入一个考虑阻 尼影响的修正系数推算反应谱。以加速度反应谱为例，阻尼影响修 正系数一般定义为
T1,1
T2 , 1
最大加速度地震响应：Sa(T1,ξ1)
最大加速度地震响应：Sa(T2,ξ1) 最大加速度地震响应：Sa(T3,ξ1) T3 , 1
Sa
Sa(T1,ξ1) Sa(T2,ξ1) Sa(T3,ξ1)
ξ0
ξ1 ξ2
T
T1 T2
T3
地震反应谱概念
地震加速度
式中sin和cos对最大值结果没有区别
CD ξ,T


Sa ξ,T Sa 0.05,T

• 速度反应谱曲线除了反映最大速度响应外，同时也是表示地 震运动对结构施加最大能量的标志，因为质点的最大应变能 表示为：
• 考虑到结构周期一般在0.1-2.5 s之间，Housner提出用速 度反应谱积分计算结果来衡量地震波破坏力的建议，即
η2Smax(T g/T ) γ
第一组 0.25 0.35 0.45 0.65 第二组 0.30 0.40 0.55 0.75 第三组 0.35 0.45 0.65 0.90
例，周期为0.5、阻尼比5%的单自 由度在Elcentro地震波输入条件下
Ag (cm/s2)
400
El Centro 1940 NS
200
0
0
2
4
6
8
10
-200
t (s)
-400
dis. (m)
vel. (m/s)
acc. (m/s2)
15
A max
10
T =0.5 s
5
0
-5 0
2
4
6
8
10
《工程抗震》
第四章 结构地震反应计算方法
4.1 概述
在结构抗震设计中，抗震性能安全验算是最重要的内容之一。 抗震性能安全验算需要解决两个内容： 1）地震作用下的结构变形和内力计算（即地震反应） 2）与结构各种极限状态的对比（即安全性验算） 本章主要介绍结构地震响应计算方法。
4.2 单自由度体系的地震响应计算
t (s)
-10
-15
1.0
0.5
0.0
0
2
4
6
8
10
-0.5
t (s)
V max
-1.0
0.08
0.04
0
0
2
4
6
8
10
-0.04
t (s)
-0.08
D max
前面的算式
4.3 地震反应谱
结构抗震设计由地震反应最大值控制，Amax、Vmax和Dmax十分 重要。这里，用Sd、Sv和Sa表示最大相对位移、最大相对速度 以及最大绝对加速度，这些量为：
GE
Fmax=mESa
Sa (cm/s2)
El Centro NS地震波反应谱曲线
Ag (cm/s2)
400
El Centro 1940 NS
200
0
0
2
4
6
8
10
-200
t (s)
-400
1800 1200
600
ξ =0.01 ξ =0.02 ξ =0.05 ξ =0.10 ξ =0.15 ξ =0.20
（1）自由振动方程 动力特性简单的结构可以模拟成单自由度体系。 单自由度体系的自由振动方程为
刚性 m
m k
k m
u c
（2）单自由度体系的自由振动响应
ξ c 2mω
阻尼比
ω k m
圆频率
T 2π ω
令解
u Aeλt
u Aeλ1t Beλ2t
常系数微分方程 的特征根为
λ1,2 ξω ξ 2 1ω ξω 1 ξ 2 ωi
Ih值大的地震，它的破坏力就强。
A (m/sec2)
过去地震某种程度上也证明了这一点
10 Acceleration
5 0 -5 -10
日本钏路冲地震 （1993年，钏路气象台，EW方向）
A (m/sec2)
A (m/sec2)
10 6 2 -2 30 -6
-10
10 6 2 -2 0 -6
-10
日本兵库县南部地震