二元柯西不等式的八种证法
柯西不等式证明方法大全
柯西不等式证明⽅法⼤全定义对于任意实数a i,b i(i=1,2,⋯,n),有n ∑i=1a2in∑j=1b2j≥n∑i=1a i b i2,(n∈N+)(∗)当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时,等号成⽴.法⼀、构造⼆次函数分析可通过⼆次函数的判别式证明.证明当a1=a2=⋯=a n或b1=b2=⋯=b n时,(∗) 式显然成⽴.设a1,a2,⋯,a n中⾄少有⼀个不为 0,令A=n∑i=1a2i,B=n∑i=1a i b i,C=n∑i=1b2i,则A>0.设⼆次函数f(x)=Ax2+2Bx+C=n∑i=1(a2i x2+2a i b i x+b2i)=n∑i=1(a i x+b)2≥0,∴Δ=(2B)2−4AC≤0⟺AC≥B2,则 (∗) 式成⽴.要使 (∗) 式取等号,即Δ=0,则f(x) 有唯⼀零点,即有唯⼀实数x使a i x+b i=0(i=1,2,⋯,n).若x=0,则b i=0(i=1,2,⋯,n),若x≠0,则a i=−1x bi(i=1,2,⋯,n).综上,(∗) 式成⽴,当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时取等号.法⼆、向量内积分析⽤向量内积与向量模的积的⼤⼩关系即可证明.证明设n维空间直⾓坐标系中有向量\boldsymbol \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n),且\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta之间的夹⾓为\theta(0\le\theta\le\pi),则有\begin{aligned} &\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| \cos\theta\\\Longleftrightarrow &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| |\cos\theta|, \end{aligned}⼜|\cos\theta|\le 1,则\begin{aligned} &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| \le|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|\\\Longleftrightarrow &\left| \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right| \le\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 } \sqrt{ \sum\limits_{j=1}^nb_j^2 }\\ \Longleftrightarrow &\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \le \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^nb_j^2, \end{aligned}可得(*)式成⽴.易知当且仅当\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta同线时,即\boldsymbol \beta=\boldsymbol 0或\exist~k\in\mathbb R,\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta时,|\boldsymbol \alpha\cdot\boldsymbol \beta|=|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|,即()当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,(*)式取等号.法三、作差法分析作差,然后配平⽅即可.证明易得\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 -\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 &=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_i^2b_j^2 -\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) -\frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n2a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ib_ja_jb_i)\\ &= \frac 12\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0, \end{aligned}当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2.\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴,即证.法四、排序不等式分析通过排序不等式的形式来表⽰柯西不等式.证明易知(*)式等价于\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j \ge\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j,由排序不等式可知上式成⽴,当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2,\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbbR,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴.法五、数学归纳法分析与n相关的不等式⼀般都能⽤数学归纳法,这⾥就不多说了.证明设n=k.当k=1时,(*)式显然成⽴.当k\ge 2时,不妨设当n=k-1时(*)式成⽴,则\begin{aligned} \left( \sum\limits_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^k b_i^2 \right) =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 +a_k^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +b_k^2 \right)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 -\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i+\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} (a_ib_k-a_kb_i)^2 +(a_kb_k)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1}a_ib_ia_kb_k\\ \ge&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i \right)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k +(a_kb_k)^2\\=&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i +a_kb_k \right)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^k a_ib_i \right)^2, \end{aligned}当且仅当\sum\limits_{i=1}^{k-1}(a_ib_k-a_kb_i)^2=0,即a_ib_k=a_kb_i(i=1,2,\cdots,n),且\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{j=1}^nb_j^2=\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2时,等号成⽴.综上,(*)式成⽴,当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i时,等号成⽴.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js。
3.6 柯西、排序不等式及不等式证明
4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 = ( 4a + 1 ×1+ 4b + 1 ×1+ 4c + 1 ×1) ≤ [(4a + 1) + (4b + 1) + (4c + 1)](12 + 12 + 12 ) = 21
1 a 当且仅当 = b = c = 时，取得最大值为 21 。 3
1 1 1 2 2 2 2 1 ②( x + y + z) = ( 2x ⋅ + 3y ⋅ + z) ≤ (2x + 3 y + z )( + + 1) 2 3 2 3
2
∵x + y + z = 1
6 ∴2x + 3 y + z ≥ 11
2 2
2x 3y = =z 1 3 2 6 6 1 当 即x = , y = , z = 时, A最小 = 2 3 11 11 11 11 x + y + z = 1
解： ①( x + 2 y)2 = ( 2x ⋅ 1 + 3 y × 2 )2
2 3 1 4 11 ≤ (2x2 + 3 y2 )( + ) = (2x2 + 3 y2 )× 2 3 6
∵2x + 3 y = 5
2 2
55 ∴( x + 2 y) ≤ 6
2
∴−
330 330 ≤ x + 2y ≤ 6 6
π
π
π
π
π
3
aA+ bB + cC = a( + δ1 ) + b( −δ2 ) + c( −δ3 ) 3 3 3 = = = ≥
归纳柯西不等式的典型应用
归纳柯西不等式的典型应用1.柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()222112222122221)(n n n n b a b a b a b b b a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++其中等号当且仅当λ===nnb a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2. 柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑221111()()()()nnnniji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑221111nnnni ji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑2111()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==……即(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠…………时等号成立。
柯西不等式各种形式的证明及其应用演示版.doc
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式的几种新证法
∑ ｂ， ｉ据柯西 一彭雅科夫斯基不等式， ２ 有
ｉ １ ＝
（，）≤（，）６６， 口ｂ２ 口口（，）于是（ 口ｉ ∑ ｉ ≤ ６ ）
ｉ １ ＝
（ ） 个 非 零 向 量 共 线 的充 要 条 件 是 ２两
ａ‘ ＝ ± ｌ ．１ ： ｂ Ｉ ｌ ａ ｂ
（ ∑ ）∑ ｂ） （ ．
ｉ １ ＝ ｉ １ ：
（ ∑ ）∑ ｂ） （
证法 ４ 利用 向量 的 内积
ａｉ ｂ
≤
Ⅱ
ｎ ＋
ｂ
／
．
设 二 向 量 ａ ＝ （ １ ａ ， ， ， ａ ，２… ａ ） ｂ
√ √
２
２
（１ ２…，ｎ， ｂ， ， ｂ）内积由（ ，）：∑ ６所 ｂ Ⅱ６
２
而原不 等式 成立 ．
证 法 ３ 利用 行列 式
・ ． ‘
＝ ｉ １ ＝
ｉ ｌ ＝
・
（ ｂ）这 不等 ∑ ． 个 式以 ｚ 对称的 结构， 广泛
（ ∑ ） ∑ ｂ） （ 一
ｉ １ ： ｉ １ ＝
的应用 ， 以及 证法 的多样 性 ， 引起 了广泛 的兴 趣和讨 论 ， 下面给 出几种 新 的证法 ．
２
（ Ｐ）∑ Ｐ ） ∑ （ ｋ 上式中 Ｐ ：ｂ ， 令 ｋ ｋ ｚ
＝ －
Ｆ １ ＂
＋
ｋ
≤（ ∑
ｋ＝ ｌ ｋ＝ ｌ
） ａ） （ ｆ， ｔ 从
柯西 不等式 是指 ： 于 ａ，ｆ 对 ｂ∈Ｒ（ ＝１ ｉ ，
２ ２， ， ， — … ｎ）曼 ㈦） 有 一 ａ ≤（ （６ｉ ∑ ｂ ∑ ）
ｆ １ ＝ ＝１
（ ） 个 非 零 向量 垂 直 的充 要 条 件 是 ３两
02柯西不等式与平均值不等式(含经典例题+答案)
柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。
柯西不等式
柯西不等式【摘要】本文将给出柯西不等式及其应用时需注意的几点说明、柯西不等式的几种形式和证明以及关于柯西不等式的几种题型。
我们知道，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题上得到应用。
【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；解三角形问题；不等式的证明；不等式的应用。
【正文】一、柯西不等式及其证明。
定理： 设i a ，i b ∈R （i=1，2，3........,n ）,则2112n 1i 2⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===ni i i n i i i b a b a ，当且仅当i a =λi b ，即11a b =22a b =nn b a =λ等号成立。
此不等式称为柯西不等式。
说明1：由于“∑==ni i a 120，∑==ni i b 120，∑==ni i i b a 10”情况之一出现时，不等式显然成立，因此，在下面的讨论中不妨设∑=≠ni i a 120，∑=≠ni i b 120，∑=≠ni i i b a 10都成立。
说明2：柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式11a b =22a b =nn b a ,并约定：分母为0时，相应的分子也为0。
“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。
说明3：使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数 1a ，2a ， n a ， 1b ，2b ， n b ，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数()()()2222211)(nn b x a b x a b x a x f ++++++= =222221......x a a a n ）（+++x b a b a b a n n ）（++++......22211）（22221......n b b b ++++0 (2)2221>++n a a a ，0)(≥x f 恒成立，∴)......()......(4 (42)22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++∙+++-+++=∆）（0≤即22211......）（n n b a b a b a +++≤)......( (2)222122221n n b b b a a a ++++++）（ 当且仅当 0=+i i b x a ),....,2,1(n i =即1212n na a ab b b ===时等号成立证明2 数学归纳法（1）当1n =时 ，右式=()211a b ，左式=2121b a ，显然 ，左式=右式。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。
柯西不等式的推广及其应用
柯西不等式的推广及其应用1 柯西不等式的定义 定义1[1](1)P 如果1212,,,,,,n n a a a b b b 为两组实数，则21122()n n a b a b a b +++ ≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++并且仅当1221133111n n n n a b a b a b a b a b a b ---=-==-时，等式成立．2 柯西不等式的证明证法一 (利用均值不等式)[2](12)P P -A=21ni i a =∑，B=21ni i b =∑，C=1ni i i a b =∑，只需证明A ≥2C B由均值不等式有222111122C C a b a b B B +≥， 222222222C C a b a b B B+≥22222n n n n C C a b a b B B+≥n 个式子相加得222C CA B C B B+≥，即2C A B≥．当且仅当(1,2,,)i i a kb i n ==，等号成立．证法二 （比值证明法）[2](12)P P -要证222111()n n ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑只需证明2ni i a b ⎛⎫⎪∑1≤ （2.1）2ni ia b⎛⎫⎪∑=21ni=⎛⎫⎪⎝2222211112ni in nii ii ia ba b===⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎪≤+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑=21(11)2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1(2.1)式得证，故结论成立．证法三（差值法）[2](12)P P-222111()n n ni i i ii i ia b a b===-∑∑∑221111n n n ni j i j j ii j i ja b a b a b=====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j ii j i j i ja b a b a b a b=======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n ni j i j j i j ii ja b a b a b a b===-+∑∑2111()2n ni j j ii ja b a b===-∑∑≥．当且仅当i j j ia b a b=，即(1,2,)jii jaai nb b==时等式成立．证法四（利用Cauchy-schwarz不等式）[2](12)P P-在nR里，对任意两个向量1212(,,,),(,,,)n nx x x y y yξη==,ξη1122n nx y x y x y+++，因而n R对于上述定义的内积来说作成一个欧氏空间，则有不等式2,,,ηξηη≤令1212(,,),(,,)n na a ab b bξη==从而就有222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当ξ与η线性相关时等式成立．即(1,2,,)i i a kb i n ==等号成立．3 柯西不等式的几种变形变形一[3](1)P设,0(1,2,,)i i a R b i n ∈>=，则22111n i ni i ni iii a a b b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当i i b a λ=时取等号．变形二[3](1)P设,i i a b ，同号且不为零（1,2,,i n =），则2111ni n i i ni ii ii a a b a b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当12n b b b ===时取等号．变形三[3](1)P对任意数12,(1,2,,)i i a a R i n ∈=，有不等式2221212111n n n i i i i i i i a a a a ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑成立，当且仅当12(1,2,)i i a a i n λ==时等号成立．变形四[3](1)P对任意1212,,,;,,,n n a a a R b b b R ∈∈，则有112222111nnn i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑．变形五[4](2)P对于任意两个正实数组i a ，(1,2,,)i b i n =，有不等式1122111()()nn ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成立，当且仅当i a 与i b 成比例时等号成立．4 柯西不等式的推广推广一[4](2)P设对于由任意正实数构成的m 个数组，12,,(1,2,,)i i mi a a a i n =，有不等式1112121111()()nnnnmmii mi i i mi i i i i aa a a a a ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑ (4.1)成立，当且仅当1i a :2i a ::mi a =1i b :2i b ::mi b 时等号成立．证明 根据算术－几何平均不等式，有下述几个不等式成立1112112111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11112112111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑； 2122212111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑12122212111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫ ⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑；1212111nnmnnnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11212111mn n mn n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑． 将上述n 个不等式相加，整理后即得(4.1)式． 当上述n 个不等式等号成立时，(4.1)式等号才成立． 当且仅当各组数对应成比例时，(4.1)式等号成立．推广二[5](2)P 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的Hölder 不等式设110,0(1,2,,),0,0,1,i i a b i n p q p q>>=>>+=则 11111nnnpqpq i i ii i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 当且仅当p qi i a b λ=时等号成立．证明 令11npp i i a M =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11nqq i i b N =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑则有11,nnppq q ii i i aM b N ====∑∑．由于函数()ln (0)f x x x =>为凹函数 因此有1111ln ln ln ,(1,2,,)p qp q i i i i a b a b i n p M q N p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．从而有11ln ln p q i ii i a b a b MN p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11p qi i i i a b a b MN p M q N ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2,,)i n =所以11111p qnn n i i i i i i i a b a b MNp M q N ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =1111nnp qiii i Pqab p Mq N ==+∑∑=11p q+ =1．即1ni i i a b MN =≤∑当且仅当p i a 与qi b 成比例时等号成立．推广三[4](3)P已知,(1,2,,,1,2,,)ji j a R i n j m α+∈==，且11mj j α==∑则有12121mni i mi i a a a ααα=⋅⋅⋅∑1212111mn n n i i mi i i i a a a ααα===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑． 证明 对m 用数学归纳法 1） 当2m =时，命题成立． 2） 假设当m k =时，命题成立． 则当1m k =+时，因111k jj α+==∑，记12k j j s α+==∑，则11s α+=注意()23111k sααα++++=，有112121,1k ni i k i i a a a ααα++=⋅⋅⋅∑121121,1k sns si i k ii a a a ααα++=⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 121121,111sk n nns si i k ii i i a a a αα++===⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 121121,111k snn n s si i k i i i i a a a ααα++===⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 121121,111k n n n i i k i i i i a a a ααα++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑综上所述命题得证．5 柯西不等式的应用应用柯西不等式解一般题目的关键是将原问题变形使之适合柯西不等式的形式，而能否成功运 用柯西不等式的关键在于可否根据问题自身固有的特点对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数据演12,,,n a a a ；12,,,n b b b 的角色．例1 已知,x y R +∈，且44sin cos 1x y x y αα+=+，证明88333sin cos 1()x yx y αα+=+ 证明 由柯西不等式可得4422sin cos ()()1x y x y αα⎫++≥= 即44sin cos 1x y x yαα+≥+且当且仅当2α=时等号成立，即22sin cos x yαα= （5.1） 由已知44sin cos 1x y x yαα+=+ （5.2） 由（5.1）和（5.2）式解得22sin ,cos x yx y x yαα==++ 所以有8833sin cos x yαα+443311()()x y x x y y x y =+++ 31()x y =+． 例2 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，证明2223333x y z x y z ++++≥．证明 利用柯西不等式2222()x y z ++3131312222222()x x y y z z =++()333222222()()()x y z x y z ⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦=3332()()x y z x y z ++++(1x y z ++=)，又因为222x y z xy yz zx ++≥++在此不等式两边同乘以2， 再加上222x y z ++得2222()3()x y z x y z ++≤++，因为2222333()()x y z x y z ++≤++⨯2223()x y z ++故2223333x y z x y z ++++≥．例3 求函数11sin cos (,0,,(0,)2n ny a b a b n N πααα=+>∈∈的最大值．解 由[6](2)12121122()()()()n n n n n n n P n n n n a a a b b b a b a b a b +≤+++可得112(sin cos )nnna b αα+111111112212121212121(sin cos )n n n n nn n n naaabbbαα------=+（21n -）个 （21n -）个2221222121()(sin cos )n nn n n abαα---≤++=22212121()n nn n n ab---+所以11222121212sin cos ()n n n n n n n na b abαα---+≤+当且仅当11112121:sin :cos n n n na bαα--=，即21arc ()n n a tg bα-=时等号成立．所以222121212max ()n n n n n ny ab---=+．例4 已知2221,,,x y z x y z ++=是实数，求证：112xy yz zx -≤++≤． 证明 因为22()(111)x y z x y z ++=⨯+⨯+⨯所以由柯西不等式2222222()(111)()3x y z x y z ++≤++++=又由于22220()2()12()3x y z x y z xy yz zx xy yz zx ≤++=+++++=+++≤所以012()3xy yz zx ≤+++≤即112xy yz zx -≤++≤．例5 求证三角形三边上正方形的面积之和不小于该三角形面积的222a b c ++≥，其中,,,a b c 为三角形三边的长，∆为三角形的面积．证明 由三角形面积公式可得2()()()s s a s b s c ∆=---其中2a b cs ++=，于是 216()()()()a b c b c a c a b a b c ∆=+++-+-+-2222224442()b c c a a b a b c =++---由柯西不等式，有22222224444444442()()()()b c c a a b b c a c a b a b c ++≤++++=++即222222444b c c a a b a b c ++≤++当且仅当222222b c a c a b==，即a b c ==时等号成立．于是4442222224()4()a b c b c c a a b ++≥++变形为444222222222a b c b c c a a b +++++2222224443(222)b c c a a b a b c ≥++---即22222()316a b c ++≥⨯∆所以222a b c ++≥，当且仅当a b c ==时等式成立．例6 设P 为ABC ∆内的一点，M ，N ，H ，分别为P 到各边所引垂线的垂足，求所有BC CA AB PM PN PH++为最小值的点P ． AB MC图1解 如图1，设ABC ∆的面积为S ，则S 111222BC PM CA PN AB PH =⨯+⨯+⨯（5.3） 由柯西不等式可知222222⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦2≥ (5.4) 将（5.3）代入（5.4）得2()2BC CA AB BC CA AB PM PN PH S++++≥== 时等号成立， 即PM PN PH ==又S 和()AB BC CA ++分别是ABC ∆的面积和周长，故为定值， 即P 为ABC ∆内心时BC CA ABPM PN PH++为最小值．参考文献：[1] 鞠建恩．柯西不等式在初等数学中的应用[J]．南平师专学报，2002，02[2] 赵朋军．柯西不等式的多种证法推广及其应用[J]．商洛师范专科学校学报，2004，03 [3] 王晓凤．对柯西不等式探讨[J]．通化师范学院学报，2006，03 [4] 黄 毅．柯西不等式的一个变形及其推广[J]．数学教学通讯，2003，1 [5] 林银河．关于Minkowshi 不等式的讨论[J]．丽水师范专科学校学报，2003，10 [6] 徐幼明．柯西不等式的推广及其应用[J]．数学通讯，1996，12[7] T ．Damm ．A unified version of Cauchy-Schwarz and Wielandt inequality [J] ．School of Information and Mathematics ，2007，1111。
柯西不等式高中总结
柯西不等式高中总结1. 什么是柯西不等式？柯西不等式是数学中一种常用的不等式，由法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）所提出。
它是向量空间中的一种基本不等式，也可以用于数列、积分等的证明过程。
2. 柯西不等式表达形式柯西不等式有两种常见的表达形式： - 点积形式：对于两个向量（或者可以看作是序列）A和B，其点积（内积）满足如下不等式：(a1b1+a2b2+...+a n b n)2≤(a12+a22+...+a n2)(b12+b22+...+b n2)- 积分形式：对于两个函数f(x)和g(x)，定义在[a, b]上，其乘积的积分满足如下不等式：(∫fba (x)g(x)dx)2≤∫f2ba(x)dx⋅∫g2ba(x)dx3. 柯西不等式的证明与应用柯西不等式可以通过多种方式进行证明，常见的证明方法有几何法、代数法和积分法等。
3.1 几何法证明几何法证明柯西不等式可以通过利用向量的内积和几何意义进行推导。
可以将向量视为平面上的两条有向线段，然后通过几何分析来证明不等式的成立。
3.2 代数法证明代数法证明柯西不等式可以通过代数运算和推导来完成。
常见的代数证明方法包括完全平方展开、二次函数的性质等。
3.3 积分法证明积分法证明柯西不等式是一种常见的证明方法，适用于证明函数乘积积分形式的不等式。
可以通过对乘积函数进行适当的变形和积分运算，来证明不等式的成立。
柯西不等式在数学中具有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：•绝对值不等式的证明：通过构造合适的向量或者函数，可以证明一些绝对值不等式，如：|ab|≤√a2+b2•向量投影的性质：利用柯西不等式可以证明向量的投影满足一些特定的性质，如：|a·b|b||≤|a|•函数平方可积性：可以利用柯西不等式证明一些函数平方可积的性质，如：∫f2ba(x)dx<∞•等式成立性的判定：柯西不等式的等式成立条件为两个向量（或函数）之间存在线性关系，可以通过柯西不等式来判定等式的成立性。
高中数学知识点：柯西不等式
高中数学知识点：柯西不等式一、一样形式((ai))((bi)) aibi)等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
一样形式的证明((ai^2))((bi^2)) aibi) ^2证明：等式左边=(aibj+ajbi)+.................... 共n2 /2项等式右边=(aibi)(ajbj)+(ajbj)(aibi)+...................共n2 /2项用均值不等式容易证明等式左边等式右边得证二、向量形式|||||，=(a1，a2，…，an)，=(b1，b2，...，bn)(nN，n2)要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言进展的障碍。
许多幼儿当众说话时显得可怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆那个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，排除幼儿恐惧心理，让他能主动的、自由自在地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的适应。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的爱好，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地关心和鼓舞他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清晰，声音响亮，学会用眼神。
对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出夸奖，并要其他幼儿仿照。
长期坚持，不断训练，幼儿说话胆识也在不断提高。
等号成立条件：为零向量，或=(R)。
向量形式的证明要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
《柯西不等式》知识点
《柯西不等式》知识点所谓柯西不等式是指:设ai,bi∈R,则2≤,等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有*≥^2我们令f=∑^2=*x^2+2**x+则我们知道恒有f≥0用二次函数无实根或只有一个实根的条，就有Δ=4*^2-4**≤0于是移项得到结论。
用向量来证=n=n=a1b1+a2b2++anbn=^乘以^乘以sX因为sX小于等于1，所以：a1b1+a2b2++anbn小于等于a1^2+a2^2++an^2)^乘以^这就证明了不等式柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：例：设a、b、为正数且各不相等。
求证：2/+2/+2/>9/分析：∵a、b、均为正数∴为证结论正确只需证：2*[1/+1/+1/]>9而2=++又9=证明：Θ2[1/+1/+1/]=[++][1/+1/+1/]≥=9又a、b、各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献柯西简介:789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。
由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。
柯西不等式二级公式
柯西不等式二级公式柯西不等式（Cauchy Inequality）是数学领域中一种非常重要的不等式，由法国数学家柯西（Cauchy）首次提出。
它在我国的高等数学教育中也有着广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二级公式，并探讨其在实际问题中的应用。
一、柯西不等式的定义和基本形式柯西不等式的定义如下：设实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，那么以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)这就是柯西不等式的一般形式。
当n=2时，柯西不等式可以简化为：(a1b1 + a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2) * (b1^2 + b2^2)二、柯西不等式的一级公式和二级公式柯西不等式的一级公式是指：a1b1 + a2b2 + … + anbn ≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + … + bn^2)柯西不等式的二级公式是指：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)三、二级公式的推导过程柯西不等式的二级公式可以通过一级公式进行推导。
首先，我们对一级公式两边进行平方，得到：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)四、二级公式的应用实例1.证明数学归纳法：在数学归纳法证明中，柯西不等式可以用来估计归纳步的误差。
2.信号处理：在信号处理领域，柯西不等式可以用来估计信号的功率。
3.概率论：在概率论中，柯西不等式可以用来估计随机变量的期望值和方差。
五、总结柯西不等式二级公式是柯西不等式的一种重要形式，它在数学、信号处理、概率论等领域有着广泛的应用。
柯西不等式证明
柯西不等式证明最值1.求函数y x2 4x,(x R)的最小值。
2.求函数y x4x2,(x R)的最小值。
x R且x2y3.设21,求x y2的最大值4.设x,y,z为正实数,且x+y+z=10,求4x19 y的最小值。
已知：x25.4y21求：x y；2x y的取值范围。
6.已知：a2b21，m2n22,求am bn的取值范围7.已知：2x3y1求：x22y2的最小值.8.求函数y x12x的取值范围。
9.求函数y x12x的最大值。
证明不等式1.求证:a2b2c2ab bc ac2.已知a,b都是正数，求证：（1）(1a b)(1a2b2)9ab;（2）(a2b a b2)(ab2a2b)9a2b2.3.设a,b,c,d R，求证：a2b2c2d2(a c)2(b d)2。
4.已知a2b2c21,x2y2z21,求证：ax by cz 1.5.已知a,b,c均为正数，且a b c1，求证：111a b c96.若0，则1sin cos 2.高中数学新课标选修4-5课时计划东升高中高二备课组授课时间:2021年月日(星期)第节总第课时第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：a b2(a0,b0)及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(ac bd)2证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(ac bd)2=….=(ad bc)20二、讲授新课：1.教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(ac bd)2.→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d 222(ac bd)(ad b)c(（要点：展开→配方）a c.)bd证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|，|n|∵m n ac bd，且m n|m||n|cos m,n，则|m n||m||n|.∴…..证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(ac bd)x c2d2，则f(x)(ax c)(bx d)≥0恒成立.222∴[2(ac bd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？|ac bd|或ac bd.|ac||bd|④提出定理2：设,是两个向量，则||||||.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）⑤练习：已知a、b、c、d.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3：设x1,y1,x2,y2R分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P37 4、5题.教学后记：板书设计：第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)22.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数y?要点：利用变式|ac bd|二、讲授新课：1.教学最大（小）值：.①出示例1：求函数y分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：y→推广：y d(a,b,c,d,e,f R)②练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值.解答要点：（凑配法）x2y2113(x y)(32)113(3x2y)113.讨论：其它方法（数形结合法）2.教学不等式的证明：①出示例2：若x,y R，x y2，求证：1x1y 2.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：1x1y12(x y)(1x1y)12 22]…讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、b R，求证：(a b)() 4.ab13.练习：①已知x,y,a,b R，且要点：x y(xabyax by1，则x y的最小值.)(x y)….→其它证法②若x,y,z R，且x y z1，求x2y2z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若x,y,z R，且x y z1的最大值.3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1.练习：教材P378、9题2.作业：教材P371、6、7题第三课时3.2一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1.练习：2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：(a2b2)(c2d2)(ac bd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(ad be cf)2二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bn R，则222(a12a22a)(b b n12)b nb)(1a1b ab n na22anbn讨论：什么时候取等号？（当且仅当a1b1a2b2时取等号，假设bi0）222联想：设B a1b1a2b2anbn，A a12a22an2，则有B2AC0，C b1b2bn，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）xxxx要点：令（fx）（a1a2an)x2(a1b1a2b2anbn)x(b1b2 bn)，则f(x)(a1x b1)(a2x b2)+（anx bn)0.222 又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，2(a1b1a2b2anbn)4(a1a2an)(b1b2bn)≤0 即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：a12a22an21n(a1a2an).（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知3x2y z1，求x2y2z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：②练习：若x,y,z R，且1x1y 11，求xy23的最小值..1b c)(11)4③出示例2：若a>b>c，求证：要点：(a c)(1a b1b c1a b1b c4a c1a b)[(a b)(b c)](3.小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1.练习：教材P414题2.作业：教材P415、6题第四课时3.3排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1.提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1.教学排序不等式：①看书：P42~P44.②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有a1b1a2b···+anbn(同序和)2··+ancn(乱序和)a1c1a2c2+···+anb1(反序和)a1bn a2bn1+·当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式）2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：112131n a1a22a33ann.分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bn n.又1a1122213221n22，由排序不等式，得b22a22a33annb1b33bnn…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(b c)b2(a c)c2(a b).解答要点：由对称性，假设a b c，则a2b2c2，于是a2a b2b c2c a2c b2a c2b，a2a b2b c2c a2b b2c c2a，两式相加即得.3.小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1.练习：教材P451题2.作业：教材P453、4题自选专题均值不等式与柯西不等式【均值不等式】例题1：已知x,y均为正数，且x y，求证：2x例题2：已知x,y,z均为正数．求证：变式：设x,y,z为正数，证明：2x3y3z3x2y z y2x z【柯西不等式】例题1：若正数a,b,c满足a b c1，求变式：若x21,3212a112b 112c 121x2xy y222y3．xyyzxxy1x1y．x y．的最小值．例题2：已知x,y,z是正数．1若x2若xy1，求x22xy22y的最小值；2xy2y21，求证：x22xy22y221．自选专题变式1：设a,b,c0，a b c1，求证：a2a b2b c2c35．变式2：已知正数x,y满足x y z xyz，求【能力提升】1、设a,b,c均为正实数，求证：1xy1yz2zx的最大值．12a12b12c1b c1a c1a b．2、设正数a,b,c满足a b c3，求证：a3、已知a,b,c0,，且abc1，求1a3b c ab bc ca b c1b3c a1c3a b的最小值．2021年高中数学IB模块选修4-5专题测试（一）试题内容：柯西不等式与排序不等式试卷总分：120分考试时间：60分钟一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1、a,b,c,d R，不等式a b22c2d2ac bd取等号的条件是（）2A．ab dc0B．ad bc0C．ad bc0D．ac bd02、设a1a2a3,b1b2b3，下列最小的是（）A．a1b3a2b2a3b1B．a1b1a2b2a3b3C．a1b2a2b1a3b3D．a1b1a2b 3a3b23、若四个实数a1,a2,a3,a4满足a2a1a3a2a4a31，则a3a4a1a2的最大值为（）A．1BC．2D4、a,b是非零实数，a b1，x1,x2R,M ax1bx2bx1ax2,N x1x2，则M与N的大小关222系为（）A．M NB．M NC．M ND．M N5、若实数x,y满足(x5)(y12)14，则x y的最小值是（）A．2B．1CD6、x,y,z R，且x2y2z5，(x5)(y1)(z3)的最小值是（） A．20B．25C．36D．477、已知a,b,c,d R，且满足a b c d625（）A．25B．50C．22222222225D．6254228、已知0a,b,c1，且a b c2，则a b c的取值范围是（）A．,B．,2C．,2D．,23333二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）9、x,y0,14444的最大值是10、设x,y,R，那么x y11、设14的最小值是xy22，那么x1,x2,x3,xn0,a1,a2,a3,an0,x1x2x3x1t ax axn1122 a3x32anxn2的最小值是12、设2x3y4z22,(x,y,z0)，则三、解答题（共5小题，每题60分）239的最小值是，此时xyz.xyb4c4c4a4a4 b413、（本小题10分）设a,b,c R，利用排序不等式证明：a b c2a2b2c33314、（本小题10分）设x1,x2,x3是不同的自然数，求s15、（本小题10分）设n N,n2，利用柯西不等式证明：16、（本小题10分）求函数yx1x2x3的最小值。
柯西不等式的几种新证法
中国包头职大学报2008年第4期柯西不等式的几种新证法汤茂林(武汉商业服务学院湖北武汉430058)摘要：柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式。
它以对称和谐的结构，广泛的应用，引起了人们的兴趣和讨论，出现了一些不同的证明方法，本文介绍几种新的证法。
关键词：基本不等式；J ens en 总和不等式；行列式；向量的内积；二次型正定；数学期望中图分类号：015l文献标识码：A文章编号：167l —1440(2008)04—0066---02柯西不等式是指：对于嘶，包∈尺，0—1，2，‘。
船)有(砉4；熟)2兰(喜呜2)(喜包2]这个不等式它以对称和谐的结构。
广泛的应用，以及证法的多样性，引起了广泛的兴趣和讨论，下面给出几种新的证法。
证法l利用基本不等式由窖二≥秒(x,ye 尺)I △必觑声∥2彦得搐d?搐％2同将n 个不等式相加得∑q 6{．≈一∑喁屯≤j -l^■∑di 2∑岛2≤上；I 一一+上}一=12∑472∑占?丘4丘。
器．罾O ；1，2，…刀)即(私)2s(剡(剥证法2利用Je nse n 总和不等式考察函数㈣t 一，0>o)，矿(力t2x 矿(x)-2>B故妒(对；一是(0，+∞)上的凸函数，由J ens en 总和不等式l 驻I s 毪c 舯驴瞻¨轴hZ P^I∑P A(砉p 。
h)2≤(砉夕。
)[耄p 。
≈)上式中令p 。
-氏2，砘；毒即(砉吒‰]2s(砉67][妻吒2)，从而原不等式成立。
证法3利用行列式．．(砉呜2](喜包2)一(喜口。
包)’=∑口}占}“∑岛2“=智5-'篇5"隧Ia*节2磊。
@q 一口^它(㈣，…口|)，b ．。
啉．．虬Ej ．蕊≈口-《口，，‘如。
口。
J ，暑(A ，如，t扫，7．匡柏丁s 肾](剐证法4利用向量的内积设二向量口=f 口，，a2…口。
J 。
b=rb ，，b 厶…6。
J 内积由誓■(a,b)=∑呸包所给出，所以(岛口)=∑口?，j 1■l【尻6)一∑612k l又电t x ．y)z ≤I x 。
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式;例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。
不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。
快速导航1内容柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
2 证法柯西不等式的一般证法有以下几种：■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai *bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
■②用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．3 应用柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
柯西不等式证明方法
柯西不等式证明方法
嘿，朋友们！今天咱来唠唠柯西不等式证明方法。
这柯西不等式啊，就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能打开好多难题的大门呢！
咱先来说说柯西不等式是啥。
它就像是一个厉害的规则，告诉我们两组数之间有着一种特殊的关系。
你看啊，就好像是两队小朋友比赛跑步，柯西不等式能告诉我们哪一队整体实力更强。
那怎么证明它呢？这可得动点小脑筋啦！想象一下，我们有好多好多小积木，要把它们摆成特定的形状来证明这个不等式。
我们可以从简单的情况开始入手，一点一点地探索。
比如说，我们可以试着把不等式两边都展开，就像是把一个包裹慢慢地打开，看看里面都有啥。
然后呢，通过一些巧妙的变换和计算，让真相慢慢浮出水面。
哎呀，这过程可有意思啦！有时候就像是在走迷宫，得不断地尝试不同的路，才能找到出口。
但当你找到证明的方法时，那种成就感，简直无与伦比！
举个例子吧，就好比我们要去一个陌生的地方找宝藏，柯西不等式就是那张藏宝图。
我们得仔细研究它，看懂那些线条和标记，才能找到宝藏的位置。
在证明柯西不等式的过程中，我们要像侦探一样敏锐，不放过任何一个小细节。
每一步计算都要小心翼翼，就怕一不注意错过了关键信息。
它可不是那种随便就能搞定的小角色哦！需要我们用心去琢磨，去体会。
当我们真正掌握了柯西不等式的证明方法，那感觉就像是拥有了一件超级厉害的武器。
在数学的战场上，我们就能更加自信地冲锋陷阵啦！
总之呢，柯西不等式证明方法是数学里的一颗璀璨明珠，等着我们去发掘它的光芒。
朋友们，别害怕困难，大胆地去探索吧！让我们一起在数学的海洋里畅游，享受证明的乐趣，感受柯西不等式的魅力！。
柯西不等式
什么是柯西不等式二维形式(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2，等号成立条件：ad=bc三角形式√(a＋b)＋√(c＋d)≥√[(a-c)＋(b-d)]向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a,…,an)，β=(b1,b,…,bn)（n∈N，n≥2）柯西不等式证明Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
还可以用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2这就证明了不等式．已知a,b,c都是正数a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3要求用柯西不等式(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式）所以(a^2+b^2+c^2）>=1/3 （1式）又a^3+b^3+c^3＝（a^3+b^3+c^3）*（a+b+c)>=(a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3 (将1式代入结果，同时第一个不等号处又用了一次柯西不等式）证毕。
由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧
由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧邓军民（广州市育才中学数学科）柯西不等式：设n n b b b a a a ,......,,;,......,,2121为两组实数，则()()()222212222122211.n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当时取等号，，，，约定)210(2211n i a a b a b a b i nn =≠===。
柯西不等式证法一：构造二次函数（n i a i，，， 21,0=≠）()()()()2222122112222212nn n n b b b x b a b a b a x a a a x f +++++++-+++=()()()()()()()()()()时取等号。
即，，当且仅当nn n n nn n n nn n n n n a b a b a b b x a b x a b x a b b b a a a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b x a b x a b x a x f ====-=-=-++++++≤+++∴≤++++++-+++=∆∴≥-++-+-= 2211221122221222212221122221222212221122222110000440这种证法则是利用了二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12的两个特点：（1）、二次项系数大于0 ；（2）、函数值 ()0,0≤∆≥则可得出结论：x f 。
有些不等式题则可根据已知条件和条件的特点，巧妙地构造二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12 ，从而利用()0≥x f 恒成立，0≤∆来求解。
例1、设()n i x i ,2,10=>，求证：n n x x x x x x xx x +++≥+++ 2112322221()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-++++=∴=>123222212121322,2,10xx x x x x x x x x x x x x x x f n i x nn n i 可构造函数证明：21123232212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x x x x x n()()()()()nn n nn nn n x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x f ++++≥+++∴+++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∴≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+++=∆∴≥ 3211232222122112322221132123222211322210440恒成立例2、已知实数a 、b 、c 、d 满足a+b+c+d=3,56322222=+++d c b a ,试求a的最大值和最小值。