折纸中数学.doc
折纸中的数学原理
折纸是一门具有深厚数学基础的艺术形式，通过运用数学原理和几何学概念，可以创作出各种独特的折纸作品。
折纸是一种结合几何学和数学原理的艺术和手工技巧。
在折纸的过程中，涉及到很多数学概念和原理。
1.1几何学：折纸中使用的几何概念包括点、直线、角度、比例、相似三角形等。
通过几何学原理，可以实现各种复杂的折纸形状和结构。
1.2尺规作图：在折纸中，通常需要按照一定的比例和尺寸来进行折叠，这涉及到尺规作图中的标尺和尺子等工具，以及画圆规等几何工具。
2.1数学计算：在一些复杂的折纸设计中，需要进行数学计算来确定各个部分的尺寸和位置，以确保最终的折纸作品符合设计要求。
2.2对称性：对称性在折纸中非常重要，通过对称性原理可以实现各种独特的折纸形状和结构，增加折纸作品的美感和艺术性。
折纸中的数学题带解析
折纸中的数学题带解析有这么一道折纸题，想必大家都知道吧！我们一起去看看怎么折吧。
考查的内容是：最多可以折几个正方形，并且每个小正方形的面积都不能超过3*3=9（平方厘米），并且这些小正方形的边长必须是整数。
（不过，这样的题目在现实生活中也可以用学过的三角形面积公式进行解答，所以这里就不详细说明了。
）为什么折的时候还要提醒“不能超过” 9平方厘米呢？因为如果折得太少，则只能当成正方形，但正方形不是多边形，它是特殊的四边形，四条边长度和为偶数，而白纸的面积为9平方厘米，没有办法把四条边的长度都凑成偶数。
所以最后折出来的图形肯定是奇形怪状的。
一、折纸方法1、第一种折法先把白纸对角折起来，然后再从中间分别向两个不同的方向对折，使白纸形成一个“十”字形，上下左右各有一个“十”字。
2、第二种折法把白纸按照折好的“十”字形对折，然后再按照第一种折法向中间对折，即可折成一个三角形。
二、相关知识点1、三角形的面积=1/2×底×高÷2=底×高÷2三、解析下面，我们通过一个具体的例子来学习如何折正方形。
1、如果选择了第一种折法，那么折出来的图形应该是一个正方形。
正方形的面积=√6a2= 6平方厘米2、如果选择了第二种折法，折出来的图形应该是一个三角形。
三角形的面积=底×高÷2=√3a2=6平方厘米折纸也是一门很深奥的学问哦，我们现在还理解不透彻，以后慢慢学习，我相信你们一定会折出漂亮的纸花的。
三角形的面积=1/2×底×高÷2=底×高÷2三角形的面积=1/2×底×高÷2=底×高÷2四、数学方法分析一个正方形纸张可以折叠成四个小正方形。
这四个小正方形的边长是整数，即小正方形的面积是整数。
例如，如果把一个正方形纸对折，对折后正方形的四个角都是直角，所以，每个小正方形的面积为1/2×3×3=9平方厘米。
折纸中的数学问题
通过折叠纸张，可以创造出各种空间几何形状，如球体、 圆柱体和棱柱等。这涉及到对空间几何知识的理解和应用。
折痕的几何性质
折纸过程中形成的折痕具有特定的几何性质，如长度、角 度和形状。研究这些折痕的性质有助于理解折纸的几何原 理。
折纸与代数问题
方程的求解
在折纸过程中，有时需要通过解代数方程来找到折叠的步骤。例如， 需要求解方程来找到折叠某条线段的正确角度。
折纸艺术中经常使用各种几何形状，如三角形、正方形、菱形等， 这些形状在折叠过程中会产生数学美感。
轴对称与中心对称
许多折纸作品具有轴对称或中心对称的特点，这种对称性体现了数 学的和谐与平衡。
黄金分割
在折纸艺术中，黄金分割比例的应用可以使作品更加协调和美观， 这种比例关系体现了数学的韵律和美感。
折纸艺术中的数学思维
折纸游戏激发数学兴趣
通过折纸游戏，学生可以在玩乐中学 习几何、对称等数学概念，提高对数 学的兴趣。
辅助教学工具
折纸可以作为教学工具，帮助学生理 解抽象的数学概念，如函数、微积分 等。
折纸艺术与其他学科的交叉研究
折纸与物理学
折纸艺术在物理学的弹性、动力 学等领域有应用，可以为相关问 题提供直观模型。
利用代数公式、定理和计算机代数系统等手段，解决折纸中的代 数问题。
折纸中的拓扑问题实例
拓扑问题
连通性、紧致性等
问题描述
在折纸过程中，如何通过拓扑手段研究折叠后图形的连通性、紧致 性和同胚等问题。
解决方式
利用拓扑定理、公式和计算机模拟等手段，解决折纸中的拓扑问题。
06
折纸艺术与数学的未来发 展
折纸艺术在数学教育中的应用
参数的优化
在折纸过程中，为了达到最佳的折叠效果，需要对各种参数进行优 化，如折叠角度、长度和顺序等。这涉及到代数中的优化问题。
初中数学《折纸与数学》课件
合作规则
1、以前后四人为一个小组； 2、尝试提出不同的折法； 3、每一个小组将想到的折 法推选出一位展示人，负责 到前面为同学们展示。
想一想，折一折
折纸要求: B点不动，将 AB边折起，随着AB边在纸面 上移动，点A也在移动，直到点A最终落在 DC边上的 A’处时，A点的运动轨迹是什么？ 若点 B不动，将BC边折起，能否使点C落在 AD边上? 为什么?
争做折纸小达人
1、你能通过折纸检验一张A4矩形 纸片的宽与长的比是否为1：2 ？ 2、你能用矩形纸片折出一个菱形 吗？你有几种方法？
教师寄语
拼搏创造奇迹 努力成就未来
祝同学们 马到成功
想一想：你还有什么方法可以折出30°的角？
归纳：用矩形纸片折出30°角的方法
长宽比是2:1的矩 任意矩形纸片， 任意矩形纸片，连 形纸片，经过一次 对折一次、翻折 续对折两次、再翻 折叠可得30°角 一次可得30°角 折一次可得30°角
活动3：你能用矩形纸片折出 一个等边三角形吗？
评价量规
能折出30°角 +10分 能用多种方法折出30°角和60°角，并能说出理由 +15分
星级评价： 优秀41-50分；良好31-40分；合格20-30分；
优秀：不仅能自己动手操作，还能在小组活动中表达自己的见解，有着数学家
的思维和才智！
良好：达成活动目标，能在基本折法图的基础上折出30°角和60°角 ，很棒！
合格：掌握了六种基本折法图中隐藏的数学知识，养成严谨细致的好习惯，成
功就会属于你！
折一折，做一做 不用任何作图工具，利用矩形纸，怎么 折出45°角？（是哪个基本图形的用法）
折纸中蕴含的数学思维与动手能力 2019年精选教育文档
“折纸”中蕴含的数学思维与动手能力“折纸”是学生经常做的手工活动，在“折纸”过程中学生手脑并用，互相协作，可以了解数学价值，获得数学活动经验，可以学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会中的有关数学的问题，并解决日常生活中的一些问题，增强应用数学的意识。
一、在折纸中体验数学学习中的“数感”数学新课标在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感，发展抽象思维”，并且在内容标准的几个阶段都阐述了培养学生数感的问题。
数感并不是一个新的概念，但《课标》第一次明确地把它作为数学学习的内容提了出来，可见，理解数感，让学生在数学学习过程中建立数感，是《课标》十分强调和重视的问题。
折纸可以加强对学生数感的培养，把数感的培养体现在折纸活动之中。
随着学生年龄的增长和知识经验的丰富，引导学生探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，通过折纸，初步掌握有效的表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，会进一步增强学生的数感。
把数感的建立与数量关系的理解和运用结合起来，与符号感建立和初步的数学模型的建立结合起来，将有助于学生整体数学素养的提高。
二、在折纸中培养数学学习的“逻辑思维”现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的养成良好逻辑思如何在数学教学中培养学生的逻辑思维能力，教学。
．维品质是教学改革的一个重要课题。
孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆”。
在数学学习中要使学生逻辑思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确逻辑思维方式。
要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，逻辑思维能力是得不到提高的。
《华东师大版九年级数学（上册）》第40页有这样一道题：小明用一张边长为10cm的正方形硬纸板制作一个无盖的长方体，怎样制作使得底面积为81 ？不同的底面积与其剪去的正方形的边长发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？学生在折叠前可能会从以下几个方面进行思考：①无盖长方体展开后是什么样？②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？③制成的无盖长方体的侧面积应当怎样去表达？④什么情况下无盖长方体的侧面积会较大？最大？思路一：在正方形的四角分别剪去一个相同的小正方形，折起后，制成一个无盖长方体，怎样才能使制作的无盖长方体的体积尽可能大？假设正方形的边长为20cm，剪去的小正方形的边长依次为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm，折成无盖长方体的体积将如何变化？（1）用表格表示通过表格，我们再把边长在2.5cm到3.5cm之间的数据进行细化：时，无盖长方体的体积较大。
折纸中的数学教学设计
折纸中的数学教学设计教学目标：1.学生能够了解折纸的基本概念和原理；2.学生能够通过折纸活动学习数学概念和解决问题的方法；3.学生能够培养数学思维和创造力。
教学步骤：第一步：引入知识（10分钟）教师可以通过引导学生进行简单的折纸活动，如将一张纸对折、三角形折叠等，让学生亲身体验折纸的乐趣，并引导学生思考折纸背后的数学原理。
第二步：讲解数学概念（15分钟）教师对于折纸的数学原理进行简要讲解，包括平行线、垂直线、相似形状、对称性等概念，并且通过具体的折纸实例进行解释和说明。
第三步：数学问题解决（20分钟）教师提供一些折纸问题，让学生通过折纸来解决。
例如，学生可以用一张纸折叠出一个正方形、一个圆、一个等边三角形等，或者通过折纸来计算一些长度、面积和体积等。
第四步：创造性折纸（20分钟）教师鼓励学生进行创造性的折纸活动。
学生可以尝试折叠一些创意的形状，如动物、植物等，并解释他们所用到的数学原理和方法。
第五步：讨论和总结（15分钟）教师和学生一起讨论折纸中涉及的数学概念和解决问题的方法，并总结学生在这个过程中学到的知识和经验。
扩展活动：1.学生可以进一步研究折纸与数学之间的关系，如研究折纸在几何学、代数学和概率统计学中的应用。
2.学生可以将折纸与其他学科进行结合，如折纸与艺术、折纸与物理等，以拓宽他们的知识面和视野。
评估方式：1.学生解答课堂上提供的折纸问题；2.学生进行创造性折纸活动，并解释数学原理；3.学生参与讨论并能够总结所学的知识和经验。
教学资源：1.纸张；2.折纸指南；3.相关的数学问题和知识点。
注意事项：1.鼓励学生亲身参与折纸活动，培养他们的动手能力和实践能力；2.引导学生思考折纸背后的数学原理，并能够将其应用到解决问题中；3.培养学生的数学思维和创造力，鼓励他们提出自己的想法和解决方法。
折纸中的数学
折纸中的数学疫情下的数学教学，除了传播知识外，我们更希望学生能通过动手操作或者实践研究等活动，在生活中也能学到或者感知到数学知识。
从而体验数学来源于生活，又服务于生活。
为此，我们每周一期的“纸”爱数学活动，受到了学生和家长的赞许。
小时候，我们拿到一张纸，可以折出衣服、飞机、小船之类的东西来。
折纸还是一项老少皆宜很流行的活动，但是你想过吗？折纸还跟数学还有着密切关系。
折纸可以折到大学去，你信吗？折纸艺术据传起源于中国的汉朝，应该是在东汉蔡伦发明造纸术后不久。
隋朝时经朝鲜传到了日本，又从日本传向西方。
折纸与数学相结合的开始大约可追溯到公元8世纪中期，处于文化鼎盛时期的阿拉伯人独立发展了折纸艺术，他们将欧洲几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学。
从19世纪开始，折纸在西方成为了数学和科学研究的工具，解决在折纸过程中发现的一些数学之谜已经发展成为现代几何学的一个分支。
折纸作为一种人们熟悉的娱乐活动，如果将其运用到数学教学的过程中，相信会获得很好的教学效果。
通过折纸，我们会发现在折的过程中，纸张上会留下许多折痕，它们揭示出大量的几何图形和原理，虽然我们现在还没有学到，但是同学们可以感受到折纸过程中的线条美。
折纸的过程具有创造性和启发性，人们用一个正方形的纸张，这是一个二维平面图形，折叠出一个立体镂空正方体，这是一个三维立体几何图形。
你说奇妙不奇妙！？其实当作品完成后，把这个图形打开，研究留在纸上的折痕。
整个创作过程中包含了数学中“维数”的变化，而折痕代表着从平面二维投影，到三维立体物体，而后再回到二维平面，这就是投影几何。
虽然这些内容同学们要到大学才能学到，但是通过折纸就能感受数学几何知识中的原理，是不是很有意思呢！一张纸小小的纸片，通过同学们的巧手折叠，变成了有趣又好玩的立体图形，在这次活动中，我们体会思考的快乐，创造的乐趣，更在其中探索数学原理和规律，期待同学们在数学折纸活动中有更多的收获！。
折纸中的数学奥秘
折纸中的数学奥秘六(3) 周航宇一丶问题的提出：在一次培训的课上，老师提出了一个有关折纸的问题：若将一张纸折成有7条折痕，则这张纸会被分成几个面？我思索了一下的说道：八个；老师又提到：那把A、B、C、D、E、F、G、H这八个字母依次填进去，然后顺着折痕重新折起来，请你回答从上往下数，第1、2、3、4、5、6、7、8层的字母各是什么？不能打开来看哦。
我猜了几个，有些对有些错，我想：这里有没有规律呢？那如果是16个面呢、32个面呢？如何快速而准确的说出每个字母所在的位置？若有规律那其中的奥秘又会是什么？回家后，立即找来笔与纸，开始思考。
二、分析与探索1、我找来纸，学着老师考我们的样折了7条折痕8个面（即将纸对折，再对折共对折了3次），并重新展开在每个面上依次都标上字母，然后再折回，把各层所在的位置标出来。
我仔细的搜索着这张纸里蕴藏的奥秘，我发现了:1+8=5+4=3+6=7+2。
也就说第一个字母和第二个字母所在的层数之和等于第三个字母和第四个字母所在的层数之和，也等于第五个字母和第六个字母所在的层数之和，等于第七个字母和第八个字母所在的层数之和。
那将纸折15条折痕16个面（即先将纸对折，再对折，再对折，再对折，共对折了4次）之后是否也符合这个规律？当层数标好之后，我非常的惊喜：1+16=9+8=5+12=13+4=11+6=7+10=15+2，从前依次往后，相临的二个字母所在的层数之和真的相等，而且它们的和等于总面数值再加1！2、经过多次试验我确信了这个规律，太高兴了！这样我就可以验算折纸的排列是否有误！同时我还发现了：第一个字母总是在第1层，最后一个字母总是在第2层；所以第二个字母就是最后一层，倒数第二个字母就是倒数第二层，也就是说他的位置不变。
同时又发现了：最中间的二个字母，前一字母总是在第4层，后一个字母总是在第3层。
临近的字母于是也可找到自己的层数。
3、我似乎找到了规律，于是赶紧拿了张稍长的纸，把它对折5次，折成了具有32个面的纸，赶紧标上字母，准备要验证一下自己的结论，在每个字母的下面准备标上它的层数位置，但只标好如下表的数据就犯难了：第5、第6层又是在哪个字母那里呢？还有第7、第8层……呢？刚刚发现规律的喜悦被新来的问题冲的一干二净。
折纸与数学
折纸与数学折纸是一门古老的手工艺术，它源于中国，在日本和西方地区也得到广泛发展。
折纸不仅是一种艺术形式，也可以成为一个很好的数学学习工具。
在折纸的过程中，我们可以学习到很多有趣的数学知识，例如几何，对称性，比例，图案等等。
本文将介绍折纸与数学之间的密切关系。
1. 几何学折纸是几何学的一个重要应用，它可以帮助我们理解许多几何概念。
例如，我们可以折纸来演示平移，转化和镜像等基本变换。
在折纸过程中，我们也可以学习到角度，三角形，四边形，圆形等几何概念。
另外，折纸还能用来演示等角变换和相似性等高级几何概念。
2. 对称性对称性是数学中的一个重要概念，它有助于我们理解和分析物体的特征。
在折纸中，对称性也扮演着重要角色。
我们可以用折纸来展示物体的轴对称和中心对称等对称性质。
此外，在折纸中也可以看出“相似不等于相同”的原则，即两张纸折成同样形状的方法不一样。
3. 比例在折纸中，比例也是一个关键概念。
我们可以用折纸来演示比例的概念，并且在实践中体会比例的重要性。
例如，我们可以折纸来展示两个形状相似的三角形，并利用相似性原理去计算出各边的长度比例。
4. 图案设计图案设计也是折纸的重要应用之一。
我们可以利用折纸来设计出各种各样的图案，突显纸张的美感和艺术性。
在折纸过程中，我们可以运用几何、算数和图案设计的知识，创造出各种不同形式的纸艺作品。
总结：在折纸中，数学不仅是一种工具，更是一种启发思维、开拓眼界的媒介。
通过折纸，我们可以提高自己的创造力和数学实践能力，而且还可以加深我们对于几何、对称性、比例、图案设计等数学知识的理解。
因此，我们可以说，折纸不仅是一种艺术形式，更是一种有趣的数学学习方式。
折纸中的数学原理
折纸中的数学原理Origami is an ancient Japanese art form that involves folding paper into intricate and often beautiful shapes. It is often thought of as a decorative craft, but the act of folding paper also involves a number of mathematical principles. In fact, the mathematics of origami goes far beyond simple geometry and can be quite complex.折纸是一种古老的日本艺术形式，涉及将纸张折叠成复杂而美丽的形状。
人们通常把它看作一种装饰性的手工艺，但折纸的这一行为涉及到许多数学原理。
实际上，折纸的数学远远超出简单的几何学，并且可能相当复杂。
One of the fundamental mathematical principles at play in origami is geometry. The very act of folding paper involves the manipulation of shapes and angles, requiring an understanding of geometric concepts such as symmetry, proportion, and the properties of different shapes. By using these principles, origami artists are able to create intricate designs that are not only visually stunning, but also mathematically precise.折纸中起作用的一个基本数学原理是几何学。
折纸 数学
折纸数学折纸作为一种古老而有趣的手工艺品，不仅可以培养孩子的动手能力和创造力，还蕴含着丰富的数学知识。
在折纸的过程中，我们可以观察到许多数学原理和现象的存在。
本文将从几何学、数学逻辑和数学推理等方面探讨折纸与数学之间的关系。
折纸可以帮助我们学习几何学。
在折纸的过程中，我们需要根据折痕和边角的位置，来确定每个部分的位置和形状。
这要求我们具备一定的几何直观和空间想象能力。
例如，当我们将一张正方形的纸折叠成一个三角形时，我们可以观察到三角形的边角和边长之间的关系。
当我们将纸张对折时，两边的边角相等，而边长则减半。
这符合几何学中对等角和等边的定义。
折纸还可以帮助我们理解平行线和垂直线的概念。
当我们将纸张折叠成两条平行线时，我们可以观察到折痕之间的关系，从而认识到平行线之间的距离是相等的。
折纸也涉及到数学逻辑的思维。
在折纸的过程中，我们需要根据一定的规则和步骤进行操作。
这要求我们具备一定的逻辑思维能力。
例如，当我们折纸时，我们需要按照一定的顺序依次进行折叠，不能跳过或重复某个步骤。
只有在正确的顺序下进行操作，才能得到预期的结果。
这要求我们具备良好的逻辑推理能力，能够根据已知条件推断出未知的结果。
折纸还可以帮助我们理解数学推理的过程。
在折纸的过程中，我们常常需要通过观察和实践，来推断和验证一些数学规律。
例如，当我们折叠一张纸，使得两边的折痕重合时，我们可以推断出这两条折痕是重合的，从而得到两条折痕之间的关系。
通过这样的推理和验证，我们可以加深对数学原理的理解和掌握。
折纸与数学之间存在着密切的联系。
折纸可以帮助我们学习几何学、培养逻辑思维能力，同时也可以帮助我们理解数学推理的过程。
通过折纸，我们可以在动手实践中感受数学的魅力，激发对数学的兴趣和热爱。
因此，我们应该在教育中更加重视折纸这一活动，将其与数学相结合，让孩子们在玩中学、在学中玩，从而提高他们的数学素养和创造力。
拓展资源折纸问题中的数学
拓展资源折纸问题中的数学Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】折纸问题中的数学通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象和性质：轴对称、中心对称、全等、相似形、比例及类似于几何分形结构的迭代 (在图案内不断地重复图案 )等几何性质。
折纸过程还能够体现出许多几何概念和规律，诸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等几何形状，对角线、中点、垂直平分线等几何名称，全等、勾股定理等几何法则，内接、面积及其他一些几何代数的概念，这些鲜活的、可视的过程，给学生提供了弥补思维过程中的断缺部分，更能符合学生的认知习惯。
折纸可以探索二维和三维图形之间的关系。
例如，一张正方形 (二维物体 )的纸张可以折成一个立方体 (三维物体 )。
然后，将它摊开 ,研究留在正方形纸上的折痕，正好体现了一个二维物体到三维物体，又回到二维的过程。
在缤纷多彩的折纸活动中，有很多数学活动值得研究。
在这里，我们精选了其中的一些，展示如下：（ 1）从一个矩形式样的纸张 ,折成一个正方形 (如图所示 )。
（ 2）将一张正方形的纸沿着对角线对折 ,变成四个全等的直角三角形(如图所示 )。
（ 3）找出正方形一条边的中点 (如图所示 )。
（ 5）将一个正方形纸张折叠 ,使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形 (如图所示 ) 。
（ 6）把一个正方形折成两半，那么，折痕将成为正方形两条相对边的垂直平分线 (如图所示 ) 。
（ 7）折出四面体 (按图所示的方法 ) 。
（ 8）折出正方体 (按图所示的方法 ) 。
不仅如此，折纸还可以做出其他的一些重要内容，诸如黄金比等。
（ 9）折出黄金分割比图所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法：将一张矩形的纸沿两条较短的边（即宽）对折，折出这张矩形纸的平行于较长边的中线，再将这张纸铺平；用手捏住矩形的一个角，将同一条宽上的另一个顶点折向中线，使其刚好落在中线上，压平。
折纸中的数学
《数学 之 友 》
２００８年 第 ２３期
又 ＋鲁：ｌ，解得 ： ：一 ，
“
ｏ
Ｘ０ 一 Ⅱ
“ 。
有
ｍ：
一ｋｘ。：ｂＬ
，
所
以
ｆ的方
程
为
Ｙ： 一
＋
Ｙｏ
ａ Ｙｏ
即Ｘ ０Ｘ＋ ：１
，
．
Ｙｏ ａ‘ ｂ‘
探 究 ４：由 对 称 性 可 知 ， ＦＭＮ ＝ Ｚ．ＰＭＮ ＝ Ｆ ＭＭ ，这 一点 反 映在 椭 圆 的光 波 与 声 波 的性 质 上 ，一束 光从 Ｆ点 出发 ，经椭 圆反 射后 ，反 射 光 一定 通 过 Ｆ 点 ，声音 传到椭 圆上 ，经过 连 续 几 次反 射 ，在 很 远 的地 方也能 听到 声 音 ，北京 天 坛 公 园里 的 回音 就 暗合 了声 学 的传 音原理．
·。 ．
６ ＋ｎ 一ｍ２＝口２一ｃ２＋ｎ （
）‘一
（ ）‘＝ｏ，．·．Ａ＝０，即ｆ与椭圆相切．
当 ｆ的斜 率不 存 在 时 ，相 切 显 然成 立 ，所 以 ｚ是 椭 圆 的切 线 ， 是 切 点．
为 ＋ Ｙ ＝１．
ａ Ｄ
探 究 ３：若 Ｍ（ｘ。，Ｙｏ），则 ｚ的直 线 方 程 为 ＋ Ｙ 百ｏＹ ：１（可类比以圆上某点为切点的切线方程）．
长 为半径 的圆 ，方 程 为 ＋ｙ ＝ｎ ，同时折 痕 ｆ是椭 圆 的切线．
探究 ６：若 Ｆ ＪＰ，＝０，则 Ｓ△＾ ，＝ｂ２ｔａｎＯ．
证 明 ：’．’ Ｆ ＰＦ＝ ｌ ＋ ｌＭ Ｆ ｌ 一２ｌＭ Ｆ Ｉ ｌ ， ｌ ｃｏｓ２０
ｃ ＝４ａ 一２Ｉ ｌ ｌＭＦｆ（１＋ｃｏｓ２０）
折纸中的数学问题
均分次数
1
2
3
4
… …
18
所得正方 1+3= 形的个数 ( 4 )
1+3×( 2 ) 1+3×( 3 ) 1+3×( 4 ) =( 7 ) =( 13 ) =( 10 )
第18次均分后所得的正方形 是:1+3×18=55(个)
第1000次均分后所得的正方形 是:1+3×1000=3001(个)
4.把一张纸对折,再对折,然后在折叠的角上剪一刀,即在纸 的中间剪出了一个洞.
对折的次数
2
32
…
剪出洞的个数
长方形的个数
…
…
用你发现的规律计算: 1. 对折6次时剪出几个洞. 2×2×2×2=16(个) 2. 对折8次时剪出几个洞. 16×2×2=64(个) 3. 对折n次时剪出几个洞. 2×2×2×2×2……×2=
(n-2)个2
4.分割等边三角形。（长智慧P74）
折的次数 长方形的个 数
折痕条数
1
2 1
2
4 3
3
8 7
4
16 15
…
n 2 2
n n
－1
我发现:
3.一个大正方形用十字形连续均分,所得的小正方形有多少 个.
思考：1、每均分一次，正方形的个数发生什么变化？
2、观察均分的次数与所得正方形个数之间的关
系，看看能发现什么规律？
3.一个大正方形用十字形连续均分,所得的小正方形有多少 个.
分割次数
所得三角形个数
1
4 5
2
7 9
3
10 13
4
13 17
5
16 21
…
折纸中的数学问题
1.利用矩形纸片折450角 2.利用矩形纸片折正方形
探究成果
1.矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得 点B落在线段CD的点F处， 观察图形，你能求出BE 长吗？
你能想出折300角的方法吗？
将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、 展平，得折痕EF；再沿GC折叠，使点B落在EF上 的点B′处，你能求出∠DCB′的度数吗？
你能想出用正方形纸片折等边三角形 的方法吗？
2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=2,点M是AD的
中点，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使
点B恰好落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与
CD相交于点P。
A
M
D
求证：EP=AE+DP
P
N E
FБайду номын сангаас
第二题.gsp
B
C
观察图形运动前后的不变量 研究图形运动之后的新生成图形
运用常见的模型解决问题
折纸中的数学原理三角形
折纸中的数学原理三角形
在折纸中，涉及到一些数学原理与三角形的相关概念。
以下是一些常见的数学原理和三角形相关的内容：
1. 平行线与角的性质：在折纸中，折线与边界线可以看作平行线，根据平行线的性质，对应角、同位角和内错角等具有一些特定的关系。
2. 直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在折纸中，可以通过将纸张对折形成直角三角形，利用直角三角形的性质进行计算。
3. 三角形的角度和：三角形的内角和等于180度。
在折纸中，可以通过折叠纸张形成三角形，并利用三角形的角度和等于180度的性质进行计算。
4. 三角形的相似性：在折纸中，可以通过折叠纸张形成相似三角形。
相似三角形具有相似比例关系，可以利用相似三角形的性质进行计算。
以上仅是折纸中涉及到的一些数学原理与三角形相关的内容，具体应用可以根据具体情况而定。
如果您有具体的问题或需要更详细的解释，请告诉我。
折纸活动中的数学发现
折纸活动中的数学发现折纸艺术作为传统的手工艺术形式，一直以来都受到人们的喜爱。
然而，随着现代社会的发展，这种艺术形式逐渐被淡忘。
近年来，随着临时性建筑设计与建造的兴起，折纸艺术又重新引起了人们的。
本文将探讨折纸在临时性建筑设计与建造中的应用及其优缺点，以期为未来临时性建筑设计与建造提供新的思路和方法。
近年来，折纸艺术逐渐被应用于临时性建筑设计与建造中。
通过折纸艺术，临时性建筑能够实现可折叠、可重复使用、可回收等特性，同时也可以提高建筑的审美价值。
在现有的研究中，折纸在临时性建筑设计与建造中的应用主要表现在以下几个方面：折纸结构的应用：通过将折纸结构应用于临时性建筑，可以实现建筑的自支撑和可折叠性。
例如，日本建筑师坂茂（Ban Shigeru）设计的“可折叠纸屋”（Foldable Paper House）就是以折纸结构为主要支撑结构，实现了建筑的自支撑和可折叠性。
折纸表皮的应用：通过将折纸表皮应用于临时性建筑，可以实现建筑表皮的轻巧和通透性。
例如，中国建筑师刘晓都设计的“折纸亭”（Zhepaper Pavilion）就是以折纸表皮为主要覆盖材料，实现了建筑表皮的轻巧和通透性。
折纸装饰的应用：通过将折纸装饰应用于临时性建筑，可以实现建筑的装饰性和文化性。
例如，英国建筑师托马斯·赫斯维克（Thomas Heatherwick）设计的“上海世博会英国馆”（UK Pavilion at Expo 2010 Shanghai）就是以折纸装饰为主要装饰元素，实现了建筑的文化性和装饰性。
本文采用文献调研和案例分析相结合的方法，对折纸在临时性建筑设计与建造中的应用进行研究。
通过文献调研了解折纸在临时性建筑设计与建造中的发展历程和应用现状；通过案例分析深入探讨折纸在临时性建筑设计与建造中的具体应用及其优缺点。
通过对折纸在临时性建筑设计与建造的文献调研和案例分析，可以得出以下折纸在临时性建筑设计与建造中的应用具有很大的潜力。
人教版九年级数学中考复习专题折纸中的数学——三角形的内接矩形模型
∆ 是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻
t的值；若不存在，请说明理由．
∆ 放飞思维：
∆ 如 图 ， 四 边 形 ABCD 纸片 满 足 AD∥BC， AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小 明把该纸片折叠，得到叠合矩形恰好为正 方形，请你帮助画出所有可能的叠合正方 形的示意图，并求出AD，BC的长．
1． 2
①
①
② ②
③ ③
活动三 拓展应用 ——多边形中的叠合矩形 ∆ 在平行四边形中折一个叠合矩形，有没有可能会出现 如图的折法？ ∆ 此时如何确定矩形的四个顶点？
操作型问题都可 以转化为我们学
习过的知识
小结与作业 ∆ 你学习到了什么？ 操作探究型问题是中考热点 一般：内接矩形—>特殊：内接正方形、叠合矩形—>拓展 ∆ 你感悟到了什么？ 建立数学模型 数学思想：方程、转化 ∆ 你还想探究什么？更多精彩等你发现！！！
∆ 方程思想：相似比=对应高的比
活动二 探索新知 在三角形中折一个面积尽可能大的矩形
∆ 结论：上题中，若改为“已知三角形底BC=a，高AD=b”，
用a、b表示这个正方形的边长为 ab ． ab
∆ 折出这个内接正方形
活动二 探索新知 在三角形中折一个面积尽可能大的矩形
第三环节
∆ 已知原三角形和底和高，怎么折出面积最大的内接矩形？
活动一 操作引入 折出与三角形有关的线段
活动一 操作引入
A
折出与三角形有关的线段
A
B
C' D C
折出三角形一边的高
A
C'
BDCຫໍສະໝຸດ 折出三角形一角的角平分线A
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《折纸中的数学》教学设计
一、教材内容
义务教育人教版教科书八年级下册，它是第十八章《平行四边形》的章末活动课。
二、教材分析
本课之前，学生已通过折角平分线、折平行线、折纸研究轴对称等活动获得了较为丰富的折纸经验，为本节课奠定了基础。
本节课是在此基础上折出特殊度数的角。
三、学情分析
学生已学习了平移、旋转、轴对称等基本图形变换，角平分线、平行与垂直、三角形的全等、四边形等知识，教材选取学生熟知的、生活化的折纸游戏作为研究和学习的内容，让学生倍感亲切，能激发学生积极参与数学活动的兴趣。
四、教学目标
1、能折出 60°、 30°、 15°等特殊度数的角
2、通过折叠，建立空间观念，让学生经历折叠、观察、猜想、论证、交流、反思等过程，发展学生对几何图形的认知能力，引导学生从不同的角度寻找解决问题的策略，进一步提升数学活动经验
3、在折纸活动中感受数学活动的乐趣，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，激发学生的创新热情。
五、重点难点
重点是让学生学会折纸做特殊角，培养学生的动手能力，并在动手过程中培养学生思考探究的习惯，养成合作交流意识。
难点是尽可能让学生通过自己的尝试与思考折出特殊度数的角。
六、教法学法
让学生在动手操作、自主探究、合作交流中获得新知，教师进行适当的引导、点拨。
七、教学程序
本节课我共设计了七个活动。
[ 活动 1] 看一看
, 说出在折纸时出现了哪
60°、 30°、
[ 活动 5] 用一用
老师有一张矩形纸片， 想利用它剪一个最大的正三角形纸片做教具， 你帮忙
想想办法。
[ 活动 6] 辨一辨 研究 2012 西宁市的一道
与折纸有关的中考题
4、合作：学生 4-6 人一组合作探究， 寻求准确折出 60°、30°、
15°的角的解决办法。
5、引导：教师参与各组活动，根据情况可进行引导 （备注：图附最后一页）
当学生纷纷得到不同的折法后，让不同折法小组的代表上台演示折叠过程，解释所折角度的正确性，再让学生选自己喜欢的一种折法证明。
学生仔细观察图形，尽量找出知道度数的角。
教师关注学生回答问题是否完善、正确。
1、仔细观察各种折法示意图，发现其中等边三角形。
2、学生用规格一样的矩形纸中剪出等边三角形。
3、比一比，发现以矩形的宽为边长的三角形
不是最大的等边三角形，以矩形的宽为等边三角形的高才是最 大的。
1、（ 2012 西宁中考）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按
照图①～④的过程折叠后展开， 请选择所得到的数学结论 （ ）
2、交流：学生演示折叠方法。
一般来说，此时学生想到的是将 [ 活动 3] 证一证
推理论证折出角度的正确性
[ 活动 4] 找一找 在各种折法示意图中找出知道度数的角。
90°的角估分成三等份。
3、点拔：同学们用的是估分法，能否准确折出呢？
[
活动 2]
折一折 1、探究：学生自主探究如何在一张矩形纸上折在 一 张 矩 形 纸 上 折 出 15°的角。
60°、 30°、 15°的角 观看折纸视频 学生观看由本班同学制作的折纸视频
些角度的角。
教学活动设计
研究山东淄博市的一道与折纸有关的中考题
[ 活动 7] 理一理
回顾这节课，谈谈感想附图：A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
2、（淄博中考）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次
对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有（）(A)4 个(B)3个(C)2个(D)1个
学生自己总结，教师适当补充完善，教师重点关注不同层次学
生对本节课知识的理解和掌握程度。
（ 1）（2）
（ 3）（4）（5）（6）（ 7）（8）。