2.微积分基本定理

§2.

微积分基本定理

※ 学习目标

1．理解掌握微积分基本定理；

2．能根据微积分基本定理解较为简单的积分题目. 积分的概念

复习2：

求函数积分的基本方法、步骤

二、研读课本 微积分基本定理：

如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F /

(x)，则有

⎰

b

a

dx x f )(=F(b )－F(a)

定理中的式子成为牛顿-莱布尼兹公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数.

在计算定积分时，常常用记号F(x)

b

a

来表示F(b )

－F(a)，于是牛顿—莱布尼兹公式也可以写作：

⎰

b

a

dx x f )(= F(x)

b a

=F(b )－F(a)

常用关于积分的结论：

1、速度的积分等于路程；

2、加速度的积分等于速度；

3、力的积分等于功；

4、曲线的积分等于面积（这里要注意面积并非完全意义上的面积------x 轴上的面积为正，x 轴下的面积为负）；

5、面积的积分等于体积 课本例一、计算下列定积分： （1）⎰

1

02xdx （2）⎰1

2dx x

（3）

⎰

π20

cos xdx (4)

⎰

2

1

dx e x

新知总结

微积分基本定理建立了积分与导数间的密切联系.它使求定积分的问题变得简捷，在求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以利用牛顿-莱布

尼兹公式求出这个函数的积分，这是求定积分的一种非常重要的方法.

积分问题的关键就是找到导函数的一个原函数. 课本例二 求定积分

⎰

1

dx x

课本例三 求定积分

⎰

π

cos xdx ，并解释其意义

三 典型例题

例3、 求下列函数的导函数，并利用所求结果求

⎰1

2xdx

（1）x 2 （2）x 2+5 （3）x 2－π （4）x 2

－a （其中a 是一个常数） 解：∵（x 2）/=2x ；

（x 2+5）/=2x ； （x 2

－π）/

=2x ； （x 2

－a ）/

=2x ． ∴

⎰1

2xdx = x 2

10

=（12

）－（02

）=1 ⎰1

2xdx =（x 2

+5）

10

=(12

+5)－(02

+5)=1 ⎰1

2xdx =

（x 2

－π）10

=(12

－π)－(02

－π)=1

⎰1

2xdx =（x 2

－a ）

10

=(12－a )－(02

－a )=1

小结：由上可知，题中4个不同函数得到函数都是2x ，而计算定积分

⎰1

2xdx 时，选择不同的原函数，

结果却都一样．观察不难发现，这些原函数之间只是差了一个常数，而常数的导数为零，故导函数相同；积分时“－”的前后算式中都有这个常数，故常数并不影响定积分的结果．

故，为了计算简便一般在选择原函数计算定积分时，选择常数是0的原函数．

例4 、将一根弹性系数为0.5N/m 的弹簧自80cm 压缩至60cm ．求这一过程中弹簧弹力所做的功． 解：由胡克定理知F=kx=0.5x ，而功W=Fx ，由积分的意义可知克服弹力所做的功就是变力对弹簧改变长度x 的积分，80cm=0.8m ，60cm=0.6m ．

W=

⎰

6

.08

.05.0xdx

而易知(0.25x 2)/=0.5x 故W=

⎰

8

.06

.05.0xdx =(0.25x 2

)

6.08

.0

=0.25×0.62－0.25×0.82 =－0.07

小结：定积分在物理中的其中一个应用就是计算变力F 做功，这里只要能够得到变力F 的大小就可以计算．

这里从定积分的定义出发更为形象的理解--- “∫”连加求和符号“∑”，分割细度“△x ”就是“dx ”，即

∑=∆ξn

i i

i

x f 1

)(=⎰

b

a

dx x f )(．

四 动手试试

练1. 求下列定积分 （1）

⎰

1

dx e x （2）⎰π0

2

cos xdx (3)

⎰

1

3dx x

练2. 计算下列定积分：

（1）⎰-1

03

)1(dx x （2）⎰4

31dx x

（3）⎰π

402cos 1dx x

※ 总结提升 学习小结

1. 求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以利用牛顿-莱布尼兹公式求出这个函数的积分，这是求定积分的一种非常重要的方法.

2. 因为常数的导数为零，故选择原函数计算定积分时，为了简化运算一般不要带常数. ※ 课后练习：

1．

⎰

b

a

dx 2=

A.b 2－a 2

B. 2(b －a )

C. a 2－b 2

D. 2(b －a)

2．⎰2121

dx x =

A.21

B. －2

1

C. 2ln2

D. －2ln2

3．

⎰-1

1

sin xdx =

A.2cos1

B.0

C. －2cos1

D. 2 sin1 4．已知F(x)=sinxcosx ，f(x)=F /(x),则定积分

⎰

π

)(dx x f =________________．

5．（1）求sinx ，sinx+2，sinx+c （其中c 为任意常数）的导数；

（2）求定积分

⎰

ππ-22

cos xdx ．

6．一辆汽车在一段时间内，行使过程中的速度v （单位：m/s ）是时间t （单位：s ）的函数v(t)=2t +t+2,t ≥0．求汽车在5—10s 这段时间内走过的路程．

7．求定积分⎰

ππ-22

)(dx x f ，其中

f(x)=⎩⎨⎧<≥-0

sin x x x x ΛΛΛΛΛ．