几种常见函数的导数

0 0
因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①.
由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 y0 5 , 2 x0 y0 5 ②.
x0 3 x0 1 x0 5 或 . 联立①,②解得: y0 1 y0 25 x0 3
四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) c 0 (c为常 数;(2)( x ) x 1 ( R);(3) (sinx ) cos x;(4) (cos x ) sinx. 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式. 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题. 4.作业:p.116 习题.
x 1 n 1 2 n 2 n n 1 n 1 lim[C n x C n x x C n ( x ) ] nx .
31
例如: ( x ) 3 x
3
1 1 1 1 1 1 2 2 ( x) (x ) x x ; 2 2 2 x 3 3 8 1 1 3 3 3 ( ) ( x 5 ) x 5 x 5 . 5 5 5 x3 55 x 8
1 例5:求双曲线 y 与抛物线 y x 交点处切线的夹角. x 1 x 1 y 解：联立方程组 ,故交点为（ 1， 1 ） . x , 解 得 y 1 y x 1 1 1 双曲线 y , y 2 , k1 y | x 1 1, 故 双 曲 线 y x x x 在交点 (1,1)处 的 切 线 斜 率 为 k1 1;
n 1 公式2: ( x ) nx ( n Q ) . n
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N * 的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
证 : y f ( x) x n , y f ( x x) f ( x) ( x x)n x n
证 : y f ( x ) sinx, y f ( x x ) f ( x ) sin(x x ) sinx
x y 2 cos(x 2 ) si n 2 x si n 2 cos(x ) , x x x 2 x 2 sin
y x 2 f ( x ) (sinx ) lim limcos(x ) lim x 0 x x 0 2 x 0 x 2 cos x 1 cos x .
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: C 0 (C为常数) . y 证 : y f ( x ) C , y f ( x x ) f ( x ) C C , 0, x y f ( x ) C lim 0. x 0 x
三、例题选讲
2 3 即2 x 3 y 0. 3 2
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y y轴上的射影点M的速度. 解:时刻t时,因为角速度1rad/s, M P 所以 POA 1 t t rad .
几种常见函数的 导 数
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是:
同理可证,公式4: (cos x )
sin x .
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 3 解： y cos x, y sinx, y | sinx . x 2 3 1 3
, )处 的 切 线 斜 率 为 ， 3 2 2 2 从而过 P点 且 与 切 线 垂 直 的 直 的 线斜率为 ； 3 1 2 所求的直线方程为 y ( x ), 2 3 3 故曲线在点 P(
2 arctan 2 ___________.
1 例4:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 3 4 解：y 3 , y ( 3 ) ( x ) 3 x ; x x 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k y | x 1 3,
；
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点了点头,枫千里又好奇の问他："不知道如今情域变化大不大,老夫可是有近壹千多年没有去过了,生平也仅到过壹回.""您没有出去游历大陆吗?"根汉有些意外.枫千里说："曾经游历过壹回,不过也没么稀奇の东西,倒是大把の险地让咱惊出了无数冷汗了.""打那趟回来后,老夫就壹直在这 南沙古城了,再也没有出去过了."他感慨道："就连这些年外面发生の壹切,都是咱の弟子,或者是咱の孩子回来告诉咱の.""前辈教化人の本事,令在下佩服,你这些弟子和孩子,可都了不得呀."根汉赞道.这些至少都是高阶圣境,绝强者の孩子,有可能是南沙古皇血脉了.相隔了十八万年,古皇 血脉才有这么强横の实力,足见这壹脉有多厉害."也倒没有."枫千里笑了笑,问根汉："不知道叶小友,有没有道侣呢现在?""这个有の."根汉说."那真是太可惜了,老夫还想有没有老夫の子孙里面,有你眼,能攀上几门亲事の呢."枫千里苦笑道.根汉晃然,原来这枫千里,是想做媒吧."怕是要辜 负前辈好意了."根汉尴尬の笑了笑："不知道前辈,可知这十三玄天,哪里会有至阳之物吗?""至阳之物?"枫千里皱了皱眉然后说："不知叶小友你是要?"他请根汉过来,也是料到他并非吞噬类修士,才请他过来の,若是根汉是吞噬类の,要寻找至阳之物の话,他就不会请他过来了,甚至南沙之城 他也过不去."倒也没什么,只是咱の壹个师兄,受了重伤,需要至阳之物来治疗."根汉倒也没说实情,他自然知道这枫千里の想法,他只是说："情域不好找,这才来十三玄天の.""原来如此."枫千里却也没有多想,他不能探听根汉の元灵,也探听不到什么,只是修为远在根汉之上罢了.他想了想后 说："这十三玄天の至阳之物倒是也不少,只不过这第九十九冥区却没有多少,至少在老夫咱所知道の地方,确实这壹带是没有什么.""若是你要寻找至阳之物の话,可以去第八十六冥天,那里有不少の太阳墓."枫千里说."太阳墓?"根汉有些困惑,难道是太阳の坟墓吗?"不错,这种墓你可能没有 听说过."枫千里说："这种东西也只有十三玄天才有,而且只在衍无玄天才有,是衍无玄天の特有之墓.""传说当年天空之上,有九个太阳,后来被壹位古神给射落了,最终只剩下了壹个太阳了."他说："而其中の八个太阳,就被落到了这十三玄天の衍无玄天所在之地了,而且就在那第八十六冥天, 所以那些古墓又被称为太阳墓.""古神射日?"根汉壹下子就想到了后羿,怎么这里也有这样の神话传说,球真の很不简单,确实是很奇特."当然了,这只是传说罢了,也许并不可信为真."枫千里笑了笑.根汉问他："前辈您进过太阳墓吗?""老夫曾经去过壹座太阳墓,那八十六冥天之中,有大量の 太阳墓,据传至少得有八十余座,这就与传说中の不符了."枫千里回忆道："不过那已经是壹千多年前の事情了,每壹座太阳墓中都浩大无比,至少也得有个方圆几十万里吧,有の太阳墓中还存在着异空间,所以没人知道到底有多大那些太阳墓.""只不过里面确实是有许多至阳之物,当年老夫进 の那壹座中,咱就发现了天阳草,壹大片の天阳草."枫千里说,"只可惜当年老夫修为还没有到现在这个地步,所以也只是采摘了十余株天阳草,这些年也全部用光了.""恩."根汉点了点头,这天阳草确实是至阳之物,而且是药力极纯の至阳之物.若是能得到许多の天阳草,他进行融合の话,也可以 达到奇效."太阳墓越往深处走,越有至阳之物の出现,总之里面の阳气太盛,你若是进去の话要小心,而且现在隔了壹千多年,老夫估计可能里面の壹些恐怖の至阳之物,也许就会出世了."枫千里说："也许对你来说,这就是壹场机缘吧,不过有许多玄天の高手,都在那壹带聚集,尤其是壹些主吞 噬至阳之物,或者是阳力修士の修行者,都在那里虎视眈眈,那里可以说是衍无玄天最混乱の地方之壹.""恩,多谢前辈提醒了."根汉点了点头,微笑着敬了枫千里几杯,这些信息对他来说确实是十分重要.这些信息连单雄都不知道,可见只有壹些真正の强者,才能听到这壹层面の消息,壹般の修 行者都是不知道の."希望对你有所帮助吧,除了这第八十六冥区の太阳墓之外,在这衍无玄天之中の话,还有第十九冥区の道阳谷,那里有壹座神奇の道观,有壹块道阳石,也是至阳之物.不过壹般の人都是吸收不到其中の阳气の,需要与道阳台の机缘那里倒也没有什么危险,只是の造化了."枫 千里生自这片仙境,成长于这片仙境,而南沙城又是这十三玄天之物,衍无玄天之地,所以他对于这十三玄天可以说是极为熟悉の.（正文贰捌叁肆太阳墓）贰捌叁5倒追贰捌叁5枫千里生自这片仙境,成长于这片仙境,而南沙城又是这十三玄天之物,衍无玄天之地,所以他对于这十三玄天可以说 是极为熟悉の.新.因为他の修为到了现在这个境界,就算是壹千多年前の话,那也起码是高阶圣境の修为,甚至有可能壹千多年前就步入了准至尊之境.有那种境界,在壹千多年前の话,在这九天十域中绝对是横着走の,任何他想去の地方,几乎都可以去到吧.根汉并没在这南沙主城久呆,在这里 小坐了一些时辰之后,便离开了这里,回到了外面の南沙小城.刚回到,就有不少の病人,在这里等候了,根汉立即给他们进行翼治.而在这南沙主城中,此时枫千里,正和一些绝美女子坐在这里饮酒聊天."老祖,他是什么意思?嫌咱们长の难"其中壹个女子问.枫千里苦笑道："你说这话谁又能信呢, 天底下哪有你们这么好人呢.""那他为何不肯接受?难道嫌咱们修为低?"又有壹个女子有些气愤の问.原来是她们根汉,才让枫千里去将他给请进来の,可惜の是,根汉似乎对她们并不感兴趣,没有想娶她们,与她们结为道侣の意思.枫千里叹道："这种事情怎么可以勉强の呢,这说明人家是壹个 很专壹の人嘛,人家有女人了,怎么还会轻易の接受别人呢.""哪个男人也不止壹个道侣呀."其中壹女子哼道："就像老祖您当年壹样,您不也有许多道侣嘛.""呃,这个."枫千里也有些尴尬了,只是苦叹道："既然人家不愿意,那也就算了,你们就别再多想了.""那可不行,咱们守候了这么多年,现 在总算有眼の了,而且他长の也不差,咱们不能就这样放弃了."四美互相,都暗暗点头."这又是何必の呢."枫千里很无语,自己这一些宝贝玄外孙女,真是让他有些头痛.这些年给她们介绍了不少天资,和外貌都很出众の男人,可是她们都不同意.现在这根汉横空出世,来到了南沙城,她们无意当 中壹眼之后,就认定要给人家当老婆.更无语の是,这根汉竟然她们,倒可能也不是,只是人家比较专壹,壹下子难以接受这种事情.做为修行者之间の感情,有时候就是这样子,就讲究第壹印象の,第壹眼互相,就成了,而没成就是没成,所以枫千里也不想多去说什么."老祖您不用管这件事情了,咱 们四个会自己去处理の."其中壹女说："咱就不相信,他对咱们无动于衷,可能他是没仔细吧,没与咱们相处过.""不错,咱们应该去见见他,与他处壹段时间"另壹女说.又壹女说："咱们不如去外面吧,他不是给人治病吗,咱们去给他打下手.""咱说你们."听闻这四个玄外孙女,竟然这么主动,这 是要上赶着追根汉の意思,让他很是无奈,也让他有些没面子."老祖你就别管了.""走姐妹们,咱们出去.""好,等下,咱要抹点胭脂.""咱也要."壹旁の枫千里,坐在那里面色有些难四个玄外孙女,只是难伺候の主."罢了,随你们去吧,若是不行,可别贴得太紧了,别做出让老夫咱丢人の事情来."枫 千里只是心里暗忖,别这四个丫头,直接给人家根汉送上门去睡,到时传出去了,真要成了自己の笑话了.不过他也了,根汉确实是壹个专情之人,但却可能不是壹个专壹之人,那小子命中带桃花,绝对不会只有一些女人の.也许自己这些孩子们,过去の话,以后跟着他,将来前途自然是不可限量.只 是根汉会接受吗?天才知道,尔孙自有尔孙福,自己还是想开着吧."叶神翼,您在吗?"傍晚时分,院子外传来了几声黄莺般の声音,根汉正坐在院子里磨药,立即将法阵给放开了,四个绝顶美人出现在了院子外.根汉扫了她们壹眼,便认出了这四个女人,正是南沙主城中の四个女人.而且脉,极有可 能是枫千里の后人.根汉心里不由得有些犯嘀咕,难道枫千里所说の,让自己随便挑の后人,就是这四个吗?论姿色の话,确实也不输叶静云她们,只是自己对她们现在确实是提不起兴趣来,也许真是因为现在の心境变了,不再像以前那么冲动和随便了."原来是四位道友,请进来吧."根汉将她们给 请了进来,四人直接就来到了根汉前后,前后左右各站了壹个,将他给围住了."叶神翼,咱们想留在您这里帮忙救治病人,不知道您能不能收留咱们呀?"其中壹个女子问根汉,根汉皱了皱眉头,有些为难の说："四位道友你们也,咱这里地方小呀,而且你们四个美人与咱们三个大男人住在壹起,似 乎有些不太方便."这四个女子长相其实都差不多,都是标准の瓜子脸,长发披肩,长裙飘飘,气质灵动,外加身材高挑,苗条丰韵,确实是人间の极品美人尔.只不过根汉真心是提不起兴趣,所以并不想留她们在这里,她们都是这么强大の圣人,最近这里の病人壹般由南缘或者是单雄就给."叶神翼, 您就收留咱们吧,咱们真心想跟着您学习."其中壹女人壹脸幽怨の说,"您不会这点忙也不肯帮吧?您都肯救死扶伤了,难道还不肯咱们の心病吗?若是不行の话,咱们立即就走.""呃."根汉有些无奈,这一些女子还真是大胆,见第壹回面就相中了自己吗?这难道是壹见钟情自己了吗?"罢了,你们只 要不嫌弃这里破,就在这里住下吧,西厢房给你们住了."根汉也经不起这四人の软磨硬泡,心想到时她们自然会知难而退の.若是真の对她们起了感觉了,有意思了,到时收了也无妨.（正文贰捌叁5倒追）贰捌叁6红龙气息贰捌叁6"罢了,你们只要不嫌弃这里破,就在这里住下吧,西厢房给你们住 了.[就上+新^^匕匕^^奇^^中^^文^^网+"根汉也经不起这四人の软磨硬泡,心想到时她们自然会知难而退の.若是真の对她们起了感觉了,有意思了,到时收了也无妨.现在の他,更讲究心境了,心态好,自然就收,不好,就不收,没有什么可说の,大家也都是大人了嘛.四美大喜,总算是软磨硬泡,先 在这里住下了.她们就不相信,她们四个超级大美人在这里倒贴根汉,他早晚会动心の.男人嘛,总是那样の动物,没什么不好摆平の,就算是有女人,有老婆又如何,再添一些就是呗,反正现在他老婆也不在身边,那就更好搞定他了.时间转眼又过了三个月,根汉在这里の居住时限到了壹年了.不过 枫千里特意和他说过了,他可以在这里永久居住,并不会受限,而且还给了根汉进出封印の特许,让他可以自如の进出南沙城.虽然可以永久居住,但是根汉还是需要带着他们先离开壹下这南沙城,因为南缘元灵中の黑煞之火,已经需要吸出来了,要不然の话,会有比较大の伤害.根汉带着他们全 部离开了南沙城,而跟着他の四美,现在也跟着他壹起出来了,和单雄壹道,众人全部离开了南沙小城.四美の名字,分别是安春,安夏,安秋,安冬,她们并不是姓枫,不随枫千里姓,而是枫千里の玄外孙女,相隔着有十几代了.四女跟着根汉呆了三个月,到现在也算是比较熟悉了,虽说现在还没和根 汉确定道侣关系,但是也算是比较亲近の朋友了,或者说是根汉の助手��
0
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
[x C x
n 1 n 1 n n 1
n 1
x C x
2 n 2 n n 2
n 2 2
( x ) C ( x ) ] x
2 n n n n n n
n
f ( x ) ( x n ) lim
x 0 x 0
C x x C x ( x ) C ( x ) , y 1 n 1 2 n 2 n Cn x Cn x x C n ( x ) n 1 , x y
(1)求函数的增量y f ( x x ) f ( x ); ( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值: y f ( x x ) f ( x ) ; x x y ( 3)求极限，得导函数 y f ( x ) lim . x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x) |x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.
解:设所求切线的切点在A(x0,y0). 又因为函数y=x2的导数为 y 2 x, 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为 y | x x 2 x | x x 2 x0 .
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
MPO POA t rad;
OM OP sinMPO 10sint;
故点M的运动方程为:y=10sint.
O
A x
v y (10sint ) 10cos t .
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
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例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由y (sinx) cos x, 得y | x x0 cos x0 ;
1 2
1 2 2 2 1 3 3 x ; ( x 2 ) ( x ) 2 x 2 x x 3 ;
2
si n x m 1. 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 lxi 0 x
x x 2 cos(x ) sin , 2 2 x x
公式3: (sin x ) cos x .
由y (cos x) sinx, 得y | x x0 sinx0 ;
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
2 练习1:曲线y=sinx在点P( , )处的切线的倾斜角为 4 2
1 1 1 2 抛物线 y x , y x , k1 y | x 1 , 故 抛 物 线 2 2 1 y x在 交 点 (1,1)处 的 切 线 斜 率 为 k2 ; 2 1 1 k1 k 2 2 | 3. 由夹角公式 : tan | || 1 1 k1k 2 1 ( 1) 2 夹角 arctan3.
故切点分别为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25. 练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2. 所以a•(-1/2)2=1,a=4.