磁场习题课2
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2d
因此穿过线圈的磁通量为
2d 0 Id 3 0 Id 0 Id ln d dx dx 2π 4 2 π( x d ) 2πx d d
d 0 d 4 dI ln . 再由法拉第电磁感应定律可得 dt 2π 3 dt
3
[解]2:当两长直导线有电流I通过时,穿过线圈的磁通量为 0 Id 3 ln 2π 4
m gRsin B 2l 2 cos2 t )] 即 v 2 2 2 [1 exp( B l cos mR
vห้องสมุดไป่ตู้
t
由上式可知,当t增大时,也按指 数规律随之增大,当t→∞时
mgR sin v vm 2 2 B l cos 2
此即为导体棒下滑的稳定速 度,也是导体棒能够达到的最 大速度,其v－t图线如图所示.
在忽略端部效应时,该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存 在于螺线管中,并为均匀磁场,故磁能密度为 W
1 2 N 2 0 S 2 5 Wm LI 3 . 28 10 J 2 2 2lR
对于均匀磁场来说,磁能密度处处相等.
wm
m
Sl
4.17 J m 3
7
(2)自感为L,电阻为R的线圈接到电 动势为 的电源上,其电流变化规律: I (t )
π 2 r 2 fB Im . R
2
3.有两根相距为d的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相 反的电流,且电流均以dI/dt的变化率增长.若有一边长为d的正方形 线圈与两导线处于同一平面内,如图所示,求线圈中的感应电动势. [解]1:穿过面元 dS的磁通量为
d B dS B1 dS B2 dS 0 I 0 I ddx ddx 2π( x d ) 2πx
dv mg sin FA cos ma m dt 将FA代入并令k=(lBcos)2/mR,可得 dv g sin kv
dt
5
dv 分离变量并 1 g sin kv d t 可得 ln t 两边积分 g sin kv 0 0 k g sin 由此得导体在 v sin [1 exp( kt )] k t时刻的速度
当电流稳定后,其最大值: 按题意
Im
R [1 exp( t )] R L
1 2 11 2 LI LI m 2 22
I 2 2 R
R
则
将其代入I(t)的公式可得时间为
L L 2 ln 2 2 1.5610 4 s t ln1 R R 2
2.如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆.使这 根半圆形导线在磁感强度为B的匀强磁场中以频率f 旋 转,整个电路的电阻为R,求感应电流的表达式和最大值. [解]由于磁场是均匀的,故任 意时刻穿过回路的磁通量为 Φ(t)=Φ0+BScosθ
其中Φ0等于常量,S为半圆面积, θ=φ0+ωt=φ0+2πωt 1 2 (t ) 0 πr B cos( 2πft 0 ) 2 d π 2 r 2 fB sin( 2πft 0 ) 根据法拉第电磁感应定律,有 dt π 2 r 2 fB 因此回路中的感应电流为 I (t ) sin(2πft 0 ) R R 则感应电流的最大值为
1.如图所示,在磁感应强度B=7.610-4T的均匀磁场中,放置一个线 圈.此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成,磁感强 度的方向与两半圆平面的夹角分别为600和300.若在4.510-3s的 时间内磁场突然减至零,试问在此线圈内的感应电动势为多少? [解]当磁感应强度没有变化 之前,通过线圈的电通量为 Φ=B· S1+B· S2=BScosθ1 +BScosθ2 其中1=600和 2=300,分别为两半圆形平 面法线与B之间的夹角,S为半圆的面积. 从上向下看,回路方向是顺时针的. 根据法拉第电磁感应定律得电动势 d ΔB (cos 1 cos 2 ) S dt Δt 由于磁场减小,所以 0 - 7.610-4 (3.7 102 ) 2 θ2 ( )(cos 60 cos 30 ) π θ 1 4.510-3 2 =4.9610-4V ε>0说明感应电动势方 1 向与回路正向一致.
线圈与两长直导线间的互感为 d 3 M 0 ln I 2π 4
当电流以dI/dt变化时,线圈中的互感电动势为
dI 0 d 4 dI M ln . dt 2π 3 dt
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4.如图所示,一长为l,质量为m的导体棒CD,其电阻为R,沿两条 平行的导电轨道无摩擦地滑下,轨道的电阻可忽略不计,轨道 与导体构成一闭合回路.轨道所在的平面与水平面成角,整个 装置放在均匀磁场中,磁感强度B的方向为竖直向上.求:(1)导 体在下滑时速度随时间的变化规律;(2)导体棒CD的最大速度 Vm[ .解]如图所示导体棒在下滑过 程中除受重力P和导轨支持力FN 外,还受到一个与下滑速度有关 的安培力FA,阻碍导体棒下滑. 根据安培定律,该力的大小为 (lB) 2 FA IlB lB v cos R R 导体棒沿轨道方向的动力学方程为
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5.一个直径为0.01m,长为0.10m的长直密绕螺线管,共1000匝 线圈,总电阻为7.76Ω.求:(1)如把线圈接到电动势=2.0V的电 池上,电流稳定后,线圈中所储存的磁能有多少?磁能密度是 多少?(2)从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存 磁能的一半,需经过多少时间? [解](1)密绕长直螺线管在 N 2 0 S L 忽略端部效应时,其自感 l 电流稳定后,线圈中电流I=/R,则线圈中所储存的磁能为
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6.长直导线与矩形单匝线圈共面放置,导线与线圈的长边平行, 矩形线圈的边长分别为a和b,它到直导线的距离为c(如图),当 矩形线圈中通有电流I=I0sinωt时,求直导线中的感应电动势. [ 解 ] 如果在直导线中通以稳恒电流 I, 在距离 为r处产生的磁感应强度大小为B=μ0I/2πr. 在矩形线圈中取一面积元 a dS=bdr,通过线圈的磁通量为
因此穿过线圈的磁通量为
2d 0 Id 3 0 Id 0 Id ln d dx dx 2π 4 2 π( x d ) 2πx d d
d 0 d 4 dI ln . 再由法拉第电磁感应定律可得 dt 2π 3 dt
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[解]2:当两长直导线有电流I通过时,穿过线圈的磁通量为 0 Id 3 ln 2π 4
m gRsin B 2l 2 cos2 t )] 即 v 2 2 2 [1 exp( B l cos mR
vห้องสมุดไป่ตู้
t
由上式可知,当t增大时,也按指 数规律随之增大,当t→∞时
mgR sin v vm 2 2 B l cos 2
此即为导体棒下滑的稳定速 度,也是导体棒能够达到的最 大速度,其v－t图线如图所示.
在忽略端部效应时,该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存 在于螺线管中,并为均匀磁场,故磁能密度为 W
1 2 N 2 0 S 2 5 Wm LI 3 . 28 10 J 2 2 2lR
对于均匀磁场来说,磁能密度处处相等.
wm
m
Sl
4.17 J m 3
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(2)自感为L,电阻为R的线圈接到电 动势为 的电源上,其电流变化规律: I (t )
π 2 r 2 fB Im . R
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3.有两根相距为d的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相 反的电流,且电流均以dI/dt的变化率增长.若有一边长为d的正方形 线圈与两导线处于同一平面内,如图所示,求线圈中的感应电动势. [解]1:穿过面元 dS的磁通量为
d B dS B1 dS B2 dS 0 I 0 I ddx ddx 2π( x d ) 2πx
dv mg sin FA cos ma m dt 将FA代入并令k=(lBcos)2/mR,可得 dv g sin kv
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dv 分离变量并 1 g sin kv d t 可得 ln t 两边积分 g sin kv 0 0 k g sin 由此得导体在 v sin [1 exp( kt )] k t时刻的速度
当电流稳定后,其最大值: 按题意
Im
R [1 exp( t )] R L
1 2 11 2 LI LI m 2 22
I 2 2 R
R
则
将其代入I(t)的公式可得时间为
L L 2 ln 2 2 1.5610 4 s t ln1 R R 2
2.如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆.使这 根半圆形导线在磁感强度为B的匀强磁场中以频率f 旋 转,整个电路的电阻为R,求感应电流的表达式和最大值. [解]由于磁场是均匀的,故任 意时刻穿过回路的磁通量为 Φ(t)=Φ0+BScosθ
其中Φ0等于常量,S为半圆面积, θ=φ0+ωt=φ0+2πωt 1 2 (t ) 0 πr B cos( 2πft 0 ) 2 d π 2 r 2 fB sin( 2πft 0 ) 根据法拉第电磁感应定律,有 dt π 2 r 2 fB 因此回路中的感应电流为 I (t ) sin(2πft 0 ) R R 则感应电流的最大值为
1.如图所示,在磁感应强度B=7.610-4T的均匀磁场中,放置一个线 圈.此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成,磁感强 度的方向与两半圆平面的夹角分别为600和300.若在4.510-3s的 时间内磁场突然减至零,试问在此线圈内的感应电动势为多少? [解]当磁感应强度没有变化 之前,通过线圈的电通量为 Φ=B· S1+B· S2=BScosθ1 +BScosθ2 其中1=600和 2=300,分别为两半圆形平 面法线与B之间的夹角,S为半圆的面积. 从上向下看,回路方向是顺时针的. 根据法拉第电磁感应定律得电动势 d ΔB (cos 1 cos 2 ) S dt Δt 由于磁场减小,所以 0 - 7.610-4 (3.7 102 ) 2 θ2 ( )(cos 60 cos 30 ) π θ 1 4.510-3 2 =4.9610-4V ε>0说明感应电动势方 1 向与回路正向一致.
线圈与两长直导线间的互感为 d 3 M 0 ln I 2π 4
当电流以dI/dt变化时,线圈中的互感电动势为
dI 0 d 4 dI M ln . dt 2π 3 dt
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4.如图所示,一长为l,质量为m的导体棒CD,其电阻为R,沿两条 平行的导电轨道无摩擦地滑下,轨道的电阻可忽略不计,轨道 与导体构成一闭合回路.轨道所在的平面与水平面成角,整个 装置放在均匀磁场中,磁感强度B的方向为竖直向上.求:(1)导 体在下滑时速度随时间的变化规律;(2)导体棒CD的最大速度 Vm[ .解]如图所示导体棒在下滑过 程中除受重力P和导轨支持力FN 外,还受到一个与下滑速度有关 的安培力FA,阻碍导体棒下滑. 根据安培定律,该力的大小为 (lB) 2 FA IlB lB v cos R R 导体棒沿轨道方向的动力学方程为
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5.一个直径为0.01m,长为0.10m的长直密绕螺线管,共1000匝 线圈,总电阻为7.76Ω.求:(1)如把线圈接到电动势=2.0V的电 池上,电流稳定后,线圈中所储存的磁能有多少?磁能密度是 多少?(2)从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存 磁能的一半,需经过多少时间? [解](1)密绕长直螺线管在 N 2 0 S L 忽略端部效应时,其自感 l 电流稳定后,线圈中电流I=/R,则线圈中所储存的磁能为
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6.长直导线与矩形单匝线圈共面放置,导线与线圈的长边平行, 矩形线圈的边长分别为a和b,它到直导线的距离为c(如图),当 矩形线圈中通有电流I=I0sinωt时,求直导线中的感应电动势. [ 解 ] 如果在直导线中通以稳恒电流 I, 在距离 为r处产生的磁感应强度大小为B=μ0I/2πr. 在矩形线圈中取一面积元 a dS=bdr,通过线圈的磁通量为