专题天体运动的三大难点破解剖析宇宙中的双星三星模型讲义
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高中物理剖析宇宙中的双星、三星模型
考点课程目标备注
双星、
三星模型
1. 掌握双星、三星模型的向心力
来源；
2. 会根据万有引力定律求解双
星、三星模型的周期，线速度等
物理量；
3. 掌握两种模型的特点。
双星问题是万有引力定律在天文学
上的应用的一个重要内容，主要考
查转动星体向心力来源及参数之间
的关系，高考重点，属于高频考点
中等难度，命题形式选择题居多。
二、重难点提示：
重点：1.根据万有引力定律求解双星、三星模型的周期，线速度等物理量；
2. 双星、三星两种模型的特点。
难点：双星、三星模型的向心力来源。
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
（1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供
即
2
2
1
L
m
Gm
＝m1ω21r1，
2
2
1
L
m
Gm
＝m2ω22r2；
（2）两颗星的周期及角速度都相同
即T1＝T2，ω1＝ω2；（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为
r1＋r2＝L；
（4）两颗星到圆心的距离r1、r2
与星体质量成反比
即
1
2
2
1
r
r
m
m
=；
（5）双星的运动周期
T＝2π
)
(
2
1
3
m
m
G
L
+
；
（6）双星的总质量公式
m1＋m2＝
G
T
L
2
3
2
4π
。
二、三星模型
第一种情况：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行。
特点：1. 周期相同；
2. 三星质量相同；
3. 三星间距相等；
4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。
原理：A、C对B的引力充当向心力，即：，
Gm
R
T
5
4
3
π
=，同理可得线速度：
R
GmR
2
5
。
第二种情况：
特点：1. 运行周期相同；
2. 半径相同；
3. 质量相同；
4. 所需向心力相等。
原理：B、C对A
r
T
m
R
Gm
F
2
2
2
24
30
cos
2
π
=
=︒
合
，其中R
r
3
3
=，
可得：运行周期Gm
R
R
T 32π=。
例题1 如图，质量分别为m 和M 的两颗星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。
（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位有效数字）
思路分析：（1）A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有
R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L M m m R +=
，L M m M
r +=。
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M M
T m L GMm +=22
)2(π， 化简得：)
(23
m M G L T +=π。
（2）将地月看成双星，由⑴得)
(23
1m M G L T +=π。
律得
L T m L
GMm 2
2
)2(π=。 化简得：GM
L T 3
22π=。
所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(24
22
24212=⨯⨯+⨯=+=
M M m T T 答案：（1）)
(23
m M G L T +=π （2）1.01
例题2 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通
常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m 。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少? 思路分析：（1）对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律F 1=22R Gm ，2
2
2)
2(R Gm F =，F 1+F 2=mv 2/R 运动星体的线速度:v =R
GmR
25； 周期为T ，则有T=
v
R
π2， T=4πGm
R 53
。
（2）设第二种形式星体之间的距离为r ，则三个星体做圆周运动的半径为R′=
︒
30cos 2
/r 。
由力的合
成和牛顿运动定律有：F 合=22
2r
Gm cos30°，
F 合=m 22
π4T
R′，
所以r=31
)5
12
(R 。
答案：（1）R GmR 25 Gm
R 5π43
（2）R 31
)5
12
(
【知识脉络】 一、