经济数学基础线性代数之第1章行列式

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

第一单元 行列式的定义

一、学习目标

通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．

二、内容讲解

行列式 行列式的概念

什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。

即215

3-

有几个概念要清楚，即

上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用

ij

a 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，

512=a ，121-=a ，222=a ．

再看一个算式

754

2

3

011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为

–1，2，-7；元素423=a ，531=a

又如010

03

21403011

320---，是一个四阶行列式．

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

而11a

()07421111

111--

=-=+M A

代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．

()

4301132

2

332-

=-=+M A 问题思考：元素

ij a 的代数余子式

ij

A 是如何定义的？ 代数余子式

ij

A 由符号因

子j

i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ij

j

i ij

M A +-=1

三、例题讲解

例题1：计算三阶行列式5

4

2

303

241---=D

分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．

解：

()()()523314543011211

1---⋅-+--⋅=++D ()4203

1231--⋅++

7212

294121=⋅+⋅+⋅=

四、课堂练习

计算行列式

h g f e d c b

a D 0000000

04=

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

五、课后作业

1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A

（1）

2

10

8

340

2

1-- （2）

340

51

22010141321---

2．计算下列行列式

（1）622141531-- （2）6012053124200101

---

3．设

0001541301021201

4=

D

（1）由定义计算4D ；

（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开；

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

（3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开； （4）按第四行展开．

第二单元 行列式的性质

一、学习目标

通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．

二、内容讲解 行列式的性质

比较容易了．

行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：

把行列式D 中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为T

D ．

如9

87654321=D ,9

638

52741T =D

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1．行列式的行、列交换，其值不变．如2

6

4536

54

3-==

这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．

2．行列式的两行交换，其值变号．如2436

56543-=-= 3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如d c b

a d

c b a 3

33= 注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到

另一行上

2113-- 5051

3-=

注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换． 问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关式n C ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =

n n D 1)1(-- 问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何三、例题讲解

例1计算行列式d c b a 6

7

508

1004000

--.

分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．

À+2Á

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解：d c b a 6

7

50810

040

00--=d c b a 670

800-=d c ab

60=abcd

我们将行列式中由左上角至右下角的对角线， 称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式． 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积． 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．

例2 计算行列式49778642

67984321----

分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．

解：4977864267984321---- 49770

00067984321----= 0

例3 计算行列式221

11

32011342211---- 分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．