二次函数与反比例函数典型 习题
《二次函数和反比例函数》常考题集(20)
第20章《二次函数和反比例函数》常考题集（20）20.5 二次函数的一些应用解答题181．（2004•河北）如图1是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表关于x的函数图象；x的二次函数的表达式：；（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？182．（2009•孝感校级模拟）宏达纺织品有限公司准备投资开发A、B两种新产品，通过市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y A=kx；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：y B=ax2+bx．根据公司信息部的报告，y A，y B（万元）与投资（1）填空：y A= ；y B= ；（2）如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为w（万元），试写出w与某种产品的投资金额x之间的函数关系式；（3）请你设计一个在（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元．183．（2000•甘肃）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？184．（2010•双塔区模拟）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）是销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？185．（2010•成都一模）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．186．（2000•河北）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（将运动员看成一点）在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点O的抛物线（图中标出的数据为已知数据）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面米，入水处距池边4米．同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．（1）求这条抛物线的关系式；（2）某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．187．（1999•南京）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．188．（2010•东营模拟）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式；（3）当销售单价定为每千克多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？189．（2013秋•七里河区校级期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C 点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．190．（2011秋•苏州期末）某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚．平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27 000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000．每公顷大棚的年平均经济收益为75 000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60 000元．（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚？（2）若要使收益达到最大，请问应修建多少公顷大棚？并说明理由．191．（2013•成都模拟）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．192．（2004•安徽）某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．（1）求y的解析式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？193．（2015春•石家庄校级期中）如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．（1）求y与x的函数表达式；（2）求当边长增加多少时，面积增加8cm2．194．（2012秋•大丰市期末）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？195．（2004•黄冈）心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t（分钟）的变化规律有如下关系式：y=（y值越大表示接受能力越强）（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中；（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中能持续多少分钟；（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？196．（2002•兰州）如图这是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在地面有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰视角为α、β，OA=2米，tanα=，tanβ=，位于点O正上方2米处的D点发射装置，可以向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中E点）．（1）求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；（2）说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标C．197．（2007•余姚市校级模拟）在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为x（m），花园的面积为y（m2）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？198．2009年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出A型农用车，其成本价为每辆2万元，出厂价为每辆2.4万元，年销售价为10000辆，2010年为了支援西部大开发的生态农业建设，该厂抓住机遇，发展企业，全面提高A型农用车的科技含量，每辆农用车的成本价增长率为x，出厂价增长率为0.75x，预测年销售增长率为0.6x．（年利润=（出厂价﹣成本价）×年销售量）（1）求2010年度该厂销售A型农用车的年利润y（万元）与x之间的函数关系．（2）该厂要是2010年度销售A型农用车的年利润达到4028万元，该年度A型农用车的年销售量应该是多少辆？199．（2014•武汉模拟）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C 点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．200．（2012•深圳模拟）某通信器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系，其中整数k使式子有意义．经测算，销售单价60元时，年销售量为50000件．（1）求出这个函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额﹣年销售产品总进价﹣年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？201．（2003•上海）嘉兴月河桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1：1000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示河流宽度，DE∥AB，如图（1）在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求河流宽度（备用数据：，计算结果精确到1米）．202．（2010•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x 轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．203．（2009•锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．204．（2010•丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（﹣8，0），点N的坐标为（﹣6，﹣4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AD=m，且E，F，D分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFD的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFD是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．205．（2010•本溪）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3．（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；（2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（﹣5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q 移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．206．（2009•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．207．（2010•安顺）如图，抛物线y=x2+3与x轴交于点A，点B，与直线y=x+b相交于点B，点C，直线y=x+b与y轴交于点E．（1）写出直线BC的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？208．（2009•株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x 轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ 并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．209．（2009•枣庄）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．210．（2009•益阳）阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C 时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．第20章《二次函数和反比例函数》常考题集（20）：20.5二次函数的一些应用参考答案解答题181．182．183．184．185．186．187．188．189．190．191．192．193．194．195．196．197．198．199．200．201．202．203．204．205．206．207．208．209．210．。
反比例函数与二次函数
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龙文教育·教务管理部
中小学 1 对 1 课外辅导专家 A． N 处 B． P 处 C． Q 处 D． M 处
例 11、我们把分子为 1 的分数叫做理想分数，如 不同理想分数的和，如 果理想分数
1 n
1 2
， ，
3
1
1 4
，„，任何一个理想分数都可以写成两个
1 2
1 3
1 6
；
3
1
1 4
M
（填 a， b， c 的大小关系）． ”证
2 x
y 2， x 2 y， x y m in 2 x y 2， x 2 y， x y ，则 x y 2 2
2
．
（3）在同一直角坐标系中作出函数 y x 1 ， y ( x 1) ， y 2 x 的图象（不需列表描点） ．通过观察图象，填
2 2 2
联，并说明理由。 (2)抛物线 C 1 : y
1 8 ( x 1) 2 ，动点
2
P 的坐标为（t，2） ，将抛物线绕点 P（t，2）旋转 180 得到抛物线 C 2 ，若
抛物线 C 1 与 C 2 关联，求抛物线 C 2 的解析式。
(3)A 为抛物线 C 1 : y
1 8
③
D
②
C （第 10 题）
3、对于三个数 a， b， c ，用 M a， b， c 表示这三个数的平均数，用 m in a， b， c 表示这三个数中最小的
23 1，， 1 2 3 3 4 3
数．例如： 解决下列问题：
M
23 ； m in 1，， 1 ；
例 5、如图，抛物线 y=ax2 与反比例函数 y 则关于 x 的不等式 a x 2
2022-2023学年沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数》期末综合复习题(附答案)
2022-2023学年沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数》期末综合复习题（附答案）一、选择题1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x2﹣3B．y＝ax2C．y＝2（x+3）2﹣2x2D．2．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）3．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）A．0或2B．0C．2D．无法确定4．函数y＝2x2﹣3x+4经过的象限是（）A．一，二，三象限B．一，二象限C．三，四象限D．一，二，四象限5．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣46．如图，正△AOB顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点B的坐标为（）A．（2，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1C．1D．28．函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．9．如图△OAP，△ABQ均是等腰直角三角形，点P，Q在函数y＝（x＞0）的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（3，0）D．（，0）10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题11．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上的图象上，顶点B在反比例函数y＝的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是．13．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．14．二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m﹣2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为．三、解答题15．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．16．抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6．（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？（3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．17．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？18．已知：函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x ＝3时，y＝5．求y关于x的函数关系式．19．关于x的函数y＝（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．20．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接AC，P A，PC，若S△P AC＝，求点P的坐标．21．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y1＝k1x+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与x轴的交点的坐标及△AOB的面积；（3）当x取何值时，y1＝y2；当x取何值时，y1＞y2．22．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）23．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．参考答案一、选择题1．解：A、y＝2x2﹣3，是二次函数，故此选项符合题意；B、当a＝0时，y＝ax2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、y＝2（x+3）2﹣2x2，是一次函数，故此选项不符合题意；D、y＝+2，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：A．2．解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选：B．3．解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，∴m＝0或m＝2，∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．故选：C．4．解：∵y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），∴y＝2x2﹣3x+4的顶点坐标为（，），而a＝2＞0，所以抛物线过第一，二象限．故选：B．5．解：因为图象在第二象限，所以k＜0，根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|＝2×2＝4，所以k＝﹣4．故选：D．6．解：如图，过点A作AC⊥y轴于C，∵△OAB是正三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°，∴设AC＝a，则OC＝a，∴点A的坐标是（a，a），把这点代入反比例函数的解析式就得到a＝，∴a＝±1，∵x＞0，∴a＝1，则OA＝2，∴OB＝2，则点B的坐标为（2，0）．故选：A．7．解：因为对称轴是直线x＝1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝0．故选：A．8．解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x＝﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．9．解：∵△OAP是等腰直角三角形∴P A＝OA∴设P点的坐标是（a，a）把（a，a）代入解析式得到a＝2∴P的坐标是（2，2）则OA＝2∵△ABQ是等腰直角三角形∴BQ＝AB∴设Q的纵坐标是b∴横坐标是b+2把Q的坐标代入解析式y＝∴b＝∴b＝﹣1b+2＝﹣1+2＝+1∴点B的坐标为（+1，0）．故选：B．10．解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH＝EJ＝x，∴y＝EJ•GH＝x2．当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y＝FJ•GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．二、填空题11．解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：y＝x2﹣（b﹣2）x+3b＝（x﹣）2+3b﹣（）2，顶点坐标为（，3b﹣（）2），∵顶点在y轴上，∴＝0，∴b＝2．12．解：延长BA交y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，则四边形ODBE是矩形，∠ADO＝∠CEB＝90°，∴S△ADO＝＝，S矩形ODBE＝|5|＝5，∵AB∥OC，OA∥BC，∴∠DAO＝∠DBC＝∠ECB，又∵AO＝BC，∴△DAO≌△ECB（AAS），∴S△ADO＝S△ECB＝，∴S▱ABCO＝S矩形ODBE﹣S△ADO﹣S△ECB＝5﹣﹣＝．故答案为：．13．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是2≤y＜11，当y＝t时，t＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣t＝0，∵关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，∴t的取值范围是2≤t＜11，故答案为：2≤t＜11．14．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该函数的对称轴是直线x＝1，∵当m﹣2≤x≤m时函数有最大值5，∴当m＝2时，m﹣2，m距离对称轴的距离相等，即当m＝2时取得最大值，此时y＝（2﹣1）2﹣4＝﹣3≠5；当m＞2时，在x＝m处取得最大值，即m2﹣2m﹣3＝5，解得m＝4或m＝﹣2（舍去）；当m＜2时，在x＝m﹣2处取得最大值，即（m﹣2）2﹣2（m﹣2）﹣3＝5，解得m＝0或m＝6（舍去）；由上可得，m的值可能是0或4，故答案为：0或4．三、解答题15．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把（﹣2，﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4＝﹣5，解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．16．解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2；（2）∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小；（3）令y＝0，即﹣2x2+8x﹣6＝0，解得x＝1或3，抛物线开口向下，∴当x＝1或x＝3时，y＝0；当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0．17．解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm．则y＝x（10﹣x）化简可得y＝﹣x2+10x（2）y＝10x﹣x2＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+25，所以当x＝5时，矩形的面积最大，最大为25cm2．18．解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例，∴设y1＝k1x，y2＝，∴y＝k1x+，∵x＝1时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝5．∴，解得：，∴y关于x的函数关系式为：y＝2x﹣．19．解：①当m2﹣1＝0，且2m+2≠0，即m＝1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则△＝（2m+2）2﹣8（m2﹣1）＝0，解得m＝3，m＝﹣1（舍去）．综上所述，m的值是1或3．20．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴该二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣4．（2）如图，连接OP，设P（m，m2﹣m﹣4），由题意可知：A（﹣2，0）、C（0，﹣4）；∵S△P AC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，∴×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4）＝；整理得：m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍弃），∴P（3，﹣）．21．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数的图象上，∴k2＝﹣8．∴反比例函数的解析式为y2＝﹣．∵点A（﹣4，n）在y2＝﹣上，∴n＝2．∴A（﹣4，2）．∵y1＝k1x+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解得．∴一次函数的解析式为y1＝﹣x﹣2．（2）∴C是直线AB与x轴的交点，∴当y＝0时，x＝﹣2．∴点C（﹣2，0）．∴OC＝2．∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝×2×4+×2×2＝6．（3）由图象，得，当x＝﹣4或x＝2时，y1＝y2；当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．22．解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6≈8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．23．解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1，∴直线为y＝x+1，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，解得a＝﹣1，b＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），∵顶点仍在直线y＝x+1上，∴+q＝+1，∴q＝﹣++1，∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．（3）另解∵平移抛物线y＝﹣x2+2x+1，其顶点仍在直线为y＝x+1上，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+h+1，∴y＝﹣x2+2hx﹣h2+h+1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c，则c＝﹣h2+h+1＝﹣（h﹣）2+∴当h＝时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．。
二次函数与反比例函数总复习
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2
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一、同一坐标系中两种函数图象分布情况的识别
【例 1】 函数 y=ax+b 和 y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大 致是( )
解析:用排除法确定选项.选项 A,由直线看出,a<0,由抛物线看出 a>0, 矛盾,所以 A 错误;选项 B,由直线看出,a>0,b>0,此时,- <0,但图中抛物线 的顶点在 y 轴右侧,矛盾,所以 B 错误;选项 C,由直线看出,a>0,b<0,此时,������ >0,抛物线应有最小值,顶点在 2������ ������ 2������
.
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∵ a=1>0,∴ 抛物线 y=x2+1 有最小值 1.
1
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解析
答案
13
网络构建 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
专题归纳 11 12
真题集粹 13 14 15
8.(2013 湖北黄石中考)若关于 x 的函数 y=kx2+2x-1 与 x 轴仅有一个公共点, 则实数 k 的值为 .
)
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1 |k| =|k|=3; 2 1 选项 B,根据反比例函数系数 k 的几何意义,阴影部分面积为 2× |k| =|k|=3; 2
选项 A,根据反比例函数系数 k 的几何意义,阴影部分面积为 2× 选项 C,如图,阴影部分的面积为
1 2
S△OME+S 梯形 MEFN-S△ONF= ×1×3+ (1+3)×2- ×3×1=4; 选项 D,根据 M,N 点的坐标以及三角形面积的求法可得, 阴影部分面积为 ×1×[3-(-3)]= ×1×6=3. ∴ 阴影部分面积最大是 4.故选 C.
2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数1
2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数1一、选择题1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（1，2）2．对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧4．二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣25．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣16．如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜07．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）8．已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数9．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小10．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）211．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜012．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．14．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x 2+1与y=的交点的横坐标x 0的取值范围是（ ）A ．0＜x 0＜1B ．1＜x 0＜2C ．2＜x 0＜3D ．﹣1＜x 0＜015．已知二次函数y=a （x ﹣1）2﹣c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．16．下列三个函数：①y=x+1；②；③y=x 2﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 17．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0二、填空题19．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是．20．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．21．二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．22．二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．23．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．24．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序号）①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2（x＞0）；④y=﹣．25．下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣x2+2nx （x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有个．26．二次函数y=x2﹣2x+3图象的顶点坐标为．27．二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．三、解答题28．已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．29．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．30．已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．（1）若b=1，c=3，求n的值；（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x ﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△MAB的形状，并说明理由；（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．8．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P 的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．11．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C （0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P 做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？15．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y 轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB 于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．17．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．18．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．19．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P 为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．20．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C 为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AC的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E 点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？。
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九年级数学二次函数与反比例函数综合测试一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．下列函数关系式中，是二次函数的是（）A．y=x3﹣2x2﹣1 B．y=x2C．D．y=x+12．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=03．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b=0的根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一个正根一个负根D．没有实数根4．如下图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA 与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致为（）A、 B C D5．如图，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°，动点P、Q同时以每秒1cm 的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动，点Q沿BC、CD运动，P点与Q点相遇时停止，设P、Q同时从点B出发x秒时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系的大致图象为（）6．函数（k≠0）的图象如图所示，那么函数y=kx﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知反比例函数y=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数y=﹣ax+a 的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限8．设反比例函数y=﹣（k ≠0）中，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=kx ﹣k 的图象不经过（ ）9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+a 的图象不经过（ ）10．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=bx+c 的图象不经过（ ）二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．关于x 的函数y=（m+1）x 2+（m ﹣1）x+m ，当m=0时，它是 _________ 函数；当m=﹣1时，它是 _________ 函数． 12．当m= _________ 时，函数是二次函数．13．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的部分图象如下图1，若y ＞0，则x 的取值范围是 ______． A ．B ．C ．D ．A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限14．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如下图2所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是____ ．15．如上图3所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是______．三．解答题（共8小题，满分65分）16．已知反比例函数的图象经过点，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标．17．如图，已知A（﹣4，0），B（﹣1，4），将线段AB绕点O，顺时针旋转90°，得到线段A′B′．（1）求直线BB′的解析式；（2）抛物线y1=ax2﹣19cx+16c经过A′，B′两点，求抛物线的解析式并画出它的图象；（3）在（2）的条件下，若直线A′B′的函数解析式为y2=mx+n，观察图象，当y1≥y2时，写出x的取值范围．18．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．19．如图，A、B两点在函数y=m/x（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动．运动时间为t秒；（1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长；（2）写出t的取值范围；（3）用含有t的代数式表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积；（4）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值．21．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？22．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．23．我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种数形结合的思想方法，非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_________ ；（2）在图2中，相距4km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线l）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，分别直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度.（3）已知x+y=6，求+的最小值；此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= _________ ，DB= _________ ；②在AB上取一点P，可设AP= _________ ，BP= _________ ；③+的最小值即为线段_________ 和线段_________ 长度之和的最小值，最小值为_________ ．。
(完整版)九年级数学二次函数和反比例函数测试题
二次函数与其他函数的综合测试题2•在地表以下不太深的地方，温度y (C)与所处的深度x ( k m之间的关系可以近似用关系式y= 35x + 20表示，这个关系式符合的数学模型是( )(A)正比例函数(B)反比例函数.(C)二次函数(D) —次函数则m的取值范围是( )1 1(A n< 0 (B) n>0 (C) m< ( D) m> -2 2k4. 函数y = k x + 1与函数y 在同一坐标系中的大致图象是( )XdLy Ay 组*y(A) (B) (C)( D)y ax2 (a c)x c与一次函数y= a x+ c的大致图像,5.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数)A. (1 , 1)B. (1,- 1)C. (- 1, 1)D. (- 1,- 1)7.函数y=a x+b与y=a x2+bx+c的图象如右图所示，贝U下列选项中正确的是(A . a b>0, c>0B a b<0, c>0C . a b>0, c<0D a b<0, c<0&已知a, b,ac均为正数，且k=b c，在下列四个点3. 若正比例函数y=( 1 - 2m x的图像经过点y i)和点B( X2, y2)，当X!< X2 时y! > y2 ,选择题：(每小题3分，共45分)t为时间)，则函数图象为(正比例函数y kx的图像一定经过的点的坐标是( )1 1A • (I , -)B • (I , 2)C • (I )2 29.如图，在平行四边形ABCDK AC=4, B D=6 P是BD上的任一点，过P作EF// AC与平行四边形的两条边分别交于点E, F.设BPx, EF=y,则能反映y与x之间关系的图象为 .............( )Cl)_ 212 .二次函数y=x-2x+2有A.最大值是1C .最小值是154(A y x,y x 2 ,y一2x54(B y-x ,y x 2 ,y—2x54(C y x,y x 2 ,y2x54(D y x,y x 2 ,y2x11 . 张大伯出去散步，从家走了20分钟,的阅报亭，看了10分钟报纸后, 用了15关系( )10•如图4,函数图象①、②、③的表达式应为(F面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的13 .设A (X1, yj、 B(X2,y2)是反比例函数-图象上的两点，若xX1<X2<0,贝U y1与y2之间的关系是( )A. y2< y1<014 .若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则B. y1 < y2<0 C . y2> D . y1> y2>0y1>0c的值是()A. 9 B C . -9 D . 015 .二次函数y3x 3的图象与x轴交点的个数是( )2(.最大值是.最小值是D . (1,—1)x3•看图，解答下列问题.A . 0个B . 1个 C. 2个 D.不能确定二、填空题：(每小题3分，共30分) 1•完成下列配方过程：2 2x 2 px 1 = x 2px ________________ __________2•写出一个反比例函数的解析式, 使它的图像不经过第一、第三象限:2上的一点，F D 丄x 轴于点0则厶F OD 的面积为x无交点. 7•某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价 要赢利1200元，则每件衬衫应降价____________________________________________ ,&某学生在体育测试时推铅球，铅球所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为 (0, 2),铅球路线最高处为 B (6, 5),则该学生将铅球推出的距离是29.二次函数y ax bx c(a 0)的图像与x 轴交点横坐标为一2, b ,图像与y 轴交点到圆点距离为3, 则该二次函数的解析式为k10.如图，直线y kx 2(k 0)与双曲线y 在第一象限内的交点xR 与x 轴、y 轴的交点分别为 P 、Q 过R 作RMLx 轴，M 为垂足, 若厶OPQf APRM 勺面积相等，则k 的值等于 _______________________ .三、解答题：(1-3题，每题7分，计21分；4 — 6题每题8分，计 24分；本题共45分)1已知二次函数 y x 2 bx c 的图像经过 A (0, 1) , B (2, - 1)两点. (1) 求b 和c 的值；(2) 试判断点P (- 1, 2)是否在此函数图像上?82.已知一次函数 y kx k 的图象与反比例函数y 的图象交于点F (4 , n ). x(1 )求n 的值.(2)求一次函数的解析式.4、已知实数 m 满足m 2 m0，当 m =.时，函数y x mm 1x m 1的图象与x 轴3.如图，点 P 是反比例函数5.二次函数 x 2(2m 1)x (m 2 1)有最小值0,则m =6.抛物线yx 2 2x 3向左平移5各单位,再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 20件，每件可 盈利40元.为了扩大销售量，增加盈利， 1元，那么商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天(1)求经过A B、C三点的抛物线解析式;(2 )通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)用平滑曲线连结各点，画出该函数图象.4. 已知函数y=x+bx-1的图象经过点(3, 2)(1)求这个函数的解析式；(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；(3)当x>0时，求使y的x的取值范围.5. 某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律.(1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x (元)之间的函数关系，并写出该函数关系式.(2)门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元.求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)6. 如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状.(1) (2)(1) 一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；(2) 为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后,两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行.求这时木板到地面的距离(供选用数据：V3.36 ~1 .8 ,J3.64 ~1 .9 , v'4.36 ~2.1 )27.已知抛物线y = —x + mx- m^2.(I)若抛物线与x轴的两个交点A B分别在原点的两侧，并且AB= 5，试求m的值;(H)设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M N,并且 △ MNC 勺面积等于27,试求m 的值.四、附加题(每题 10分，共20分)&已知抛物线 y mx (m 5)x 5(m 0)与x 轴交于两点人(为,0)、B(x 2,0)(X i X 2)，与y 轴交于点c,且AE =6.(1 )求抛物线和直线 BC 的解析式. (2)在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线 BC(3) 若e P 过A 、E C 三点，求e P 的半径. (4) 抛物线上是否存在点 M 过点M 作MNx 轴于点N,使 MBN 被直线BC 分成面积比为1 3的两部 分？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.+ y解:⑴依题歆得，14 + 26 + c =-】.詢彳专b = - = L(2)由(1)知二次函数为护-滋+ 1.① 把玄=- 1代人①，得y = l+3+ 1 = 5*2. 儿点P(-l,2)不在此函数图像上”82.解：(1)由题意得：n —，4-一、选择题: 1 . A 2 . D 3 .D 4 .B 5 9 .A 10 . C 11 . D 12 .C 13 .C 14 . -二二 、填空题： 1 P 2 , 1 2 P ， P ， 1 2P .2 25y =3 .142或一15 .x4& 6 + 2 59 . y1 x 2x3或 y4.D 6 .A 7 . D 8 .AA 15 . C6 . y x 2 8x 107 . 10元或20元1 2 x x 310 . 2.241.n 2.参考答案:三、解答2(2)由点P (4, 2)在y kx k 上，2 4k k, k52 2 一次函数的解析式为y ^x -.5 53•解：(1)由图可知A (- 1,—1), B( 0,—2), C( 1, 1)2设所求抛物线的解析式为y= ax + bx+ ca b c1,a2,依题意，得c2,解得b1,2y= 2x + x—2a b c1c2/ 1、2172(2) y= 2x + x —2= 2(x + )—481 17 1 - 顶点坐标为(一一，一),对称轴为x =—-4 8 4(3) 图象略，画出正确图象4. 解：(1)函数y=x2+bx-1的图象经过点(3, 2)2••• 9+3b-1=2，解得b=-2 . 函数解析式为y=x-2x-1(2)y=x2-2x-1=( x-1) 2-2，图象略，图象的顶点坐标为(1, -2 )(3)当x=3时，y=2, 根据图象知，当x>3时，y>2•••当x>0时，使y >2的x的取值范围是x>3.5. 解：(1)由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数y与每件售价x之间的函数关系为：y 600 6x .(2)当y 168 时，168 6x 600,解得：x 72 ;设门市部每天纯利润为z ①当x 72时，y 168z x 40 6006x 4036x 7025280当x70时，Z max5280z x40 6006x 40 2②当x 72时，y 16826x 705320x 70时，y随x的增大而减少x 72 时，z max 6 225320 52965296 5280 当x 72时，纯利润最大为5296元.6.解：(1)如图，建立直角坐标系,2设二次函数解析式为 y = ax + cD (- 0.4 , 0.7 ), B (0.8 , 2.2 ),=28a= ~5， •绳子最低点到地面的距离为c =0.2.(2)分别作 EG! AB 于 G FH! AB 于 H,AG= - (AB- EF )= - (1.6 — 0.4 )= 0.6 . 2 2在 Rt △ AGE 中, AE= 2, EG= £AE 2— AG 2 = W 0.62 = J 3.64 -1 .9 .• 2.2 — 1.9 = 0.3 (米).• 木板到地面的距离约为0.3米.27. 解：(I)设点 A (X 1, 0), B (x 2, 0),则 X 1 , X 2 是方程 x — m 灶 n — 2= 0 的两根.■/ X 1 + X 2 = m , X 1 • X 2 = m — 2 v 0 即 m< 2；(1) (2)又AB=| X1 x2 |= .—4X 1X 25，二 m 2— 4m+3=0解得：m=1或m =3(舍去)，• m 的值为1 .(II )设 Ma , b )，则 N ( — a , — b ).•/ M N 是抛物线上的两点，a 2 ma m 2 b,L ① a 2 ma m 2 b.L ②2①+②得：—2a — 2m+ 4= 0 . •a 2=— m+ 2..••当2时，才存在满足条件中的两点 M N.这时 M N 到y 轴的距离均为J 2 m ,C 坐标为(0 , 2— m ),而 S A M N C = 27 , • 2X - x( 2 — m X 72~=27 .2又点 •••解得 m =— 7 .0.16a + c =0.7, 0.64a + c =2.2.0.2 米.m 5&解：(1)由题意得：x 1 x 2 -------------------, x 1 X 25 ,X 2 mX i 6.2/ 、2 ,“ m 5(% x 2)4%X 2 36,m2036, 解得m 1 1,m 2经检验n =1,A 抛物线的解析式为:x 24x 5. (或：由 mx 2(m 5)x0得,5x ——mQ m> 0, 1 — 6, m1.抛物线的解析式为x 2 4x 5.由x 24x 5 0 得x 15, X 2 1 ••• A (-5 , 0),0), C (0, -5 )•设直线 BC 的解析式为ykx b,5, b 0.•直线 BC 的解析式为y 5x 5. ⑵图象略. (3)解法一：在 RtDAOC 中，QOA OC 5, 又 BC 、OB 2 OC 2 ,26, • e P 的半径 解法二: 由题意，圆心 P 在AB 的中垂线上，即在抛物线 -h ) ( h >0),连结PB P C ,则 PB 2 (1 2)2 h 2, PC 2(5 5, 5.OAC PB45BPC 90 •2x 4x 5的对称轴直线x，设 P (-2 ,由PB 2PC 2，即(1 2)2h 2 P( 2, 2), e P 的半径 PBh)2 22, (5 h)222，解得 h =2.• (1 2)222 13 .解法三：延长CP 交e P 于点F .Q CF 为e P 的直径， 又 ABC AFC , CF CAF DACF ~ AC AC BC COB D OCB. •90 .BCCFOCOC又AC、52 52 5、2, CO5, BC 52 12 26 ,CF e P 的半径为.13.(4)设MN 交直线BC 于点E ,点M 的坐标为(t , t 2 4t 5)，则点E 的坐标为(t ,5t 5)若S D MEB : S DENB1: 3，则ME:EN 1: 3.EN : MN 3:4, t2 4t 5 4(5t 5).3解得t1 1 （不合题意舍去），t25M 5 403 3 9右S DMEB:S DENB3: 1，则ME:EN3:1 .EN : MN 1:4, t2 4t 54(5t5)解得t3 1 （不合题意舍去），t415 , M15,280存在点5M点M的坐标为-,■40十或(15, 280).39。
九年级数学上册试题 第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷 -沪科版(含答案)
第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．1．已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（）A．m＞﹣3B．m＜﹣3C．m≠﹣3D．任意实数2．将抛物线（）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣3）2+1．A．y＝﹣2（x﹣5）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1D．y＝﹣2（x﹣4）2+33．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（）A．2B．6C．﹣2D．04．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．5．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y 1＜y 2＜y 3B．y 3＜y 1＜y 2C．y 2＜y 1＜y 3D．y 3＜y 2＜y 16．函数=−6图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1y 2＝﹣3，则x 2y 1值为（）A．12B．6C．﹣12D．﹣67．如图，Rt 三角形ABC 位于第一象限，AB ＝4，AC ＝2，直角顶点A 在直线y ＝x 上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若函数=(≠0)的图象与△ABC 有交点，则k 的最大值是（）A．5B．498C．12124D．48．如右图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x ＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a ﹣b ＝0；②9a ﹣3b +c ＜0；③若（﹣2，y 1），（12，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，④a ﹣b +c ＝﹣9a ；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的是（）①该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：65＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：214＜m＜11．A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，P是反比例函数y=图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝．12．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是．13．汽车在高速公路刹车后滑行的距离y（米）与行驶的时间x（秒）的函数关系式是y＝﹣3x2+36x，汽车刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是米．14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是米．15．反比例函数y=3和y=1在第一象限的图象如图所示．点A，B分别在y=3和y=1的图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；④方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2＜1，x1＞﹣3，其中正确结论的是．18．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+b与双曲线y2=（k＞0）相交于点A，B两点，已知点A坐标（1，2）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求点B的坐标，并观察图象，写出当y1＜y2时，x的取值范围．20．我们已经学习过反比例函数y=1对函数y=1|U的图象和性质进行探索，并解决下列问题：（1）该函数的图象大致是．（2）关于此函数，下列说法正确的是．（填写序号）①在各个象限内，y随着x增大而减小；②图象为轴对称图形；③函数值始终大于0；④函数图象是中心对称图形．（3）写出不等式1|U−3＞0的解集．21．已知抛物线y＝ax2+bx+1（其中a，b是常数，且a≠0），其自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣2m﹣21n…（1）求这个抛物线的解析式及m、n的值；（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线的图象；（3）如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是．22．若已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，（1）求证：二次函数始终与x轴有2个交点；（2）若a＞0且b＝2a﹣2，①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，求a的取值范围；②当a，n都为正整数时，若在﹣n﹣2≤x≤﹣n﹣1范围内，函数的值有且只有13个整数，求a的值．23．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）24．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：x/元3456y/张20151210（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2）猜想并确定y关于x的函数解析式，并画出函数图象；（3）设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移1个单位长度，得到点B．直线y=34x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A与点D关于x轴对称，①求点B的坐标；②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．答案一、选择题C．A．D．C．C．C．B．B．C．B．二、填空题11．612．0．13．12．14．7．15．1．16．①③④．17．①②③．18．1800．三、解答题19．（1）直线y 1＝x +b 与双曲线y 2=（k ＞0）相交于点A （1，2），∴2＝1+b ，2=1，∴b ＝1，k ＝2，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y =2，y ＝x +1；（2）解方程组=+1=2得=1=2或=−2=−1，则B （﹣2，﹣1），由图象可知，当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，y 1＜y 2．20．（1）∵在函数y =1|U 中，|x |＞0，∴y ＞0，当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小；当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大，∴函数图象在第一、二象限；故答案为：D ；（2）由函数y =1|U 的图象可知此图象具有以下性质：函数的图象在一、二象限，当x ＞0时，y 随x 增大而减小；当x ＜0时，y 随x 增大而增大；函数的图象关于y 对称；故说法正确的是②③，故答案为②③：（3）y ＝3时，即：1|U =3，解得：x ＝±13，根据函数的图象和性质得，不等式1|U −3＞0，即1|U ＞3的解集为：−13＜＜0或0＜＜13，因此：不等式1|U −3＞0的解集为：−13＜＜0或0＜＜13．21．（1）把（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣2），（0，1）代入y ＝ax 2+bx +c ，得：9−3+=−2−+=−2=1，解得：=1=4=1，∴抛物线解析式为y ＝x 2+4x +1，把x ＝﹣2代入得y ＝﹣3，把x ＝1代入得y ＝6，∴m ＝﹣3，n ＝6；（2）描点、连线画出抛物线图象如图：（3）由图象可知，如果直线y ＝k 与该抛物线有交点，那么k 的取值范围是k ≥﹣3．故答案为k ≥﹣3．22．（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过原点但不关于y 轴对称，∴b ≠0，把（0，0）代入y ＝ax 2+bx +c ，得c ＝0，∵Δ＝b 2﹣4ac ＞0，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴始终有2个交点；（2）函数对称轴为x ＝﹣1+1＞−1，抛物线的顶点为：[﹣1+1，−(K1)2]，①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，而函数对称轴为x＝﹣1+1＞−1，则−(K1)2≥−a，∴（2a﹣2）2≤4a2，解得：a≥12；函数不关于y轴对称，则b＝2a﹣2≠0，故a≠1，综上，a≥12且a≠1；②当x＝﹣n﹣2时，y1＝a（n+2）2﹣b（n+2），当x＝﹣n﹣1时，y2＝a（n+1）2﹣b（n+1）△y＝y1﹣y2＝a（2n+1）+2；则△y有13个整数，即a（2n+1）+2＝12，解得：a＝2．23．（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：100=60+80=70+，解得：=−2=220，故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，∵﹣2＜0，函数有最大值，∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．24．（1）对应点如图所示：（2）根据图象猜测y关于x的函数解析式为=(≠0)，∵x＝3时，y＝20，∴3=20，解得k＝60，∴=60，∵把实数对（4，15），（5，12），（6，10）代入=60都符合，∴y关于x的解析式为=60(＞0)，其图象是第一象限内的双曲线的一支，如图2所示．（3）=(−2)⋅60=60−120，∵x≤10，∴当x＝10时，W有最大值，最大日销售利润为60﹣12＝48（元）∴当日销售单价定为10元时，才能获得最大日销售利润．25．（1）抛物线的对称轴为：x=−2=−−22=1；（2）①∵直线y=34x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，﹣3）．∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，∴点A的坐标为（0，3）．∵将点A向右平移1个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（1，3）；②抛物线顶点为P（1，3﹣a）．（ⅰ）当a＞0时，如图1．令x＝4，得y＝16a﹣8a+3＝8a+3＞0，即点C（4，0）总在抛物线上的点E（4，8a+3）的下方．∵yP ＜yB，∴点B（1，3）总在抛物线顶点P的上方，结合函数图象，可知当a＞0时，抛物线与线段CB恰有一个公共点．（ⅱ）当a＜0时，如图2．当抛物线过点C （4，0）时，16a ﹣8a +3＝0，解得a =−38．结合函数图象，可得a ≤−38．综上所述，a 的取值范围是：a ≤−38或a ＞026．（1）令y ＝0，解得x 1＝﹣1或x 2＝3，∴A （﹣1，0）B （3，0），将C 点的横坐标x ＝2代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得y ＝﹣3，∴C （2，﹣3），∴直线AC 的函数解析式是y ＝﹣x ﹣1；（2）设P 点的横坐标为x （﹣1≤x ≤2），则P 、E 的坐标分别为：P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），∵P 点在E 点的上方，PE ＝（﹣x ﹣1）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣x 2+x +2＝﹣（x −12）2+94，∴当x =12时，PE 的最大值=94，则△ACE 的面积的最大值是：12×【2﹣（﹣1）】×94=278；（3）存在4个这样的点F ，分别是F 1（1，0），F 2（﹣3，0），F 3（4+7，0），F 4（4−7，0），①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4+7，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4−7，0）．总之，符合条件的F点共有4个．。
二次函数反比例函数
《第23章 二次函数(23.6反比例函数)》测试卷（时间：60分钟 满分：100分） 姓名 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．反比例函数x k y 3+=的图象在二、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤3 B ．k ≥-3 C ．k ＞3 D ．k ＜-3.2．反比例函数1k y x -=的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．已知2)1(-+=m x m y 是反比例函数，则函数图象在（ ）A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限4．如图，过双曲线y ＝k x(k 是常数，k ＞0，x ＞0)的图象上两点A 、B 分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则△AOC 的面积S 1和△BOD 的面积S 2的大小关系为（ ）A ．S 1>S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1<S 2D ．S 1和S 2的大小无法确定5．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是（ ）A ．x y 4-=B ．x y 4=C ． x y 8=D ．xy 8-= (第4题) (第5题) 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数1-=kx y 与反比例函数x k y =（其中0≠k ）的图象的形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若M （－1，y 1），N （1，y 2），P （2，y 3）三点都在函数y= k x（k ＜0）的图象上，则y 1，y 2，y 3，的大小关系为（ ）A ．y 1 ＞y 2＞y 3 B.y 1＞y 3＞y 2 C ．y 3 ＞y 1＞y 2 D.y 3＞y 2＞y 18.反比例函数)0(>=k xk y 在第一象限内的图像如图，点M 是图像上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．21 9. 如图所示，过双曲线xy 2=上两点A 、B 分别作x 轴、y 轴的垂线，若矩形ADOC 与矩形BFOE 的面积分别为S 1、S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）A. S 1＜S 2B. S 1=S 2C. S 1＞S 2D. 不能确定10．正比例函数y=－x 与反比例函数xy 1-=的图象相交于A 、C 两点。
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——二次函数和反比例函数 练习题(解析版)
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——二次函数和反比例函数 练习题一、单选题1．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为m x ，它的邻边长为m y ，矩形的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与,x S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系2．（2022·北京市燕山教研中心一模）线段5AB =．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB 运动至点B ，以线段AP 为边作正方形APCD ，线段PB 长为半径作圆．设点的运动时间为t ，正方形APCD 周长为y ，B 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．正比例函数关系，二次函数关系D ．反比例函数关系，二次函数关系3．（2022·北京房山·一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm ，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ） A ．正比例函数关系 B ．一次函数关系 C ．反比例函数关系D ．二次函数关系4．（2022·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y ax ax =-+（0a >），如果点A （1m -，1y ），B （m ，2y ）和C （2m +，3y ）均在该抛物线上，且总有132y y y >>，结合图象，可知m 的取值范围是（ ） A ．1m <B ．01m <<C ．12m <D ．102m <<5．（2022·北京市第十九中学三模）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②，所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为cm x ，另一条直角边的长为cm y ，图②中的较小正方形面积为2cm S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．反比例函数关系，二次函数关系B ．一次函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系6．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，一个边长为8cm 的正方形，把它的边延长cm x 得到一个新的正方形，周长增加了1cm y ，面积增加了22cm y ．当x 在一定范围内变化时，1y 和2y ，都随x 的变化而变化，则1y 与x ，2y 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，一次函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系7．（2022·北京石景山·一模）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y =ax 2+bx +c 可改写为y =a (x −1) 2−2的形式 ②二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下③关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−1.5的两个根为0或2④若y >0，则x >3其中所有正确的结论为（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③8．（2022·北京门头沟·一模）如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为m x ，另一边的长为m y ，矩形的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，那么y 与x ．S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系9．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长是4，E 是AB 上一点，F 是延长线上的一点，且BE ＝DF ，四边形AEGF 是矩形，设BE 的长为x ，AE 的长为y ，矩形AEGF 的面积为S ，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题10．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）.11．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点()1,2A 和点()1,B m -，则m 的值为______________．12．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线my x=交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为12,y y ，则12y y +的值为_______．13．（2022·北京大兴·二模）请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________． 14．（2022·北京西城·二模）将抛物线y =2x 2向下平移b (b >0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1，−4)，则b 的值为______．15．（2022·北京朝阳·模拟预测）将直线y ＝2x 向下平移3个单位长度后，得到的直线经过点（m +2，﹣5），则m 的值为 _____．16．（2022·北京门头沟·二模）已知y 是以x 为自变量的二次函数，且当x=0时，y 的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．17．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 、C 分别为x 、y 轴上的点，已知矩形OABC 的面积为3，函数(0)ky x x=>与BC 边交于点E ，试写出一个符合条件的k 的值：______．18．（2022·北京房山·二模）已知点()()122,,1,A y B y --在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，且12y y <，则k 的值可以是__________．（只需写出符合条件的一个的值） 19．（2022·北京平谷·二模）若反比例函数()0ky k x=≠经过点()2,3-和点()1,b -，则b =___________． 20．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点12(3)(5)A y B y ，，，在双曲线3y x=上，则1y ______2y （填“＞”或“＜”）．三、解答题21．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为.x t =(1)当2,c m n ==时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点00(,)(1)x m x ≠在抛物线上，若,m n c <<求t 的取值范围及0x 的取值范围．22．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系()2(0)y a x h k a =-+<； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x =--+记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“=”或“<”）．23．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 24．（2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ． （2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是 ． 25．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，1122(,),(,)M x y N x y 为抛物线2(0)y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <．（1）若抛物线的对称轴为1x =，当12,x x 为何值时，12;y y c ==（2）设抛物线的对称轴为x t =．若对于123x x +>，都有12y y <，求t 的取值范围．26．（2022·北京市第十九中学三模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠经过点，()0,1A -，()3,2B ．(1)求这个一次函数的解析式；(2)①当双曲线()0my m x=≠经过点B 时，求m 的值； ②当3x >时，对于x 的每一个值，永远有()10mkx b k x+->≠成立，直接写出m 的取值范围． 27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()40y mx m m =++≠的图象与y 轴交于点C ，与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()1A n -，，B 两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)当BC AC =时，直接写出关于x 的方程()240mx m x k ++-=的解；(3)当2BC AC ≤时，求m 的取值范围．28．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知抛物线22441y x mx m =-+-． (1)求此抛物线的顶点的坐标；(2)若直线y n =与该抛物线交于点A 、B ，且4AB =，求n 的值；(3)若这条抛物线经过点()121,P m y +，()22,Q m t y -，且12y y <，求t 的取值范围．29．（2022·北京市三帆中学模拟预测）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d 米，与湖面的垂直高度为h 米，下面的表中记录了d 与h 的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m ______；(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由(结果保留一位小数)．参考答案：1．A【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得：()210x y +=，整理得：()5,05y x x =-+<<，()()255,05S xy x x x x x ==-+=-+<<，∴y 与x 成一次函数的关系，S 与x 成二次函数的关系； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键． 2．C【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：依题意：AP=t ，BP =5-t , 故y =4t ，S =（5-t ）2 故选择：C【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 3．D【分析】设底面边长为x cm ，则正方体的高为(x +50)cm ，设总费用为y 元，则可表示出y 与x 的函数关系，根据关系式即可作出选择．【详解】设底面边长为x cm ，则正方体的高为(x +50)cm ，设总费用为y 元， 由题意得：2216[24(50)]963200y x x x x x =++=+， 这是关于一个二次函数． 故选：D ．【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式． 4．D【分析】0a >时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小，先根据题意画出图象，利用数形结合的方法解答即可． 【详解】解：如图，抛物线：()2240y ax ax a =-+>的对称轴为1x =，()11,A m y -，()2,B m y ，()32,C m y +为抛物线上三点，且总有132y y y >>， ∵0a >，∴抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小， ∴()12111m m m -<+-<--， 解得102m <<． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标，解题的关键是根据题意画出大致图象，根据抛物线上的点离对称轴水平距离越小，函数值越小的性质解答． 5．B【分析】根据题意和图形，可以分别写出y 与x 的关系和S 与x 的关系，从而可以得到y 与x 满足的函数关系和S 与x 满足的函数关系．【详解】解：由图可知，图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形， 则5y x =-，y 与x 满足一次函数关系，22222(5)21025S x y x x x x =+=+-=-+，S 与x 满足二次函数关系，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 6．A【分析】根据题意可得：周长增大的部分y 1（cm ）＝新正方形的周长﹣原正方形的周长；面积增大的部分y 2（cm 2）＝新正方形的面积﹣原正方形的面积，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：y 1＝4（8+x ）﹣4×8＝4x ，此函数是一次函数；y 2＝（8+x ）2﹣82＝x 2+16x ，此函数是二次函数，故选：A ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列出函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．7．D【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】解：由表格可得，∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴该函数图象的对称轴是直线x =132-+=1， ∴该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，∴二次函数y =ax 2+bx +c 可改写为y =a (x −1) 2−2的形式，故选项①正确，选项②错误；∵该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x =1的对称点为（2，-1.5），∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−1.5的两个根为0或2，故选项③正确；∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴若y >0，则x >3或x <-1，故选项④错误；综上，正确的结论为①③，故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．8．A【分析】根据题意求得y 与x ．S 与x 之间的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判断．【详解】解：由题意可知，花园是矩形，∴218x y +=， ∴192y x =-，y 与x 满足一次函数关系； 花园面积：211(9)922S xy x x x x ==⋅-=-+，S 与x 满足二次函数关系；故选：A ．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的简单应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用题中数量关系式（矩形周长=长与宽的和的2倍；矩形面积=长与宽的积）是解决应用题的关键．9．A【分析】根据题意，分别表示出y 与x ，S 与x 之间的关系式，即可判断． 【详解】 正方形ABCD 的边长是44AD AB ∴==设BE 的长为x ，AE 的长为y ，∴ BE ＝DF =xAE AB BE ∴=- ，即4y x =- ，故y 与x 是一次函数关系；4AF AD DF x =+=+∴矩形AEGF 的面积为2(4)(4)16S AE AF x x x =⋅=-+=-+ ，故S 与x 是二次函数关系；故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的应用及二次函数的应用，理清题目中的数量关系，并能够列出解析式是解题的关键．10．＞【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵k >0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25＜，∴1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．11．2-【分析】由题意易得2k =，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．【详解】解：把点()1,2A 代入反比例函数()0k y k x=≠得：2k =， ∴12m -⨯=，解得：2m =-，故答案为-2．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 12．0【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴120y y +=，故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.13．2y x =-（答案不唯一）【分析】对于二次函数2y ax bx c =++，开口向下，则a<0；对称轴为y 轴，则0b =，写出一个符合上述条件的二次函数即可．【详解】解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．抛物线的开口向下，对称轴为y 轴，∴a<0，且0b =，∴符合条件的抛物线的解析式可以是2y x =-．故答案为2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的意义是解决此类题的关键．14．6【分析】根据平移规律和待定系数法确定函数关系式，即可求解．【详解】解：∵平移后，设新抛物线的表达式为y =2x 2-b ，∴新抛物线经过点（1，-4），∴将x =1，y =-4代入得：-4=2×12-b ，∴b =6．故答案为：6．【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．15．-3【分析】由平移的规律可求得平移后的直线解析式，代入点（m ＋2，−5）直接求得答案．【详解】解：直线y ＝2x 向下平移3个单位长度后的函数解析式是y ＝2x ﹣3，把x ＝m +2，y ＝﹣5代入y ＝2x ﹣3，可得：2（m +2）﹣3＝﹣5，解得：m ＝﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．16．y=x 2-1．【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．【详解】解：∵y 是以x 为自变量的二次函数，且当x=0时，y 的最小值为-1，∴二次函数对称轴是y 轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x 2-1．故答案为：y=x 2-1．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．17．2（答案不唯一）【分析】根据过点B 的反比例函数解析式写出答案即可．【详解】解：如图：当双曲线经过点B 时，3OABC k S ==矩形．∴当双曲线于边BC 相交时，03k <<，不妨取2k =，故答案为：2(答案不唯一)．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解k 的几何意义及k 对双曲线位置的作用是求解本题的关键．18．－1（答案不唯一）【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵点()()122,,1,A y B y --在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，且12y y <，－2＜－1＜0， ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴k ＜0，故答案为：－1（答案不唯一）【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解答的关键．19．6【分析】根据点在函数图像上的性质吗，直接将点的坐标代入表达式求解即可． 【详解】解：反比例函数()0k y k x=≠经过点()2,3-和点()1,b -， 321k k b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，即()321b -⨯=⨯-，解得6b =， 故答案为：6．【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握图像经过点就是点的坐标满足表达式是解决问题的关键．20．>【分析】根据反比例函数的性质，k =3>0，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵k =3>0，∴y 随x 的增大而减小，∵1x <2x ，∴1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．21．(1)（0，2）；2(2)t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x <<【分析】（1）当x =0时，y =2，可得抛物线与y 轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称，可得t 的值，即可求解；（2）抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），根据抛物线的图象和性质可得当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,)m ，点(3,)n ，点（2t ，c ）均在对称轴的右侧时；当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，即可求解．（1）解：当2c =时，22y ax bx =++，∴当x =0时，y =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）；∵m n =，∴点(1,),(3,)m n 关于对称轴x t =对称，∴1322t +==； （2）解：当x =0时，y =c ，∴抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ），∴抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），∵0a >，∴当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时， 1t <，∵,m n c <<1＜3，∴2t ＞3，即32t >（不合题意，舍去）， 当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，点0(,)x m 在对称轴的右侧，13t <<， 此时点(3,)n 到对称轴x t =的距离大于点(1,)m 到对称轴x t =的距离，∴13t t -<-，解得：2t <，∵,m n c <<1＜3，∴2t ＞3，即32t >， ∴322t <<， ∵0(,)x m ，(1,)m ，对称轴为x t =， ∴012x t +=， ∴013222x +<<，解得：023x <<， ∴t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x <<． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 22．(1)23.20 m ；()20.05823.20y x =--+(2)＜【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出1d 和2d ，然后进行比较即可．【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：()8,23.20，∴8h =，23.20k =，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m ，根据表格中的数据可知，当0x =时，20.00y =，代入()2823.20y a x =-+得： ()220.000823.20a =-+，解得：0.05a =-，∴函数关系关系式为：()20.05823.20y x =--+．（2）设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时，()20.05823.20t x =--+，解得：8x =8x =∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d =第二次训练时，()20.04923.24t x =--+，解得：9x =9x =∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d =∵()()2023.202523.24t t --＜，，∴12d d ＜．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出1d 和2d 是解题的关键． 23．（1）=1x -；（2）213y y y <<，理由见解析【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得：39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为22y x x =+，∴抛物线的对称轴为12b x a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：①当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即a<0，与0a >矛盾；②当0,0m n <>时，∵抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<， ∵点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ∵0a >，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴213y y y <<．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．24．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）73【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当2x =-时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，在函数1y x =-中，∵10k =-<,∴函数1y x =-在20x -≤<中，1y 随x 的增大而减小； ∵222131()24y x x x =-+=-+， ∴对称轴为：1x =，∴221y x x =-+在20x -≤<中，2y 随x 的增大而减小；综合上述，21||(1)6y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大，无最大值；由（1）可知21||(1)6y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； ∴在20x -≤<中，有当2x =-时，73y =， ∴m 的最大值为73； 故答案为：73． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．25．（1）120,2x x ==；（2）32t ≤ 【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c ），因为12y y c ==，抛物线的对称轴为1x =，可得点M ，N 关于1x =对称，从而得到12,x x 的值；（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为x t =，分3种情况讨论，情况1：当12,x x 都位于对称轴右侧时，情况2：当12,x x 都位于对称轴左侧时，情况3：当12,x x 位于对称轴两侧时，分别求出对应的t 值，再进行总结即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=c ，即抛物线必过（0，c ），∵12y y c ==，抛物线的对称轴为1x =，∴点M ，N 关于1x =对称，又∵12x x <，∴10x =，22x =；（2）由题意知，a ＞0，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为x t =，12x x <∴情况1：当12,x x 都位于对称轴右侧时，即当1x t ≥时，12y y <恒成立情况2：当12,x x 都位于对称轴左侧时，即1x ＜2,t x t ≤时，12y y <恒不成立情况3：当12,x x 位于对称轴两侧时，即当1x <2,t x t >时，要使12y y <，必有12x t x t -<-，即()()2212x t x t -<-解得122x x t +>，∴3≥2t ， ∴32t ≤ 综上所述，32t ≤． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想． 26．(1)1y x =-(2)①6；②3m ≤且0m ≠【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）①将点B 坐标代入解析式即可；②解不等式1m kx b x+->，3x =时求出m 的值，即可确定m 的取值范围． （1）解：将点()0,1A -，()3,2B 代入一次函数解析式； 得321k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式：1y x =-；（2）解：①将点()3,2B 代入反比例函数解析式，得326m =⨯=．②当3x =时，13111y kx b =+-=--=，313m ∴=⨯=，∴满足条件的m 的取值范围是：3m ≤且0m ≠．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．27．(1)4y x=- (2)11x =，21x =-(3)当2m ≥或20m -≤＜时，2BC AC ≤【分析】（1）将点A 坐标代入直线解析式可求4n =，代入反比例函数解析式可求k ，即可求解； （2）由题意可得点C 为原点，可求4m =-，代入方程可求解；（3）分类讨论求解，分当0m ＜时与当0m ＞两种情况求解，当 2BC AC =时，三角形想似，可求出点B 的坐标，代入一次函数可得2m =±，再利用数形结合思想可得答案，．（1） 解：一次函数()40y mx m m =++≠的图象与y 轴交于点C ，与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()1A n -，，B 两点．4n m m ∴=-++，4n ∴=，∴点()1,4A -，144k =-⨯=-∴，∴反比例函数的表达式为4y x=-； （2）解：当BC AC =时，则点C 是AB 的中点，∴点C 为原点，04m ∴=+，4m ∴=-，∴方程()240mx m x k ++-=化为：()()244440x x -+---=，11x ∴=，21x =-；（3）解：如图，当0m ＜时，过点A 作AN x ⊥轴，过点B 作BN AN ⊥于N ，过点C 作CM AN ⊥于M ，当2BC AC =时，∵AN x ⊥轴，BN AN ⊥，∴90AMC AMB ∠=∠=︒，CM BN ∥，∴ACM ABM ∠=∠，ACM ABN ∴∽，13AC CM AB BN ∴==， 3BN ，()22B ∴-，，将点()2,2B -代入4y mx m =++，2m ∴=-，根据图象可知，当20m -≤＜时，2BC AC ≤，如图，当0m ＞时，过点A 作AN y ⊥轴于N ，过点B 作BM y ⊥轴当2BC AC =时，AB =AC ，即点A 是BC 的中点，∵AN y ⊥轴，BN y ⊥轴，∴90ANC BMC ∠=∠=︒，∵ACN BCM ∠=∠，ACN BCM ∴∽，12AC AN BC BM ∴== ， 2BM ∴=，()22B ∴-，，将点()2,2B -代入4y mx m =++，2m ∴=，根据图象可知，当2m ≥时，2BC AC ≤，综上，当2m ≥或20m -≤＜时，2BC AC ≤．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题、函数图象上点的坐标的特征、函数与方程的关系以及相似三角形的判定与性质，找到临界状态时k 的值是解决问题的关键，同时渗透了数形结合的思想． 28．(1)()2,1m -(2)3(3)1t <-或1t >【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）由二次函数的对称性及4AB =可得点A ，B 坐标，进而求解；（3）由点P 坐标及抛物线对称轴可得点P 关于对称轴的对称点P'的坐标，由抛物线开口向上和点()121,P m y +在抛物线对称轴的右边可分情况求解．（1）解：222441(2)1y x mx m x m =-+-=--，∴抛物线的顶点坐标为()2,1m -；（2） 解：点A ，B 关于抛物线对称轴对称，4AB =，对称轴为直线2x m =，∴抛物线经过()22,m n +，()22,m n -，。
初三反比例函数和二次函数的习题含答案
反比例函数1.已知反比例函数xm21－＝y 的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2是，有y 1＜y 2．则m 的取值范围是（ ）．Ａ．m ＜0， B ．m ＞0，Ｃ．ｍ＜21，Ｄ．ｍ＞21 2.如图，点A 是反比例函数y=xk（k ≠0）图象上的一点，自点A 向y 轴作垂线，垂足为T ，已知S △AOT ＝4，则此函数的表达式为_______________.3.反比例函数与一次函数的图象有一个交点是（-2，1），则它们的另一个交点的坐标是 .4.如图，点A 和C 都在反比例函数y=x4（x>0）的图像上,并且△OAB 、 △BCD 都是等腰直角三角形，斜边OB 、BD 都在X 轴上，则点D 的坐标是_________.【解】过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，设点E 的坐标为(m,0),由题意可得, 点A 的坐标为(m,m),∵点A 在反比例函数y=x4（x>0）的图像上, ∴m =m4, m 2=4, 又∵m>0, ∴m=2. ∴点E 的坐标为(2,0), 点B 的坐标为(4,0), 设CF=n,则BF=DF=n,OF=OB+BF=4+n,OD=4+2n,∴点C 的坐标为(4+n,n ), 点D 的坐标为(4+2n ,0), ∵点C (4+n,n )在反比例函数y=x4（x>0）的图像上, ∴n=n+44,由此可得n 1=222--(不合题意，舍去),n 2=222+-， ∴4+2n=24, ∴点D 的坐标为(24,0)。
5.当k <0时，反比例函数y kx=和一次函数y kx k =-的图象大致是（ ）6.如图，已知点A 是一次函数y =x 的图象与反比例函数x y 2=的图象在第一象限内的交点，点B 在xx ky =m kx y +=642-2-4-55oABCDEFy y y yO x O x O x O xA B C D xy AOB轴的负半轴上，且OA =OB ，那么△AOB 的面积为( )A 、2B 、22C 、2D 、227.如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数1(0)y x x=>的图象上，则点E 的坐标是（ ） A.(215+,215-) B.(215-,215+) C.(253+,253-), D. (253-,253+) 8.如图，△OAP 、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函数)0(4>=x xy 的图象上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点B 的坐标为______________.（保留根号）第7题图 第9题图9．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。
二次函数与反比例函数
二次函数与反比例函数一、选择题(本大题共10小题，共40分)1.下列函数是二次函数的是（）A.y=-B.y=x2+xz+1C.x2+2y-1=0D.xy=x2-y2.函数y=-2x2+12x-12的顶点坐标是（）A.（-3，6）B.（3，-6）C.（3，6）D.（6，3）3.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A.-1＜x＜3B.-1＜x＜4C.x＜-1或 x＞4D.x＜-1或 x＞34.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象，则关于x的方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A.m≥2B.m≥5C.m≥0D.m＞43题 4题 5题9题 5.如图，反比例函数y1=的图象与正比例函数y2=k2x的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A.0＜x＜2B.x＞2C.x＞2或-2＜x＜0D.x＜-2或0＜x＜26.反比例函数y=-的图象上有P1（x1，-2），P2（x2，-3）两点，则x1与x2的大小关系是（）A.x1＞x2B.x1=x2C.x1＜x2D.不确定7.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），则方程ax2-2ax+c=0的解为（）A.x1=-3，x2=-1B.x1=1，x2=3C.x1=-1，x2=3D.x1=-3，x2=18.若抛物线y=x2-2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A.y=（x-2）2+3B.y=（x-2）2+5C.y=x2-1D.y=x2+49.如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）A.-4B.4C.-2D.210.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③-1≤a≤-；④4ac-b2＞8a；其中正确的结论是（）A.①③④B.①②③C.①②④D.①②③④二、填空题(本大题共4小题，共20分)11.已知关于x的函数y=（m-1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m= ______ ．12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是______ ．13.抛物线y=x2-2x+a2的顶点在直线y=2上，则a= ______ ．14.如图，已知正比例函数y1=x与反比例函数y2=的图象交于A、C两点，AB⊥x轴，垂足为B，CD⊥x轴，垂足为D．给出下列结论：①四边形ABCD是平行四边形，其面积为18；②AC=3；③当-3≤x＜0或x≥3时，y1≥y2；④当x逐渐增大时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．其中，正确的结论有 ______ ．（把你认为正确的结论的序号都填上）10题12题 14题三、计算题(本大题共8小题，共76分)15.已知正比例函数与反比例函数的图象都过A（m，1）点．（1）求m的值，并求反比例函数的解析式；（2）求正比例函数与反比例函数的另一个交点B的坐标．16.如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x轴的另一个交点；（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．17.已知二次函数y=x2-2（m+2）x+2（m-1）．（1）证明：无论m取何值，函数图象与x轴都有两个不相同的交点；（2）当图象的对称轴为直线x=3时，求它与x轴两交点及顶点所构成的三角形的面积．18.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围；（3）当时，求y得取值范围．19.如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的下底AD在x轴上，其中A（-2，0），B（-1，-3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）连接BD交y轴于F，求直线BD的解析式；（3）设抛物线的顶点为E，连接BE、DE，求△BDE的面积．20.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？21.某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=-2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．注：销售利润=销售收入-购进成本．22.如图，已知反比例函数（m为常数）的图象经过点A（1，6）．（1）求m的值；（2）过点A的直线交x轴于点B，交y轴于点C，且OC=OB，求直线BC的解析式．四、解答题(本大题共1小题，共14分)23.如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；②当S最大时，在抛物线y=-x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．。
2021年全国各地中考数学真题汇编《二次函数和反比例函数》(含答案)
【精品】全国中考数学真题汇编专题一：二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
专题训练：反比例函数与二次函数(含答案)
专题训练:反比例函数与二次函数一、选择题1.已知反比例函数y=，下列结论不正确的是（）A. 图象经过点（1，1）B. 图象在第一、三象限C. 当x＞1时，0＜y＜1D. 当x＜0时，y随着x的增大而增大2.描点法是研究函数图象的重要方法．那么对函数y=﹣x﹣，你如果采用描点法的话，能得到该函数的正确性质是（）A. 该函数图象与x轴相交B. 该函数图象与y轴相交C. 该函数图象关于原点成中心对称D. 该函数图象是轴对称图形3.已知抛物线y=ax2+2向右平移2个单位后经过点（4，6），则a的值等于（）A. B. C. D. 14.二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到，下列平移正确的是（）A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位5.如图，已知A（﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，则三角形AOB的面积是（）A. 5B. 6C. 7D. 86.下列各点中，在函数y=－的图象上的是( )A. （3，1）B. （－3，1）C. （，3）D. （3，－）7.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（）A. ①②③B. ②③C. ①②④D. ①②③④8.下列说法正确的是（）A. 等弧所对的弦相等B. 平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C. 若抛物线与坐标轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0D. 相等的圆心角所对的弧相等9.在平面直角坐标系中，如果将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的解析式是（）A. y=3（x+1）2+2B. y=3（x﹣1）2+2C. y=3（x﹣1）2﹣2D. y=3（x+1）2﹣210.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y 与x的函数关系式为（）A. y=B. y=C. y=D. y=11.如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x 轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（）A. B. C. D.12. 以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A. 10B. 11C. 12D. 13二、填空题13.已知二次函数y=﹣x2﹣2x+1，当x________时，y随x的增大而增大．14.小华要看一部300页的小说所需的天数y与平均每天看的页数x成________ 比例函数，表达式为________15. 已知点A（3，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ________（用“＜”连接）16.学习了反比例函数的相关内容后，张老师请同学们讨论这样的一个问题：“已知反比例函数，当x＞1时，求y的取值范围？”同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手回答说：“由于反比例函数的图象位于第四象限，因此y的取值范围是y＜0．”你认为小明的回答是否正确：________，你的理由是：________．17. 已知一个函数，当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式________ （写出一个即可）18.如图，如果直线y=kx（k＜0）与双曲线y=﹣相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么x1y2﹣4x2y1的值为________．19. 二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=________．20.如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是________．21.如图，反比例函数图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴的负半轴上，若△PAB的面积为4，则k=________．22.如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为________三、解答题23.已知抛物线y= x2+bx经过点A（4，0），另有一点C（1，﹣3），若点D在抛物线的对称轴上，且AD+CD的值最小，求点D的坐标．24. 如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．25.如图，一次函数y1=x﹣2的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC= ，点B的坐标为（m，n），求反比例函数的解析式．26.如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x2+b x+c (a≠0)经过点A、C.（1）求抛物线的解析式;（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题D C D B B B C A A A B C二、填空题13.＜﹣214.反；15.y3＜y1＜y216.否；y＜﹣217.y=﹣x+218.﹣1519.520.1+21.-822.y=﹣三、解答题23.解：如图，连接AC与对称轴的交点即为点D．∵y= x2+bx经过点A（4，0），∴0=8+4b，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x，∵A（4，0），C（1，﹣3），∴直线AC的解析式为y=x﹣4，∵对称轴x=2，∴y=﹣2，∴点D坐标（2，﹣2）24.解：∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP∽△BOC，∴=，即=，解得CP=1，∴P（2，﹣1），设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入解得k=﹣2，∴过点P的双曲线解析式y=﹣，②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP∽△COB，在△OCP和△COB中，∴△OCP≌△COB（AAS）∴CP=BO=4，∴P（2，﹣4）设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入得﹣4=，解得k=﹣8，∴过点P的双曲线解析式y=．综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=﹣或y=．25.解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．则BD=n，OD=m．∵tan∠BOD= = ，∴m=2n．又∵点B在直线y1=x﹣2上，∴n=m﹣2．∴n=2n﹣2，解得：n=2，则m=4．∴点B的坐标为（4，2）．将（4，2）代入y2= 得，=2，∴k=8．∴反比例函数的解析式为y2=26.解：（1）令x=0，则y=4，令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，所以，点A（2，0），C（0，4），∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；（2）∵y=-2x2+2x+4=-2（x-）2+，∴点P的坐标为（，），如图，过点P作PD⊥y轴于D，又∵C（0，4），∴PD=，CD=-4= ，∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD=×（+2）×-×2×4-××=-4-=，令y=0，则-2x2+2x+4=0，解得x1=-1，x2=2，∴点B的坐标为（-1，0），∴AB=2-（-1）=3，设△ABQ的边AB上的高为h，∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，∴×3h=4×，解得h=4，∵4＜，∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，即点Q的纵坐标为4或-4，当点Q的纵坐标为4时，-2x2+2x+4=4，解得x1=0，x2=1，此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），当点Q的纵坐标为-4时，-2x2+2x+4=-4，解得x1=，x2=，此时点Q的坐标为（，-4）或（，-4）综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（，-4）或（，-4）；（3）存在．理由如下：如图，∵点M在直线y=-2x+4上，∴设点M的坐标为（a，-2a+4），①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|=|-2a+4|，即a=-2a+4或a=-（-2a+4），解得a=或a=4，∴点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|=|-2a+4|，即a=（-2a+4），解得a=1，-2a+4=2×1=2，此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），或a=-（-2a+4），此时无解，综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．。
反比例函数和二次函数综合
反比例函数和二次函数综合练习1.如图，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线x y 1=于点Q ，连结OQ ，当P 点沿x 轴的正方向运动时，Rt △QOP 的面积（ ）A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定2.如图，点P 在反比例函数x ky =的图象上，过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，若S Rt △AOP =2，则k 的值是_________________。
3.如图所示，函数图象的解析式可能是（ ）A.x y =B.xy 1= C.1+=x y D.x y 1= 4.已知反比例函数x ky =的图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数的图象上的点B(2,m)，求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标。
5.已知反比例函数x ky =（k ≠0）的图象过直线x y 2=与1+=x y 的交点，则当x ＞0时，这个反比例函数值y 随x 的增大而__________________。
6.如图，直线2-=kx y （k ＞0）与双曲线x ky =在第一象限内的交点为R ，与x 轴，y 轴的交点分别为P ，Q ，过R 作RM ⊥x 轴，M 为垂足，若△OPQ与△PRM 的面积相等，则k=_____________________。
7.某地去年电价每度0.8元，年用电量为1亿kW ·h ，今年计划将电价调到0.55-0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则今年新增用电量y 亿kW ·h 与（x-0.4）元成反比例，又当x=0.65时，y=0.8，（1）求y 与x 之间的函数解析式；（2）若每度电的成本价是0.3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益比上年度增加20%，[收益=用电量×（实际电价-成本价）]8.2011年，A 市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值3.5206×1010元，已知全市生产总值=全市户籍人口×全市人均生产总值，设A 市2011年户籍人口为x （人），人均生产产值为y （元），（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）2011年，A 市户籍人口为706684人，求2011年A 市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）；若按2011年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元=6.37元人民币），A 市2011年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？9.如图，Rt △ABO 的顶点A 是反比例函数x k y =的图象与直线()1+--=k x y 的图象在第二象限内的交点，AB ⊥x 轴于点B ，且S △ABO =23，（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△A OC 的面积。
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二次函数与反比例函数典型习题
1. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次
函数y=bx-c在同一坐标系内的图象大致是（）
2. 点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=-
x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A. y3＞y2＞y1， B。
y3＞y1＞y2 C。
y1＞y2＞y3 D。
y1=y2＞y3
3. 已知点（m-1，y1），（m-3，y2）是反比例函数（m＜0）图象上的
两点，则y1 y2（填“＞”、“＝”、“＜”）
4. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于
A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：
①abc＜0，②，③ac-b+1=0，④OA·OB=.其中正确的
结论是（只填序号）
5. 如图，双曲线（x＞0）经过矩，形OABC的边AB的中点F，交BC于点
E，且四边形OEBF的面积为2，则k= 。
6. 将x=代入反比例函数y=-中，所得函数值记为y1，再将x=y1+1代入该
函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入该函数中，所得函数值记为y3，...。
如此继续下去，则y2014= 。
7. 在均速运动中，路程S（km）一定时，速度v（km/h）关于时间
t（h）的函数关系的大致图象是（）。
8. 已知开口向下的抛物线y=（m2-2）x2+2mx+1的对称轴经过点
（-1,3），则m的值为（）
A.2 B。
-1 C。
2或-1 D。
1或-2
9. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=-1，且过
点（-3,0），现有下列说法：①abc＜0，②2a-b=0，③4a+2b+c＜0，④若（-5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）
A. ①② B。
②③ C。
①②④ D。
②③④
10. 若抛物线y=x2-2（k+1）x+16的顶点在x轴上，则k= 。
11. 若抛物线y=2x2-4x+4与直线y=6x+m只有一个公共点，则m= 。
12. 如图，已知抛物线C1、C2关于x轴对称，抛物线C1、C3关于y轴对
称，如果C2的表达式是y=，那么C3的表达式是。
13. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是x=1，且经过
P（3,0），则a-b+c的值是（）
A.0 B。
-1 C。
1 D。
2
14.已知（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜
x2，则y1-y2的值是（）
A.正数
B.负数
C.非正数
D.不能确定
15.已知（x1，y1）（x2，Y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1,、y2、y3的大小关系为（）
A.y1＜0＜y2＜y3
B.y1＞0＞y2＞y3
C.y1＜0＜y3＜y2
D.y1＞0＞y3＞y2
16.已知两点A（-5，y1）、B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，x0的取值范围是（）
A.x0＞-5
B.x0＞-1
C.-5＜x0＜-1
D.-2＜x0＜3
17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0 ，
②b＞a＞c ③若-1＜m＜n＜1 则m+n＜；④3其中正确的结论是
A（1,4）和点
12
B（-2，m），点C与点A关于x轴对称；
（1）求反比例函数及一次函数解析式，并
求△ABC的面积；
（2）比较y1与y2的大小。
19．已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1，
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx-8=0的一个根是4，求方程的另一个根。
20.如图，已知反比例函数y1=的图象与正比例函数
y2=ax（a≠0）的图象相交于点A（2,2）和点B。
（1）求点B的坐标，并求k、a的值；
（2）根据图象比较y1与y2的大小；
（3）将直线AB向右平移n（n＞0）个单位长
度，得到的图象记为l，若点M（3，-2）
关于直线l的对称点M´落在坐标轴上，请
直接写出n的值。
21.已知反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=mx+b（m≠0）的图象交于
A（-2,1）和B（1，n）两点（如图）。
（1）求这两个函数关系式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出：不等式mx+b－＜0的解集。
22.定义：在平面直角坐标系中，过一点
分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴
围成矩形的周长与面积相等，则这个点
叫做“和谐点”．
如图1，矩形ABOC的周长与面积相等，
则点A是“和谐点”
（1）判断点E（2，3），F（4，4）是否为“和谐点”；
（2）如图2，若点P（a，b）是双曲线y=上的“和谐点”，求满足条件的所有P点坐标．
23. 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天
400250240200150125120售价x（元/千
克）
销售量y（千304048608096100
克）
24.某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每提价1元，其销售量减少20件，
（1）现要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种服装销售单价应确定为多少元适宜？这时应进多少服装？
（2）在进货成本不超过24000元的情况下，12000是不是可能获得的最大利润？如果是，说明理由；如果不是，请求出最大利润是多少？25.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮
廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，
DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝
8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在
的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角
坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系（0≤t≤40）且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
26。
如图所示，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y=（x>0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标（ ）。
答案：1.C 2.D 3.＞ 4.①③④ 5.2 6. 7.A 8.B 9.C 10.3或-5 11. 12.
13.A 14.D 15.D 16.B 17.①③④。