3.3.2简单的线性规划的应用

y
15
B(3,9)
C(4,8)
{
打网格线法
目标函数t = x+y
9
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
作出一组平行直线t = x+y，
x 78
2x+y=15
18
27
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移， 经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是 返回 x+y=12，它们是最优解. 答:(略)
煤（t） 利润（元）
10 5 4 600
4 4 9 1000
300
200 360
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
约束条件
目标函数： z=600x+1000y.
M (12.4,34.4) 4x+9y=360
10
0
10 20 30 40 5x+4y=200
90
x
{
10x+4y=300 600x+1000y=0
返回
答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。
例题分析
例2
要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每
张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
列表：
消耗量 产品 资源
甲产品 （1t）
乙产品 （1t）
资源限额wk.baidu.com（t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
煤（t） 利润（元）
10 5 4 600
4 4 9 1000
300
200 360
返回
例题分析
列表： 资源
消耗量 产品
甲产品 xt （1t）
乙产品 （1t）
yt
资源限额 （t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
产品 甲产品 消耗量 （1 杯） 资源 奶粉（g） 咖啡(g) 糖(g) 利润（元）
乙产品(1 杯)
资源限额（g）
9
4
3600
4
3 0.7
5
10 1.2
2000
3000
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y 4 _00 作直线l:0.7x+1.2y=0， C _ ( 200 , 240 ) 3 _00 把直线l向右上方平移至l1的位置时， 直线经过可行域上的点C，且与原点 _ x + 12 y = 0 3 _ x + 10 y = 3000 7 距离最大， _ 0 此时z =0.7x +1.2y取最大值 1 4 _00 500 _000 0 _ _ 解方程组
得点C的坐标为（200，240）
二元一次不等式 表示平面区域
直线定界， 特殊点定域
应 用
约束条件
目标函数
简单的线性规划
可行解 可行域
求解方法：画、 移、求、答
最优解
小结：
知识点： 学习了把实际问题转化成线性 规划问题即建立数模的方法 技能点： 解线性规划应用问题的一般步骤： 1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）准确作图，准确计算 4）还原成实际问题 数学思想：渗透转换、化归思想，数形结合思 想，用数学的意识、创新意识
返回
例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x 10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y. 作出以上不等式组所表示的可行域 t、yt,利润总额为z元,那么
{
75
y
50 40
l l
作出一组平行直线 600x+1000y=t， 经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大. 此时z=600x+1000y取得最大值. 5x+4y=200 由 4x+9y=360 解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
0
(-1,-1)
x
1
(2,-1)
y=-1
2x+y=0
使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ， 且最小值为
-3
；
返回
这两个可行解都叫做问题的 最优解 。
例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石
10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石 4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工 厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种 矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大? 设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3x 10 y 3000 x 0 y 0
y _ 9 _00
4 x 5 y 2000 , 3 x 10 y 3000 ,
x _
4 _ x + 5 y = 2000
9 x + 4 y = 3600 _
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
线性规划研究的两类重要实际问题：
一:给定一定数量的人力、物力资源，问怎 样安排运用这些资源，能使完成的任务量 最大，收到的效益最大。
规格类型 钢板类型
A规格 2
B规格 1
C规格 1
第一种钢板X张 第二种钢板 y张
1
2
3
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种 钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
12
2x+y=15
x+y=12 x+2y=18
作直线x+y=12
18
x
27
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
返回
例题分析
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
返回
目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
例题分析
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
y
15
调整优值法
作出一组平行直线z=x+y，
10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8
二:给定一项任务，问怎样统筹安排，能使 完成这项任务的人力、物力资源最小。
巩固练习：
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、 糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天 原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果 甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每 天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种 饮料各多少杯能获利最大？ 解：将已知数据列为下表：
y
——线性规划的简单应用
o
x
复习引入
1.已知二元一次不等式组
{
x-y≥0 x+y-1≤0 y≥-1
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
y
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一 x+y=1 次不等式组叫做x,y的 线性约束条件 ；
x-y=0 1
z=2x+y 叫做
线性目标函数 ；
满足 线性约束条件 的解(x,y)都叫做可行解； 使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) 且最大值为 3 ； ，
巩固练习1:
x 0 y 0 不等式组 表示的平面区域内 4 x 3 y 12
的整数点共有（ ）个
y
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
4x+3y=12
在可行域内找出最优解、线性规划整 数解问题的一般方法是：
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；
（在包括边界的情况下） 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出 该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当 放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条 对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续 放缩，直至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解