线段和角的计算
线段和角度的计算
线段和角度的计算线段和角度是几何学中基础而重要的概念，对于几何学的研究和实际应用具有重要的意义。
本文将介绍线段和角度的计算方法，并且提供一些实例来帮助读者更好地理解。
一、线段的计算线段是几何学中最基础的图形，其长度的计算是几何学中最常见的问题之一。
计算线段的长度需要知道线段的两个端点的坐标，然后根据坐标计算两个点之间的距离即可。
假设线段的两个端点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的长度可以使用以下公式计算：AB = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]其中√代表求平方根。
举例来说，如果线段的一个端点坐标为A(2, 3)，另一个端点坐标为B(5, 7)，则线段AB的长度可以计算如下：AB = √[(5-2)^2 + (7-3)^2]= √[3^2 + 4^2]= √[9 + 16]= √25= 5因此，线段AB的长度为5。
二、角度的计算角度是描述两条相交线之间关系的概念，它是几何学中重要的衡量单位。
计算角度需要知道角的顶点和两条边的坐标，然后通过计算得出角的度数。
假设角的顶点坐标为O(x0, y0)，边OA的坐标为A(x1, y1)，边OB 的坐标为B(x2, y2)，则角AOB的度数可以使用以下公式计算：θ = arccos[(OA·OB)/(|OA|·|OB|)]其中arccos代表反余弦函数，|OA|和|OB|代表OA和OB的长度，·表示点乘运算（坐标相乘后相加）。
举例来说，如果角AOB的顶点坐标为O(0, 0)，边OA的坐标为A(1, 2)，边OB的坐标为B(3, 4)，则角AOB的度数可以计算如下：θ = arccos[((1-0)(3-0) + (2-0)(4-0))/((√[(1-0)^2 + (2-0)^2])*(√[(3-0)^2 + (4-0)^2]))]= arccos[(3+8)/(√(1+4) * √(9+16))]= arccos[11/(√5 * √25)]≈ arccos(0.9806)≈ 0.1944 radians因此，角AOB的度数约为0.1944弧度。
线段与角的概念和计算
线段与角的概念和计算一、线段的概念线段是几何学中的基本概念之一，它是指由两个端点确定的具有有限长度的直线部分。
在平面几何中，线段用两个大写字母表示，如AB、CD等。
线段的长度通常用小写字母表示，如|AB|表示线段AB的长度。
二、角的概念角是点和其两条射线组成的图形，通常用希腊字母表示，如∠ABC，其中B为角的顶点，而A、C分别为角的两个边。
角度可以用度数（°）或弧度（rad）表示，度数是人们最常用的度量单位。
三、线段的计算1. 线段的长度线段的长度可以通过两个端点的坐标计算得出。
设线段AB的两个端点坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：|AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2. 线段的中点线段的中点是指线段的中心位置，在平面几何中也是一个重要的概念。
设线段AB的两个端点坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则线段AB的中点坐标可以通过以下公式计算：M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)四、角的计算1. 角度角度是人们常用的度量单位，一周等于360°。
当需要计算角度时，可以利用以下公式来进行计算：角度 = 弧长 / 半径2. 弧度弧度是另一种常用的角度单位，它是圆周上弧长等于半径的一部分。
当需要计算弧度时，可以利用以下公式来进行计算：弧度 = 弧长 / 半径3. 弧度与角度的转换弧度与角度之间可以通过以下公式进行转换：角度 = 弧度× 180° / π弧度 = 角度× π / 180°五、实例应用为了更好地理解线段与角的概念和计算方法，以下通过一个实例进行说明。
假设有一条线段AB，其中A(-2, 3)和B(4, -1)分别为线段的两个端点坐标。
我们首先可以计算线段AB的长度：|AB| = √((4 - (-2))² + ((-1) - 3)²)= √(6² + (-4)²)= √(36 + 16)= √52≈ 7.211然后我们可以计算线段AB的中点坐标：M(((-2) + 4)/2, (3 + (-1))/2)≈ M(1, 1)接下来我们可以计算角ADC的度数。
小学数学中的线段角和面积的计算
小学数学中的线段角和面积的计算小学数学中的线段、角和面积的计算数学是一门让人们能够理解和解决现实生活中的各种问题的学科。
在小学数学的学习中，线段、角和面积是重要的概念和计算内容。
本文将探讨线段的长度计算、角的度量和面积的计算方法。
一、线段的长度计算线段是数学中一个基本的几何要素，它是由两个点确定的直线的一部分。
在小学数学中，我们经常需要计算线段的长度。
线段的长度计算可以通过直接测量或使用已知的长度单位进行计算。
直接测量是一种常见的计算线段长度的方法。
我们可以使用直尺或尺子等工具将线段的两个端点对准，然后读取出线段的长度。
例如，给定线段AB，我们可以将尺子的一端对准A点，然后延直线移动尺子的另一端直到对准B点，最后读取出尺子上所示的长度即为线段AB 的长度。
另一种计算线段长度的方法是使用已知的长度单位，如厘米或米。
我们可以先测量出一个已知长度单位，并借助这个单位来计算线段的长度。
例如，假设我们已知一个长度单位为1厘米的线段CD，同时我们还知道线段AB相对于CD的长度比例是2:3，那么我们可以使用乘法计算出线段AB的长度。
即线段AB = 线段CD的长度 × AB与CD的长度比例 = 1cm × 3/2 = 1.5cm。
二、角的度量角是由两条射线共享一个公共端点而形成的图形。
在小学数学中，我们学习了角的基本概念和度量方法。
角的度量通常使用角度或弧度来表示。
角度是一种常见的角度量单位，我们使用角度符号“°”来表示。
在小学数学中，我们通常学习了以直角（90°）、平角（180°）、钝角（大于90°但小于180°）和锐角（小于90°）作为基准进行角度度量。
度量角的方法多种多样，其中包括使用量角器、直角器等工具进行直接测量的方法。
此外，我们还可以通过比较已知角度大小来估算未知角度的大小。
三、面积的计算面积是描述平面图形所占的空间大小的概念。
线段与角的和差倍分计算
线段与角的和差倍分计算
在几何学中，我们经常遇到线段与角之间的和、差和倍分计算问题。
这些计算方法是为了帮助我们更好地理解图形的性质和关系。
本文将详细
介绍线段与角之间的和、差和倍分计算方法。
一、线段的和、差计算
1.线段的和计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的和，即线段AB+BC。
计算方法是将线段AB和BC的长度相加，即AB+BC。
2.线段的差计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的差，即线段AB-BC。
计算方法是将线段AB的长度减去线段BC的长度，
即AB-BC。
二、角的和、差计算
1.角的和计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的和，即
角α+角β。
计算方法是将两个角的度数相加，即α+β。
2.角的差计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的差，即
角α-角β。
计算方法是将角α的度数减去角β的度数，即α-β。
三、线段与角的倍分计算
1.线段的倍分计算：给定线段AB，我们需要计算出线段AB的一半或
一四分之一的长度。
计算方法是将线段AB的长度除以2或4，即AB/2或AB/4
2.角的倍分计算：给定角α，我们需要计算出角α的一半或一四分
之一的度数。
计算方法是将角α的度数除以2或4，即α/2或α/4
以上是线段与角的和、差和倍分计算的基本方法。
在实际应用中，我们还可以利用一些几何定理和性质来简化计算，例如角的补角、互补角和对应角等关系。
线段与角的计算
线段与角的计算线段和角是几何学中常见的概念，它们在解决各种几何问题中起着重要的作用。
本文将介绍线段和角的计算方法，并通过例子详细说明其应用。
一、线段的计算线段是两点之间的直线部分，其长度可通过坐标、勾股定理或其他方法进行计算。
1. 坐标计算法设在笛卡尔坐标系中，已知两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则线段AB的长度计算公式为：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，d表示线段AB的长度。
例如，已知点A(2, 3)和点B(5, 7)，则线段AB的长度为：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，线段AB的长度为5。
2. 勾股定理勾股定理是用于计算直角三角形的边长的常用方法。
当线段确定为直角三角形的一条边时，可以使用勾股定理来计算其长度。
设直角三角形的一条直角边长为a，另外两条边分别为b和c，则勾股定理可以表示为：a² = b² + c²根据这个公式，可以计算出线段的长度。
例如，已知直角三角形的两条边分别为5和12，求第三边的长度。
根据勾股定理，可得：a² = 5² + 12²= 25 + 144= 169因此，直角三角形的第三边长度为√169，即13。
二、角的计算角是由两条射线共享一个端点形成的图形，可以通过度数或弧度来进行计算。
1. 度数计算法角的度数计算方法包括以下几种：(1) 已知两条射线的坐标，可以通过坐标计算得出角的度数。
例如，已知射线OA和射线OB，可以通过计算斜率、弧度或反三角函数来得到角的度数。
(2) 已知角的度数，可以通过度数的加减乘除来计算其他角度。
例如，已知角AOB的度数为50°，求角BOC的度数，若角COB为直角，求角AOC的度数。
2. 弧度计算法弧度是计量角度的单位，用于计算圆周上的弧长。
线段角和面积的计算
线段角和面积的计算线段的长度、角的度量和面积的计算是几何学中基础而重要的概念。
在本文中，我们将探讨如何准确地计算线段的长度、角的度量以及面积。
1. 线段的长度计算线段是由两个端点所确定的一段直线，在几何学中，我们常常需要计算线段的长度。
要计算线段的长度，我们可以使用勾股定理或者平面几何中的距离公式。
勾股定理适用于直角三角形，它可以用来计算两个坐标点之间的距离。
假设有两个坐标点A（x1, y1）和B（x2, y2），则线段AB的长度可以通过以下公式计算得出：AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]距离公式适用于平面上的任意两点之间的距离计算。
假设有两个坐标点A（x1, y1）和B（x2, y2），则线段AB的长度可以通过以下公式计算得出：AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]2. 角的度量计算角是由两条射线共享一个公共端点所形成的图形部分。
角的度量通常使用度（°）来表示。
要准确计算角的度量，我们需要知道角的类型（锐角、直角、钝角），并使用对应的计算公式。
- 锐角：锐角是指度量小于90°的角。
计算锐角的度量可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）或者反三角函数（反正弦、反余弦、反正切）来求解。
具体的计算方法取决于已知的相关边长和角度信息。
- 直角：直角是指度量等于90°的角。
直角的度量计算较为简单，直接使用度量表达即可。
- 钝角：钝角是指度量大于90°的角。
计算钝角的度量可以使用三角函数或者反三角函数，具体的计算方法也取决于已知的相关边长和角度信息。
3. 面积的计算面积是指平面图形所包围的表面部分的大小。
不同类型的平面图形有不同的计算方法。
下面是几种常见图形的面积计算方法：- 矩形：矩形的面积可以通过长和宽的乘积来计算。
假设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积A可以计算为A = L * W。
2----七年级上期数学--线段与角度的计算
线段与角度的计算1、如图，已知∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的度数。
2、如图，OB、OC是∠AOD内的任意两条射线。
OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β。
用含α，β的代数式表示∠AOD。
3、如图，已知∠1：∠2：∠3=2：3：4，且∠4=60º。
求∠1、∠2、∠3的度数分别是多少？4、如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=25º。
求∠AOC的度数。
5、已知∠AOB=80º，∠BOC=30º，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC。
求∠AOC和∠MON的度数。
6、在时刻8：30，时钟上的时针与分针之间夹角是多少度？7、如图，已知∠AOC=∠BOC=∠DOE=90º。
在图中找出∠EOC的补角和余角。
8、如图，AB是一条直线，已知∠1：∠2：∠3：∠4=1：2：3：4。
求∠5的度数。
9、如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠2=4∠1。
求∠AOF的度数。
10、如图，∠1与∠2有一公共顶点O,∠DOC=∠AOB=90º，∠1：∠2= 4：5，求∠1、∠2的度数。
11、如图，C，D是线段AB上任意两点，MC=2AM，DN=2NB。
已知CD=3，NM=10。
求AB的长。
(11)12、已知一个角的余角比它的补角的13还多17º。
求这个角的度数。
13、如图，将书面的一个角斜折过去，使角顶点A落在A’处，BC为折痕，BD 为∠A’BE的平分线。
求∠CBD的度数。
14、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作∠DOC=∠BOD 。
OF 平分∠AOE ， 若∠AOC=28º。
求∠EOF 的度数。
15、已知，如图∠BOC 为∠AOC 内的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC 。
（1） 若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；（2）若∠AOB=α，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；（3）若∠AOB=90°，∠BOC=β，还能否求出∠MON 的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。
小专题(十二) 线段和角的计算中的数学思想
×12=6.所以AM= AC=1,DN= DB= .①
=MC+CD+DN=2-1+4+ = ;②
如图①,当点N在点D右侧时,MN
如图②,当点N
在点D左侧时,MN=MC+CD-DN=2-1+4- = .综
上所述,线段MN的长为 或
1
2
3
4
5
6
7
写出结果).
(3) 如图③④,∠MON=α+45°或135°-2α
第8题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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13
类型三
整体思想
9. 如图,C,D是线段AB上的任意两点,E是AC的中点,F是BD的中点.如果
EF=m,CD=n,那么线段AB的长度为
( C )
A. m+n
B. 2m+n
C. 2m-n
D. 3m-2n
1
或9
,AC=10,BC=4,则线段MN的长为
.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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7. 已知线段AB=12,在AB上有C,D,M,N四点,且AC∶CD∶DB=1∶2∶3,
1
1
AM= AC,DN= DB.求线段MN的长.
2
4
因为AB=12,AC∶CD∶DB=1∶2∶3,所以AC= ×12=2,CD= ×12=4,DB=
期末复习专题08 线段与角有关动点的计算问题(解析版)
期末复习专题08 线段与角有关动点的计算问题考点一 有关线段的中点计算问题考点二 有关角的平分线计算问题考点三 线段上动点计算问题 考点四 角上动点计算问题考点一 有关线段的中点计算问题故选：D ．【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．2．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图，数轴上M ，N ，P ，Q 四点对应的数都是整数，且M 为线段NQ 的中点，P 为线段NM 的中点．若点M 对应的整数是a ，点N 对应的整数是b ，且20b a -=，则数轴上的原点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】D 【分析】由已知条件可知2QN QM =，因为点M 对应的整数是a ，点N 对应的整数是b ，且20b a -=，依此可得到数轴上的原点．【详解】解：∵点M 为线段NQ 的中点，∴2QN QM =，∵点M 对应的整数是a ，点N 对应的整数是b ，且20b a -=，∴数轴上的原点是Q ．故选：D ．【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．3．（2022·云南·楚雄市中山镇初级中学七年级期末）C 为直线AB 上一点，且线段3cm AB =，5cm =BC ，则AC 的长度是 ________．【答案】8cm 或2cm【分析】分A 、C 在点B 异侧和A 、C 在点B 同侧两种情况，分别作出图形，根据线段的和差计算即可．【详解】解：如图1，当A 、C 在点B 异侧时，358cm AC AB BC =+=+=，如图2，当点A 、C 在点B 同侧时，532cm AC BC AB =-=-=，即AC 的长度是8cm 或2cm ，故答案为：8cm 或2cm ．【点睛】本题考查了线段的和差计算，注意分类讨论思想的应用．4．（2022·全国·七年级专题练习）如图，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，7cm AB =，2cm BN =，则BC =________cm ，MC =______cm ．AB=，点C线段(1)如图，已知线段8cmQ 点M 是AC 中点，12MC AC \=，M Q 为AC 的中点，N 为BC 的中点，1CM AC \=，1CN BC =，(1)若点C 为图1中线段AB 的“优点”6()AC AC BC =<(2)若点D 也是图1中线段AB 的“优点”（不同于点C ）（填“=”或“¹”）[解决问题]∵点D是线段AB的“优点”，考点二有关角的平分线计算问题【点睛】本题主要考查了角平分线有关的计算以及几何图形中角的计算，解题关键是根据题意作出图形，运用分类讨论的思想分析问题．2．（2022·浙江台州·七年级期末）直线AB ，CD 相交于点O ，OE 是BOD Ð的角平分线，若3AOE BOC Ð=Ð，则EOC Ð的度数为( )A ．36°B ．72°C ．108°D ．144°【答案】C 【分析】根据OE 是BOD Ð的角平分线，得出DOE BOE Ð=Ð，根据3AOE AOD DOE BOC Ð=Ð+Ð=Ð，得出2DOE BOC Ð=Ð，求出36BOC Ð=°，即可得出272BOE BOC Ð=Ð=°，即可得出答案．【详解】解：∵OE 是BOD Ð的角平分线，∴DOE BOE Ð=Ð，∵3AOE AOD DOE BOC Ð=Ð+Ð=Ð，又∵AOD BOC Ð=Ð，∴3BOC DOE BOC Ð+Ð=Ð，∴2DOE BOC Ð=Ð，∴2BOE DOE BOC Ð=Ð=Ð，∵180DOE BOE BOC Ð+Ð+Ð=°，∴22180BOC BOC BOC Ð+Ð+Ð=°，解得：36BOC Ð=°，272BOE BOC \Ð=Ð=°，∴108EOC BOE BOC Ð=Ð+Ð=°，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据已知条件得出2DOE BOC Ð=Ð，是解题的关键．3．（2022·全国·七年级课时练习）如图，AB 、CD 交于点O ，若170=°∠，射线OE 平分∠AOC ，那么∠EOD =__________度．【答案】42°##42度【分析】先由对顶角相等求出【详解】解：∵∠AOC =∠∴∠BOD =70°，∵:2:3BOE EOD ÐÐ=，Ð，OD(1)如图1，OE平分AOB(2)如图2，OE、OD分别平分ÐÐ(3)若OE、OD分别平分AOC 接填空）．则EOD EOC Ð=Ð1122AOC =Ð-Ð1(2AOB BOC =Ð+Ð45=°；则1(2EOD AOC Ð=Ð1(360)2AOB °=-Ð1(36090)2°°=-(1)如图1，过点O 作射线OE ，使OE 为AOD Ð的角平分线，当Ð=COE (2)如图2，过点O 作射线OE ，当OE 恰好为AOC Ð的角平分线时，另作射线求EOF Ð的度数；(3)过点O 作射线OE ，当OC 恰好为AOE Ð的角平分线时，另作射线OF ，时，求BOD Ð的度数．考点三线段上动点计算问题考点四 角上动点计算问题1．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ¢V ，点B ¢恰好落在CA 的延长线上，60BAC Ð=°，90C Ð=°，则旋转角BAB Т为（ ）A ．60°B ．100°C ．120°D ．150°【答案】C 【分析】直接根据180BAB BAC ¢Ð=°-Ð即可得出答案．【详解】解：∵将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ¢V ，点B ¢恰好落在CA 的延长线上，60BAC Ð=°，∴180********BAB BAC ¢Ð=°-Ð=°-°=°，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转角，题目比较简单，属于基础题．2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．Ð=°Q，POB68\Ð=°-°，68POM nÐ=°Q，MON90\Ð=°-°-°=°-°，1809090AON n n\Ð-Ð=°-°-°-°=°；AON POM n n(90)(68)22当6890<<时，如图2，理由如下：nQ，Ð=°68POB\Ð=°-°，POM n68Q，Ð=°90MON\Ð=°-°-°=°-°，AON n n1809090\Ð+Ð=°-°+°-°=°；(90)(68)22AON POM n n故答案为：068n<<，6890<<．n【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键．。
考点08 线段与角的计算专项练习(解析版)
人教版2020——2021年七年级上册新题线段与角的计算专项练习1．（2020秋•福田区校级期中）如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米．①运动1秒后，求CD的长；②当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是9或11厘米．【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD；（2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．【解答】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2（cm），DB＝3×1＝3（cm），∵AP＝8cm，AB＝12cm，∴PB＝AB﹣AP＝4（cm），∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3（cm），②∵AP＝8，AB＝12，∴BP＝4，AC＝8﹣2t，∴DP＝4﹣3t，∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t，1∴AC＝2CD；（2）当t＝2时，CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm），当点D在C的右边时，如图所示：由于CD＝1cm，∴CB＝CD+DB＝7（cm），∴AC＝AB﹣CB＝5（cm），∴AP＝AC+CP＝9（cm），当点D在C的左边时，如图所示：∴AD＝AB﹣DB＝6（cm），∴AP＝AD+CD+CP＝11（cm），综上所述，AP＝9或11，故答案为：9或11．2．（2020秋•聊城期中）如图所示，BC＝6cm，BD＝7cm，D是AC的中点，求AD的长．【分析】由点D是AC的中点，于是得到AD＝CD＝1cm，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵BC＝6cm，BD＝7cm，．2∴CD＝BD﹣BC＝1cm；∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝1cm．3．（2020秋•聊城期中）在平面内有三点A，B，C，（1）当A，B，C三点不共线时，如图，画直线AC，线段BC，射线AB，在线段AB上任取一点D（不同于点A，B），连接CD，并数一数，此时图中共有多少条线段．（2）当A，B，C三点共线时，若AB＝25cm，BC＝16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，求线段EF的长．（画出图形并写出计算过程）【分析】（1）根据直线，射线，线段的概念，利用直尺即可作出图形；（2）根据线段的定义即可求解．【解答】解：（1）作图如下：此时图中共有6条线段；（2）解：有两种情况：①当点C在线段AB的延长线上时，如图1：因为E，F分别是AB，BC的中点，AB＝25cm，BC＝16cm，所以，3所以EF＝EB+BF＝+8＝20.5（cm）；②当点C在线段AB上时，如图2：根据题意，如图2，，，所以EF＝BE﹣BF＝12.5﹣8＝4.5（cm），综上可知，线段EF的长度为20.5cm或4.5cm．4．（2020秋•香洲区校级期中）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21cm，BC＝AB．（1）试求出线段AC的长；（2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长．【分析】（1）由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝21cm，BC＝AB代入即可得到答案；（2）根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝21cm，BC＝AB＝7cm，∴AC＝AB+BC＝21+7＝28（cm）；（2）由（1）知：AC＝28cm，∵点O是线段AC的中点，∴CO＝AC＝×28＝14（cm），∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7（cm）．45．（2020秋•振兴区校级期中）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN 即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN＝a．【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，CN＝BC，∵MN＝MC+CN，AB＝AC+BC，∴MN＝AB＝（AC+BC）＝7cm；（2）MN＝a，∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，CN＝BC，∵MN＝MC+CN，AB＝AC+BC，∴MN＝AB＝（AC+BC）＝a；结论：无论点C在线段上移动到哪里，MN始终长为AB的一半．566．（2020秋•锦江区校级期中）如图，线段AB ＝8cm ，C 是线段AB 上一点，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点．（1）AC ＝3cm ，求线段CM 、NM 的长；（2）若线段AC ＝m ，线段BC ＝n ，求MN 的长度（m ＜n 用含m ，n 的代数式表示）．【分析】（1）求出AM 长，代入CM ＝AM ﹣AC 求出即可；分别求出AN 、AM 长，代入MN ＝AM ﹣AN 求出即可；【解答】解：（1）∵AB ＝8cm ，M 是AB 的中点，∴AM ＝AB ＝4cm ，∵AC ＝3cm ，∴CM ＝AM ﹣AC ＝4﹣3＝1（cm ）；∵AB ＝8cm ，AC ＝3cm ，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，∴AM ＝AB ＝4cm ，AN ＝AC ＝1.5cm ，∴MN ＝AM ﹣AN ＝4﹣1.5＝2.5（cm ）；（2）∵AC ＝m ，BC ＝n ，∴AB ＝AC +BC ＝m +n ，∵M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，∴AM ＝AB ＝（m +n ），AN ＝AC ＝m ，∴MN ＝AM ﹣AN ＝（m +n ）﹣m ＝n ．7．（2020秋•铁西区期中）如图，已知点C ，D 在线段AB 上，且AC ：CD ：DB ＝2：5：3，AC ＝4cm，若点M是线段AD的中点，求线段BM的长．【分析】设AC＝2xcm，CD＝5xcm，BD＝3xcm，由AC＝4cm，得到2x＝4，求得x＝2，于是得到AC＝2×2＝4（cm），CD＝5×2＝10（cm），DB＝3×2＝6（cm），根据线段中点的定义得到结论．【解答】解：设AC＝2xcm，CD＝5xcm，BD＝3xcm，∵AC＝4cm，∴2x＝4，解得：x＝2，∴AC＝2×2＝4（cm），CD＝5×2＝10（cm），DB＝3×2＝6（cm），∴AD＝AC+CD＝4+10＝14（cm），∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AD＝14＝7（cm），∴BM＝BD+DM＝6+7＝13（cm）．8．（2020秋•锦江区校级期中）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？7【分析】（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）如图，∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CN﹣CM＝（BC﹣AC）＝a；（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），综上所述：t＝4或或．9．（2020春•泰山区期末）如图，点B，D都在线段AC上，AB＝12，点D是线段AB的中点，BD＝3BC，求AC的长．8【分析】首先根据AB＝12，点D是线段AB的中点，求出线段BD的长度是多少；然后根据BD＝3BC，求出线段BC的长度是多少，进而求出AC的长是多少即可．【解答】解：∵AB＝12，点D是线段AB的中点，∴BD＝12÷2＝6；∵BD＝3BC，∴BC＝6÷3＝2，∴AC＝AB+BC＝12+2＝14．10．（2020春•延庆区期中）已知：点M是直线AB上的点，线段AB＝12，AM＝2，点N是线段MB的中点，画出图形并求线段MN的长．【分析】本题主要考查两点间的距离，可分两种情况：①点M在点A左侧，②点M在点A右侧，结合中点的定义计算可求解．【解答】解：由于点M的位置不确定，所以需要分类讨论：①点M在点A左侧，如图1：∵AB＝12，AM＝2，∴MB＝AB+AM＝12+2＝14，∵N是MB的中点（已知），∴MN＝MB（中点定义），∵MB＝14，∴MN＝×14＝7；9②点M在点A右侧，如图2：∵AB＝12，AM＝2，∴MB＝AB﹣AM＝12﹣2＝10，∵N是MB的中点（已知），∴MN＝MB（中点定义），∵MB＝10，∴MN＝×10＝5，综上所述，MN的长度为5或7．11．（2020秋•锦江区校级期中）已知：如图，∠AOB＝30°，∠COB＝20°，OC平分∠AOD，求∠BOD 的度数．【分析】根据角的和差、角平分线的定义，可得出答案．【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠COB＝20°，10∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝30°+20°＝50°，∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠COD＝50°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝20°+50°＝70°．12．（2019秋•两江新区期末）如图所示，O为直线上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，∠BOC+∠FOD＝117°，求∠BOE的度数．【分析】设∠BOE＝α°，通过互余、互补关系及角平分线的性质，用含α的代数式表示∠BOC与∠FOD，得方程求解即可．【解答】解：设∠BOE＝α°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2α°，∠EOD＝α°．∵∠COD＝∠BOD+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣2α°．∵OF平分∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠FOE＝∠AOE＝（180°﹣α°）＝90°﹣α°，∴∠FOD＝∠FOE﹣∠EOD＝90°﹣α°﹣α°＝90°﹣α°，∵∠BOC+∠FOD＝117°，11∴90°﹣2α°+90°﹣α°＝117°，∴α＝18，∴∠BOE＝18°．13．（2020秋•郁南县校级月考）将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．【分析】）（1）根据题意即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠BOD＝∠COD＝22.5°，于是得到结论；（3）设∠BOC＝x，然后表示出∠AOC和∠BOD，再列出方程求解即可．12【解答】解：（1）由三角板知，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，∴∠AOD＝45°+60°＝105°；（2）∵OB平分∠COD，∴∠BOD＝，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+22.5°＝82.5°；（3）设∠BOC＝x，则∠AOC＝60°﹣x，∠BOD＝45°﹣x，∵∠AOC＝3∠BOD，∴60°﹣x＝3（45°﹣x），解得x＝37.5°，此时，∠AOD＝∠COD+∠AOC＝45°+（60°﹣37.5°）＝45°+22.5°＝67.5°．14．（2020秋•南岗区校级月考）已知：∠AOB和∠COD是直角．（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数．13【分析】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案；（2）根据已知条件∠BOE＝∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a，再根据周角的关系可得到∠AOD 的等量关系，再根据∠DOF＝∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠∠AOF 可列出等量关系，即可得到答案；（3）分两种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝2：3，可得出结果，当射线OG 在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝2：3，可得出结果．【解答】（1）∠AOD+∠BOC＝180°．证明：∵∠AOB和∠COD是直角，∴∠AOB＝∠COD＝90°，∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，∴∠AOD+∠BOC＝180°；（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a，14∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝2a，∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣3a﹣90°＝180°﹣3a，∵∠DOF＝∠AOD，∴∠DOF＝（180°﹣3a）＝120°﹣2a，∴∠AOF＝∠AOD＝（180°﹣3a）＝60°﹣a，∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+60°﹣a＝150°，∠EOF的度数为150°；（3）①当射线OG在∠EOF内部时，∴∠GOF：∠GOE＝2：3，∴∠GOF＝（∠GOF+∠GOE）＝∠EOF＝150°＝60°；②当射线OG在∠EOF外部时，∵∠GOF：∠GOE＝2：3，∴∠GOF＝（∠GOF+∠GOE）＝∠EOF＝（∠DOF+∠COD+∠EOC）15＝（120°﹣2a+90°+2a）＝84°．综上所述，∠GOF的度数是60°或84°．15．（2019秋•岳阳楼区校级期末）如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分∠AOC 和∠BOC．（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．（2）若去掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．【分析】（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，再利用∠MON＝∠COM+∠CON计算；（2）根据角平分线的性质解答即可；（3）先利用角平分线的性质得到∠CON＝∠AOC，∠COM＝∠BOC，再利用∠MON＝∠COM﹣∠CON计算，即可解答．【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，16∴∠MOC＝，，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）如图1，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝，，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝＝＝＝60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝∠AOC﹣∠BOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝＝×120°＝60°，．16．（2019秋•西城区期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON 内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．17（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是OB2；（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由∠MON内含对称的定义可求解；（2）由∠MON内含对称的定义可得10°≤（x+10）°≤30°，可求解；（3）分两种情况讨论，利用∠MON内含对称的定义列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB1在∠MON的外部，∴射线OA、OB1组成的∠AOB1的平分线在∠MON的外部，∴OB1不是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，∵∠B2OM＝15°，∠AOM＝10°，∴∠AOB2＝25°，∴射线OA、OB2组成的∠AOB2的平分线在∠MON的内部，18∴OB2是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，故答案为：OB2；（2）由（1）可知，当OC在直线OA的下方时，才有可能存在射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，∵∠COM＝x°，∠AOM＝10°，∠MON＝20°，∴∠AOC＝（x+10）°，∠AON＝30°，∵射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，∴10°≤（x+10）°≤30°，∴10≤x≤50；（3）∵∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，∴∠HOM＝50°，∠HON＝70°，∠EOM＝30°，∠FOM＝40°，若射线OE与射线OH关于∠MON内含对称，∴50﹣t≤≤70﹣t，∴20≤t≤30；若射线OF与射线OH关于∠MON内含对称，∴50﹣t≤≤70﹣t，∴22.5≤t≤32.5，综上所述：20≤t≤32.5．17．（2019秋•渝中区校级期末）如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度数．19【分析】设∠DOE＝2x，根据题意得到∠BOE＝3x，∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x，再根据平角为180度，得到2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°，即可得到∠BOE的度数．【解答】解：如图，设∠DOE＝2x，∵∠DOE：∠BOD＝2：5，∴∠BOE＝3x，又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE＝80°，∴∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°∴∠BOE＝3x＝3×20°＝60°．故答案为：60°．18．（2019秋•龙岗区校级期末）如图所示，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON 平分∠COD．（1）若∠BOC＝25°，∠MOB＝15°，∠NOD＝10°，求∠AOD的大小；（2）若∠AOD＝75°，∠MON＝55°，求∠BOC的大小；（3）若∠AOD＝α，∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠AOB＝2∠MOB＝30°，∠COD＝2∠NOD＝20°，然后利用∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，可得结果；20（2）由角的加减可得∠AOM+∠DON的度数，从而求得∠BOM+∠CON，再利用∠BOC＝∠MON﹣（∠BOM+∠CON）可得结果；（3）由OM与ON分别为角平分线，利用角平分线的定义得到两对角相等，根据∠BOC＝∠MON﹣∠BOM﹣∠CON，等量代换即可表示出∠BOC的大小．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD∴∠AOB＝2∠MOB＝30°，∠COD＝2∠NOD＝20°∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝30°+25°+20°＝75°（2）∵∠AOD＝75°，∠MON＝55°，∴∠AOM+∠DON＝∠AOD﹣∠MON＝20°，∵∠BOM+∠CON＝∠AOM+∠DON＝20°，∴∠BOC＝∠MON﹣（∠BOM+∠CON）＝55°﹣20°＝35°，（3）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB，∠CON＝∠DON＝∠COD，∵∠BOC＝∠MON﹣∠BOM﹣∠CON＝∠MON﹣∠AOB﹣∠COD＝∠MON﹣（∠AOB+∠COD）＝∠MON﹣（∠AOD﹣∠BOC）＝β﹣（α﹣∠BOC）＝β﹣α+∠BOC，∴∠BOC＝2β﹣α．19．（2020春•道里区期末）如图，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．21（1）求∠BOC的度数；（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据角平分线定义得出∠BOC＝∠AOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠BOC和∠COE，再代入∠BOE＝∠BOC+∠COE求出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC＝∠AOC＝×80°＝40°；（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°，∴∠BOC＝∠AOC＝40°，∠COE＝2∠DOE＝60°，∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝40°+60°＝100°．20．（2020春•南岗区期末）已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°．（1）如图1，求∠AOB的度数；（2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE；（3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE＝∠AOC 时，求∠MOF的度数．22【分析】（1）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠AOD+∠COD＝120°，得∠AOD+∠BOD ＝120°，即∠AOB＝120°；（2）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠COD＝2∠BOF+∠BOE，得∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，可得∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，即可得出结论；（3）设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α，由∠AOB＝120°得∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α，根据OD平分∠BOC，得∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝60°﹣5α，再由∠BOM＝4∠COM，得∠COM＝∠BOC＝（120°﹣10α）＝24°﹣2α，可得∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝36°﹣3α，∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°+6α，根据OF平分∠DOE可得∠DOF＝∠DOE＝（60°+6α）＝30°+3α，由∠MOF ＝∠DOM+∠DOF可得结果．【解答】（1）解：∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD，∵∠AOD+∠COD＝120°，∴∠AOD+∠BOD＝120°，即∠AOB＝120°；（2）证明：∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COD＝2∠BOF+∠BOE，23∴∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，∴∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，∴OF平分∠DOE；（3）解：设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝60°﹣5α，∵∠BOM＝4∠COM，∴∠COM＝∠BOC＝（120°﹣10α）＝24°﹣2α，∴∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝（60°﹣5α）﹣（24°﹣2α）＝36°﹣3α，∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（60°﹣5α）+11α＝60°+6α，∵OF平分∠DOE，∴∠DOF＝∠DOE＝（60°+6α）＝30°+3α，∴∠MOF＝∠DOM+∠DOF＝（36°﹣3α）+（30°+3α）＝66°．21．（2020春•南岗区期末）如图，已知，∠AOB＝120°，在∠AOB内画射线OC，∠AOC＝40°．（1）如图1，求∠BOC的度数；（2）如图2，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．24【分析】（1）利用两个角的和进行计算即可；（2）根据角平分线的意义和等式的性质，得出∠DOE═∠AOB即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣40°＝80°；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC；∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝×120°＝60°．25。
线段及角的计算
线段及角的计算【例1】如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．DBA【解法指导】由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，可设AB＝2x，CD＝3x，CD＝4x，由CD＝4x＝8，而求得x的值，进而求出MC的长．解：设AB＝2x，由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，得CD＝4x，CD＝3x，AD＝（2＋3＋4）x＝9x，∵CD＝8，∴x＝2，∴AD＝9x＝18，∵M是AD的中点，∴MC＝MD－CD＝12AD－CD＝12×18－8＝1【变式题组】01．（河北）如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分MC∶CB＝1∶2，则线段AC的长度为（）A．2cm B．8cm C．6cm D．4cm02．（随州）已知线段AB＝16cm，点C在线段AB上，且BC＝13AC，M为BC的中点，则AM的长为________.03．（黄冈）已知线段AB＝12cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．【例2】已知：线段AB＝10cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5cm，求AP的长．【解法指导】题中已说明P在AB所在直线上，即说明P点可能在线段AB 上，也可能在AB的延长线上（不可能在BA的延长线上），故应分类讨论．解：⑴如图①，当点P在线段AB上时，点N在点M的左侧，则AP＝2AN＝2（AM－MN）＝2（12AB－MN）＝2×（5－1.5）＝7（cm）；①⑵当点P在线段AB的延长线上时，N点在M点的右侧如图②，则AP＝2AN＝2（AM＋MN）＝2（12AB＋MN）＝2×（5＋1.5）＝13（cm）；BA②A N M所以AP 的长为7cm 或13cm 【变式题组】01．（昆明）已知A 、B 、C 为直线l 上的三点，线段AB ＝9cm ，BC ＝1cm ，那么A 、C 两点间的距离是（ ） A ．8cm B ．9cm C ．10cm D ．8cm 或10cm02．（十堰）如图C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB ＝7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm4、如图，已知点C 为AB 上一点，AC ＝18cm, CB ＝32AC ，D 、E 分别为AC 、AB 的中点.求DE 的长.3．（佛山实验区）A 车站到B 车站之间还有3个车站，那么从A 车站到B 车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【例3】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A 爬行相距它最远的另一个顶点B ，哪条路径最短？说明理由．图（2）图（1）A【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短．解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB 即为最短路线． 【变式题组】1、如图，某人从A 点出发，先至B 点处牵牛，再E D C BA将牛带到河边喝水，请问他怎样走路程最短？ 请你在图中作出最短路线.河【例4】摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A 、B 两市相距多少千米？【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．解：设小镇为D ，傍晚汽车在E 休息，则AD ＝12DC ，EB ＝12CE ，AD ＋EB＝12DE ＝200， ∴AB ＝AD ＋EB ＋DE ＝200＋400＝600． 答：A 、B 两市相距600千米． 【变式题组】01．（哈尔滨）已知点O 在直线AB 上，且线段OA 的长度为4cm ，线段OB 的长度为6cm ，E 、F 分别为线段OA 、OB 的中点，则线段EF 的长度为____cm ． 02．（银川）AB 、AC 是同一条直线上的两条线段，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，线段BC 与MN 的大小有什么关系？请说明理由．03．（河南）如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C 、D 分别是线段OA 、OB 的中点，小明据此很轻松地求得CD ＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上，原有的结论“CD ＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．3．（2017秋•阜宁县期末）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC=112°．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．变式训练01.如图①点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON=90°）（1）将如图①中的三角板绕O点旋转一定角度得到如图②，使边OM恰好平分∠BOC，问ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将如图①中的三角板绕O点旋转一定角度得到如图③，使边ON在∠BOC 的内部，如果∠BOC=60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系，请说明理由．演练巩固01．当AB＝5cm，BC＝3cm时，A、C两点间的距离是（）A．无法确定B．2cm C．8cm D．7cm 02．下列说法正确的是（）A．延长直线AB B．延长线段AB C．延长射线ABD．延长线段AB03．若PA＋PB＝AB，则（）A．P点一定在线段AB上B．P点一定在线段AB外C．P点一定在AB的延长线上D．P点一定在线段BA的延长线上04．（内江）已知点C是线段AB上的一点，下列说法中不能说明点C是线段AB的中点是（）A．AC＝BC B．AC＝12AB C．AC＋BC＝ABD．2AC＝AB05．如图，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（）A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BDD．不能确定06．（黄冈）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（）A．A区B．B区C．C区D．A、B 两区之间07．（广州）线段AB＝4cm，在直线AB上截取BC＝1cm，则AC＝________.08．（云南）延长线段AB到点C，使BC＝13AB，D为AC的中点，且DC＝6cm，则AB的长是________cm．09．在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．Q PNM CBA10．线段AB 上有两点M 、N ，点M 将AB 分成2∶3两部分，点N 将AB 分成4∶1两部分，且MN＝3cm ，求AM 、NB 的长．11．如图，C 是线段AB 上一点，D 是线段BC 的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC 与线段CB 的长度都是正整数，则线段AC 的长度是多少？12．如图B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD＝8，求MC 的长．ABD13、如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 是NA 的中点，Q 为MA 的中点，求MN ﹕PQ 的值。
常用数学思想在线段和角的计算中应用的九种常见题型
7．如图，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是线段 AC 的中点， 点 N 是线段 BC 的中点．
(1)如果 AB＝10 cm，AM＝3 cm，求 CN 的长；
【点拨】当根据已知条件无法逐一计算出每条线段的长 时，可根据各线段之间的数量关系，将某些线段的和或 差看成整体进行计算．
解：因为 M 是 AC 的中点，所以 AC＝2AM. 因为 AM＝3 cm，所以 AC＝2×3＝6(cm)． 因为 AB＝10 cm，所以 BC＝AB－AC＝10－6＝4(cm)． 又因为 N 是 BC 的中点，所以 CN＝12BC＝12×4＝2(cm)．
解：设运动时间为 y s. 则 PA＝2y，AM＝PM＝y，PB＝2y－24，PN＝12PB＝y－12， 所以①MN＝PM－PN＝y－(y－12)＝12，即 MN 的长度不变，为 定值；
②MA＋PN＝y＋y－12＝2y－12， 所以 MA＋PN 的值是变化的． 综上所述，①正确，且 MN 的长度为 12.
解：若∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOD，则∠EOF＝12(∠AOB＋∠COD)．
2．如图，点 O 为原点，点 A 表示的数为 1，点 B 表示的数为 －3.
(1)若点 P 在数轴上，且 PA＋PB＝6，求 P 表示的数；
解：①当点 P 在 A，B 之间时，不合题意，舍去； ②当点 P 在 A 点右边时，点 P 表示的数为 2； ③当点 P 在 B 点左边时，点 P 表示的数为－4.
(3)当∠COD 从如图所示的位置绕点 O 顺时针旋转 n°(0＜n＜40)
时，满足∠AOD＋∠EOF＝6∠COD，则 n＝___3_0____..
8．已知：如图，∠AOB 是直角，∠AOC＝40°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线．
初一期末复习：线段和角的有关计算
期末复习：线段和角的有关计算教学目标：1．知识目标：通过不同层次数学问题的设置，让学生掌握线段和角的有关计算，体会线段中点和角平分线定义的应用。
2．能力目标：通过探究、交流、反思等活动，发现图形中蕴含的一般规律，体会类比的方法（线段中点和角的平分线进行类比），由特殊到一般的数学思想方法，分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。
3．情感目标：培养学生勤于思考、乐于探究的学习习惯，通过学生的自主探究发现规律，培养学生对数学的兴趣。
教学重难点：重点：线段、角的有关计算，中点、角平分线定义的应用。
难点：线段、角有关规律性结论的说理。
一、课前热身，引入课题问题1：已知线段AB＝5cm，C为线段AB上一点，且BC＝3cm，则线段AC＝ cm。
答案：2cm，（说明：C的位置唯一确定）问题2：已知线段AB＝5cm，C为直线AB上一点，且BC＝3cm，则线段AC＝ cm。
答案：2cm或8cm，（说明：C的位置不唯一确定，有两种可能性，故答案有两个）问题3：已知∠AOB＝50°， OC为∠AOB内一射线，且∠BOC=30°，则∠AOC＝°。
答案：20°（说明：射线OC的位置唯一确定）问题4：已知∠AOB＝50°，∠BOC=30°，则∠AOC＝°。
答案：20°或80°（说明：射线OC的位置不唯一确定，有两种可能性，故答案有两个）今天我们复习线段和角的有关计算：二、问题探究，探寻规律例1如图，已知线段AB=10cm，C为线段AB上一点，M、N分别为AC、BC的中点，（1）若BC＝4cm，求MN的长，（2）若BC＝6cm，求MN的长，（3）若BC＝8cm，求MN的长，（4）若C为线段AB上任一点，你能求MN的长吗？请写出结论，并说明理由。
例2如图，已知∠AOB＝90°，OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，（1）若∠AOC＝30°，求∠MON的度数，（2）若∠BOC＝50°，求∠MON的度数，（3）由（1）（2）你发现了什么，请写出结论，并说明理由。
六年级线段与角知识点
六年级线段与角知识点线段与角是小学数学中的基础知识点，对于六年级学生来说，掌握这些知识点是十分重要的。
下面是关于线段与角的详细内容。
一、线段的定义与性质1. 线段是由两个不同的点所确定的一段连续的直线部分。
2. 线段的长度可以用两点坐标表示，如AB表示线段的长度。
3. 线段的长度是固定不变的，与线段的方向无关。
4. 两个不同的线段可以通过叠加得到一个新的线段，叫做合成线段。
二、角的定义与性质1. 角是由两条线段的公共端点及其两侧部分组成的形状。
2. 角的度量单位是度，常用符号是°。
3. 顺时针方向为负角，逆时针方向为正角。
4. 角的度数与其对应的弧度数是有关系的，1°=π/180 弧度。
5. 角的度数是固定的，与角的方向无关。
三、线段与角的运算1. 线段的加法：若CD=AB+BC，则表示线段CD是由AB和BC两个线段合成的。
2. 线段的减法：若BC=AB-CD，则表示线段BC是由AB去掉CD部分得到的。
3. 角的加法：若∠AOB=∠AOC+∠COB，则表示角AOB是由∠AOC和∠COB两个角合成的。
四、线段与角的应用1. 线段的测量：可以利用尺子或标尺测量线段的长度，要注意读数的准确性。
2. 角的测量：可以利用直尺和量角器来测量角的度数，要注意将量角器对准角的顶点和边。
3. 角的判断：可以利用直观的判断和角的大小关系来判断角的大小，如锐角、直角和钝角。
五、线段与角的综合运用1. 圆的性质：圆是由一组等距离的点组成，其中每个点到圆心的距离都相等，这个距离叫做半径。
2. 弧的性质：圆上的一段弧可以看作是两个半径所夹的角，弧的长度与角的度数是有关系的。
3. 扇形的性质：圆心角相等的弧所对应的扇形面积相等。
4. 线段与角的综合运用可以通过求解几何题来练习，如求解三角形的边长、面积等。
六年级的学生应该通过反复练习和应用，加深对线段与角知识点的理解和掌握。
只有在实际运用中，才能更好地理解其意义和价值。
线段与角计算中的数学思想
圈 ３
网 １
分析
根 据 中 点定 义 和线 段 和 差 来 计 算． 键 是 把 关
分析
由 Ａ： ＣＣ Ｂ Ｂ ： Ｄ＝２ ３ ４， 设 Ａ ：： 可 Ｂ＝２ ， Ｃ＝ ｘＢ
ＭＢ＋ Ｎ的和看成 一个 整体代人求值． Ｃ
解： 因为 、 别 为 Ａ Ｃ 的 中点 。 Ⅳ分 口、Ｄ
例 ４ 如 图 ３ Ｏ Ｏ 分别 是 ， Ｃ，Ｅ ／Ａ Ｄ、 Ｏ 的 平 分 线 ， 果 ＿ Ｏ ／Ｂ Ｄ 如 ／Ａ Ｂ＝１０ ， Ｃ Ｅ 的度 数 ． Ｏ ３ 。求 Ｏ
分 析 观 察 图 形 可 知 Ｃ Ｅ Ｏ
Ｄ
＿ Ｏ ／Ａ Ｄ＝２ １ ， ／ Ｏ ： １ 求 ＿Ａ Ｂ与 ／Ｂ Ｃ ＿Ｏ
整 体 思 想 就是 从 整体 的 角度 思 考 问题 ， 即将 局 部 放
在整体 中去观察分析探究问题 的一种 解决思想． 这种思
想 可 以使 问 题 化 难 为 易 ， 繁 为 简 ． 化 例 ３ 如 图 ３ 点 Ｍ 是 Ａ 的 中 点 ， Ⅳ是 Ｃ 的 中 ， Ｂ 点 Ｄ 点 ， 知 Ａ ：ａ Ｂ ＝ｂ用 含 有 ａ ｂ的 代 数 式 表 示 Ｍ 已 Ｄ ，Ｃ ， 、 Ｎ
ＭＮ ＝ＭＢ＋ Ｃ＋Ｃ ＝ｆ Ｂ Ｎ ＭＢ＋Ｃ Ｎ）＋ Ｃ 曰
＝
所 Ｍ ： 一 ：『 —Ｄ ÷× —： 以 ｃ彻 ｃ ｛ Ｄ ｃ＝ ｌ ８１ Ｄ Ａ ８ ．
例 ２ 如 图 ２ ，ＡＡ Ｃ 与 Ｄ Ｏ
Ｂ Ｄ 都 是 ９。 Ｏ Ｏ ，且 ＡＡ Ｂ ： ＿Ｏ
÷。６ ６ （ （ ）＝ ｎ 一＋吉 ＋
所 以 Ａ ＋Ｎ ： Ｍ Ｄ ＭＢ＋Ｃ （ 日＋Ｃ Ｎ： Ａ Ｄ）
：
因为 Ｃ Ｄ＝８ 所 以 ４ ８ 所 以 ＝ ． ， ｘ＝ ， ２
线段和角的计算
五阳矿中学七年级数学（导）学案编写人：郑威斌参与人：弓丽琴审核人：郑威斌2015年12月课题线段和角的有关计算课型班级姓名组别【学习目标】：1、熟练进行线段的有关计算，能用较为规范的格式书写解题过程。
2、发现和角有关的类似的计算问题。
3、在计算中培养学生的类比思想、分类讨论思想。
【学习重点】：关于线段和角的计算问题。
【学习难点】：分类讨论问题容易漏解。
学习过程【方法握在手几何不在难】总结归纳环节（一）预习提示通过预习寻找问题之间的联系与区别，本课先通过线段方面的探究题，解决这些问题的同时多思考怎样把某些题替换为以角为背景的问题。
并小组讨论。
（二）经典题型“变变变”（注意几何语言的表达）例：已知线段AB=100cm，线段AB上有一点C，且 BC=30cm。
（1）求AC的长；（2）若M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长。
解：变式一：将原题目中的“线段AB”改为“直线AB”，其它条件不变，（1）求AC的长；（2）若M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长。
解：变式二：将原题目中的“线段AB上有一点C，且 BC=30cm”改为“点C是线段AB总结归纳环节上的任意一点”,其它条件不变，若M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长。
解：变式三：将原题目中的“线段AB上有一点C，且 BC=30cm”改为“点C是直线AB上的任意一点”,其它条件不变，若M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长。
解：变式四：如果去掉“线段AB上有一点C”这句话，线段AC的长度确定吗？（小组讨论）变式五：如果把原题目中的线段改成角，把中点改成角平分线，即：总结归纳环节已知∠AOB =100°，从∠AOB的内部O点引一条射线OC，使∠BOC=30°，（1）求∠AOC的度数；（2）若射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数。
解：变式六：如果把“变式五”中题目中稍作修改已知∠AOB =100°，从O点引一条射线OC，使∠BOC=30°，（1）求∠AOC的度数；（2）若射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数。
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线段和角的计算
1.已知:如图,点M 、N 分别是线段AB 、BC 的中点，且ＡB =a ㎝，ＢＣ＝b ㎝. 求:线段MN 的长.
N
M
A
解:∵点M 、N 分别是线段A Ｂ、BC 的中点,且A Ｂ=a ㎝，B Ｃ＝ｂ㎝.
∴BM =
21AB ＝21ａ㎝，B Ｎ=21BC ＝2
1
ｂ㎝, ∴MN =B Ｍ+ＢN =21
( ａ＋b ) ㎝.
即线段MN 的长为2
1
（ a ＋b ) ㎝.
2. 已知:如图，射线OM 、ON 分别是∠AOB 、∠BOC 的角平分线,
且∠AOB ＝α，∠BOC ＝β. 求: ∠ＭON 的度数.
解：∵OM 、ＯN 分别是∠ＡＯＢ、∠BOC 的角平分线,
且∠AOB ＝α，∠ＢOC =β.
∴∠ＢＯM =
21∠A ＯB ＝21α ,∠BON ＝21∠ＢO Ｃ＝2
1
β, ∴∠M ＯＮ＝∠BOM ＋∠BON ＝21
( α+β)．
即∠MON 的度数为2
1
( α+β）.
3.已知：如图，点M 、N 分别是线段ＡB 、ＢC 的中点,且A Ｂ＝a ㎝,BC =b ㎝． 求:线段MN 的长.
N M A
解:∵点M 、N 分别是线段AB 、BC 的中点，且AB ＝ａ㎝,BC ＝b ㎝.
∴BM =
21AB =21a ㎝，BN ＝21BC =2
1
b ㎝, ∴MN =B Ｍ-B Ｎ=21
（ a -b ） ㎝．
即线段ＭＮ的长为2
1
( ａ-b ） ㎝.
４. 已知：如图，射线OM 、ＯＮ分别是∠AOB 、∠BOC 的角平分线，
且∠AO Ｂ＝α，∠BO Ｃ =β. 求: ∠MO Ｎ的度数.
解:∵OM 、O Ｎ分别是∠AO Ｂ、∠BOC 的角平分线,
且∠AOB =α，∠
BOC =β．
O
∴∠ＢＯＭ=
21∠ＡOB ＝21α ，∠BO Ｎ＝21∠BOC =2
1
β, ∴∠MON ＝∠BOM －∠BO Ｎ＝2
1
（ α－β)．
即∠MO Ｎ的度数为2
1
( α－β).
５.已知：如图,点C 在线段ＡB 上，点Ｍ、N 分别是线段AB 、BC 的中点,
且ＡC =a ㎝，B Ｃ=b ㎝. 求:线段MN 的长.
N
M
A
B
C
解:∵点M 、N 分别是线段A Ｂ、ＢC 的中点，且A Ｃ=a ㎝,BC ＝ｂ㎝.
∴BM ＝
21A Ｂ=21（AC +BC ）＝21
( a +b )㎝， B Ｎ＝21ＢC =2
1
b ㎝，
∴ＭN =BM －BN ＝21( a ＋b )-21b ＝21
a ㎝.
即线段MN 的长为2
1
a ㎝．
6. 已知：如图,射线O Ｍ、ON 分别是∠A ＯＣ、∠ＢＯC 的角平分线，
且∠AO Ｂ＝α，∠BO Ｃ ＝β. 求: ∠MON 的度数.
解:∵ＯM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOC 的角平分线,
且∠AO Ｂ＝α,∠BOC =β.
∴∠COM =
21∠ＡOC ＝21（∠A ＯB +∠BOC ）＝21
(α＋β), ∠C ＯＮ＝21∠BOC =2
1
β,
∴∠MON ＝∠COM -∠CON ＝21( α+β)－21β＝2
1
α．
即∠MON 的度数为2
1
α.
７.已知：如图，点Ｃ在线段A Ｂ上，点Ｍ、N 分别是线段A Ｂ、ＡC 的中点，
且ＡＣ=a ㎝,ＢC ＝b ㎝. 求：线段ＭＮ的长.
a N
M
A
B
C
解：∵点Ｍ、N 分别是线段AB 、ＡC 的中点，且AC ＝ａ㎝,B Ｃ＝b ㎝.
∴AM =
21AB ＝21(AC ＋BC )＝2
1
（
a ＋
b ）㎝, O
AN ＝
21A Ｃ＝2
1
a ㎝, ∴ＭＮ＝ＡM -ＡN ＝21( a ＋
b )－21a =21
b ㎝.
即线段ＭN 的长为2
1
b ㎝．
8. 已知：如图，射线OM 、ON 分别是∠AOC 、∠ＡOB 的角平分线，
且∠AOB ＝α，∠BOC ＝β. 求: ∠ＭO Ｎ的度数．
O
解：∵OM 、ON 分别是∠AOC 、∠AOB 的角平分线，
且∠AO Ｂ=α,∠BOC =β.
∴∠AOM ＝
21∠AOC =21(∠ＡＯB +∠ＢOC )＝21
（α+β), ∠AON =21∠AOB =2
1
α，
∴∠ＭＯN =∠AOM －∠AON ＝21（ α+β)－21α＝2
1
β．
即∠MON 的度数为2
1
β．
９.已知：如图，点C 、D 在线段AB 上,点M 、N 分别是线段AC 、ＢＤ的中点，
且ＡＢ＝a ㎝,CD =b ㎝． 求:线段MN 的长.
N
M
A B
C
D
解：∵点Ｍ、N 分别是线段AC 、BD 的中点,
∴C Ｍ=
21A Ｃ,D Ｎ=2
1
BD ， ∵ＡB ＝a ㎝,CD =b ㎝，
∴ＣM +DN =
21（A Ｃ＋ＢD )＝21(AB －CD ) =2
1
（ａ-b ) ㎝, ∴ＭN ＝CM ＋C Ｄ＋ＤN ＝21(a －b )－ｂ=2
1
(a ＋b ） ㎝.
即线段ＭN 的长为2
1
(ａ＋b ) ㎝.
１0. 已知：如图，射线ＯＭ、O Ｎ分别是∠AO Ｃ、∠BOD 的角平分线，
且∠AOB ＝α,∠COD =β. 求： ∠ＭＯN 的度数.
O
解：∵OM 、ＯN 分别是∠AOC 、∠ＢOD 的角平分线,
∴∠C ＯM =
21∠AOC ，∠D ＯＮ＝2
1
∠BOD , ∵∠AOB =α,∠COD ＝β， ∴∠COM ＋∠DON ＝
21(∠AO Ｃ+∠BO Ｄ)=21（∠AO Ｂ-∠CO Ｄ) =2
1
(α－β）, ∴∠MO Ｎ＝∠C ＯＭ+∠COD ＋∠DON ＝21（ α－β)+β=2
1
( α+β).
即∠MON 的度数为2
1
( α+β)．
--。