利用柱面坐标计算三重积分

M(x, y, z)
q
x
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． 坐标面rr0，q q 0，zz0的意义： rr0 O r0 x z0 zz0
j为有向线段 OM 与z 轴正向所夹
的角，

z
z M(x, y, z) j O x
q 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针
方向转到有向线段 OP 的角． 这样的三个数r、j 、q 叫做点M 的球面坐标． 这里r 、j 、q 的变化范围为 0 r<，0 j <，0q 2． x

z
2a
a O x
y
例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积． 解 该立体所占区域可表示为：
0r2a cos j ，0ja ，0q2．
于是所求立体的体积为
z
2a
V dxdydz r2 sinj drdjdq

dq dj
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z

，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲

面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
0 0
2
a
2 a cosj
0
r 2 sin jdr r 2 dr
a
2 sin jdj
0
a
2 a cos j
j r
0
16a 3 a cos3 j sin jdj 3 0 4a 3 (1 cos4 a) ． 3
O x
y
例3 求均匀半球体的重心． 解 取半球体的对称轴为 z 轴， 原点取在球心上，又设球半径为a． 显然，重心在z 轴上，故`x `y 0．
dvr2 sin j drdjdq ． 柱面坐标系中的三重积分：


q
y
P
y
f (x，y，z) dxdydz
x
f(rsinj cosq ，rsinj sinq ，rcosj ) r2 sinj drdjdq ．

例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积．
r
q
y
P
y
坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义： z
j O q x
r
y
Байду номын сангаас
点的直角坐标与球面坐标的关系：
x r sin j cosq , y r sin j sin q , z r cosj .
z z M(x, y, z) j O x r
球面坐标系中的体积元素：
`z
z
j r
zdv

dv


zdv

O
dv

a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq


2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
q q 0
y
q0
直角坐标与柱面坐标的关系：
x r cosq , y r sin q , z z.
z z M(x, y, z)
柱面坐标系中的体积元素： dv rdrdqdz． O x
柱面坐标系中的三重积分：
q
r
y P(r, q )
y
x
f (x，y，z)dxdydz f (r cos q

2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2

3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3

例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量． 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， z 则球体所占空间闭区域可用不等式 x2y2z2a 2 来表示．
所求转动惯量为
( x 2 y 2 ) dv Iz

O
a y
x
(r 2 sin 2 j cos 2 q r 2 sin 2 j sin 2 q )r 2 sin jdrdjdq

dq rdr 2 zdz
0 0 r
2
2
4
2 1 2 dq r (16 r 4 )dr 0 2 0 x 1 1 6 2 64 2 [8r 2 r ]0 ． 2 6 3
O x2y24
2
y
二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r 、j 、q 相对应， 其中r 为原点O 与点M 间的距离，