利用柱面坐标计算三重积分
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`z
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
.
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z .重心为(0,0, ). 8 8
§9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
,r sin q ,z) rdrdqdz.
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz,其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域.
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为:
r 2z4,0r2,0q2. 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量. 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点,则点M与数 r、q 、z相对应, 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标. 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标. z 这里规定r、q 、z的变化范围为: 0 r<, 0 q 2 , < z<. O x r y P(r, q ) y z
dvr2 sin j drdjdq . 柱面坐标系中的三重积分:
q
y
P
y
f (x,y,z) dxdydz
x
f(rsinj cosq ,rsinj sinq ,rcosj ) r2 sinj drdjdq .
例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积.
z
2a
a O x
y
例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积. 解 该立体所占区域可表示为:
0r2a cos j ,0ja ,0q2.
于是所求立体的体积为
z
2a
V dxdydz r2 sinj drdjdq
dq dj
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量. 解 取球心为坐标原点,z轴与轴l重合,又设球的半径为a, z 则球体所占空间闭区域可用不等式 x2y2z2a 2 来表示.
所求转动惯量为
( x 2 y 2 ) dv Iz
O
a y
x
(r 2 sin 2 j cos 2 q r 2 sin 2 j sin 2 q )r 2 sin jdrdjdq
0 0
2
a
2 a cosj
0
r 2 sin jdr r 2 dr
a
2 sin jdj
0
a
2 a cos j
j r
0
16a 3 a cos3 j sin jdj 3 0 4a 3 (1 cos4 a) . 3
O x
y
例3 求均匀半球体的重心. 解 取半球体的对称轴为 z 轴, 原点取在球心上,又设球半径为a. 显然,重心在z 轴上,故`x `y 0.
j为有向线段 OM 与z 轴正向所夹
的角,
z
z M(x, y, z) j O x
q 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针
方向转到有向线段 OP 的角. 这样的三个数r、j 、q 叫做点M 的球面坐标. 这里r 、j 、q 的变化范围为 0 r<,0 j <,0q 2. x
M(x, y, z)
q
x
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点,则点M与数 r、q 、z相对应, 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标. 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标. z 这里规定r、q 、z的变化范围为: 0 r<, 0 q 2 , < z<. 坐标面rr0,q q 0,zz0的意义: rr0 O r0 x z0 zz0
dq rdr 2 zdz
0 0 r
2
2
4
2 1 2 dq r (16 r 4 )dr 0 2 0 x 1 1 6 2 64 2 [8r 2 r ]0 . 2 6 3
O x2y24
2
y
二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点,则点M与数r 、j 、q 相对应, 其中r 为原点O 与点M 间的距离,
q q 0
y
q0
直角坐标与柱面坐标的关系:
x r cosq , y r sin q , z z.
z z M(x, y, z)
柱面坐标系中的体积元素: dv rdrdqdz. O x
柱面坐标系中的三重积分:
q
r
y P(r, q )
y
x
f (x,y,z)dxdydz f (r cos q
r
q
y
P
y
坐标面rr0,jj 0,q q 0的意义: z
j O q x
r
y
点的直角坐标与球面坐标的关系:
x r sin j cosq , y r sin j sin q , z r cosj .
z z M(x, y, z) j O x r
球面坐标系中的体积元素:
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
.
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z .重心为(0,0, ). 8 8
§9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
,r sin q ,z) rdrdqdz.
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz,其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域.
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为:
r 2z4,0r2,0q2. 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量. 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点,则点M与数 r、q 、z相对应, 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标. 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标. z 这里规定r、q 、z的变化范围为: 0 r<, 0 q 2 , < z<. O x r y P(r, q ) y z
dvr2 sin j drdjdq . 柱面坐标系中的三重积分:
q
y
P
y
f (x,y,z) dxdydz
x
f(rsinj cosq ,rsinj sinq ,rcosj ) r2 sinj drdjdq .
例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积.
z
2a
a O x
y
例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积. 解 该立体所占区域可表示为:
0r2a cos j ,0ja ,0q2.
于是所求立体的体积为
z
2a
V dxdydz r2 sinj drdjdq
dq dj
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量. 解 取球心为坐标原点,z轴与轴l重合,又设球的半径为a, z 则球体所占空间闭区域可用不等式 x2y2z2a 2 来表示.
所求转动惯量为
( x 2 y 2 ) dv Iz
O
a y
x
(r 2 sin 2 j cos 2 q r 2 sin 2 j sin 2 q )r 2 sin jdrdjdq
0 0
2
a
2 a cosj
0
r 2 sin jdr r 2 dr
a
2 sin jdj
0
a
2 a cos j
j r
0
16a 3 a cos3 j sin jdj 3 0 4a 3 (1 cos4 a) . 3
O x
y
例3 求均匀半球体的重心. 解 取半球体的对称轴为 z 轴, 原点取在球心上,又设球半径为a. 显然,重心在z 轴上,故`x `y 0.
j为有向线段 OM 与z 轴正向所夹
的角,
z
z M(x, y, z) j O x
q 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针
方向转到有向线段 OP 的角. 这样的三个数r、j 、q 叫做点M 的球面坐标. 这里r 、j 、q 的变化范围为 0 r<,0 j <,0q 2. x
M(x, y, z)
q
x
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点,则点M与数 r、q 、z相对应, 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标. 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标. z 这里规定r、q 、z的变化范围为: 0 r<, 0 q 2 , < z<. 坐标面rr0,q q 0,zz0的意义: rr0 O r0 x z0 zz0
dq rdr 2 zdz
0 0 r
2
2
4
2 1 2 dq r (16 r 4 )dr 0 2 0 x 1 1 6 2 64 2 [8r 2 r ]0 . 2 6 3
O x2y24
2
y
二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点,则点M与数r 、j 、q 相对应, 其中r 为原点O 与点M 间的距离,
q q 0
y
q0
直角坐标与柱面坐标的关系:
x r cosq , y r sin q , z z.
z z M(x, y, z)
柱面坐标系中的体积元素: dv rdrdqdz. O x
柱面坐标系中的三重积分:
q
r
y P(r, q )
y
x
f (x,y,z)dxdydz f (r cos q
r
q
y
P
y
坐标面rr0,jj 0,q q 0的意义: z
j O q x
r
y
点的直角坐标与球面坐标的关系:
x r sin j cosq , y r sin j sin q , z r cosj .
z z M(x, y, z) j O x r
球面坐标系中的体积元素: