隐函数参数方程求导解析

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若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y ( t ) ,可得 d x ( t ) d d y dx d2 y d d y ( ) ( ) 2 d x dx dx d t dx d t ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t ) 2 (t ) y x ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) x y 3 x (t ) 3



y ＝－ cos x ＝sin x ……
4
y
(n)
sin x n 2
(n)
即 (sin x)
(n)
同理可得 (cos x)
cos x n 2
sin x n 2
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内容小结
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
即 y x a(2 ) 2
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四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x)仍是 x 的可导函数，就称 y f (x) 的导数为函数 f ( x) 的二阶导数,记作
d2 y y，f (x) ， 2 dx
y [ 1 ( x )]
再设函数 x (t ), y (t )都可导 , 且 (t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
多个函数相乘和幂指函数 u( x )v ( x ) 的情形.
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例5. 设 y x sin x ( x 0), 求y. 解： 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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dy dx
x 0
ex y x ey
x 0 y0
1.
4
例2. 设曲线C的方程为x 3 y 3 3 xy, 求过C上 3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点. 解： 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
2
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
两边对x求导
(含导数 y 的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
x 0 .
解： 方程两边对 x求导, dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y , 由原方程知 x 0, y 0, 解得 y dx x e
x0 y 1
1 得 y 4
x0 y 1
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1 . 16
6
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法：
先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围：
第二节
隐函数的导数、 由参数方程所确定的函数的导数、 高阶导数
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一、隐函数的导数
定义: 由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
例如,
可确定显函数 可确定y是x的函数 , 但此隐函数不能显化 .
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
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三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
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x a ( t sin t ) 在t 处的切线 方程 . 例6. 求摆线 2 y a (1 cos t )
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x ( t )具有单调连续的反函数 t 1 ( x ),
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例3 设
解
y sin x ，求 y ( n )
y (sin x) cos x sin x 2
y cos x －sin x sin x 2 2 y ＝－sin x ＝－cos x sin x 3 2
3 d y ， 有三阶导数 y 或 dx3
四阶导数 y
……
(4)
4 d y 或 dx4
，
n阶导数 y ( n )
dny 或 dxn
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
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问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，将函数逐次求导，利用已知 函数的一阶导数公式及前面介绍的导数运算 法则 注意：对于形式较为复杂的函数，求出 一阶导数一定要化简，养成“化简整理”的 好习惯
即
d 2y y ( y)，f (x) [ f (x)] ， 2 dx
d f (x) 或 d x2
2
d dy d d d2 说明： y 2 y dxdx d x d x d x
类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,
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y仍是x的函数，还可以进一步考虑
解： 方程两边对x求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y )2 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1, y
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一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
（对数求导法）
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
1 1 f ( x ) v ( x ) ln u( x ) v ( x ) u( x ) f ( x) u( x )
y
33 ( , ) 22
y x2 2 1. 33 y x ( 2, 2 )
3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
5
3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2
例3. 设 x 4 xy y 4 1, 求y在点(0,1)处的值 .