隐函数参数方程求导解析
隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
隐函数与参数方程求导法则
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
5
Yunnan University
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 二、参数方程所表示函数的求导法
平面曲线参数方程的一般形式
x (t),
y
(t
),
t [ , ]为参数.
若x (t)与y (t)都可导，且(t) 0. 又x (t)存在
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
例1. 设y(x)是由方程x2 y2 r 2确定的隐函数，求dy . dx
解法一：因y y(x)是方程x2 y2 r 2确定的隐函数，故有恒 等式 x2 y2 (x) r 2. 视y2 (x)为复合函数，在恒等式两边关于x 求导，得
2x 2 y(x) y(x) 0,
即
y y(x) x x .
y(x) y
方法I : 对于由方程F (x, y) 0确定的隐函数，只需应用复合函数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式 或方 程 两 端 关 于x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数 的 导 数 （ 注 意y是x的 函 数 ）.
例4. x2 y2 1，a, b const. a2 b2
解： (1)
隐函数求导法，y
b2 a2
x y
.
(2) 椭圆的参数方程
x
y
a cos，（0 bsin
2）,
则
dy y( ) b cos b ctg .
dx x( ) a sin a
7 x 2，即 7x 4 y. 2y
解方
程组
x2 2
y2 7
1，得两点(4,7)和(4,7).
第四节隐函数与参数方程的求导法
−1
：
dt 1 x = ϕ ( t )的反函数 t = ϕ ( x )也可导, 且 其导数 = dx dx 再设 y = ψ ( t )也可导 dt −1 ∵ y = ψ ( t ), t = ϕ −1 ( x ) ∴ y = ψ [ϕ ( x )]
由复合函数及反函数的求导法则得其导数
3 3 ( , ) 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 x 求导得 4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
0 − 1 − 0 + 4 ⋅ y′
x =0 y =1
(1)
= 0 ∴ y′ x = 0
2
h tanα = 500
h米
α
500米
dt
dα ∴ = 0.14(弧度 / 分 ) dt
仰角增加率
五、小结 隐函数求导法: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率:通过两个相互依赖的变量之间的关系 确定两个相互依赖的变化率之间的关系.
方程两边对 x 求导 , 得 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′
y − x2 ∴ y′ = 2 y −x
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = −1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点. 2 2
第二章第4节隐函数及参数方程求导9534429页PPT
所d d 以 t0.1(弧 4 /度 分 )
--------对数求导法 适用范围
多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
6
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
解 等式两边取对数得 ln y ln x 1 ) ( 1 3 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x
上式两边 x求对导得 y yx1 13(x11)x2 41
y (x ( x 1 )4 3 )2 x ex 1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ].
7
例6 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得
ln y sixn ln x 上式两边x求 对导 ,得
1 yycoxslnxsix n1 x
所y 以 y (cx o ln x s six n 1 x )
其速率1为 4米 0 /分.当气球高5度 0米 0为时 ,观察员视
线的仰角增加率 ? 是多少
解 设气球 t分上 钟 ,其 升 后 高h,度 观为 察员 的视 仰
角为 ,则
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
h 500
上式两边 t求对导得
500米
se2 cddt510d 0dh t
500米
因 为 ddh t14米 0/分 ,当 h 5米 0,0 s时 2 e c 2
yey xeyy，
即
y1exy ey
ey ， 2 y
yeyy(2(2y)y)2ey(y)，
故yey2eyy(2( 2 y)y)2ey(2eyy)
e2y(3 (2
y) y)3
.
4
例4 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的值
3.3隐函数与参数方程求导法则
(t ) 0 时, 有
例5 已知圆的参数方程为
求
解
dy dy dx (a sin t ) ' a cos t / cos t dx dt dt (a cos t ) ' a sin t
参数方程所确定的函数的求导步骤是：先求 和 的导数，再求它们的商。因而，利用 求参数方程所确定的函数的导数可以用 D[y , t]/ D[x , t]
(3 y 2 x 0)
2
y ' |(1,1) 1
则所求切线方程为
即
y 1 (1)( x 1)
x y2 0
求隐函数的导数是由求导和解方程两个步骤组成. 因而，在 Mathematica 中可使用D 和 Solve 语句， 求由方程 F ( x, y) 0 所确定的隐函数的导数。
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
例3 求由方程 dy 。 dx 解
x 4 y 4 所确定的隐函数的导数
2 2
方程两边求导，得
从求导结果中解出隐函数的导数：
或者将两个步骤合并为
注意 在
中
意义是 的一阶导数。
一样的，都表示函数
例4
求方程 导数。
所确定的隐函数的
解
即
说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
例1 求由方程 y 1 xe
y
解
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数式函数的导数解析
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
,
即
dy (t) dx (t)
dt
注意 这里的导数是通过参数表达出来的．
例8
设
x y
1 t
t t
2 3
，
求
dy .
dx
dy
解
dy dx
dt dx
(t t3 ) (1 t 2 )
1 3t 2
2t
dt
讨论分析
讨论分析
例9
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
讨论分析
例7 求函数 y ( x 1)3 x 2 的导数．
x4
解 函数两边同时取对数，得
ln y 3ln( x 1) 1 ln( x 2) ln( x 4)
2
两边同时对 x 求导，得
1 y
y
3 x1
1 2
1 x2
1 x 4
于是
y ( x 1)3
x x
2 4
3 x1
1 2
求导的方程中解出 y (所得的表达式中一般同时含有
x 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 相异).
对数求导法 注意使用类型；
参数式函数的求导法
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
讨论分析
二、对数求导法 对数求导法则
主要用于解决两类函数的求导问题： （1） 一类是幂指函数，即 y [u( x)]v( x)
（2） 一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所 构成的函数. 对数求导法——在等式两边先取对数，将显函数 化成隐函数，然后用隐函数的求导法则求出导数．
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
隐函数和参数方程所确定的函数的导数
d(ln y) d y dy dx
1 y h( x), y
(2) 适用范围
uuv , 1y y y uv ( vlnu uv ) u
按指数函数求 导公式 按幂函数求导 公式 注意: 取对数得 两边求导：
例3 求
1 的导数 .
4 求幂指函数导 数用对数求导
法
2
y3 xsin x(cos x ln x
单击此处添加副标题
隐函数和由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 汇报人姓名
二、由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
定义 如： 可确定 y 是 x 的函数 , 则称 确定了一个隐函数：y = y(x)
注 1° 若由方程 函数 y 为由此方程所确定的隐函数 . 2° 解出，则称此隐函数可显化；
f ( x) f (x)
f ( x) ( f ( x) 0) f (x)
y f ( x) f (x)
y
1
[ f (x)]
[ f ( x)]
y (ln x ) 1 x
解
例5
两边对 x 求导：
二、由参数方 程所确定的函 数的导数
若参数方程
x y
(t (t
) )
确定
y与x间的函数关系，
at x a cos(t π ) 2
y a a sin(t π ) 2
即
半径为 a 的圆周沿 直线无滑动地滚动 时,
M 的轨迹即为摆 线.
其上定点
例7 设
,求
解
方程组两边同时对 t 求导, 得
d x d y d x t0
dy
d t dt
e y cos t ，
1 e y sin t
高数 隐函数与参数方程求导讲解
1
f (t)
24
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
25
作业 P109 1 ; 2 ; 3 ; 4 ； 5（1）（3）; 6 ; 7 (2) （4）; 8.
2 2(t
2t 1
1) 2
23
例14 已知 x f (t) y t f (t) f (t)
求
d2 dx
y
2
.
解: d y dx
t f (t) t,
f (t)
, 且 f (t) 0,
x f (t) y t
d2y dx2
d y dx
t f t
其运动轨迹方程为：x v0 cos at
表示。
y
v0
sin
at
1 2
gt
2
15
参数方程求导
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
11
例7 求下列函数的导数 y.
1.
两边取对数
ln y x ln a a[ lnb ln x ] b[ ln x ln a ] b
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
隐函数与参数方程确定函数的求导方法
隐函数与参数方程确定函数的求导方法在微积分中，隐函数与参数方程是两种特殊的表示函数的方法。
隐函数是指在一个方程中，变量的关系是通过隐含的方式给出的，即不能直接通过解方程得到一个明确的公式。
参数方程则是将自变量通过一个参数来表示，从而将函数的定义域与值域分开描述。
在使用这些方法确定函数时，我们需要了解如何对这些函数进行求导。
隐函数是指在一个方程中，变量的关系是通过隐含的方式给出的，即不能直接通过解方程得到一个明确的公式。
为了对隐函数进行求导，我们可以利用隐函数求导的基本原理，即根据隐函数给出的方程，使用链式法则和隐函数公式进行推导。
首先，我们假设有一个隐函数方程 F(x, y) = 0，其中 y 表示 x 的函数。
我们要求的是 y 对 x 的导数 dy/dx。
步骤如下：1.对方程两边同时对x求导，应用链式法则。
2. 用 dy/dx 表示 dy/dx 与 dx/dx 的商：dy/dx = -F_x(x, y) /F_y(x, y)。
3. 将 dy/dx 表示为关于 x 和 y 的表达式。
其中，F_x(x,y)为F(x,y)对x的偏导数，F_y(x,y)为F(x,y)对y的偏导数。
通过这种方法，我们可以求得隐函数的导数。
这种方法在解决隐函数问题时非常有用，因为它能够处理一些无法用显式函数表达的关系。
参数方程是将自变量通过一个参数来表示，从而将函数的定义域与值域分开描述。
在求参数方程确定的函数的导数时，我们需要使用参数方程求导公式。
假设有一组参数方程x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于t的函数。
步骤如下：1. 分别对 x 和 y 关于 t 求导，得到 dx/dt 和 dy/dt。
2. 将 dx/dt 和 dy/dt 表示为关于 t 的函数。
3. 计算 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
在计算 dy/dt 和 dx/dt 的时候，可以使用求导的基本规则。
然后，将 dy/dt 和 dx/dt 的表达式代入 dy/dx 的公式中，就可以求得参数方程确定的函数的导数。
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数与参数方程的求导法教学
设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数, 而变量x与
y之间存在某种关系, 从而它们的变化率dx 与 dt
dy dt
之
间
也相关存变化在率一问
题:
定
关
系已, 知这其样中一两个变个化 率时，如何求出另
相
互
依
赖
的
变 化 率 称 为 相 关 变 化 率. 一个变化率?
例10 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
第四节 隐函数与参数方程的求导法
一、隐函数的导数
01
定义:
y f ( x) 形式的函数称为显函数.
02
隐函数的显化
F ( x, y) 0 y f ( x) 0 3
问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导?
04
隐函数求导法:
05
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
06
解出
例1 求由方程xy e x e y 0所确定的隐函数
等式两边取对数,得
例5
设
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求y.
解
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导, 得
1 y 1 1 2 1
y
x 1 3( x 1) x 4
y y[ 1 1 2 1] x 1 3( x 1) x 4
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
设方程 x3 y3 3xy确定了函数y y( x)
解 方程两边对 x 求所导求,切得线方3程x2为 3 y2 y 显然3通y过原3点xy.
y
3.2隐函数与参数方程的导数
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铃
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 例 2 求摆线 2 y = a ( 1 − cos t ) 和法线方程 解 由参数方程的求导方法 , 得
dy [a (1 − cos t )]′ t sin t = ′ = 1 − cos t = cot 2 dx [a ( t − sin t )]
当t=
π
π 处切线斜率为 k = dy = cot t =1 a ( − 1), a 2 t =π dx t =π 2 2 2 aπ π 切线方程为 y − a = x − a − 1 即 y − x + − 2a = 0 2 2 π 即 y + x − aπ = 0 法线方程为 y − a = − x + a − 1 2 2
x
铃
x y ′ = (arctan x ) ln arctan x + (1 ห้องสมุดไป่ตู้ x 2 ) arctan
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dy 例3 设 x = y 求 dx
y x
解
两边取对数得 两边对 x 求导得
y ln x = x ln y
1 1 y′ ln x + y ⋅ = ln y + x ⋅ ⋅ y′ x y
1+ 21x6 . 由此得 y′ = 4 5y + 2 因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以 x=0 , y=0,
y′ x = 0, y = 0 1 + 21 x 6 = 5 y4 + 2
x =0 y =0
1 = 2
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隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
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4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y )2 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1, y
y [ 1 ( x )]
再设函数 x (t ), y (t )都可导 , 且 (t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
9
三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
第节
隐函数的导数、 由参数方程所确定的函数的导数、 高阶导数
1
一、隐函数的导数
定义: 由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
例如,
可确定显函数 可确定y是x的函数 , 但此隐函数不能显化 .
x0 y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
6
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法：
先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围：
8
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
（对数求导法）
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
1 1 f ( x ) v ( x ) ln u( x ) v ( x ) u( x ) f ( x) u( x )
y
33 ( , ) 22
y x2 2 1. 33 y x ( 2, 2 )
3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
5
3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2
例3. 设 x 4 xy y 4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
10
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x ( t )具有单调连续的反函数 t 1 ( x ),
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
即 y x a(2 ) 2
13
四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x)仍是 x 的可导函数，就称 y f (x) 的导数为函数 f ( x) 的二阶导数,记作
d2 y y，f (x) ， 2 dx
即
d 2y y ( y)，f (x) [ f (x)] ， 2 dx
d f (x) 或 d x2
2
d dy d d d2 说明： y 2 y dxdx d x d x d x
类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,
14
y仍是x的函数，还可以进一步考虑
16
例3 设
解
y sin x ，求 y ( n )
y (sin x) cos x sin x 2
y cos x －sin x sin x 2 2 y ＝－sin x ＝－cos x sin x 3 2
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
18
dy dx
x 0
ex y x ey
x 0 y0
1.
4
例2. 设曲线C的方程为x 3 y 3 3 xy, 求过C上 3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点. 解： 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
多个函数相乘和幂指函数 u( x )v ( x ) 的情形.
7
例5. 设 y x sin x ( x 0), 求y. 解： 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
2
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
两边对x求导
(含导数 y 的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
x 0 .
解： 方程两边对 x求导, dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y , 由原方程知 x 0, y 0, 解得 y dx x e
3 d y ， 有三阶导数 y 或 dx3
四阶导数 y
……
(4)
4 d y 或 dx4
，
n阶导数 y ( n )
dny 或 dxn
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
15
问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，将函数逐次求导，利用已知 函数的一阶导数公式及前面介绍的导数运算 法则 注意：对于形式较为复杂的函数，求出 一阶导数一定要化简，养成“化简整理”的 好习惯
12
x a ( t sin t ) 在t 处的切线 方程 . 例6. 求摆线 2 y a (1 cos t )
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
11
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y ( t ) ,可得 d x ( t ) d d y dx d2 y d d y ( ) ( ) 2 d x dx dx d t dx d t ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t ) 2 (t ) y x ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) x y 3 x (t ) 3
y ＝－ cos x ＝sin x ……
4
y
(n)
sin x n 2
(n)
即 (sin x)
(n)
同理可得 (cos x)
cos x n 2
sin x n 2
17
内容小结